I.T. INFORMÁTICA DE GESTIÓN Departamento de Estadística Asignatura: Investigación Operativa Curso: 2007/2008 Relación número 4 de prácticas PRÁCTICA 4: TEORÍA DE COLAS Las largas colas de espera en los servicios de una empresa pueden ser muy malas para los negocios, y el dinero invertido en reducirlas suele ser dinero bien gastado. Ésta es la conclusión a la que llegan dos estudios de la revista Interfaces en relación a una compañía de venta por correo y a un hospital. Queda de manifiesto, pues, que la Teoría de Colas tiene una gran utilidad en el ámbito empresarial. En esta práctica veremos una pequeña muestra de los distintos análisis que se pueden realizar. Para ello, será fundamental tener claros los conceptos estudiados en las clases teóricas. 1. La distribución exponencial Los sistemas de colas suelen contener incertidumbre. En particular, los tiempos entre llegadas de clientes y los tiempos de servicios no se conocen con antelación de forma exacta. Para modelar esta incertidumbre, es muy habitual valerse de la distribución exponencial. Asumiendo que los tiempos entre llegadas y de servicios están exponencialmente distribuidos, se simplifica mucho el análisis de una cola. En la Figura 1 podemos ver un ejemplo de distribución exponencial. Para ver si los tiempos entre llegadas o los de servicio se ajustan a esta distribución, resulta útil emplear un histograma de los mismos. Un gestor bancario querría usar un modelo de colas para analizar la congestión en el cajero automático de una oficina. Para ello, comienza por comprobar si los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. 1
Figura 1: Distribución Exp(1) A la luz de los datos recogidos (fichero de la práctica), ve que los tiempos entre llegadas se ajustan a una distribución exponencial, pero no los tiempos de servicio. Esto último tiene su lógica, pues es necesario un tiempo mínimo para realizar la operación en el cajero. De todos modos, el analista decide asumir distribuciones exponenciales para ambas variables aleatorias. Rápidamente, calcula que las medias para tiempos entre llegadas y para tiempos de servicio son 25.3 y 22.3, respectivamente. Decide que la unidad temporal que más le conviene son las horas, por lo que los tiempos pasan a ser 0.4217 y 0.3717. Por lo tanto, los parámetros de las distribuciones son λ = 1/0.4217 = 2.37 y µ = 1/0.3717 = 2.69. Obviamente, estos valores son estimaciones de las tasas entre llegadas y tasas de servicio teóricas. 2
2. Análisis de una cola Gracias al uso del ordenador y de la Ley de Little, podemos obtener rápidamente datos que nos permiten hacernos una idea del comportamiento de una cola en un sistema. Una oficina de correos cuenta con un único empleado en ventanilla. Los clientes llegan a la oficina a una velocidad de 30 cada hora y el tiempo medio de servicio es de minuto y medio (se asume que las variables de tiempos entre llegadas y de tiempos de servicio son exponenciales). Todos los clientes que llegan esperan a ser atendidos, no importa cuántos haya en la fila. La empresa postal quiere mejorar el funcionamiento de la oficina, por lo que encarga un estudio del proceso de servicio en ventanilla. Estudia la cola resultante de la muestra de 100 clientes. Está claro que se trata de un modelo M/M/1. En este ejemplo trabajaremos de los dos modos posibles: con el modelo teórico y con el modelo estimado a partir de la muestra. Comencemos por el primero de ellos. Si, a nivel teórico, llegan 30 clientes por hora, significa que pasa una media de 2 minutos entre las llegadas de dos clientes consecutivos. Si consideramos que nuestra unidad de tiempo serán los minutos, significa que llegan 1/2 = 0.5 clientes por minuto. Luego la tasa de llegadas es λ = 0.5. Del mismo modo, si son necesarios 1.5 minutos para atender a un cliente, la tasa de servicio es µ = 1/1.5 = 0.67. Con las tasas de llegadas y de servicio, podemos calcular factor de utilización del sistema: ρ = λ µ = 0.5 0.67 = 0.75. Ahora, ya estamos en condiciones calcular el número medio de clientes en el sistema: N = ρ 1 ρ = 3. Observemos que, al estar en un sistema con único servidor, el número medio de servidores ocupados (número de clientes que están siendo servidos) coincide con el factor de utilización del sistema. Luego B = 0.75. Finalmente, sólo es cuestión de aplicar la Ley de Little y demás igualdades vistas en clase para calcular los demás valores. Por ejemplo, el número medio de clientes en la cola es Q = N B = 2.25. Hasta aquí lo que hace referencia a los valores teóricos. Sin embargo, en la vida real, esos valores (λ y µ) son desconocidos, por lo que hay que estimarlos. Para ello, se toma una muestra y se calcula el tiempo medio entre llegadas de clientes y el 3
tiempo medio de servicios. En nuestro caso, ˆλ = 2.19 y ˆµ = 1.56. A partir de ellos, los demás valores se calculan como ya hemos visto. Con un ordenador es muy fácil comparar la sensibilidad del sistema. Por ejemplo, supongamos que el tiempo necesario para atender a un cliente se acerca a los dos minutos que pasan entre las llegadas. Cómo afecta esto al tiempo que el cliente pasa esperando en la cola hasta que le atienden? Simplemente variando el valor en la celda del tiempo de servicios podemos verlo: si éste es de 1.5 minutos, el tiempo medio de permanencia en la cola es de 4.5 minutos. Sin embargo, si fuesen necesarios 1.7 minutos para servir a un cliente, entonces se pasaría 9.63 minutos en la cola. Nada comparable a los 76.05 minutos de espera si se necesitasen 1.95 minutos para servir al cliente. 3. Ejercicios evaluables: El plazo para entregar los ejercicios de esta tercera práctica concluye el viernes 19 de enero a las 10 de la mañana. Todos los ficheros se enviarán por correo electrónico a sergio.garcia@uc3m.es. 3.1. Opción A: 1. (0.6 puntos) Todos hemos visto que los supermercados tienen más o menos cajas abiertas en función de si el momento del día se considera punta o no. En la hoja Supermercado aparecen tiempos entre llegadas y de servicios para dos momentos del día en un pequeño supermercado de barrio: la hora de la siesta y las ocho de la tarde. Para el primer periodo, se habilita una caja; para el segundo, tres. a) En qué momento del día conviene ir? Calcula el número de clientes medio en la cola (es decir, esperando a ser atendidos) para ese momento elegido. b) Cambia tu decisión si el horario de tarde-noche se habilita una caja más? 3.2. Opción B: 1. (0.75 puntos) En la hoja Urgencias aparecen datos referentes a los tiempos entre llegadas y de atención para la sección de urgencias de un hospital. Dicha sección dispone de seis equipos de urgencias (formados por personal, quirófano y maquinaria médica). Calcula: a) El número medio de clientes que están en esa sección del hospital sin ser atendidos. 4
b) Cuántos equipos sería necesario añadir para que el tiempo de espera a ser atendido se redujese a la mitad? c) Qué sucedería si un incendio fortuito inutiliza dos de los equipos? 5