Abordando Problemas OBJETIVOS: Potenciar el gusto por la resolución de problemas. Tomar conciencia de la importancia de la resolución de problemas como núcleo esencial de la educación matemática. Conocer y practicar estrategias heurísticas y destrezas convenientes para la resolución de problemas. Reconocer la resolución de problemas como una actividad en la que se fomente el gusto por hacer matemáticas, evitando que la dificultad se convierta en sinónimo de rechazo, sino más bien en un desafío para la mente y como tal sean tomadas como un juego. Compartir recursos documentales, tecnológicos, etc. para facilitar la enseñanza y el aprendizaje de la resolución de problemas. CONTENIDOS: La Resolución de Problemas como objetivo, contenido y método. Contemplación del tema en los currículos oficiales de Primaria. Problemas aritméticos elementales. Pautas, técnicas y estrategias heurísticas. Los problemas abiertos: un recurso metodológico para atender la diversidad. Los juegos de lógica y estrategia. Relación con la resolución de problemas. Aplicaciones de las calculadoras para investigaciones y resolución de problemas. Evaluación de la resolución de problemas. Internet: un banco de posibilidades para la resolución de problemas. ALGUNOS PUNTOS DE VISTA: Según Weatley resolver un problema es lo que haces cuando no sabes qué hay que hacer. Un problema matemático implica un propósito con dificultad a conseguir, que hay obstáculos y requiere deliberación, ya que quien lo afronta no conoce ningún algoritmo para resolverlo. Los buenos problemas matemáticos representan un desafío a las capacidades deseables de un matemático, tienen interés en sí mismos y estimulan en quienes lo resuelven el deseo de proponerlo a otras personas. La resolución de problemas es sobre todo un proceso y no un procedimiento paso a paso aunque se enseñen todas las técnicas heurísticas, es como ha dicho alguien ES más un viaje que un destino. PROBLEMAS vs EJERCICIOS: Una actividad matemática podemos tipificarla como ejercicio cuando el que lo resuelve dispone de un algoritmo directamente, o consultando en la fuente adecuada, que una vez aplicado le lleva directamente a la solución. En el caso de los ejercicios, el único problema (si así puede llamársele), estriba en averiguar el algoritmo a aplicar. www.kukukamath.com 2010 Página 1
IDENTIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS QUE SE NOS PLANTEAN EN LA ENSEÑANZA / APRENDIZAJE: Dificultades en la comprensión del enunciado y/o del problema. La larga extensión del enunciado y a veces lo farragoso del mismo o su falta de adaptación al lenguaje del alumno. En problemas de varias etapas, la ausencia de preguntas intermedias. Ignorar las unidades de medida en el desarrollo y expresión de la solución. Falta de organización de los datos del problema. Ausencia de representación de los datos en tablas, gráficas o dibujos. Inercia para operar con lo último que están estudiando derivado de la práctica de poner problemas categorizados por temas. No comprobar el resultado, la solución y no revisar el proceso. Carencias para reformular los problemas, escribir variantes de los mismos y buscar analogías. QUÉ NECESITA SABER UNA PERSONA PARA RESOLVER UN PROBLEMA? Conocimiento lingüístico: Términos en los que está redactado el problema, comprensión del enunciado. Conocimiento semántico: Hechos, por ejemplo; 1 ha = 10,000 m 2, comprensión de la lengua y del lenguaje específico matemático. Conocimiento esquemático: Ser consciente del tipo de problema a resolver, por ejemplo, algorítmico o de enunciado abierto. Conocimiento operativo: Dominio de herramientas, por ejemplo, cómo despejar una incógnita, cómo determinar la ecuación de una recta, cómo manejar el compás, etc. Conocimiento estratégico: Uso de líneas de pensamiento que se ponen en juego al resolver problemas, en forma de elección de heurísticos, procedimientos o métodos. ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS. Resolver primeramente un problema más simple. Codificar los datos buscando notaciones adecuadas para representar el problema. Hacer tablas y buscar pautas. Descomponer el problema en subproblemas. Realizar experimentos. Generalizar la solución para tener un modelo de resolución de todos los problemas análogos. Si no consigues entender un problema, dibuja un esquema. Si no encuentras la solución, haz como si ya la tuvieras y mira qué puedes deducir de ella (razonando hacia atrás). Si el problema es abstracto, prueba a examinar un ejemplo concreto. Intenta abordar primero un problema más general (es la paradoja del inventor : el propósito más ambicioso es el que tiene más posibilidades de éxito). Página 2 www.kukukamath.com 2010
PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA: Ing. Fernando Cabral Hernández. COMENCEMOS CON EL PROBLEMA DEL HENO: Unos granjeros almacenaron heno para 57 días. Sin embargo, el heno almacenado era de mejor calidad de lo que pensaban. Por lo que ahorraron 113 kg por día y tuvieron para 73 días. Cuántos kilos de heno almacenaron? UN PROBLEMA MÁS SENCILLO. En una casa compran pan para 6 días. Sin embargo, esa semana tuvieron menos apetito de lo normal y ahorraron una barra de pan diaria, por lo que tuvieron pan para 9 días. Cuantas barras de pan compraron? EL PLAN: Saber las barras de pan que ahorran. Como la diferencia debida al ahorro es de 3 días, las barras de pan ahorradas se reparten entre 3 y así descubriré el consumo de pan diario. Por último multiplicaré por 9, puesto que éste es el número de días que estuvieron consumiendo pan. www.kukukamath.com 2010 Página 3
LA EJECUCIÓN: 6 días ahorrando 1 barra por día; 6 x 1 = 6. Ahorran 6 barras. 9 6 = 3. Por ahorrar una barra diaria tienen pan para 3 días más. 6 : 3 = 2, consumen 2 barras diarias. 9 x 2 = 18, así pues, compran 18 barras. Si no hubiesen ahorrado 1 barra por día, el consumo sería de 3 barras diarias, 3 x 6 = 18, en cualquier caso consumen 18 barras de pan. APLICADO AHORA EL PLAN AL HENO: Averiguar el número total de kilos de heno ahorrados. Calcular la diferencia entre el nº de días para los que hay heno si se ahorra y el nº de días para los que se preveía que hubiera sin ahorrar. Si repartimos los kilos de heno ahorrados entre los días que hay (ahorrando y sin ahorrar), descubriremos el consumo de heno diario. Multiplicando el consumo de heno diario por 73, es de esperar que el resultado sea el mismo que si multiplico el consumo diario más 113 por 57 (CONJETURA). EJECUNTANDOLO AL PROBLEMA DEL HENO: 113 x 57 = 6,441, multiplico 113 kg de ahorro diario por 57 días que duraría el ahorro, obtenemos 6,441 kg de heno ahorrados. 73 57 = 16, lo ahorrado duraría 16 días. 6441 : 16 = 402.56, al repartir el heno ahorrado entre los días que dura el ahorro, se obtienen 402.56 kg de heno por día, puesto que es lo que toman los animales desde el día 57 hasta el 73. 402.56 x 73 = 29,386.88 Luego almacenaron 29,386.88 kilos de heno. COMO TRABAJAR LOS PROBLEMAS EN CLASE: Con la cabeza. Con materiales. Simbólicamente (dibujos y esquemas). Usando algoritmos de lápiz y papel. Usando la calculadora. Página 4 www.kukukamath.com 2010
PROBLEMAS DE CÁLCULO MENTAL: Arturo compra un lápiz por 2 pesos y lo vende por 2.50. Qué tanto por ciento ha ganado? CARACTERÍSTICAS: Enunciado corto Números pequeños Doble retención Operación muy sencilla Cálculo mental automático SUGERNCIAS: Sesiones de cinco problemas Un par de sesiones por semana Autocorrección Sin debate EJEMPLO DE SERIES: Serie 9.26 Mi hermano nació en el año 1986. Cuántos años tiene ahora? He pasado 5 mojones y medio en una carretera. Cada mojón indica un hectómetro. Cuántos metros he recorrido? Cuál sería la longitud mínima de una pieza de ropa de la que se pudieran hacer trozos de 2 m, 4 m y 5m sin que en ninguno de los tres casos sobrara ropa? Cuántos minutos representa un ángulo de 7º? Sonia compra un reloj, paga con tres billetes de 500 pesos 2 billetes de 200 y 3 monedas de 10 pesos. Cuánto vale el reloj? LOS SÍNTOMAS ANTES DE RESOLVER UN PROBLEMA: No lo sé hacer. No lo he hecho porque no he tenido tiempo de hacer la operación. Lo he calculado mal. No lo he hecho porque me he hecho bolas No sé qué he hecho, me he complicado con los cálculos No he podido pensar bien la solución, no me cuadran las cosas No he escuchado el enunciado porque estaba calculando el 3 Me he confundido porque he multiplicado dos veces por 10 www.kukukamath.com 2010 Página 5
PARA QUÉ PROBLEMAS DESDE PRIMERO? Para obligar a los niños a razonar. Para desarrollar su capacidad de pensamiento. Para que apliquen las operaciones. Para que generen estrategias de pensamiento. PROBLEMAS QUE NO SIREN DE NADA: En un barco hay 26 corderos y 10 cabras. Cuál es la edad del capitán? Un pastor tiene 360 borregos y 10 perros. Cuál es la edad del pastor? En una clase hay 7 filas de 4 mesas. Cuántos años tiene la maestra? LA ESTRUCTURA DE LOS ENUNCIADOS: El efecto producido en el comportamiento de los alumnos por un cierto tipo de enunciados es mayor de lo que pudiera suponerse. Cuando los alumnos resuelven un problema, toman en consideración la adecuación de los datos a la pregunta propuesta, lo que les lleva a dar respuestas aparentemente estúpidas y fuera de toda lógica ALGUNOS ENUNCIADOS A CONSIDERAR: Mary invitó a 5 chicas y 3 chicos a su fiesta de cumpleaños. Cuántos años cumplía? Cada día Olga guarda dinero en su cuenta de cerdito y apunta cuánto tiene en ella; el lunes tenía 3 zlotys en su cuenta de cerdito, el martes tenía 4 zlotys en ella, el miércoles tenía 8 zlotys en su cuenta de cerdito. Cuánto dinero acumuló? Un granjero tenía 12 cerdos, fue al mercado y vendió 8 gallinas. Cuántos cerdos le quedan? Ana tiene 7 años y Bob 10. Cuántos años más vieja es Ana? En el mercado un huevo costaba ayer 15 zlotys, hoy un huevo cuesta 14 zlotys. Cuál será el precio de un huevo mañana? Jonny y Mike están sentados en clase, hay chicas de pie frente al pizarrón; Jonny ve tres chicas y Mike ve tres chicas. Cuántas chicas hay de pie frente al pizarrón? Mike tiene una bicicleta, Joan tiene una bicicleta, Tom tiene una bicicleta. Cuántas bicicletas tienen? Mike escribió una carta a su tío, Joan escribió una carta a su tío, Tom escribió una carta a su tío. Cuántos tíos recibieron cartas? ACCIONES A LA HORA DE RESOLVER PROBLEMAS: Lectura del problema. La importancia de cada palabra y cómo ésta puede cambiar el sentido del problema. Pausas en la lectura y cómo éstas ayudan a descomponer el problema en partes. Una entonación especial en la pregunta del problema. Página 6 www.kukukamath.com 2010
PROBLEMAS ARITMÉTICOS: Un día el padre de Raúl se da cuenta de que el cuentakilómetros marca 4,320 km. Cuántos kilómetros le faltan para hacer la revisión del coche que es a los 5,000 km? El señor Ferrer desea hacer una valla alrededor de su piscina. El metro de valla vale 40 pesos. En unos grandes almacenes hacen un 20% de descuento, pero hay que pagar el 15% de IVA. Cuando hagas una compra, Qué prefieres que te calculen primero, el descuento o el IVA? ANÁLISIS DEL ENUNCIADO DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS: Juan tenía 5 canicas, ganó 3 canicas. Cuántas tiene ahora? Juan tenía 5 canicas, perdió 3 canicas. Cuántas tiene ahora? Juan tenía 5 canicas. Pedro tiene 3 canicas. Cuántas canicas tienen los dos juntos? CATEGORÍAS SEMÁNTICAS DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS: CAMBIAR: Juan tenía a canicas, le dan b canicas, cuántas tiene ahora? Juan tiene a canicas, da b canicas, cuántas le quedan? Juan tenía a canicas, Pedro le dio algunas, ahora tiene c canicas, cuántas le dio Pedro? Juan tenía a canicas, dio algunas a Pedro, ahora tiene c canicas, cuántas dio a Pedro? Juan tenía algunas, Pedro le dio b canicas, ahora tiene c canicas, cuántas tenía? Juan tenía algunas, dio b canicas a Pedro, ahora tiene c canicas, cuántos tenía? COMBINAR: (Parte parte todo) Hay a hombres, hay b mujeres, cuántas personas hay? Hay a hombres, hay b personas, cuántas mujeres hay? COMPARAR: (Cantidad referencia, cantidad comparada y diferencia) Juan tiene a, Pedro tiene b, cuántos tiene Pedro más que Juan? Juan tiene a, Pedro tiene b, cuántos tiene Pedro menos que Juan? Juan tiene a, Pedro tiene c más que Juan, cuántos tiene Pedro? Juan tiene a, Pedro tiene c menos que Juan, cuántos tiene Pedro? Pedro tiene b, Pedro tiene c más que Juan, cuántos tiene Juan? Pedro tiene b, Pedro tiene c menos que Juan, cuántos tiene Juan? www.kukukamath.com 2010 Página 7
SECUENCIA DE PROBLEMAS GRADUADOS EN DIFICULTAD: Actuación centrada en la operación resta: Juan tiene 10 años, cuánto tardará en tener 16? Juan tiene 16 años, cuántos años han pasado desde que tuvo 10? Juan tiene 10 años y Pedro 16, cuántos años le lleva Pedro a Juan? Juan tiene 10 años y Pedro 16, cuántos años tardará Juan en tener la edad que tiene ahora Pedro? Juan tiene 10 años y Pedro 16, cuántos años es Juan más joven que Pedro? Juan tiene 10 años y Pedro 16, cuántos años han pasado desde que Pedro tuvo la edad de Juan? PROBLEMA EJEMPLO: Un tren lleva 5 coches de pasajeros, en el primero van 32 personas, en el segundo van 13 viajeros más que en el primero, en el tercero van tantos viajeros como en el primero y en el segundo, el cuarto y quinto coche llevan cada uno 43 viajeros. Cuántos viajeros lleva el tren? PLAN DE RESOLUCIÓN: Para determinar los viajeros que lleva el tren (esto es, la incógnita del problema) hemos de determinar los viajeros que lleva cada uno de los vagones. Sabemos cuántos viajeros llevan los vagones 1º, 4º, y 5º, porque son datos del problema, no sabemos los pasajeros que llevan los vagones 2º y 3º, luego hemos de determinar los viajeros que llevan estos vagones. Para determinar los viajeros del 2º vagón, hemos de saber los que lleva el primer vagón (lo sabemos) y añadir 13 (una condición del problema). Para determinar los viajeros del tercer vagón, hemos de saber los que llevan el primer vagón y el segundo (lo sabemos). OTROS EJEMPLOS: 1. Todos los días se gastan en una casa 3 litros de leche. Si un litro de leche vale 16 pesos, qué dinero le devuelven a mi madre en el supermercado si paga con 500 pesos la leche consumida en el mes de marzo? ESTRATEGIAS PREVIAS: Como todos los días se gastan en casa 3 litros de leche. Averiguar: Cuántos litros se gastan en el mes de Marzo? Si un litro cuesta 16 pesos, cuánto costará la leche consumida en marzo? Si mi madre pagó con 500 pesos, cuánto le tuvieron que devolver? 2. Juan tiene una hermana y un hermano; su hermana tiene 15 años y es 5 años más joven que su hermano. Qué edad tiene su hermano? ACCIONES A SEGUIR: De quién se habla en la historia? Cuál es su relación? Qué se nos dice de ellos? De quién conocemos la edad? Quién es más joven? Qué nos preguntan? Página 8 www.kukukamath.com 2010