Interés Simple UNIDAD 1: PARTE 2 OPERACIONES DE DESCUENTO OBJETIVO Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de calcular operaciones de descuento. CONTENIDO 1. Operaciones de descuento
1. Interés anticipado y descuento comercial En algunas transacciones financieras es normal que el pago del interés se haga de manera anticipada; es decir, que se causan los intereses al principio de los periodos acordados en la operación; en este caso, se aplica la tasa de interés anticipada; la cual se representa con el símbolo (ia). Por su parte, en las operaciones comerciales es corriente el descuento de pagos futuros respaldados en títulos valores; también conceder descuentos bajo ciertas condiciones comerciales para motivar el pago cumplido, anticipado, o la compra de la mercancía. En estos casos el descuento se calcula utilizando la tasa de descuento, que se representa con la letra d. En la unidad de aprendizaje siguiente se tratara en detalle el interés anticipado, especialmente se tratará la equivalencia con el interés vencido. 1.1 Operaciones de Descuento El descuento de pagos futuros respaldados en títulos valores es común en el ámbito comercial. La operación consiste en volver líquido ante un tercero, usualmente una entidad financiera, un titulo valor que respalda un pago futuro. El descuento (D) se calcula sobre el valor final o valor nominal de la operación, aplicando la tasa de descuento (d) acordada en la operación y considerando el tiempo faltante para causar el pago; el valor líquido (Vt), valor de la transacción, se calcula como el valor nominal menos el descuento. Teniendo en cuenta lo anterior el descuento se realiza como: Donde: D = Vf d n (6) D: Descuento Vf: valor nominal de la transacción d: tasa de descuento n: número de periodos 24
Por su parte el Valor Líquido (Vt) o valor de la transacción se calcula como el valor nominal menos el descuento: Vt = Vf D Vt = Vf (Vf d n) Vt = Vf (1 d n) (7) Los símbolos tienen el mismo significado que en las formulas (6) Ejemplo 12 El 22 de abril del 2010 una pequeño comerciante compra mercancías por un valor de $8 000.000 para surtir su almacén; este realiza el pago a la fabrica a través de una letra de cambio por valor nominal de $8 000.000 con vencimiento el 22 de julio. El 20 de junio la fábrica por problemas de liquidez ofrece en venta la letra al banco Medellín, el cual aplica un descuento del 27%. Cuánto recibirá el fabricante en esta transacción? Solución La transacción financiera se ilustra con el siguiente flujo de caja. V f = 8 000.000 22/04/10 Vt =? d= 27% 22/07 25/06 o El valor final es: Vf = 8 000.000 o El periodo en que se causa el descuento esta entre el 25/06 y 22/07, es decir: 27 días. o Tasa de descuento: d = 27% anual o Aplicando interés bancario. Con las anteriores consideraciones, el Valor Liquido se calcula utilizando la formula (7), como: Vt = Vf (1 d n) 25
Vt = 8 000.000 (1 0,36 27 360 ) = 7 784.000 La fabrica recibirá el 25 de junio un valor de $7 784.000 Ejemplo 13 Cuál deberá ser el valor nominal de una letra de cambio que un comerciante descuenta en el Banco Medellín, cincuenta días antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 25% anual, si el comerciante recibe un valor de $125 450.000? Solución La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación: n= 50 días Vt = 125 450.000 d= 25% V f =? o El valor liquido es: Vt = 125 450.000 o El tiempo en que se causa el descuento es: 50 días. o Tasa de descuento: d = 25% anual o Aplicando interés bancario. Con las anteriores consideraciones, el Valor Nominal se calcula despejando de la formula (7), Vf, así como se muestra a continuación: Vf = Vt (1 d n) Vf = 125 450.000 (1 0,25 50 360 ) = 129 962.589,9 El valor nominal de la letra de cambio deberá ser de $129 962.589,9 26
1.2 Tasa de interés real en una operación de descuento La tasa de descuento se aplica al valor final de la operación, a diferencia del interés simple que se aplica al valor inicial; en consecuencia, es lógico, que para un mismo valor el interés hallado sea diferente; para calcular la tasa de interés real que se cobra en una operación de descuento se debe aplicar la formula de interés simple (4), al resultado final de la operación de descuento. El cálculo de la tasa de interés real en una operación de descuento se ilustra a través del siguiente ejemplo: Ejemplo 14 Si el Banco Medellín descuenta una letra de cambio de $6 000.000, 75 días antes del vencimiento al 26%. Cuál es la tasa de interés simple real que se cobra por esta operación? Solución Primero, en la operación de descuento, se calcula el valor líquido. La situación se ilustra gráficamente como se muestra a continuación: Vt =? n= 75 días V f = 6 000.000 d= 26% o El valor nominal es: Vf = 6 000.000 o El tiempo en que se causa el descuento es: 75 días. o Tasa de descuento: d = 26% anual o Aplicando interés bancario. Con las anteriores consideraciones, el Valor liquido se calcula aplicando la formula (7), como se muestra a continuación: Vt = Vf (1 d n) Vt = 6 000.000 (1 0,26 75 360 ) = 5 675.000 27
Así, la situación de la operación financiera se muestra en la siguiente gráfica, a partir de esta se pide determinar la tasa de interés real de la operación Vt = 5 675.000 n= 75 días V f = 6 000.000 i=? Para hallar la tasa de interés real, aplicamos la formula (4) i = i = 6 000.000 5 675.000 1 75 360 Vf Vp 1 n = 0,2748 = 27,48% La tasa de interés anual real de la operación es: 27,48% 1.3 Descuentos en Cadena Como se explicó en las operaciones comerciales es común también ofrecer descuentos con el fin de motivar el pago y/o incentivar la compra de mercancías. Lo corriente es encontrar que los comerciantes ofrecen más de un descuento simultáneamente aplicables a una misma factura, a continuación se relacionan los más comunes: Descuento por volumen Descuento por pronto pago Descuento por embalaje Descuento por temporada Descuento por fidelidad La aplicación de varios descuentos sobre una misma factura recibe el nombre de descuentos en cadena. En la tabla No 1 Descuentos en cadena, se muestra la forma de calcula, el valor del descuento y el valor final de la factura, cuando se aplican varios descuentos de manera simultánea a una misma factura. 28
TABLA NO 1. DESCUENTOS EN CADENA Valor factura antes del descuento Tasa descuento Valor descuento (D) Valor factura después del descuento (Af) A d1 D1 = Ad1 A1 = A - Ad1 = A(1-d1) A(1-d1) d2 D2 = A(1-d1) d2 A2 = A(1-d1)-A(1-d1) d2 = A(1-d1)(1-d2) A(1-d1)(1-d2) d3 D3 = A(1-d1)(1-d2) d3 A3 = (A(1-d1)(1-d2)-A(1-d1)(1-d2)d3) = A(1-d1)(1-d2)(1-d3) A(1-d1)(1-d2) (1-dn-1) dn Dn = A(1-d1)(1-d2) (1-dn-1) dn An = A(1-d1)(1-d2)(1-d3) (1-dn) Donde: A: Valor inicial de la factura d n : Tasa de descuento n D n : Descuento total despues de n descuentos A n : Valor de la factura final despues de n descuentos Resumiendo, de la tabla se puede establecer que el descuento total se calcula como: D = A[1 (1 d 1 )(1 d 2 ) (1 d n 1 )(1 d n )] (8) El valor de la factura final, se calcula como: A f = A(1 d 1 )(1 d 2 ) (1 d n ) (9) La tasa de descuento promedio se obtiene de dividir el valor final de la factura con el valor inicial de la misma: d = 1 (1 d 1 )(1 d 2 ) (1 d n ) (10) Ejemplo 15 Un comerciante quiere conocer la tasa de descuento promedio que se le otorga, el descuento total y el valor final de la factura si realiza compras de mercancía por 29
$120 350.000, a un fabricante que le concede los siguientes descuentos: por pronto pago: 15%; por compra al por mayor 20%; por fidelidad 3%; y por temporada: 5% Solución o El valor inicial de la factura es: A = 120 350.000 o Descuento por pronto pago: d 1 = 15% o Descuento por compra al por mayor: d 2 = 20% o Descuento por fidelidad: d 3 = 3% o Descuento por temporada: d 4 = 5% Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones el valor total del descuento se calcula con la formula (8): D = A[1 (1 d 1 )(1 d 2 ) (1 d n 1 )(1 d n )] D = 120 350.000[1 (1 0,15)(1 0,20)(1 0,03)(1 0,05)] = 44 969.283 El valor de la factura final, se calcula con la formula (9), como: A f = A(1 d 1 )(1 d 2 ) (1 d n ) A f = 120 350.000(1 0,15)(1 0,20)(1 0,03)(1 0,05) = 75 413.717 La tasa promedio de descuento, se calcula con la formula (10), como: d = 1 (1 d 1 )(1 d 2 ) (1 d n ) d = 1 (1 0,15)(1 0,20)(1 0,03)(1 0,05) = 0,3733 = 37,33% El comerciante obtendrá un descuento total de $44 969.283, el valor final de la factura será de $75 413.717 y la tasa promedio de descuento recibida es 37,33% 30