HOJA 3 DIVISIBILIDAD

Conceptos de múltiplo y divisor HOJA 3 DIVISIBILIDAD 1.- El número aba es múltiplo de 3 y de 5 cuánto valdrán entonces a y b si a,b son distintos de 0? 2.- El número aba es múltiplo de 5 y de 9 cuánto valdrán a y b si a,b son distintos de 0? 3.- Si 4n es múltiplo de 2 y 2n es múltiplo de 2, será su suma múltiplo de 2? Y su diferencia? 4.- Si un número a es divisible por otro b, lo es también por todos los divisores de b? Compruébalo para 180 y 30. 5.- Escribe un número de tres cifras (abc). Vuelve a escribirlo a continuación (abcabc). Divide el número resultante por 13, luego el cociente obtenido por 11. Finalmente, el nuevo cociente lo divides por 7. Por qué todas las divisiones son exactas? A qué se debe que el cociente final sea el que es? 6.- Probar que, dados dos números que no son múltiplos de tres, se puede afirmar que su suma o diferencia sí es múltiplo de 3. 7.- Demostrar o poner un contraejemplo para las siguientes afirmaciones: a) Si d es divisor de a + b, entonces d divide a a y d divide a b. b) Si d es divisor de a + b, entonces d divide a a o bien d divide a b. c) d es divisor de 0. d) Si a es divisor de b y b es divisor de a, entonces a = b. e) Si d es divisor de a 2, entonces d es divisor de a. 8.- Decir si son verdaderas ó falsas las siguientes afirmaciones: a) Si un número es divisible por 9, es divisible por 3. b) Si un número es divisible por 4, también lo es por 8. c) En un producto de varios factores, si duplico uno de estos, el producto se duplica. d) Al dividir un número por 15 da cociente 8 y resto 3, por tanto puedo añadirle 11 unidades al dividendo y no cambiará el cociente. Criterios de divisibilidad 9.- Deduce el criterio de divisibilidad por 4 y por 8. 10.- Un número de tres cifras y las tres iguales puede ser múltiplo de 11? 11.- El número 247.742 es capicúa. Es divisible por 11? Todos los números capicúas son divisibles entre 11? 29

12.- Consideramos el número 528. Se separan tantos grupos de dos cifras como se pueda empezando por la derecha, lo que da lugar a dos grupos (5 y 28). Se suman (5 + 28 = 33). Como el resultado de la suma es divisible entre 11, el número 528 también lo es. Es cierto el procedimiento en general? Por qué? 13.- Dado el número 76776B5. Cuánto debe valer B para que sea divisible por 9? Y por 11? 14.- Cuál es el valor de la cifra a en el número 15a2 para que dicho número sea simultáneamente múltiplo de 2 y de 3? Y en el número 23a? Y en el 450a? 15.- Determinar a y b para que el número aba sea divisible por 3 y por 11 simultáneamente. 16.- Dado un número 1abc; encuentra todos los posibles valores de: a, de b y de c para que sea divisible por 55. 17.- Hallar a para que el número 2345a78 sea múltiplo de 11. 18.- Encuentra, de forma razonada, qué valores puede tomar la cifra a, para que el número 20a3a, sea múltiplo de 3. Conjunto de divisores 19.- Cuántos divisores tienen los números 36, 50, 100, 360, 540? Qué números de los anteriores será divisible por otro observando sólo su descomposición en números primos? 20.- De cuántas maneras se pueden colocar 24 árboles en rectángulos de varias filas? Y 30 árboles? y 42 árboles? 21.- Dos números son amigos si la suma de los divisores de cada uno, excluyendo el propio número, nos da el otro. Comprobar que la pareja (220, 284) son amigos. 22.- Un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores excluyendo al propio número. Comprobar que los números 6, 28 y 496 son perfectos. 23.- Para averiguar si 499 es primo hemos hecho una serie de divisiones y al dividir por 23 hemos encontrado de cociente 21 y 16 de resto. Debemos seguir dividiendo? Es primo 499? 30

Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo 24.- Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. 25.- Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? 26.- Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de resto 9? 27.- En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. 28.- El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas. 29.- Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. 30.- Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? Y cuántas baldosas se necesitan? 31.- Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16, 20 y 25 sin que sobre ni falte ninguno. Cuántos soldados son? 32.- Simplificar la fracción 240/288. 33.- Dos reglas divididas en partes iguales están yuxtapuestas y tienen el primer trazo común. Cada división de la primera regla vale 18 mm y las de la segunda regla, 42 mm. En qué trazos coincidirán las dos reglas, si su longitud es de 1,5 metros? 34.- Dos cometas se aproximan al Sol, uno cada 25 años y el otro cada 60 años. Habiéndose aproximado juntos en 1950, cuál es la fecha siguiente en que volverán a aproximarse juntos? 31

35.- Tienes un número de tres dígitos con la siguiente propiedad: Si le restas 7, el resultado es divisible entre 7; si restas 8, la diferencia es divisible entre 8 y si restas 9, el resultado es divisible entre 9. Cuál es el número? 36.- Hallar el mcd (720, 1080, 2160). 37.- Un pasillo de 860 cm de largo y 240 cm de ancho se ha embaldosado con baldosas cuadradas, de la mayor dimensión posible, para caber un número entero de veces en cada lado. a) Cuánto mide el lado de cada baldosa?; b) cuántas baldosas se emplearon? 38.- Halla el mayor número que divide a 247, 367 y 427, dejando en todos los casos 7 de resto. 39.- Las dimensiones de un paralelepípedo son 1,65 m, 2,1 m y 3 metros. Se hacen construir cajas cúbicas con las que puede llenarse completamente el paralelepípedo. Hallar la arista de estas cajas cúbicas. 40.- Calcula el lado del menor cuadrado que se puede descomponer exactamente en rectángulos iguales cuyas dimensiones son 61,5 cm y 36 cm. 41.- Al contar las canicas de 4 en 4, de 5 en 5 y de 6 en 6, unos niños se dan cuenta de que cada vez le sobran dos. Cuántas canicas son, sabiendo que es un número comprendido entre 100 y 150? 42.- Hallar el menor número que dividido por 5, 7 y 15 da siempre de resto 2. 43.- Las ruedas delanteras de una locomotora tienen 54 cm de diámetro y las ruedas traseras, 1,04 m. Las ruedas de los vagones del tren tienen 86 cm de diámetro. Al cabo de cuántas vueltas todas estas ruedas tomarán la misma posición? 44.- Cuál es el mayor número que divide a 2000, dando de resto 11, y que divide a 2708, dando de resto 17? 45.- Un motociclista tarda en recorrer una pista circular 1' 48" y otro 2'. Si los dos salen al mismo tiempo de la meta, a) cuándo volverán a coincidir en la misma?; b) cuántas vueltas habrán dado cada uno? 46.- Se desea construir una cuba tan pequeña como sea posible de manera que se pueda llenar con un número exacto de botellas de 0,64 litros, 1,50 l., 2 l. y 3,50 litros de capacidad. Cuál será la capacidad de la cuba? 47.- Calcular el mcd y el mcm de los números : 7677, 2559, 5971. 48.- Hallar todos los divisores comunes a 420 y 180. 32

49.- Calcular la arista de la menor caja cúbica, en la que se pueden colocar sin dejar huecos, cajas de zapatos todas iguales de dimensiones : 44, 22 y 12 cm. Cuántas cajas de zapatos caben en dicha caja cúbica.? 50.- En el contorno de una parcela con forma de cuadrilátero cuyos lados miden: 72, 96, 120 y 132 metros respectivamente, se han plantado árboles igualmente espaciados. Calcula el número de árboles plantados, sabiendo que hay uno en cada vértice y que la distancia entre cada dos consecutivos es la máxima posible. 51.- Calcula por el algoritmo de Euclides y por descomposición en factores el mcd de 728 y 304. 52.- Sabemos que un recipiente se puede llenar con un número entero de vasijas de 14 litros; también le caben un número entero si las vasijas son de 90 litros y lo mismo si son de 105 litros. Qué capacidad puede tener ese recipiente sabiendo que es menor de 2000 litros? 53.- Por una parada de autobuses pasan las líneas A, B y C. Los de la A pasan cada 15 minutos, los de la B cada 20 min. Y los de la C, cada 24 min. Si a las 10 de la mañana coincidieron en la parada un autobús de cada línea, a qué hora volverán a coincidir? 54.- Se quiere dividir un terreno rectangular de 384 m. de largo por 224 m. de ancho, en el menor número posible de parcelas cuadradas todas iguales. Cuántas parcelas salen? 55.- La recaudación de un día en un teatro fue de 3015 y otro día fue de 2948. Cuánto vale cada entrada, si todas tienen el mismo precio, siendo éste un número exacto de euros? 56.- Un padre y su hijo, ambos marineros, salen un mismo día a la mar, en distintos barcos. El padre vuelve a casa cada 12 semanas y 6 días y el hijo cada 21 semanas y 3 días. Cada cuánto tiempo coinciden en casa? 57.- Con baldosas de 33 cm. de ancho por 42 cm. de largo, se quiere solar una habitación cuadrada de forma que no haya que partir ninguna de estas baldosas. Qué medidas puede tener el lado de dicha habitación, sabiendo que no llega a 10 m.? 58.- Hallar el menor número de seis cifras que sea a la vez divisible por 182 y 2156. 59.- Un libro tiene entre 200 y 300 páginas; si las contamos de dos en dos, sobra una; si lo hacemos de tres en tres, sobran dos; si de 5 en 5 sobran 4 y si de 7 en 7 sobran 6. Cuántas páginas tiene el libro? 33

60.- Dos cuerpos de ejército tienen 12028 y 12772 soldados, respectivamente. Cuál es el mayor número de soldados que puede tener un regimiento si cada cuerpo de ejército tiene que ser dividido en regimientos de igual tamaño? Cuántos regimientos componen cada ejército? 61.- Si agrupo los lápices que tengo de 2 en 2, me sobra 1; si lo hago de 3 en 3 también sobra 1 y si lo hago de 5 en 5 ocurre lo mismo. Si sé que tengo entre 30 y 40 lápices. Cuántos eran? 62.- Demostrar que si mcd (a,b) = D siendo D H = a, D T = b, entonces H y T no tienen divisores comunes distintos de la unidad (relación c onocida como ser primos entre sí). 63.- Halla dos números cuyo cociente es 26/34 y su mcd es 40. 64.- Calcular dos números a, b, tales que su suma es 144 y su mcd (a,b) = 12. 65.- Hallar dos números cuya suma es 176 y y mcd es 11. 66.- Calcular dos números a, b, tales que su suma sea 144 y su mcm (a,b) = 420. 67.- Halla dos números, sabiendo que su diferencia es 240 y su mcm es 1260. 34

HOJA 3 SOLUCIONES 1) Si aba es múltiplo de 5 terminará en 0 ó 5. Como a es distinto de 0, a = 5. Si el número 5b5 es múltiplo de 3, la suma de sus cifras (10 + b) debe ser múltiplo de 3. Eso sólo sucede para b = 2, b = 8 ya que b = 5 haría a las tres cifras iguales. El número por tanto es el 525 ó el 585. 2) Por el mismo motivo anterior, el número es el 5b5. Al ser múltiplo de 9 debe ser múltiplo de 3 también, lo que hace que las posibles solucione sean 525 ó 585, como antes. Una simple prueba descarta 525 quedando como única solución 585. Al ser múltiplo de 5 y 9 el número será múltiplo de 45. Basta probar con números múltiplos de este tipo superiores a 500 para encontrar la misma solución. 3) La suma es 4n + 2n = 6n, que puede expresarse como 6n = 2. (3n) observándose que cumple la condición para ser múltiplo de 2. La diferencia 4n - 2n = 2n y 2n - 4n = -2n lo es también por la misma razón. 4) Si a es divisible por b quiere decir que b es divisor de a. Por tanto, existirá un entero L tal que b L = a. Si d es divisor de b, quiere decir que existe un entero M tal que d M = b Sustituyendo se encuentra que (d M) L = a de donde d (M L) = a por lo que d resultará también divisor de a. En particular 30 divide a 180 y 5 divide a 30, de donde 5 divide también a 180. 5) 7. 11. 13 = 1001. Teniendo en cuenta que abcabc = abc. 1000 + abc = abc. 1001 = abc. 7. 11. 13 Es por ello que, al dividir por 13, resulta el número abc. 7. 11. Al dividir por 11 resulta el número abc.7 y, finalmente, al dividir por 7, da de nuevo el número abc. 6) Los múltiplos de 3 son de la forma 3n, siendo n un número entero. El siguiente número será 3n+1 seguido por 3n+2. El que viene a continuación es 3n+3 = 3 (n+1) que es nuevamente múltiplo de 3. Por tanto, si dos números no son múltiplos de 3 pueden obtenerse las siguientes combinaciones: a) 3n+1, 3m+1 b) 3n+1, 3m+2 c) 3n+2, 3m+2 Examinemos cada uno. a) (3n+1) - (3m+1) = 3n - 3m = 3 (n-m) es múltiplo de 3. b) (3n+1) + (3m+2) = 3n + 3m + 3 = 3 (n+m+1) es múltiplo de 3. c) (3n+2) - (3m+2) = 3n - 3m = 3 (n-m) Es múltiplo de 3 7) a) d divisor de a + b significa que existe un entero L, tal que d L = a + b. Pero de aquí no se deduce que d divida a y divida b a la vez. Por ejemplo, 3 es divisor de 6 pero 6 = 2 + 4 de donde 3 es divisor de 2 + 4 pero no divide a ninguno de ellos. b) Como hemos visto en el contraejemplo anterior, d puede no ser divisor ni de a ni de b. c) d es divisor de cero porque existe un entero, en particular el 0, tal que d. 0 = 0 35

d) a divisor de b significa que existe un entero L tal que a L = b b divisor de a significa que existe un entero M tal que b M = a Sustituyendo, (a L) M = a ; a (L M) = a ; L M = 1 La única posibilidad de que el producto de dos enteros sea la unidad es que L = M = 1 de donde a = b e) d divisor de a 2 quiere decir que existe un entero L tal que d L = a 2 = a a. De aquí se deduce que d ó L tiene que ser un factor que aparezca en la descomposición de a a y, por tanto, de a. Puede ser entonces que L divida a mientras que d sólo sea divisor de a 2 pero no de a. Con esta guía se puede encontrar un contraejemplo como el siguiente: 8. 2 = 4 2 = 16 Para d = 8, 8 divide a 4 2 pero, sin embargo, no es divisor de 4. 8) a) Si a es divisible por 9 existirá un L tal que 9 L = a 3. (3 L) = a de donde a será divisible entre 3. b) No es cierto puesto que 4 ó -4, por ejemplo, son divisibles entre 4 pero no entre 8. c) Sea un producto a.b.c Al duplicar cualquiera de ellos, como el primero, resulta (2 a) b c = 2 (a.b.c) y el número queda duplicado. d) Es D = 15. 8 + 3 = 123 Si se considera D + 11 será D + 11 = 15.8 + 14 Como el nuevo resto no llega al divisor (15) el cociente permanece igual (8) y el resto cambia (14). 9) N = d. 1000 + c. 100 + b. 10 + a N = d. 250. 4 + c. 25. 4 + b. (2. 4 + 2) + a = = 4. (d. 250 + c. 25 + b. 2) + 2b + a de donde N será divisible entre 4 cuando lo sea 2 b + a N = d. 125. 8 + c. (12. 8 + 4) + b. (8 + 2) + a = 8. (d 125 + c 12 + b) + (4c + 2b + a) por lo que N será divisible entre 8 cuando lo sea 4c + 2 b + a. 10) aaa para que sea divisible entre 11 tiene que cumplir que 2 a - a = a sea 0 o múltiplo de 11. No puede ser cero porque el número no tendría tres cifras en ese caso y múltiplo de 11 tampoco porque a es un solo dígito. 11) 247.742 es divisible entre 11 porque (4 + 7 + 2) - (4 + 7 + 2) = 0. Sin embargo, no sucede lo mismo con todos los números capicúas, en particular los que tienen un número impar de cifras. Por ejemplo 24742 no es divisible entre 11 porque (2 + 7 + 2) - (4 + 4) = 3 12) Sea el número abcde que es separable en grupos de a/bc/de. Si se suman los tres grupos formados se obtiene a + bc + de en la cifra de las unidades (a+c+e) y en la de las decenas (b + d). Esta suma será divisible entre 11 cuando (a+c+e) - (b+d) sea cero o múltiplo de 11, justamente la condición para que sea divisible entre 11 el número original. En caso de que (a+c+e) superase la decena, el resultado sería (a+c+e-10) - (b+d+1) = (a+c+e) - (b+d) - 11 sin variación en el razonamiento anterior. 13) La suma de las cifras del número 76776B5 es 38 + B. Como debe ser divisible entre 9 también lo será entre 3, de manera que B podrá valer 1, 4, 7. Pero como un número divisible entre 3 no tiene que serlo forzosamente entre 9, 36

comprobamos las tres posibilidades quedando solo como divisible entre 9 el número 7677675. Para que sea divisible entre 11, (7+7+6+5) (6+7+B) = 12-B debe ser 0 o múltiplo de 11. Lo primero no puede ser puesto que B tiene una sola cifra, y lo segundo resultará cuando B=1, es decir, con el número 7677615. 14) El número 1 5 a 2 es divisible entre 2 por terminar en cifra par, de manera que la única condición a imponer es que sea divisible entre 3, o sea, 1+5+a+2 = 8 + a sea divisible entre 3, hecho que sucederá cuando a = 1, 4, 7. Las soluciones serán 1512, 1542, 1572. 2 3 a supone que a es una cifra par y que 2+3+a = 5+a sea múltiplo de 3, lo que se daría en los casos 231, 234, 237 siendo el 231 el único caso divisible entre 2. En el caso de 4 5 0 a sería divisible entre 3 cuando 4+5+a lo sea, es decir 9+a. Eso solo sucede para 4500, 4503, 4506, 4509 de donde serían divisibles entre 2: 4500, 4506. 15) Si es múltiplo de 11, caben dos posibilidades: 2 a b = 0 2 a b = 11 No es válido 2 a b = 22 Si 2 a b = 0 2 a = b Entonces aba múltiplo de 3 significaría 2 a + b = 2 b sería múltiplo de 3 cuando adoptase los valores b = 3, 6, 9. Pero como b = 2 a eso sólo es posible para b = 6, a = 3 con el número 363. Si 2 a b = 11 2 a = b + 11 y las posibilidades de a,b con una cifra serían: 6, 1 ; 7, 3 ; 8, 5 ; 9, 7 que se reducirían a una sola: a = 8, b = 5 considerando que el número aba (858) debe ser múltiplo de 3. 16) Como debe ser divisible entre 11, b + 1 a c = 0 o bien b + 1 a c = 11. Esto último es imposible porque b es como máximo 9 y esa operación no puede resultar en 11. Por tanto, b + 1 = a + c. Como es divisible entre 5, c = 0 o bien c = 5, que daría respectivamente, b + 1 = a, b = a + 4 dando lugar a los números 1 b+1 b 0, 1 a a+4 5 Como el número mayor posible es 1995 y el menor 1000, eso supondría multiplicar 55 por números comprendidos entre 19 y 36. Las posibles soluciones que cumpliesen las condiciones anteriores serían: 55 x 19 = 1045, 55 x 20 = 1100, 55 x 21 = 1155, 55 x 22 = 1210, hasta 55 x 36 = 1980. 17) Será (2+4+a+8) (3+5+7) = 14 + a 15 = a 1 igual a cero o múltiplo de 11, pero esto sólo es posible cuando a = 1 para el número 2345178. 18) Si 2 0 a 3 a es múltiplo de 3, 5 + 2 a será múltiplo de 3, lo cual será cierto cuando a sea la cifra 2, 5 u 8. 19) 36 = 2 2 3 2 Divisores: (2+1)(2+1) = 9 50 = 2 5 2 Divisores: (1+1)(2+1) = 6 100 = 2 2 5 2 Divisores: (2+1)(2+1) = 9 360 = 2 3 3 2 5 Divisores: 24 540 = 2 2 3 3 5 Divisores: 24 37

36, por ejemplo, es divisor de 540 por cuanto todos los factores del primero están en el segundo con un exponente menor o igual. Así 540 = 2 2 3 3 5 = (2 2 3 2 ) 3.5 = 36. 3. 5 20) 24 = 2 3. 3 de forma que para obtener un rectángulo cuyo producto de dimensiones nos dé 24 tendremos que tomar el largo y ancho como factores de esta descomposición. Algunos casos serían 24 = 2.(2 2 3) = 2.12 24 = 2 2 (2.3) = 4.6 de manera que habrá tantas descomposiciones en dos factores como divisores podamos colocar como una de las dimensiones, en total, (3+1)(1+1) = 8 De igual modo, 30 = 2.3.5 daría lugar a 8 y 42 = 2.3.7 a otros ocho divisores. 21) 220 = 2 2 5 11 por lo que sus divisores serán (1, 2, 4, 5, 10, 20, 11, 22, 44, 55, 110, 220) por lo que excluyendo al 220, 1+2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 284 = 2 2 71 por lo que los divisores son (1, 2, 4, 71, 142, 284) de manera que excluyendo al último sale 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. 22) 6 = 2.3 de forma que la suma de sus divisores será 1 + 2 + 3 = 6 28 = 2 2. 7 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 496 = 2 4. 31 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 23) 499 = 23. 21 + 16 Si d es divisor de 499, debe ser divisor a la vez de 23. 21 y de 16. Dado que 21 y 23 son primos, no admiten un divisor distinto de ellos mismos. Ni 21 ni 23 son divisores de 16 y, por tanto, no hay ningún divisor común a los dos sumandos. Por tanto, 499 es primo. 24) Coincidirán en un tiempo múltiplo común de 12, 18 y 60 segundos. Como mcm (12,18,60) = 180 segundos = 3 min de manera que, si coinciden a las 6.30, también lo harán a las 6.33. 25) Volverán a estar en Barcelona un múltiplo común de 18 y 24 días, mcm (18,24) = 72, de manera que estarán juntos dentro de 72 días. 26) Descontando 9, ese número es divisible a la vez por 15, 20, 36 y 48, luego debe ser un múltiplo común de todos ellos, o sea, mcm (15, 20, 36, 48) = 720 de manera que añadiendo el resto, el número 729 cumple lo pedido. 27) Esas garrafas deben tener una capacidad x que sea divisor a la vez de la capacidad de cada tonel, y para no multiplicar el número de garrafas esa x debe ser máxima, luego mcd (250, 360, 540) = 10 litros, de manera que serán necesarios 25, 36 y 54 garrafas para cada tonel. 28) 5 y 3 no tienen más divisor común que el 1 de manera que las baldosas tendrán que ser de 1 m de lado y harían falta 5 x 3 = 15 baldosas. 29) El número igual de manzanas y naranjas, habrá de ser un divisor del total de estas frutas, y el mayor posible, de manera que mcd (12.028, 12.772) = 124 38

como se puede hallar con el algoritmo de Euclides, de manera que en cada caja habría 124 manzanas y otras tantas naranjas. De ese modo, 12.772 : 124 = 103 cajas. 30) Traduciendo a decímetros, mcd (80, 64) = 16 dm de manera que harían falta 80:16 = 5 de largo y 64:16 = 4 de ancho, en total 5 x 4 = 20 baldosas. 31) El número buscado ha de ser múltiplo de 16, 20, 25 e inferior a 500, por lo que se halla el mínimo común múltiplo de estos números. 16 = 2 4 20 = 2 2. 5 25 = 5 2 mcm (16, 20, 25) = 2 4. 5 2 = 400 El siguiente múltiplo común sería 800 y no sería válido 32) Para simplificar 240/288 se halla el denominador común máximo de ambos números mediante el algoritmo de Euclides: mcd (240, 288) = mcd (240, 48) = mcd (192, 48) = = mcd (144, 48) = mcd (96, 48) = mcd (48, 48) De donde el mcd (240, 288) = 48 Así, 240/288 = 5. 48 / 6. 48 = 5/6 33) Coincidirán por primera vez en el múltiplo común de 18 y 42 más pequeño, repitiéndose la coincidencia en múltiplos de este nuevo número. 18 = 2. 3 2 42 = 2. 3. 7 mcm (18, 42) = 2. 3 2. 7 = 126 mm = 12,6 cm Coincidirán en 12,6 / 25,2 / 37,8 / 50,4 / 63 / 75,6 / 88,2... 34) Se volverán a aproximar al Sol en un múltiplo común de 25 y 60. 25 = 5 2 60 = 2 2. 3. 5 mcm (25, 60) = 2 2. 3. 5 2 = 300 Es decir, se vuelven a reunir en 1950 + 300 = 2250 35) Sea un número a > 100. a - 7 es divisible entre 7, a - 8 es divisible entre 8 y a - 9 es divisible entre 9. Entonces a - 7 = 7 L a = 7 L + 7 = 7 (L + 1) a es divisible entre 7 a - 8 = 8 M a = 8 M + 8 = 8 (M + 1) a es divisible entre 8 a - 9 = 7 R a = 9 R + 9 = 9 (R + 1) a es divisible entre 9 mcm (7, 8, 9) = 504 Que resulta ser el número buscado. 36) 720 = 2 4. 3 2. 5 1080 = 2 3. 3 3. 5 2160 = 2 4. 3 3. 5 mcd (720, 1080, 2160) = 2 3. 3 2. 5 = 360 Más rápida sería la aplicación del algoritmo de Euclides: mcd (720, 1080) = mcd (720, 360) = mcd (360, 0) = 360 Que sería también el de 2160 por ser el doble de 1080. 37) El lado cuadrado de la baldosa debe ser una longitud que quepa un número exacto de veces en 860 y 240, es decir, su lado L debe ser divisor de ambos números y el mayor posible para utilizar el menor número de baldosas que se pueda. mcd (860, 240) = mcd (240, 140) = mcd (140, 100) = mcd (100, 40) = mcd (40, 20) = mcd (20, 0) = 20 cm 39

860 : 20 = 43 240 : 20 = 12 Se han empleado 43 x 12 = 516 baldosas 38) Si ese número M deja de resto 7 quiere decir que 247 = M. C + 7 de donde M. C = 240 y lo mismo M. C = 360 M. C = 420, luego M es divisor de 240, 360, 420. Siendo el mayor, mcd (240, 360, 420) = 60 que resulta ser el número buscado 39) Para que quepa en el paralelepípedo un número exacto de cajas, cada dimensión de una caja debe dividir a la dimensión correspondiente del paralelepípedo. De forma que lo que se busca es un divisor común de las siguientes dimensiones enteras en centímetros: 165, 210, 300: mcd (165, 210, 300) = 15 cm. 40) Si el cuadrado se puede descomponer en rectángulos es porque las dimensiones de esos rectángulos (615, 360 mm) caben exactamente en los lados de ese cuadrado y, por tanto, ese lado resulta ser múltiplo común de estas dimensiones: mcm (615, 360) = 14760 mm = 14,76 m. 41) Si el número de canicas es H y, agrupándolas de cuatro en cuatro sobran 2, será porque H = 4 C + 2. Del mismo modo, H = 5 C + 2, H = 6 C + 2 de donde resultará que ese número H cumple: H - 2 = 4 C = 5 C = 6 C. Es decir, H-2 será múltiplo a la vez de 4, 5 y 6. Entonces, H - 2 = mcm (4, 5, 6) = 60 por lo que H = 62 canicas. Sin embargo, como el número final debe estar comprendido entre 100 y 150, habrá que elegir, en vez de 60, el siguiente múltiplo común, 120 de manera que finalmente quedara 122 canicas. 42) De forma similar, H - 2 = mcm (5, 7, 15) = 105 de donde H = 105 + 2 = 107 43) Para que tomen la misma posición de partida, el camino recorrido por la circunferencia de cada rueda debe ser un número entero múltiplo común de dichas circunferencias. Por ello, se halla mcm (54 π, 104 π, 86 π) = π mcm (54, 104, 86) = 120744 π El cálculo del número de vueltas se hallará dividiendo esta distancia recorrida por la longitud de cada circunferencia: 120744 π/54 π = 2236 v., así como 1161 v y 1404 vueltas. 44) Ese número M cumplirá: 2000 = M. C + 11 y 2708 =M. C + 17 de donde 1989 = M. C y 2691 = M. C luego M = mcd (1989, 2691) = 117 45) Coincidirán de nuevo cuando el tiempo empleado en total sea múltiplo común del que emplean en dar una vuelta cada uno, es decir, en segundos 108 y 120. mcm (108, 120) = 1080 sg = 18 minutos Las vueltas dadas serán: 1080/108 = 10 vueltas y 1080/120 = 9 vueltas 40

46) La capacidad de la cuba ha de ser múltiplo a la vez de 64, 150, 200 y 350 cl. De manera que se halla mcm (64, 150, 200, 350) = 33600 cl = 336 litros 47) Aplicando el algoritmo de Euclides se encuentra que el mcd (7677, 2559) = 2559 porque 7677 = 3. 2559. A continuación hallamos el mcd (5971, 225) = 853. 48) Como 180 = 2 2. 3 2. 5 tendrá 3.3.2 = 18 divisores que serían {1,2,4,3,6,12,9,18,36} y {5,10,20,15,30,60,45,90,180} mientras que 420 = 2 2. 3.5.7 tendrá 3.2.2.2 = 24 divisores que son {1,2,4,3,6,9,12}. Considerando el 5 habría que añadir {5,10,20,15,30,45,60} que son los que tendría en común con 180 puesto que el factor 7 no aparece en este último. Así, los divisores podrían obtenerse directamente del mcd (180, 240) = 2 2. 3.5 = 60. 49) Esa arista debe ser múltiplo común de las dimensiones y, siendo la menor caja posible, habría que hallar mcm (44, 22, 12) = mcm (44,12) puesto que 44 es múltiplo ya de 22. Como 44 = 2 2. 11, 12 = 2 2. 3 el número buscado es 2 2.3.11 = 132 cm. 50) Habría que buscar el espacio común entre árboles, una distancia que ha de dividir a las longitudes de cada lado. Es decir, mcd (72,96,120,132) = 12 puesto que 72 = 2 3.3 2, 96 = 2 5.3, 120 = 2 3.3.5, 132 = 2 2.3.11. Así, habría 6 árboles (72:12) en el lado más corto, 7 en el siguiente (96:12=8 menos el de la esquina anterior), 9 en el siguiente (120:12=10 menos uno de nuevo), 9 en el último (132:12=11 menos los dos de las esquinas), de manera que en total habrá 6+7+9+9 = 31 árboles. 51) Por el algoritmo de Euclides: mcd (728, 304) = 8 tras hacer cinco divisiones. Como 304 = 2 4.19 y 728 = 2 3.91 se confirma que mcd (728,304) = 2 3 = 8. 52) Si cabe un número entero de vasijas de 14, 90 y 105 litros es que la capacidad del recipiente es múltiplo común de estas cantidades: mcm (14,90,105) = 2.3 2.5.7 = 630 litros. De manera que la capacidad es menor que dos mil litros, podrá ser: 630, 1260,1890 litros. 53) Coincidirán en un tiempo que sea múltiplo común de 15, 20 y 24, o sea, mcm (15,20,24) = 120 minutos, es decir, si coincidieron a las 10 lo volverán a hacer a las 12 horas. 54) La dimensión de la parcela pequeña habrá de ser divisor a la vez de 384 m y 224 m: mcd (384,224) = 32 metros. El largo quedará dividido en 12 por las parcelas, y el ancho en 7, de manera que habrá 12. 7 = 84 parcelas pequeñas. 55) El valor de la entrada habrá de ser un divisor de las cantidades cobradas cada día: mcd (3015,2948) = 67 euros. 56) 12 semanas 6 días = 90 días, 21 semanas 3 días = 150 días, de manera que coincidirán en un múltiplo común de esos días fuera: mcm (90,150) = 450 días. 57) La dimensión de la habitación cuadrada habrá de ser un múltiplo común de 33 y 42 cm: mcm (33,42) = 462 cm = 4,62 m. 58) Si es divisible por 182 y 2156 es que es múltiplo de ambos. Podemos calcular el mcm a 41

través del mcd (182,2156) = 14, de manera que mcm (182,2156) = 182 x 2156 / 14 = 28028, que es la solución. 59) Sea H el número de páginas de ese libro. Se cumplirán las condiciones: H-1 = 2P, H-2 = 3S, H-4 = 5R, H-6 = 7T de manera que, añadiendo a cada igualdad la cantidad oportuna, será H+1 = 2P+2, H+1 = 3S+3, H+1 = 5R+5, H+1 = 7T+7, de modo que H+1 será un múltiplo común de 2,3,5,7, es decir, H+1 = mcm (2,3,5,7) = 210 y así H = 209 páginas. 60) El número de soldados de un regimiento será divisor común de ambos cuerpos: mcd (12028,12772) = 124 soldados, de manera que habrá 97 y 103 regimientos. 61) Si L es el número de lápices, L-1 = 2P, L-1 = 3S, L-1 = 5R, de manera que L-1 es múltiplo común de los tres números: L-1 = mcm (2,3,5) = 30 así que L = 31 lápices. 62) Siendo mcd (a,b) = D, resulta entonces que DH = a, DT = b. Queremos demostrar que H y T no tienen divisores en común distintos de la unidad. Por el contrario, vamos a suponer que sí tienen un divisor común distinto de la unidad, d. Al ser divisor de ellos resultará que existen los enteros K, L tales que d K = H, d L = T. Sustituyendo, D d K = a, D d L = b, con lo que resultaría que (D d) es un divisor común de a, b y además resulta ser ma que el máximo común divisor D. Este resultado absurdo proviene de haber tomado una hipótesis errónea, es decir, que existiera un divisor común d de H y T, distinto de la unidad. 63) Sean los números a, b tales que a/b = 26/34 de forma que mcd (a,b) = 40. Debido a esta última condición, existirán dos enteros L, R tales que 40 L = a, 40 R = b siendo L, R primos entre sí. Sustituyendo en la fracción dada por la primera condición, 40 L / 40 R = 26/34 de donde L/R = 13/17 es decir, 17 L = 13 R, o bien L = 13 R / 17 de forma que, para que L sea entero, R tiene que ser múltiplo de 17. Surgen así varias posibilidades: R 17 34 51... L 13 26 39... Por la propia formación de las parejas de números se observa que 34, 26 se obtiene multiplicando por 2 los valores de la pareja inicial 17, 13 mostrando así un divisor común (el 2) distinto de la unidad, por lo que no son primos entre sí. En consecuencia, R = 17, L = 13 es la única solución y, correspondientemente, a = 520, b = 680. 64) Si el mcd (a,b) = 12 entonces existirán dos enteros L, R tales que 12 L = a, 12 R = b siendo L, R primos entre sí. Como la suma es 144, se sustituye a + b = 144 12 L + 12 R = 12 (L + R) = 144 L + R = 144/12 = 12 Las posibles parejas de valores que pueden tomar L y R son: L 1 2 3 4 5 6 R 11 10 9 8 7 6 de las cuales sólo dan primos entre sí dos de ellas, 1, 11 y 5, 7 que corresponden a valores de a, b siguientes: 12, 132 y 60, 84 respectivamente. 65) Si el mcd (a,b) = 11 entonces existirán dos enteros L, R tales que 11 L = a, 11 R = b siendo L, R primos entre sí. Como la suma es 176, se sustituye a + b = 176 11 L + 11 R = 11 (L + R) = 176 L + R = 176/11 = 16 Las posibles parejas de valores que pueden tomar L y R son: L 1 2 3 4 5 6 7 8

R 15 14 13 12 11 10 9 8 de las cuales sólo dan primos entre sí cuatro de ellas, (1,15), (3,13), (5,11) y (7,9) que corresponden a valores de a, b siguientes: (11,165), (33,143), (55,121), y (77,99) respectivamente. 66) Si el mcm (a,b) = 420 entonces existirán dos enteros L, R tales que a L = 420, b R = 420, es decir, a = 420/L, b = 420/R. Como la suma es 144, se sustituye 420/L + 420/R = 144 1/L + 1/R = 144/420 L + R / L R = 144/420 Pero L y R son los números enteros más pequeños que cumplen las condiciones antedichas por lo que L + R / L R = 144/420 = 12/35 de donde L + R = 12 L R = 35 que llevan a la solución L = 7 R = 5. Consecuentemente, a = 60, b = 84. 67) Si el mcm (a,b) = 1260 entonces existirán dos enteros L, R tales que a L = 1260, b R = 1260, es decir, a = 1260/L, b = 1260/R. Como la diferencia es 240, se sustituye 1260/L - 1260/R = 240 1/L - 1/R = 240/1260 L - R / L R = 240/1260 Pero L y R son los números enteros más pequeños que cumplen las condiciones antedichas por lo que L - R / L R = 240/1260 = 4/21 de donde L - R = 4 L R = 21 que llevan a la solución L = 7 R = 3. Consecuentemente, a = 180, b = 420. 43