PRODUCTO NOTABLE Producto Notable Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir: Un trinomio de la forma: a + ab + b, se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es: En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo. Ejemplo (x 3) = (x) (x)(3) + (3) (x + 3) = (x) + (x)(3) + (3) Simplificando: Simplificando: (x 3) = 4x 1x + 9 (x + 3) = 4x + 1x + 9 ACTIVIDAD Resolver los siguientes Productos Notables: 1. (x + 4). (4x -3) 3. (x + y) 4. (5x + y) 5. ( + 6x) 6. (7x v4) 7. (m + 3n) 8. (8f 3d) 9. (x 3 +3y ) 10. (3y 4 x 5 )
Cuadrinomio cubo perfecto (Recuerdo: Cubo de un Binomio ) Binomio al cubo 1. (a ± b) 3 = a 3 ± 3(a.b) + 3( a.b )± b 3 (x + 3) 3 = x 3 + 3 x 3 + 3 x 3 + 3 3 = a. = x 3 + 9x + 7x + 7 (x 3) 3 = (x) 3 3 (x) 3 + 3 x 3 3 3 = = 8x 3 36x + 54x 7 ACTIVIDAD Factorizar el Cuatrinomio cubo perfecto 1. (x + 5) 3. (y -4) 3 3. (x + ) 3 4. (y -5) 3 5. (3x + y) 3 6. (y -3y) 3 7. (x + 1) 3 8. (y -1) 3 9. (4x + y) 3 10. (3y 3-4y) 3 11. (7x + y 3 ) 3 1. (5y 6-4x 4 ) 3
13. (6x + 4y) 3 14. (m -n) 3 15. (z+ n) 3 16. (t -4x 4 ) 3 17. (nx + 5) 3 18. (yx -4) 3 19. (xy + 5n 3 ) 3 0. (y x 3-4x 4 ) 3 DIFERENCIA DE CUBOS: a 3 b 3 = (a b) (a + ab + b ) Ejemplo: 8 x 3 = 0 3 x 3 = ( x) (4 + x + x ) SUMA DE CUBOS: a 3 + b 3 = (a + b) (a ab + b ) Ejemplo: 7a 3 + 1 =0 (3a) 3 + 1 3 = (3a + 1) (9a 3a + 1) 1. 3 a 8. a 1 1 3 6 3. m 15 3 4. z 7 3 3 5. 15x 64w
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales. Binomios 1. Diferencia de cuadrados. Suma o diferencia de cubos 3. Suma o diferencia de potencias impares iguales Trinomios 1. Trinomio cuadrado perfecto. Trinomio de la forma x²+bx+c 3. Trinomio de la forma ax²+bx+c Factor común Procedimiento: Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible) Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común. Ejemplos: Actividad Halla el factor común de los siguientes ejercicios: 1. 6x - 1 =. 4x - 8y = 3. 4a - 1ab = 4. 10x - 15x = 5. 14m n + 7mn = 6. 4m -0 am = 7. 8a 3-6a = 8. ax + bx + cx = 9. b 4 -b 3 = 10. 4a 3 bx - 4bx = 11. 14a - 1b + 35 = 1. 3ab + 6ac - 9ad = 13. 0x - 1xy + 4xz = 14. 6x 4-30x 3 + x =
15. 10x y - 15xy + 5xy = 16. 1m n + 4m 3 n - 36m 4 n 3 = 17. x + 6x + 8x 3-1x 4 = 18. 10p q 3 + 14p 3 q - 18p 4 q 3-16p 5 q 4 = 19. m 3 n p 4 + m 4 n 3 p 5 - m 6 n 4 p 4 + m n 4 p 3 = 0. 3 8 x y xy 4 9 Factor común polinomio Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos. Ejemplo: 5x (x y) + 3x(x y) Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: La respuesta es: (x y) (5x + 3x) En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo: 5a (3a + b) + 3a + b Se puede utilizar como: 5a (3a + b) + 1(3a + b) Entonces la respuesta es: (3a + b) (5a + 1) ACTIVIDAD 1) Hallar factor común polinomio 1. a(x + 1) + b ( x + 1 ) =. m(a + b ) + p ( a + b ) = 3. x ( p + q ) + y ( p + q ) = 4. ( a + 1 ) - b (a + 1 ) = 5. ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = 6. a( + x ) - ( + x ) = 7. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = 8. (a + 1 )(a - 1 ) - ( a - 1 ) = 9. (a( a + b ) - b ( a + b ) = 10. (x + 3 )( 3 - r ) - (x - 5 )( 3 - r ) =
Ejercicios: 1. a + ab + ax + bx =. ab + 3a + b + 6 = 3. ab - a - 5b + 10 = 4. ab + a - b - 1 = 5. am - bm + an - bn = 6. 3x 3-9ax - x + 3a = 7. 3x - 3bx + xy - by = 8. 6ab + 4a - 15b - 10 = 9. 3a - b + b x - 6ax = 10. a 3 + a + a + 1 = 11. ac - a - bc + b + c - c = 1. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c - 10cd = Diferencia de cuadrados (x - y) (x + y) = x y Procedimiento: Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos. Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)
Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases. Ejemplo: Factorizar 9x - 16y = Para el primer término 9x se factoriza en 3x 3x y el segundo término - 16y se factoriza en +4y -4y luego la factorización de 9x - 16y = ( 3x + 4y )( 3x - 4y ) ACTIVIDAD Factorizar aplicando diferencia de cuadrados: 1. X 5=. T 16= 3. P 49= 4. X 36= 5. X 4= 6. Y - 9= 7. 4x - 1 = 8. 9p - 40q = 9. 9x 5y 10. 49x - 64t = 11. 4X -5Y 4 1. 81X -36Y 4 13. 9a - 5b = 14. 16x - 100 =
15. 36m n - 5 = 16. 4/9x 6 z y 4 = 17. 9 49 a b 5 36 18. 1 4 9 4 x y 5 16 19. 169m - 196 n = 0. 11 x - 144 k = 1. -100+ 5y 4 =. -81 + x = 3. -64 + 4x = 4. -9 + y = 5. 3x - 1 = 6. 5-180f = 7. 8y - 18 = 8. 3x - 75y =
9. 45m 3 n - mn = 30. a 5-16 a 3 = Trinomio de la forma x + bx + c Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio. Ejemplo: b + b 15= (b + 5) (b 3) Ejemplo: x + 5x + 6 = (x + 3) (x + ) ACTIVIDAD Factorizar los siguientes trinomios en dos binomios: 1. x + 4x + 3 =. a + 7a + 10 = 3. b + 8b + 15 = 4. x - x - = 5. r - 1r + 7 = 6. s - 14s + 33 = 7. h - 7h + 50 = 8. y - 3y - 4 = 9. x + 14xy + 4y = 10. m + 19m + 48 = 11. x + 5x + 4 = 1. x - 1x + 35 =
13. x 7x + 6= 14. x + 9x + 0= 15. x x = 16. x 8x 1 17. x 1811x 18. x 9x 0 19. x 5x 6 0. x 9x 0 1. x +1x +0 =. x 4013x Trinomio cuadrado perfecto (Recuerdo: Cuadrado de un Binomio ) (x + y) = x + xy + y Procedimiento: Se realizan los mismos procedimientos del trinomio de la forma x +bx+c, la diferencia es que los factores serán iguales, donde en el cual se colocara un solo factor elevado a la suma de ellos, produciéndose así un producto notable..ejemplos: X + 4x + 4 = (x + ) (x+ ) = (x + ) ACTIVIDAD Factorizar el Trinomio cuadrado perfecto 1. b - 1b + 36 =. x + x + 4
3. x + 8x + 16= 4. y + 1y + 36= 5. j 18j + 81= 6. d 16d + 64 7. m - m + 1 = 8. x + 10x + 5 = 9. x + 6x + 9= 10. y - 4y + 4 11. h + h + 1 = 1. x - 10x + 5 = 13. x 6 + 8x 3 + 16 14. x 8x + 16 15. x 0x +100 16. x + 14x +49 = 17. x 3 4x + 4x = 18. x 3 6x + 9x =
19. x 4-14x + 49 0. x + x + 1/4 Trinomio de la forma ax + bx + c Factorizar x - 11x + 5 1º El primer término se descompone en dos factores x x º Se buscan los divisores del tercer término 5 1 ó -5-1 3º Parcialmente la factorización sería (x + 5 )( x + 1 ) Pero no sirve pues da: x + 7x + 5 Se reemplaza por (x - 1 ( x - 5 ) y en este caso nos da : x - 11x + 5 Factorizar Trinomio de la forma ax + bx + c 1. x + 7x + 3. 4y + 1y + 9 3. 3z - 14z 5 4. 4x - 9x + 7 5. 5x + 1x 9
6. 6y + y + 1 7. 7x - 46x 1 8. 8y + 4y 3 9. 9x - 66x + 40 10. 10x - 3x 90 11. 0x + 84x 80 1. 4b + 58b 35 13. 10x + 110x + 300
14. 6y + 50y 600 15. 15z + 186z 693 16. 1.5w + 4w + 17. x y + 5xy + Actividad: ejercicios de simplificación fracciones algebraicas. a 9 m n y y 1 t) v) w) x) 3( a 3) n m y y 15 x 5x 6 x 8x 15
Completación de cuadrado Para resolver una ecuación cuadrática algunas veces hacemos uso del método de completación de cuadrado para lo cual debemos sumar una expresión de tal forma que se convierta en un cuadrado perfecto. Para hacer de x + bx un cuadrado perfecto debemos sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente x, es decir, sumar ( b ) ACTIVIDAD x + 8x= 0 x 10x= 0 x + 4x = 0 x 6x = 0 x + 10x + 6 = 0 x 1x = 0 X + 8x + y + 14y=0 X + 8x + y + 4y=0 X + 8x + y = 16y