Moviientos periódicos I 0. Un punto describe una trayectoria circular de de radio con una velocidad de 3 rad/s. Expresar la ecuación del oviiento que resulta al proyectar el punto sobre el diáetro vertical: a) El tiepo coienza cuando la sobra está en el centro. b) El tiepo coienza cuando el punto ha recorrido 30º Las ecuaciones son ya A sent sen3t, yb A sen( t ) sen3t 6 0. Un objeto oscila según un oviiento arónico siple dado por x = A sen ωt. Si el valor de la aplitud de la oscilación es 6 c y la aceleración del objeto cuando x = 4 c es 4 c/s, calcular: a) La aceleración cuando x = c b) la velocidad áxia que alcanza el objeto. La ecuación de la aceleración es: para x=0,0 la aceleración es a A sent x, luego a x 0,06s la velocidad es v A cos t y el valor áxio es MAX 6 rad s v A 0,06 6 s 03. Un objeto oscila con frecuencia angular de 8 rad/s. En el instante t=0, el objeto se encuentra en la posición x=4 c y tiene una velocidad de -5 c/s. Deterinar la aplitud y la fase para este oviiento y escribir x en función de t. La ecuación del oviiento es x A sen(8t ) y la velocidad v A8cos(8t ) x 0,04 A sen( ) En el instante t=0 dividiendo, v 0,5 A 8cos( ) y la ecuación del oviiento es x 0,05sen(8t 0,9 ) 8 0,04 tg 0,9 rad, A=0,05 0,5 04. Al estudiar el oviiento de un uelle se obtienen los siguientes valores: Masa g 0 6 0 5 0 Longitud 70,0 7,0 76, 79,9 84,9 99, Calcular la constante del uelle. El coportaiento es elástico para todos los valores?. El alargaiento del uelle es proporcional a la fuerza que tira de él g k x. Al analizar los datos de alargaiento veos que el uelle se estira por cada grao de asa aproxiadaente, excepto para el últio valor, cuando la asa es de 0 g se ha superado el líite de elasticidad del uelle. Para los valores interedios, teneos: k 0N ; k 9,84N ; k 0,0N ; k 0,07N 6 0 5 El valor de la constante será la edia kmed 0,00N 05. Un resorte de asa despreciable se estira 0, cuando se la aplica una fuerza de,45 N. Se fija en su extreo libre una asa de 0,085 kg y se estira 0,5 a lo largo de una esa co Javier Corral 0-0
Moviientos periódicos I horizontal desde su posición de equilibrio y se suelta dejándolo oscilar libreente sin rozaiento. Calcula: a) la constante elástica del resorte y su periodo de oscilación; b) la energía total asociada a la oscilación y las energías potencial y cinética cuando x = 0,075 0,085 La constante del uelle es k 4,5N y su periodo 0,37 s x k 4,5 La energía total del uelle es igual a la potencial en la posición de áxio estiraiento MAX E k x 4,5 0,5 0,76 J MAX Cuando está en la posición x=0,075, las energías son EP kx 4,5 0,075 0,069J E O 0,76 J EC EO EP 0,76 0,069 0,07 J 06. Un uelle de asa despreciable tiene una longitud de 0 c. Cuando de su extreo inferior se cuelga un cuerpo de 0, kg de asa la longitud del uelle es 30 c. a) Calcula la constante del uelle. Partiendo de la posición de equilibrio, se desplaza M hacia arriba 0 c, es decir, hasta que el uelle tiene su longitud natural. A continuación se suelta M con velocidad inicial nula, de fora que epieza a oscilar arónicaente en dirección vertical. b) Calcula la longitud áxia del uelle, en el punto ás bajo de la oscilación de M. c) Calcula la aplitud y la frecuencia de la oscilación, y la velocidad de M cuando pasa por su posición de equilibrio. g La constante del uelle es k 0N x x La longitud áxia del uelle son 40 c; se desplaza 0 c de la posición de equilibrio. k La aplitud de la oscilación son 0 c y la frecuencia f,59s La energía potencial áxia es EMAX k x 0 0, 0,05J que es igual a la energía cinética cuando pasa por la posición de equilibrio, C E 0,05 v v s 07. Un cuerpo de kg cae sobre un resorte elástico de constante k=4000 N, vertical y sujeto al suelo. La altura a la que se suelta el cuerpo, edida sobre el extreo superior del resorte, es de. a) Explicar los cabios energéticos durante la caída y la copresión. b) Calcular la deforación áxia del resorte. c) Calcular la aceleración de frenado del cuerpo una vez que ha tocado el uelle. d) Representar gráficaente la velocidad y la aceleración frente al tiepo. co Javier Corral 0-0
Moviientos periódicos I L Suponeos que el cuerpo es puntual. La energía potencial del cuerpo al principio se convierte en potencial del cuerpo y potencial del uelle. E0 E g(l ) g(l x) kx 000x 0x 40 0 0 400 4 40 000 x 0,47 4000 Cuando el cuerpo toca el uelle su velocidad es: L-x v gh 0 6,3 s y se para 0,47 después, luego v v v 6,3 v v ae a 35,86 s e 0,47 Variación de la velocidad: 0 0 Parte : Moviiento acelerado a=0 s - t=0,63 s Parte : Moviiento de frenado a=35,86 s - t=0,047 s t 08. Una asa está suspendida de un uelle. Qué asa deberíaos añadirle para que el periodo de oscilación se duplique? El periodo de oscilación de un cuerpo suspendido de un uelle es k Para que se duplique el periodo, la asa debe de cuadruplicarse. La asa a añadir es 3. 09. Un objeto de 3 kg sujeto a un uelle oscila con una aplitud de 4 c y un periodo de s. Cuál es la energía total del objeto? Cuál es la velocidad áxia del objeto y en que posición se alcanza? En que posición la velocidad es igual a al itad de su valor áxio, y en cuál la energía potencial es igual a la cinética? 4 4 3 Sabeos que el periodo es k 30N E k A 0,04 J k La velocidad áxia se alcanza cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, x=0 y E P =0 E v 0,04J v 0,6s C MAX MAX Si MAX v v 0,063s E v 6 0 J 3 C EP E EC,8 0 J k x x 0,035 0,04 Para que se igualen las energías EP EC E 0,0 J k x x 0,08 30 0. Dos asas y M se cuelgan de dos uelles idénticos de constante k. Cuando se ponen en oviiento, la frecuencia de M es tres veces la de. Calcular la relación entre las asas. M f 3 9 k f k f M M 3 co Javier Corral 0-0
Moviientos periódicos I. De un hilo uy fino pendiente del techo de una sala colgaos una asa puntual de ploo. La distancia entre su centro y el suelo es de 4, c. La haceos oscilar y da 50 oscilaciones en 345 s. Si acortaos el hilo, cuando la asa está a,0 del suelo, tarda 34 s. Calcular la altura de la sala y el valor de la gravedad es ese lugar. Se trata de dos péndulos. Péndulo 50 osc en 345 s 6,9s L h 0,4 Péndulo 50 osc en 34 s Si dividios las expresiones de los periodos: 6,8 s L h,0 L 6,9 h 0,4 h L 6,8 h,0 L 4 L la gravedad será g, sustituyendo para cualquiera de los dos g 9,8s g. Un reloj de péndulo que funciona correctaente en un punto donde g = 9,80 s - atrasa 0s diarios a una altura h. Calcular h. Supongaos que el péndulo tiene un periodo de s. En la nueva posición atrasa 0 s diarios 0 luego el nuevo periodo es,0006 s. Si dividios el valor de los dos periodos: 86400 g X 0 X 0 gx Sabeos que la gravedad varía con la altura,0006 g 9,7977 s M GM g G h R 045,9 (R g h) 3. Un péndulo siple tiene un período en la superficie terrestre. Cuando se pone a oscilar en la superficie del planeta X el período se reduce a la itad. Calcular la velocidad con la que llega al suelo un cuerpo en el planeta X si se deja caer desde 00 de altura. Relacionando los periodos, la velocidad de llegada al suelo es g g X X X g 4 g 40 s v gh 40 00 89,44 s 4. Un péndulo bate segundos en Ponferrada (g=9,804 s - ) se traslada al Ecuador. Calcular la gravedad en el ecuador sabiendo que el péndulo da 5 oscilaciones enos por día. Aquí da 4300 oscilaciones copletas, en el Ecuador dará 43075 y el periodo allí es,006 s g g g 9,804 9,745 s g,006 PONE ECUA PONE ECUA PONE ECUA PONE ECUA 5*. Agujereaos la ierra de polo a polo y dejaos caer por ese tubo un objeto de asa. Cóo es el oviiento? Cuánto tiepo tardará en llegar al iso punto? Cuál es la ecuación del oviiento? Con qué velocidad pasará por el centro de la ierra? 4 co Javier Corral 0-0
A B a=0 a=+9,8 a=-9,8 Moviientos periódicos I El oviiento es periódico. Acelerado desde el inicio hasta el centro de la ierra y decelerado desde el centro de la ierra hasta el punto final (la aceleración de frenado cada vez ayor). M 4 La fuerza de atracción es G G R kr R 3 4 k G 3 La energía en los puntos A y B es la isa 4 4 A B P C 3 3 E E E E kr v G R v v G R 7894,4 s 3 El tiepo de una oscilación copleta es el periodo 5067 s k 4 G 6. Una asa de 50 g se cuelga de una cinta de goa de asa despreciable que se alarga 0,. Calcular: a) la constante elástica de la goa. b) la frecuencia característica de oscilación del sistea c) Si la asa se desplaza 5 c por debajo de su posición de equilibrio y se suelta qué velocidad lleva al pasar por la posición de equilibrio? La constante es k 5N y la frecuencia de oscilación x Para calcular la velocidad igualaos energías k f,59s k k x v v x 0,5s 7. Un objeto de,5 kg está unido a un uelle horizontal y realiza un oviiento arónico siple sobre una superficie horizontal sin rozaiento con una aplitud de 5 c y una frecuencia de 3,3 Hz. Deterine: a) El período del oviiento y la constante elástica del uelle. b) La velocidad áxia y la aceleración áxia del objeto. El periodo es inediato, 4 4,5 0,30 s k 095,5N f k 0,30 La energía total es k 095,5 E k A v v A 0,05,05s,5 MAX MAX La aceleración siepre es 4 A a x a A,9s MAX 8. Una asa de 0,5 kg está colgada del techo por una cuerda de de longitud y gira describiendo circunferencias horizontales de 0, de radio (péndulo cónico). Dibujar las fuerzas que actúan sobre la asa y calcular: 5 co Javier Corral 0-0
a) La tensión de la cuerda y la frecuencia del oviiento. b) Si la velocidad se duplica, calcular el ángulo del hilo con la vertical y la tensión. sen 0, 5,74º, en la figura: Moviientos periódicos I v gr CP tg5,74º v gr tg5,74º 0,37 s P Recordeos que R cos cos CP P y la tensión es v 0,5 0,37 sen R sen 0, 0, CP 5,0N en dar una vuelta, tarda R 0,,98s f 0,50Hz v 0,37 L sen, si se duplica la velocidad: v v sen 0,634 0,04 P gr gr cos 0 sen sen CP v 0,634 s tg 0,04 cos 0,04 cos 0,4º R L sen 0,98 y la nueva tensión es v 0,5 0,634 sen R sen 0,98 0,98 CP 5,3N 6 co Javier Corral 0-0