0Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGIN 0 Pág. P RCTIC Relaciones entre sucesos En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el gordo. a) Cuál es el espacio muestral? b)escribe los sucesos: MENOR QUE ; B PR. c) Halla los sucesos «B,» B, ', B', '» B'. a) El espacio muestral es: E {0,,,,,,,, 8, } b) MENOR QUE {0,,,, } B PR {0,,,, 8} c) «B {0,,,,,, 8}» B {0,, } ' {,,, 8, } B' {,,,, } '» B' {,, } Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en una ficha y las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar. a) Escribe los sucesos elementales de este experimento. Tienen todos la misma probabilidad? b)escribe el suceso obtener vocal y calcula su probabilidad. c) Si la palabra elegida fuera SUERTE, cómo responderías a los apartados a) y b)? a) Los sucesos elementales son: {P}, {R}, {E}, {M}, {I}, {O}. Todas tienen la misma probabilidad, porque todas aparecen una sola vez. b) V obtener vocal 8 V {E, I, O} P[V] c) Los sucesos elementales son: {S}, {U}, {E}, {R}, {T} P[V] En este caso el suceso elemental {E} tiene más probabilidad que el resto, por aparecer dos veces. Lanzamos un dado rojo y otro verde. notamos el resultado. Por ejemplo, (, ) significa en el rojo y en el verde. a) Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b)describe los siguientes sucesos: Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas : la suma de puntos es ; {(, ), (, ), } B: En uno de los dados ha salido ; B {(, ), } C: En los dados salió el mismo resultado. c) Describe los sucesos «B,» B,» C. d)calcula la probabilidad de los sucesos de los apartados b) y c). e) Calcula la probabilidad de ', B' y C'. a) Como tenemos dos dados, cada uno con caras, tenemos resultados en uno para cada uno de los resultados del otro. Es decir, en total, elementos en el espacio muestral. b) {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} B {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} C {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} c) «B 8 En uno de los dados ha salido un o la suma de los dos es.» B 8 Habiendo salido un, la suma de los dos es, es decir, {(, ), (, )}.» C 8 Habiendo salido dos números iguales, la suma es, es decir, {(, )}. d) P [] P [B] P [C] P [ «B] P [» B] P [» C ] 8 8 Pág. e) P ['] P [] P [B'] P [B] P [C'] P [C] El juego del dominó consta de 8 fichas. Sacamos una al azar y anotamos la suma (x) de las puntuaciones. a) Cuál es el espacio muestral? Di la probabilidad de cada uno de los casos que pueden darse. b)describe los sucesos: : x es un número primo. B: x es mayor que. «B,» B, ' c) Calcula las probabilidades de los sucesos descritos en el apartado b). a) E {0,,,,,,,, 8,,0,, } P [0] ; P[] ; P[] 8 8 8 P[] ; P[] ; P[] 8 8 8 Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas P[] ; P[] ; P[8] 8 8 8 P[] ; P[0] ; P[] ; P[] 8 8 8 8 Pág. b) {,,,, } B {,,, 8,, 0,, } «B {,,,,, 8,, 0,, }» B {,, } ' {,,, 8,, 0, } c) P [] P[] P[] P[] P[] P[] 8 P[B] P[ «B] 8 8 P[» B] P['] P [] 8 8 Probabilidades sencillas En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del al. Calcula la probabilidad de que la primera bola extraída : a) Sea un número de una sola cifra. b)sea un número múltiplo de. c) Sea un número mayor que. a) P [,,,,,,, 8, ] b) P [,,, 8,,, ] c) P [,, 8,, ] Se extrae una carta de una baraja española. Di cuál es la probabilidad de que sea: a) REY o S. b) FIGUR y OROS. c) NO SE ESPDS. a) P [REYOS] 8 0 b) P [FIGUR Y OROS] P [FIGUR DE OROS] 0 0 c) P [NO SE ESPDS] 0 0 Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas En una bolsa hay bolas de colores, pero no sabemos cuántas ni qué colores tienen. En 000 extracciones (devolviendo la bola cada vez) hemos obtenido bola blanca en ocasiones, bola negra en 0, bola verde en y bola azul en 0. l hacer una nueva extracción, di qué probabilidad asignarías a: a) Sacar bola blanca. b)no sacar bola blanca. c) Sacar bola verde o azul. d)no sacar bola negra ni azul. Si en la bolsa hay bolas, cuántas estimas que habrá de cada uno de los colores? Como se han hecho 000 extracciones: P [BOL BLNC] 0, P [BOL VERDE] 0, 000 000 P[BOL NEGR] 0 0, P [BOL ZUL] 0 0, 000 000 a) P [BOL BLNC] 0, b) P [NO BOL BLNC] 0, 0,8 c) P [BOL VERDE O ZUL] 0, 0, 0, d) P [NO BOL NEGR NI ZUL] (0, 0,) 0, Si hay bolas: El % son blancas 8 0, bolas blancas. El % son negras 8 0, bolas negras. El 8% son verdes 8 0,8 bolas verdes. El % son azules 8 0, bolas azules. Pág. 8 na tira un dado y su hermana Eva lo tira después. Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Eva sea superior a la de na? N EV P [PUNTUCIÓN DE EV SUPERIOR L DE N] Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas Lanzamos dos dados y anotamos la puntuación del mayor (si coinciden, la de uno de ellos). a) Completa la tabla y di las probabilidades de los seis sucesos elementales,,,, y. Pág. b)halla la probabilidad de los sucesos: : n. par, B: n. menor que,» B. a) P [] ; P[] ; P[] P[] ; P[] ; P[] b) P[] P[B] P[» B] P[] PÁGIN Experiencias compuestas 0 a) Tenemos dos barajas de 0 cartas. Sacamos una carta de cada una. Cuál es la probabilidad de que ambas sean? Cuál es la probabilidad de que ambas sean figuras (sota, caballo o rey)? b) Tenemos una baraja de 0 cartas. Sacamos dos cartas. Cuál es la probabilidad de que ambas sean un? Cuál es la probabilidad de que ambas sean figura? a) P [ y ] 0 0 00 P [FIGUR y FIGUR] 0 0 00 Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas b) P [ y ] 0 0 0 P [FIGUR y FIGUR] 0 0 0 Pág. Lanzamos tres dados. Cuál es la probabilidad de que las tres puntuaciones sean menores que? P [las tres menores que ] P [menor que ] P [menor que ] P [menor que ] 8 Sacamos una bola de cada urna. Calcula: a) La probabilidad de que ambas sean rojas. b)la probabilidad de que ambas sean negras. c) La probabilidad de que alguna sea verde. a) P [ROJ y ROJ] b) P[NEGR y NEGR] c) P[alguna VERDE] P [VERDE] P [VERDE] 0 Sacamos dos bolas. Calcula: a) P[ rojas] b) P[ verdes] a) P[ ROJS] b) P[ VERDES] 0 0 Sacamos una bola de, la echamos en B, removemos y sacamos una de B. Calcula: B Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas a) P[. a roja y. a roja] b)p[. a roja y. a verde] c) P[. a roja /. a verde] d)p[. a roja /. a roja] e) P[. a roja] f) P[. a verde] e) Para calcular esta probabilidad, ten en cuenta el diagrama. Pág. B B a) P[. a roja y. a roja] b) P[. a roja y. a verde] c) P[. a roja /. a verde] d) P[. a roja /. a roja] e) P[. a roja] f) P[. a verde] 8 Tablas de contingencia En un centro escolar hay 000 alumnos y CHICOS CHICS alumnas repartidos así: USN GFS Llamamos: chicas, O chicos, G tiene NO USN GFS gafas, no G no tiene gafas. Calcula: 8 0 a) P[], P[O], P[G], P[no G] b)describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: y G, O y no G, /G, G/, G/O. a) P [] 0 8 0,8 000 000 P [O] P [] 0,8 0, Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas P[G] 8 0,8 000 000 P[no G] P[G] 0,8 0,8 Pág. 8 b) y G 8 Chica con gafas. P[ y G] 0, 000 O y no G 8 Chico sin gafas P[O y no G] 8 0,8 000 /G 8 De los que llevan gafas, cuántas son chicas. P[/G] 0, 8 G/ 8 De todas las chicas, cuántas llevan gafas. P[G/] 0,8 8 G/O 8 De todos los chicos, cuántos llevan gafas. P[G/O] 0,8 En una empresa hay 00 empleados, 00 hombres y 00 mujeres. Los fumadores son 0 hombres y mujeres. a) Haz con los datos una tabla de contingencia. b)si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre y no fume: P[H y no F]. c) Calcula también: P[M y F], P[M / F], P[F / M] a) HOMBRE MUJER FUMDOR 0 NO FUMDOR 0 b) P[H y no F] 0 0, 00 c) P[M y F] 0, 00 P[M/F] 0, P[F/M] 0, 00 Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas Los 000 socios de un club deportivo se distribuyen de la forma que se indica en la tabla. Pág. HOMBRES MUJERES JUEGN L BLONCESTO NO JUEGN L BLONCESTO 8 0 Si se elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que: a) Sea un hombre. b)sea una mujer. c) Juegue al baloncesto. d)sea una mujer que practique baloncesto. e) Sea un hombre que no practique baloncesto. f) Juegue al baloncesto, sabiendo que es hombre. g) Sea mujer, sabiendo que no juega al baloncesto. a) P[H] 8 0, 000 000 b) P[M] P[H] 0,8 c) P[B] 8 0,8 000 000 d) P[M y B] 0, 000 e) P[H y no B] 8 0,8 000 f) P[B/H] 0,8 g) P[M/no B] 0 0,8 8 PÁGIN P IENS Y RESUELVE 8 Una urna contiene 00 bolas numeradas así: 00, 0, 0 Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades del número que tiene cada bola. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) x b) y c) x? d) x > e) x y f ) x < g) y > h) y < Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 0 UNIDDES DECENS 0 8 0 00 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 8 80 8 8 8 8 8 8 8 88 8 0 8 a) x 8 P [x ] 0 00 0 b) y 8 P [y ] 0 00 0 c) x 8 P [x ] 0 00 0 d) x > 8 P [x > ] 0 00 e) x y 8 P [x y ] 0 00 0 f)x < 8 P [x < ] 0 00 0 g) y > 8 P [y > ] 0 00 h) y < 8 P[y < ] 00 0 Sacamos dos fichas de un dominó. Cuál es la probabilidad de que en ambas la suma de sus puntuaciones sea un número primo (,,, u )? es primo Tenemos: {(, ), (, 0), (, ), (, 0), (, ), (, ), (, 0), (, ), (, ), (, ), (, )} P[] 8 Por tanto: P[en ambas la suma es un primo] 0 0 0, 8 Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Después de tirar muchas veces un modelo de chinchetas, sabemos que la probabilidad de que una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,8. Pág. Si tiramos dos chinchetas, cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma? -ª CHINCHET -ª CHINCHET 0,8 0, HCI RRIB HCI OTRO SITIO 0,8 0, 0,8 0, HCI RRIB HCI OTRO SITIO HCI RRIB HCI OTRO SITIO P [DISTINT FORM] 0,8 0, 0, 0,8 0, En una clase hay chicos y 8 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase. Calcula la probabilidad de que: a) Los dos sean chicos. b)sean dos chicas. c) Sean un chico y una chica. / -ª ELECCIÓN -ª ELECCIÓN / CHICO CHICO 8/ CHIC 8/ CHIC / / CHICO CHIC a) P [DOS CHICOS] 8 b) P [DOS CHICS] 8 c) P [UN CHICO Y UN CHIC] 8 8 8 Extraemos una tarjeta de cada una de estas bolsas. S S N OI O a) Calcula la probabilidad de obtener una S y una I, SI. b) Cuál es la probabilidad de obtener NO? c) Son sucesos contrarios SI y NO? Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas Resuélvelo rellenando esta tabla. Pág. S S N I SI O O SO S S N I SI SI NI O SO SO NO O SO SO NO a) P[SÍ] b) P[NO] c) No, no son sucesos contrarios, porque P[SÍ]? P[NO]. En un laboratorio se somete un nuevo medicamento a tres controles. La probabilidad de pasar el primero es 0,8, la de pasar el segundo es 0, y la de pasar el tercero es 0,8. Cuál es la probabilidad de que el nuevo producto pase las tres pruebas? Las tres pruebas son independientes una de otra. P [PSR EL PRIMER CONTROL] 0,8 P [PSR EL SEGUNDO CONTROL] 0, P [PSR EL TERCER CONTROL] 0,8 P [PSR LOS TRES CONTROLES] 0,8 0, 0,8 0,0 Se extraen dos bolas de esta bolsa. Calcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color. / ZUL / / ZUL ROJ / ROJ / / ZUL ROJ P [ZUL Y ZUL] P [ROJ Y ROJ] P [MBS DEL MISMO COLOR] Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas En una bolsa tenemos las letras S, S, N, I, I, O. Sacamos dos letras. Cuál es la probabilidad de que con ellas se pueda escribir SI? Pág. S N I O -ª EXTRCCIÓN S N I O S I I S N I O S N I -ª EXTRCCIÓN SI P[ SI ] Javier tiene en su monedero monedas de cinco céntimos, de veinte y de un euro. Saca dos monedas al azar. Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? a) Que las dos sean de cinco céntimos. b)que ninguna sea de un euro. c) Que saque,0. En el diagrama de árbol, las monedas aparecen en céntimos. 00 cent. / / / -ª MONED -ª MONED /8 /8 0 /8 00 /8 0 /8 0 /8 00 /8 00 /8 0 /8 00 a) P [DOS DE CENT.] 8 b) P [NINGUN DE ] ( 8 8) ( 8 8) 8 c) P [SCR,0 ] P [00, 0] 8 8 Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas En una bolsa hay bolas, dos de ellas están marcadas con un y las otras dos con un. Se hacen tres extracciones y se anotan los resultados en orden. Calcula la probabilidad de que el número formado sea el, suponiendo que: a) La bola se reintegra a la bolsa. b)la bola no se devuelve a la bolsa. Pág. a) -ª EXTRC. -ª EXTRC. -ª EXTRC. b) -ª EXTRC. -ª EXTRC. -ª EXTRC. / / / / / / / / / / 0 / / / / / / / / / / / / / / 0 a) P [] b) P[] 8 8 Un jugador de baloncesto suele acertar el % de sus tiros desde el punto de lanzamiento de personales. Si acierta el primer tiro, puede tirar de nuevo. Calcula la probabilidad de que: a) Haga dos puntos. b) Haga un punto. c) No haga ningún punto. P [CERTR] 0, er TIRO -º TIRO 0, CIERT 0, 0, CIERT NO CIERT 0, NO CIERT a) P [DOS PUNTOS] 0, 0, 0, b) P [UN PUNTO] 0, 0, 0, c) P [NO HG NINGÚN PUNTO] 0, Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas Matías y Elena juegan con una moneda. La lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una vez cruz o dos veces cruz y una vez cara, gana Matías. Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana Elena. Calcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar. Pág. er LNZMIENTO -º LNZMIENTO er LNZMIENTO / C / / C / / / / C C / / C / C / / / C / P [GNE MTÍS] P [C, C, ] P [C,, C] P [, C, C] P[,, C] P[, C, ] P[C,, ] 8 P [GNE ELEN] P [C, C, C] P [,, ] 8 PÁGIN P ROFUNDIZ 0 En cierto lugar se sabe que si hoy hace sol, la probabilidad de que mañana también lo haga es /. Pero si hoy está nublado, la probabilidad de que mañana lo siga estando es /. Si hoy es viernes y hace sol, cuál es la probabilidad de que el domingo también haga sol? Para resolverlo completa el diagrama y razona sobre él: Viernes Sb ado Domingo Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas Hacemos un diagrama en árbol: Pág. VIERNES / S / SÁBDO / N / / S / DOMINGO N S N S P [DOMINGO SOL] P [VIERNES S, SÁBDO N, DOMINGO S] P [VIERNES S, SÁBDO S, DOMINGO S] 0, Esto es un plano de parte de la red de cercanías de una ciudad. En cada nudo es igual de probable que el tren continúe por cualquiera de los caminos que salen de él. 8 B C D E Un viajero sube a un tren en sin saber adónde se dirige. a) Cuál es la probabilidad de que llegue a la estación? b) Calcula la probabilidad de llegar a cada una de las estaciones. 8 / / / / B C / / / E / / / / D / a) P [] 8 b) P [] P [] P [] P [] P [] P [] 8 P [] P [8] Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas Se hace girar la flecha en cada una de estas ruletas, y gana la que consiga la puntuación más alta. Pág. B Calcula la probabilidad de que gane y la de que gane B. B 8 - - 8- - - 8- - - 8- P[GNE ] P[GNE B] En una urna marcada con la letra hay una bola roja y una negra. En otra urna, que lleva la letra B, hay una bola azul, una verde y una blanca. Se lanza un dado; si sale par, se saca una bola de la urna, y si sale impar, de la urna B. a) Escribe todos los resultados posibles de esta experiencia aleatoria. b) Tiene la misma probabilidad el suceso PR y ROJ que el IMPR y VERDE? c) Calcula la probabilidad de todos los sucesos elementales y halla su suma. Qué obtienes? a) El espacio muestral es: E {(PR, ROJ), (PR, NEGR), (IMPR, ZUL), (IMPR, VERDE), (IMPR, BLNC)} b) P [PR, ROJ] P [IMPR, VERDE] c) P [PR, ROJ] 8 Son distintas P [PR, NEGR] P [IMPR, ZUL] 8 P [IMPR, VERDE] Se obtiene P[E] P [IMPR, BLNC] Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas Cuál es la probabilidad de obtener bola blanca al elegir al azar una de estas bolsas y extraer de ella una bola? B C Pág. 8 Blanca No blanca B C Blanca No blanca Blanca No blanca / / / BOLS BOLS BOLS / / / BLNC BLNC BLNC P [BLNC] 8 8 Lanzamos tres dados y anotamos la mayor puntuación. Calcula la probabilidad de que sea. Para que la mayor puntuación sea un, no tiene que salir ningún. Y en uno de ellos debe salir un. Es decir: P[] P[un ] P[? ] P[? ] Lanzamos tres dados y anotamos la puntuación mediana. Calcula la probabilidad de que sea. Para que la mediana sea un, deben salir un, un y otro valor menor que. Es decir: P[] P[un ] P[un ] P[< ] Unidad 0. Cálculo de probabilidades
0Soluciones a los ejercicios y problemas Tenemos tres cartulinas. La primera tiene una cara roja (R), y la otra, azul (); la segunda y verde (V), y la tercera, V y R. Las dejamos caer sobre una mesa. Qué es más probable, que dos de ellas sean del mismo color o que sean de colores diferentes? Hacemos un diagrama en árbol: Pág. / R / / V / / / / V R V R R U R R R V V R V R / / V / / R / / V V / R V R V V V R P [ iguales] 8 P [Todas distintas] 8 Es más probable que salgan dos colores iguales. Unidad 0. Cálculo de probabilidades