4. DISEÑOS MULTIFACTORIALES O FACTORIALES

4. DISEÑOS MULTIFACTORIALES O FACTORIALES 4.1 PRINCIPIOS Y DEFINICIONES BASICAS Los arreglos factoriales se utilizan cuando en una investigación se pretende estudiar simultáneamente la influencia del cambio de nivel de varios factores sobre la variable de respuesta. Se entiende como diseño factorial cuando cada repetición o replica completa del experimento incluye a todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores bajo estudio. Este tipo de diseños permite estimar los efectos simples de los factores y el efecto de las interacciones de dichos factores. El efecto de un factor simple (o principal) se define como el cambio producido en la variable de respuesta debido al cambio de un nivel a otro en el factor. El efecto de interacción de dos factores se define como el cambio producido en la variable de respuesta al cambiar los niveles de un factor con respecto a los niveles del otro factor. 4. EJEMPLO DE EXPERIMENTOS DE DOS FACTORES Con el fin de precisar las condiciones óptimas de un baño de níquel, los efectos de la concentración de sulfona y la temperatura del baño en el poder de reflexión de un metal niquelado. Se realizo el experimento y los resultados están en la tabla 4.1. Factor A Factor B Replicas Concentración Sulfona Temperatura I II III 5 75 35 39 36 5 100 31 37 36 5 15 30 31 33 5 150 8 0 3 5 175 19 18 10 75 38 46 41 10 100 36 44 39 10 15 39 3 38 10 150 35 47 40 10 175 30 38 31 Tabla 4.1 Resultados del experimento del poder de reflexión 47

Nótese que es un diseño de dos factores, un factor A que es la Concentración de Sulfona con dos niveles 5 y 10; un factor B que es la Temperatura con cinco niveles 75, 100, 15, 150 y 175; la variable de respuesta el Poder de Reflexión de un metal niquelado. El modelo matemático de este diseño es, Y ijk = + i + +( ) Y ijk es la variable de respuesta (poder de reflexión), es la media general del poder de reflexión, i es el efecto simple de la concentración de sulfona, j es el efecto de la temperatura, ( ) ij el efecto de la interacción de la concentración de sulfona y la temperatura, y ijk es el error aleatorio. j ij + ijk Las hipótesis que se pueden probar son: 1) H o : no influye el efecto de la concentración de sulfona en el poder de reflexión ( H : =0 o ) i H a : si influye el efecto de la concentración de sulfona en el poder de reflexión ( : i 0 ). H a ) H o : no influye el efecto de la temperatura en el poder de reflexión ( H : =0 ) o i H a : si influye el efecto de la temperatura en el poder de reflexión ( 0 ). H : a i 3) H o : no hay efecto de interacción entre la Concentración de Sulfona y la temperatura en el poder de reflexión ( : =0 ( ) H o ) ij H a : si hay efecto de interacción entre la Concentración de Sulfona y la temperatura en el poder de reflexión ( : 0 H o ( ) ). ij 48

4.3 ANALISIS DE VARIANZA En la tabla 4. se puede ver el análisis de varianza para la variable reflexión. Los valores de P de los tres efectos son menores que el nivel de confianza dado α=0.05, lo que significa que si influye el efecto simple de la concentración de sulfona, si influye el efecto simple de la temperatura y si influye el efecto de interacción entre la concentración de sulfona y la temperatura, con una confianza estadística del 95%. Para analizar, el comportamiento de los efectos simples de la concentración de sulfona y la temperatura, se procede a analizar la prueba de comparación de medias de la prueba de LSD. Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P EFECTOS PRINCIPALES A:CONCENTRACION 616.533 1 616.533 44.04 0.0000 B:TEMPERATURA 591. 4 147.8 10.56 0.0001 INTERACCIONES AB 196.133 4 49.0333 3.50 0.053 RESIDUOS 80.0 0 14.0 TOTAL (CORREGIDO) 1683.87 9 Tabla 4. Análisis de Varianza para Reflexión 4.4 PRUEBA DE LSD PARA EL FACTOR A (CONCENTRACION) Para realizar la prueba de rangos múltiples para el efecto del factor A (concentración de sulfona), se utiliza la siguiente formula: t LSD donde CM, ab( n 1) nb ERROR 49

t, ab( n 1) es la t-student con una α de confianza estadística y con ab(n-1) grados de libertad a = numero de niveles del factor A b = numero de niveles del factor B n = numero de replicas CM ERROR es el cuadrado medio del error. Para nuestro ejemplo, tenemos que 0.05,0) t 0.05,0). 086 t (ver tablas de la t-student). CM ERROR =14, b=5 y n=3. (14) LSD.086.85 (3)(5) Las medias de los niveles del factor de concentración son CONCENTRACION MEDIA 10 38.6 5 9. Comparando la media de la concentración 5 con la concentración 10, tenemos que 9.-38.6 =9.06>.85 por lo tanto la concentración de 10 da mayor poder de reflexión. Estos resultados se pueden sintetizar en la tabla 4.3, 50

REFLEXION Método: 95.0 porcentaje LSD CONCENTRACION Casos Media LS Sigma LS Grupos Homogéneos 5 15 9. 0.96609 X 10 15 38.667 0.96609 X Contraste Sig. Diferencia +/- Límites 5-10 * -9.06667.84997 * indica una diferencia significativa. Tabla 4.3 Prueba de LSD para la concentración de sulfona La grafica de medias y la tabla de medias para la concentración de sulfona esta en la figura 4.1 y tabla 4.4, respectivamente, donde se puede ver que si se recomienda una concentración de sulfona de 10 se esperarían promedios entre 36.514 y 40.8. Error Límite Límite Nivel Casos Media Est. Inferior Superior CONCENTRACION 5 15 9. 0.96609 7.1848 31.15 10 15 38.667 0.96609 36.514 40.819 Tabla 4.4 Tablas de medias para la concentración de sulfona 4 Medias y 95.0% de Fisher LSD 39 36 33 30 7 5 10 CONCENTRACION Figura 4.1 Grafica de medias para concentración de sulfona 51

4.5 PRUEBA DE LSD PARA EL FACTOR B (TEMPERATURA) Para realizar la prueba de rangos múltiples para el efecto del factor B (Temperatura), se utiliza la siguiente formula: t LSD donde CM, ab( n 1) na ERROR t, ab( n 1) es la t-student con una α de confianza estadística y con ab(n-1) grados de libertad a = numero de niveles del factor A b = numero de niveles del factor B n = numero de replicas CM ERROR es el cuadrado medio del error. Para el ejemplo tenemos que: 0.05,0) t 0.05,0). 086 t (ver tablas de la t-student). CM ERROR =14, a= y n=3. (14) LSD.086 4.5 (3)() Las medias de los niveles del factor Temperatura son Temperatura Media 75 39.1667 100 37.1667 15 33.8333 150 3.1667 175 6.3333 5

Comparando la media de la temperatura 75 con la temperatura 100, tenemos que 39.16-37.16 =< 4.5 por lo tanto no hay diferencias en las dos temperaturas. Comparando la media de la temperatura 75 con la temperatura 15, tenemos que 39.16-33.83 =5.33> 4.5 por lo tanto existen diferencias en las dos temperaturas. Comparando la media de la temperatura 75 con la temperatura 150, tenemos que 39.16-3.16 =7> 4.5 por lo tanto existen diferencias en las dos temperaturas. Comparando la media de la temperatura 75 con la temperatura 175, tenemos que 39.16-6.33 =1.83> 4.5 por lo tanto existen diferencias en las dos temperaturas. Comparando la media de la temperatura 100 con la temperatura 15, tenemos que 37.16-33.83 =3.33< 4.5 por lo tanto no hay diferencias en las dos temperaturas. Comparando la media de la temperatura 100 con la temperatura 150, tenemos que 37.16-3.16 =5> 4.5 por lo tanto existen diferencias en las dos temperaturas. Comparando la media de la temperatura 100 con la temperatura 175, tenemos que 37.16-6.33 =10.83> 4.5 por lo tanto existen diferencias en las dos temperaturas. Comparando la media de la temperatura 15 con la temperatura 150, tenemos que 33.83-3.16 =1.67< 4.5 por lo tanto no hay diferencias en las dos temperaturas. Comparando la media de la temperatura 15 con la temperatura 175, tenemos que 33.83-6.33 =7.5> 4.5 por lo tanto existen diferencias en las dos temperaturas. Comparando la media de la temperatura 150 con la temperatura 175, tenemos que 3.16-6.33 =5.83> 4.5 por lo tanto existen diferencias en las dos temperaturas. 53

Estos resultados se resumen en la tabla 4.5, donde se puede concluir que Hay cuatro grupos homogéneos, un grupo lo forma la temperatura 75, otro grupo lo forman las Temperaturas 15 y 150, otro grupo lo es 100 con 15, otro grupo homogéneo lo es las temperaturas 100 con 15. Como se quiere mayor poder de reflexión se recomiendan las temperaturas 75 ó 100. Método: 95.0 porcentaje LSD TEMPERATURA Casos Media LS Sigma LS Grupos Homogéneos 175 6 6.3333 1.5753 X 150 6 3.1667 1.5753 X 15 6 33.8333 1.5753 XX 100 6 37.1667 1.5753 XX 75 6 39.1667 1.5753 X Contraste Sig. Diferencia +/- Límites 75-100.0 4.5061 75-15 * 5.33333 4.5061 75-150 * 7.0 4.5061 75-175 * 1.8333 4.5061 100-15 3.33333 4.5061 100-150 * 5.0 4.5061 100-175 * 10.8333 4.5061 15-150 1.66667 4.5061 15-175 * 7.5 4.5061 150-175 * 5.83333 4.5061 * indica una diferencia significativa. Tabla 4.5 Prueba de comparación de medias LSD para el efecto de Temperatura TEMPERATURA Casos Media Error Est. Limite Inferior Limite Superior 75 6 39.1667 1.5753 35.9803 4.353 100 6 37.1667 1.5753 33.9803 40.353 15 6 33.8333 1.5753 30.647 37.0197 150 6 3.1667 1.5753 8.9803 35.353 175 6 6.3333 1.5753 3.147 9.5197 Tabla 4.6 Tabla de medias para el efecto de temperatura 54

REFLEXION En la figura 4. y la tabla 4.6 se puede ver que si se recomienda la temperatura de 75, se esperarían promedios de 35.98 y 4.35 o si se recomienda una temperatura de 100 se esperarían promedios de 33.98 y 40.35. 4 39 Medias y 95.0% de Fisher LSD 36 33 30 7 4 75 100 15 150 175 TEMPERATURA Figura 4. Grafica de medias para el efecto de temperatura 4.6 GRAFICA DE INTERACCIONES PARA LA TEMPERATURA Y LA CONCENTRACION Para obtener la grafica de interacciones de la temperatura y la concentración es necesario calcular las medias de las combinaciones de los dos factores, como a continuación se ilustra: TEMPERATURA CONCENTRACION 5 10 75 36.6667 41.6667 100 34.6667 39.6667 15 31.3333 36.3333 150 3.6667 40.6667 175 19.6667 33 Esta información se presenta en una grafica x-y, como se ilustra en la figura 4.3, 55

REFLEXION GRAFICA DE INTERACCIONES 45 40 35 30 5 0 15 10 5 0 41.6667 39.6667 40.6667 36.3333 33 36.6667 34.6667 31.3333 3.6667 19.6667 75 100 15 150 175 5 10 TEMPERARURA Figura 4.3 Grafica de interacción entre la concentración de sulfona y la temperatura En la grafica de la figura 4.3 en el eje de las Xs se grafican los niveles de cualquiera de los dos factores, en este caso se encuentran los niveles de temperatura. En el eje de las Ys se grafica la variable de respuesta: Reflexión. En el interior de la grafica se trazan las líneas correspondientes a los niveles del otro factor, que en este caso corresponden a la concentración; la línea de abajo representa el nivel 5 de concentración, mientras que la línea de arriba representa el nivel 10 de concentración. Los puntos en la grafica representa el promedio de cada combinación, por ejemplo el valor 36.6667 es el promedio de poder de reflexión al trabajar una temperatura de 75 con una concentración de 5, mientras que el valor de 41.6667 es el promedio de poder de reflexión al trabajar una temperatura de 75 con concentración 10. De igual forma el valor 34.6667 representa el trabajar una temperatura de 100 con concentración 5 y así sucesivamente los de más casos. Una interpretación de la grafica de interacciones es la siguiente: El nivel 10 de concentración siempre produce mayor poder de reflexión con respecto al nivel de concentración 5. Cuando se trabaja nivel 5 ó 10 de concentración y se incrementa la temperatura entonces disminuye el poder de reflexión. Como se quiere mayor poder de 56

residuos reflexión se recomienda trabajar un nivel de temperatura de 75. concentración 10 con un nivel de 4.7 CONCLUSION DEL PROBLEMA Con base a la prueba de LSD de la concentración se recomienda usar el nivel 10. Con base a la prueba de LSD de la temperatura se recomienda usar la temperatura 75 ó 100. Con base a la grafica de interacciones se recomienda usar el nivel 10 de concentración con 75 de temperatura. Con base a los resultados anteriores podemos concluir que el nivel de concentración 10 con temperatura 75 es la combinación ideal para incrementar el poder de reflexión. 4.8 SUPUESTOS DEL MODELO MULTIFACTORIAL 4.8.1 SUPUESTO DE VARIANZA CONSTANTE 8 Gráfico de Residuos para REFLEXION 5-1 -4-7 5 10 CONCENTRACION Figura 4.4 Grafica de verificación de la varianza constante para la concentración de sulfona 57

residuos En este caso, debido a que son dos factores en el diseño, se requieren dos graficas de verificación de la varianza constante una para cada factor. En las figuras 4.4 y 4.5 se pueden ver las graficas de verificación de varianza constante para la concentración y la temperatura. Claramente se ve, en ambas graficas, que no hay ningún patrón inusual. 8 Gráfico de Residuos para REFLEXION 5-1 -4-7 75 100 15 150 175 TEMPERATURA Figura 4.5 Grafica de verificación de varianza constante para la temperatura 4.8. SUPUESTO DE INDEPENDENCIA DE LOS RESIDUOS En la grafica de la figura 4.6, se encuentra la grafica de verificación del supuesto de independencia de los residuos, con lo que podemos concluir que dicho supuesto se cumple. 4.8.3 SUPUESTO DE NORMALIDAD DE LOS RESIDUOS En cuanto al supuesto de la normalidad de los residuos, se puede verificar en la grafica de la figura 4.7, que no hay ningún problema con el cumplimiento de este supuesto. 58

porcentaje residuos Gráfico de Residuos para REFLEXION 8 5-1 -4-7 0 5 10 15 0 5 30 número de fila Figura 4.6 Grafica de verificación de independencia en los residuos Gráfico de Probabilidad Normal 99.9 99 95 80 50 0 5 1 0.1-6 -3 0 3 6 9 RESIDUOS Figura 4.7 Grafica de verificación de la normalidad de los residuos 59