MATEMÁTICAS APLICADAS a las

PROGRAMACIÓN de AULA (LOMCE) de la materia: MATEMÁTICAS APLICADAS a las CIENCIAS SOCIALES II 2º de BACHILLERATO Modalidad: CIENCIAS SOCIALES CONTENIDOS MÍNIMOS CURRICULARES SECUENCIACIÓN de los CONTENIDOS TEMPORALIZACIÓN de los CONTENIDOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES PERFILES COMPETENCIALES ASOCIADOS OBSERVACIÓN: La denominada Programación de Aula es uno de los elementos del currículo que diferencia a unas materias de otras. Los demás elementos (metodología; estrategias, procedimientos e instrumentos para la evaluación; criterios de calificación y de recuperación; concreción de temas transversales; medidas de atención a la diversidad; materiales y recursos; programa de actividades extraescolares y complementarias) serán desarrollados más adelante en epígrafes independientes, por tratarse de elementos que en el área de las Matemáticas, son los mismos para todos los niveles de la etapa. - 171 -

A. CONTENIDOS MÍNIMOS CURRICULARES, SECUENCIACIÓN y TEMPORALIZACIÓN BLOQUE I: NÚMEROS y ÁLGEBRA Unidad 1: Matrices (3 semanas) Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con datos estructurados en tablas y grafos. Tipos de matrices. Operaciones con matrices: sumas, restas y multiplicaciones. Rango de una matriz. Cálculo por el Método de Gauss. Matriz inversa. Cálculo por el Método de Gauss-Jordan. Aplicaciones de las matrices a las Ciencias Sociales. Unidad 2: Determinantes (2 5 semanas) Determinantes de orden dos y de orden tres. Propiedades de los determinantes. Menores complementarios y adjunto de un elemento. La matriz adjunta. Cálculo general de determinantes: desarrollo por los elementos de una línea. Cálculo del rango de una matriz por determinantes. Cálculo de la matriz inversa de una matriz por determinantes. Ecuaciones y sistemas matriciales. Unidad 3: Sistemas de ecuaciones lineales (3 semanas) Sistemas de ecuaciones lineales. Resolución de sistemas por el método de Gauss. Regla de Cramer. Escritura matricial de un sistema. Resolución mediante la matriz inversa. Sistemas homogéneos. Discusión y resolución de sistemas. Teorema de Rouché-Frobenius. Discusión de sistemas dependientes de parámetros. Aplicación de los sistemas de ecuaciones a las Ciencias Sociales y a la Economía. - 172 -

Unidad 4: Programación lineal (2 5 semanas) Desigualdades e inecuaciones lineales con una o con dos incógnitas. Inecuaciones racionales (con denominadores). Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Sistemas. Formulación matemática de un problema de Programación Lineal. Resolución gráfica de un problema de Programación Lineal. La región factible. Resolución analítica de un problema de Programación Lineal. Determinación e interpretación de las soluciones óptimas. Aplicación de la Programación Lineal a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos: problemas sobre beneficios máximos, problemas sobre costes o gastos mínimos, problemas de la dieta, problemas del transporte, etc BLOQUE II: ANÁLISIS Unidad 5: Funciones, límites y continuidad (2 semanas) Funciones reales de variable real. Operaciones con funciones. Límite de una función en un punto y en el infinito. Límites finitos e infinitos. Asíntotas y comportamiento asintótico de una función. Cálculo de límites. Indeterminaciones. Continuidad de una función en un punto. Tipos de discontinuidades. Funciones y límites en las Ciencias Sociales. Unidad 6: Derivadas (2 semanas) Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica: la recta tangente a una curva en uno de sus puntos. Derivabilidad y continuidad. La función derivada. Derivada de las operaciones con funciones: de una suma, de una diferencia, de un producto, de un cociente y de una composición de funciones. Derivadas de las funciones elementales. Aplicación de las derivadas para el estudio del: - Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. - Concavidad y convexidad de una función. Puntos de inflexión. Problemas de optimización relacionados con las Ciencias Sociales y la Economía. - 173 -

Unidad 7: Representación de funciones (2 semanas) Propiedades locales y globales de las funciones. Esquema general para el estudio y representación de funciones. Representación gráfica de funciones polinómicas, definidas a trozos, valor absoluto, racionales, irracionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Aplicaciones a las Ciencias Sociales. Unidad 8: Integrales (2 semanas) - Integrales indefinidas: Primitiva e integral indefinida. Propiedades básicas. Primitivas inmediatas y cálculo de primitivas: integración por partes, por cambio de variable y de funciones racionales. Ejemplos sencillos. - Integrales definidas: Área bajo una curva. Teorema fundamental del cálculo. Integral definida. La Regla de Barrow. Cálculo de áreas de recintos planos. Aplicaciones a las Ciencias Sociales. BLOQUE III: ESTADÍSTICA y PROBABILIDAD Unidad 9: Combinatoria (1 semana) Métodos y estrategias para el recuento: árboles y diagramas. Métodos de recuento: variaciones, permutaciones y combinaciones. Números combinatorios. Aplicaciones. Unidad 10: Probabilidad (2 semanas) Experimentos aleatorios. Espacio muestral. Sucesos. Operaciones con sucesos. Definición frecuentista de la probabilidad (Ley de los grandes números). Definición axiomática de la probabilidad (Kolmogorov). Propiedades de la probabilidad. Cálculo de probabilidades: la regla de Laplace. Experimentos simples y experimentos compuestos. Probabilidad condicionada. Dependencia e independencia de sucesos. Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes. Probabilidades iniciales (a priori), finales (a posteriori) y verosimilitud de un suceso. Aplicaciones de la probabilidad a las Ciencias Sociales y a otros ámbitos. - 174 -

Unidad 11: Distribuciones de Probabilidad (2 semanas) Variable aleatoria. Distribución de probabilidad. Variable aleatoria discreta. La distribución binomial: - Esperanza y varianza de la distribución binomial. - Aplicaciones de la distribución binomial. Variable aleatoria continua. Función de densidad. La distribución normal: - Tipificación de la variable normal. - Aproximación de la binomial por la normal. - Aplicaciones de la distribución normal. Unidad 12: Muestreo estadístico (2 semanas) Población y muestra. Técnicas de muestreo: - Métodos de selección de una muestra. - Tamaño y representatividad de una muestra. Estadística paramétrica. Parámetros de una población y estadísticos obtenidos a partir de una muestra. Media y desviación típica de la media muestral. Media y desviación típica de la proporción muestral. Distribución de probabilidad de la media muestral en una población normal. Distribución de probabilidad de la media muestral y de la proporción muestral en el caso de muestras grandes. Teorema central del límite. Unidad 13: Intervalos de confianza (3 semanas) Estimación puntual. Propiedades. Estimación por intervalos de confianza. Intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica conocida. Intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución de modelo desconocido. Intervalo de confianza para la media poblacional para la proporción muestral en el caso de muestras grandes. Relación entre nivel de confianza, error máximo admisible y tamaño muestral. Aplicaciones a las Ciencias Sociales. - 175 -

SECUENCIACIÓN y TEMPORALIZACIÓN ESTIMADAS: Es importante recordar, en primer lugar, que el Bachillerato ya no es una enseñanza obligatoria para todos los alumnos. Por tanto, el alumno que ha llegado hasta aquí es porque ha demostrado una madurez académica suficiente para afrontar estudios superiores. Por este motivo, el profesor tampoco deberá ser ya tan flexible como en la ESO a la hora de programar y planificar temporalmente los contenidos de la materia. En este nivel, pre-universitario, será imprescindible, no solo impartir todos los contenidos, sino hacerlo de la mejor forma posible, favoreciendo una preparación óptima de nuestros alumnos, tanto para la superación de las Pruebas de Acceso a la Universidad como para afrontar esos hipotéticos estudios posteriores. Recordemos ahora, que las fechas de las sesiones de evaluación quedaron establecidas en la CCP del 12/09/2016 de la siguiente forma: 1ª Evaluación: 13, 14 y 15 de diciembre de 2.016 2ª Evaluación: 14, 15 y 16 de marzo de 2.017 Evaluación final : En 2º Bach, el día 30 de mayo de 2.017 Por otra parte y como es sabido, es costumbre del centro dedicar los últimos 5 días lectivos del curso en este nivel exclusivamente a la realización de los últimos exámenes, organizados y programados por la Jefatura de Estudios en un calendario global para todos los grupos y materias, por lo que el profesor, deberá prever entonces que, el último día de clase estará en torno al 19 de mayo. Con ello, los alumnos de 2º de bachillerato tienen un total de unas 29 semanas lectivas, con 4 sesiones semanales, es decir, un total de 116 sesiones de 50 minutos. Teniendo en cuenta todo esto, una distribución temporal óptima de la materia Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, podría ser, aproximadamente, la siguiente: Trimestres Unidades de Mat. aplicadas CC.SS. II Nº semanas y sesiones Bloques 1. Matrices. 3 sem. (19 sept 7 oct) 2. Determinantes. 2 5 sem. (10 oct 26 oct) 3. Sistemas de ecuaciones lineales. 3 sem. (27 oct 18 nov) 4. Programación lineal. 2,5 sem. (21 nov 9 dic) Primera Evaluación (11 semanas = 44 sesiones) Segunda Evaluación (9 semanas = 36 sesiones) Evaluación Final (9 semanas = 36 sesiones) 5. Funciones, límites y continuidad. 2 sem. (12 dic 11 ene) 6. Derivadas. 2 sem. (12 ene 27 ene) 7. Representación de funciones. 2 sem. (30 ene 10 feb) 8. Integrales. 2 sem. (13 feb 24 feb) 9. Combinatoria. 1 sem. (1 mar 7 mar) 10. Probabilidad. 2 sem.(8 mar 21 mar) 11. Distribuciones de probabilidad. 2 sem. (22 mar 5 abril) 12. Muestreo estadístico. 2 sem. (17 abril 28 abril) 13. Intervalos de confianza. 3 sem.(2 mayo 19 mayo) Total: 29 semanas 116 sesiones I. Algebra II. Análisis III. Estadística - 176 -

B. CRITERIOS DE EVALUACIÓN, ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES y PERFILES COMPETENCIALES ASOCIADOS Criterios de Evaluación del Bloque I: NÚMEROS y ÁLGEBRA Criterio 1 (Bloque I): Organizar información procedente de situaciones del ámbito social utilizando el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices como instrumento para el tratamiento de dicha información. Aplicar el método de Gauss para resolver sistemas lineales y calcular la matriz inversa. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES: se evaluará el criterio 1 utilizando los 3 estándares siguientes para comprobar si el alumno: 1.1. Dispone en forma de matriz información procedente del ámbito social para poder resolver problemas con mayor eficacia. 1.2. Utiliza el lenguaje matricial para representar datos facilitados mediante tablas y para representar sistemas de ecuaciones lineales. 1.3. Realiza operaciones con matrices y aplica las propiedades de estas operaciones adecuadamente, de forma manual y con el apoyo de medios tecnológicos. Perfil competencial: estos 3 estándares contribuirán a que el alumno adquiera: Competencias sociales y cívicas y Competencia digital. Criterio 2 (Bloque I): Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlos utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, sistemas de ecuaciones, inecuaciones y programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES: se evaluará el criterio 2 utilizando los 2 estándares siguientes para comprobar si el alumno: 2.1. Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, el sistema de ecuaciones lineales planteado (como máximo de tres ecuaciones y tres incógnitas), lo resuelve en los casos que sea posible, y lo aplica para resolver problemas en contextos reales. 2.2. Aplica las técnicas gráficas de programación lineal bidimensional para resolver problemas de optimización de funciones lineales que están sujetas a restricciones e interpreta los resultados obtenidos en el contexto del problema. Perfil competencial: estos 2 estándares contribuirán a que el alumno adquiera: Competencias sociales y cívicas y Competencia para aprender a aprender. - 177 -

Criterios de Evaluación del BLOQUE II: ANÁLISIS Criterio 1 (Bloque II): Analizar e interpretar fenómenos habituales de las ciencias sociales de manera objetiva traduciendo la información al lenguaje de las funciones y describiéndolo mediante el estudio cualitativo y cuantitativo de sus propiedades más características. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES: se evaluará el criterio 1 utilizando los 3 estándares siguientes para comprobar si el alumno 1.1. Modeliza con ayuda de funciones problemas planteados en las ciencias sociales y los describe mediante el estudio de la continuidad, tendencias, ramas infinitas, corte con los ejes, etc. 1.2. Calcula las asíntotas de funciones racionales, exponenciales y logarítmicas sencillas. 1.3. Estudia la continuidad en un punto de una función elemental o definida a trozos utilizando el concepto de límite. Perfil competencial: estos 3 estándares contribuirán a que el alumno adquiera: Competencia en comunicación lingüística, Competencias sociales y cívicas y Competencia para aprender a aprender. Criterio 2 (Bloque II): Utilizar el cálculo de derivadas para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función, para resolver problemas de optimización extraídos de situaciones reales de carácter económico o social y extraer conclusiones del fenómeno analizado. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES: se evaluará el criterio 2 utilizando los 2 estándares siguientes para comprobar si el alumno: 2.1. Representa funciones y obtiene la expresión algebraica a partir de datos relativos a sus propiedades locales o globales y extrae conclusiones en problemas derivados de situaciones reales. 2.2. Plantea problemas de optimización sobre fenómenos relacionados con las ciencias sociales, los resuelve e interpreta el resultado obtenido dentro del contexto. Perfil competencial: estos 2 estándares contribuirán a que el alumno adquiera: Competencias sociales y cívicas y Competencia para aprender a aprender. - 178 -

Criterio 3 (Bloque II): Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables utilizando técnicas de integración inmediata. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES: se evaluará el criterio 3 utilizando los 2 estándares siguientes para comprobar si el alumno: 3.1. Aplica la regla de Barrow al cálculo de integrales definidas de funciones elementales inmediatas. 3.2. Aplica el concepto de integral definida para calcular el área de recintos planos delimitados por una o dos curvas. Perfil competencial: estos 2 estándares contribuirán a que el alumno adquiera: Competencia para aprender a aprender. Criterios de Ev. del Bloque III: ESTADÍSTICA y PROBABILIDAD: Criterio 1 (Bloque III): Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en experimentos simples y compuestos, utilizando la regla de Laplace en combinación con diferentes técnicas de recuento personales, diagramas de árbol o tablas de contingencia, la axiomática de la probabilidad, el teorema de la probabilidad total y aplica el teorema de Bayes para modificar la probabilidad asignada a un suceso (probabilidad inicial) a partir de la información obtenida mediante la experimentación (probabilidad final), empleando los resultados numéricos obtenidos en la toma de decisiones en contextos relacionados con las ciencias sociales. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES: se evaluará el criterio 1 utilizando los 4 estándares siguientes para comprobar si el alumno: 1.1. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos mediante la regla de Laplace, las fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento. 1.2. Calcula probabilidades de sucesos a partir de los sucesos que constituyen una partición del espacio muestral. 1.3. Calcula la probabilidad final de un suceso aplicando la fórmula de Bayes. 1.4. Resuelve una situación relacionada con la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre en función de la probabilidad de las distintas opciones. Perfil competencial: estos 4 estándares contribuirán a que el alumno adquiera: Competencia para aprender a aprender y Competencia en sentido de iniciativa y espíritu emprendedor. Criterio 2 (Bloque III): Describir procedimientos estadísticos que permiten estimar parámetros desconocidos de una población con una fiabilidad o un error prefijados, calculando el tamaño muestral necesario y construyendo el intervalo de confianza para la media de una población normal con desviación típica conocida y para la media y proporción poblacional cuando el tamaño muestral es suficientemente grande. - 179 -

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES: se evaluará el criterio 2 utilizando los 6 estándares siguientes para comprobar si el alumno 2.1. Valora la representatividad de una muestra a partir de su proceso de selección. 2.2. Calcula estimadores puntuales para la media, varianza, desviación típica y proporción poblacionales, y lo aplica a problemas reales. 2.3. Calcula probabilidades asociadas a la distribución de la media muestral y de la proporción muestral, aproximándolas por la distribución normal de parámetros adecuados a cada situación, y lo aplica a problemas de situaciones reales. 2.4. Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica conocida. 2.5. Construye, en contextos reales, un intervalo de confianza para la media poblacional y para la proporción en el caso de muestras grandes. 2.6. Relaciona el error y la confianza de un intervalo de confianza con el tamaño muestral y calcula cada uno de estos tres elementos conocidos los otros dos y lo aplica en situaciones reales. Perfil competencial: estos 6 estándares contribuirán a que el alumno adquiera: Competencia para aprender a aprender, Competencias sociales y cívicas y Competencia en sentido de iniciativa y espíritu emprendedor. Criterio 3 (Bloque III): Presentar de forma ordenada información estadística utilizando vocabulario, notación y representaciones adecuadas y analizar de forma crítica y argumentada informes estadísticos presentes en los medios de comunicación, publicidad y otros ámbitos, prestando especial atención a su ficha técnica, detectando posibles errores y manipulaciones en su presentación y conclusiones. ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES: se evaluará el criterio 3 utilizando los 3 estándares siguientes para comprobar si el alumno 3.1. Utiliza las herramientas necesarias para estimar parámetros desconocidos de una población y presentar las inferencias obtenidas mediante un vocabulario y representaciones adecuadas. 3.2. Identifica y analiza los elementos de una ficha técnica en un estudio estadístico sencillo. 3.3. Analiza de forma crítica y argumentada información estadística presente en los medios de comunicación y otros ámbitos de la vida cotidiana. Perfil competencial: estos 3 estándares contribuirán a que el alumno adquiera: Competencia en comunicación lingüística, Competencia en sentido de iniciativa y espíritu emprendedor y Competencias sociales y cívicas. - 180 -