UNIVERIDAD DE PUERTO RICO RECINTO DE RIO PIEDRA FACULTAD DE ADMINITRACION DE EMPREA Instituto de Estadística y istemas Computadorizados de Información Elección de la mejor estrategia de promoción de ventas, mediante ANCOVA Preparado por: José Carlos Vega Vilca, Ph.D. josevega0@yahoo.com
ANALII DE COVARIANZA CON UN FACTOR El análisis de covarianza (ANCOVA) es una técnica muy útil para mejorar la precisión de un experimento, es una combinación de dos técnicas: análisis de varianza y análisis de regresión. uponga que en un experimento con una variable respuesta Y, existe otra variable, por ejemplo X, que está relacionada linealmente con Y. Además suponga que X no puede ser controlada por el experimentador, pero puede observarse junto con Y. A la variable X se le llama variable concomitante o covariable. El análisis de covarianza implica ajustar la variable respuesta para eliminar el efecto de la variable concomitante, con el fin de detectar las verdaderas diferencias en las respuestas debidas sólo a los tratamientos. CAO: Elección de la mejor estrategia de promoción de ventas Una empresa estudia los efectos de tres tipos de estrategias de promoción de ventas de sus galletas Estrategia 1. Toma de muestras del producto por los clientes en la tienda y exhibe el prodcuto en estanterías regulares Estrategia. Espacio adicional en la estantería de ubicación regular Estrategia 3. Estantería de exhibición especial en los extremos del pasillo, además de espacio en las estanterías regulares Quince tiendas fueron seleccionadas para el estudio, y un diseño de experimento completamente al azar, fue usado. Cada tienda fue asignada aleatoriamente a uno de los tres tipos de estrategias de promoción, con cinco tiendas asignadas a cada uno de los tipos de promociones. Otras condiciones pertinentes en el control de la empresa, tales como el precio y la publicidad, se mantuvieron constantes para todas las tiendas en el estudio. Los datos sobre el número de casos de los productos vendidos durante el período promocional, denotado por Y, se presentan en la siguiente tabla, así como también datos sobre las ventas del producto en el período anterior a la promoción aplicada, denotada por X. Esta última variable se utilizó como la variable concomitante (covariable). Tabla 1. Datos del experimento Estrategia 1 Estrategia Estrategia 3 Y X Y X Y X 38 1 43 34 4 3 39 6 38 6 3 9 36 38 9 31 30 45 8 7 18 1 16 33 19 34 5 8 9 191 116 180 13 136 17 1
TX: Total de la variable X TY: Total de la variable Y TX = 375 TY = 507 uma de cuadrados y productos de Totales: 375 = 1 + 6 + + L + 16 + 9 = 360.0 15 507 YY = 38 + 39 + 36 + L + 1 + 8 = 646.4 15 (375)(507) XY = (1)(8) + (6)(39) + L + (9)(8) = 6.0 15 uma de cuadrados y productos de Tratamientos: T 116 13 17 375 T = + + = 6.8 5 5 5 5 191 180 136 507 T YY = + + = 338.8 5 5 5 5 (116)(191) (13)(180) (17)(136) (375)(507) T XY = + + = 37.4 5 5 5 5 uma de cuadrados y de productos del Error: E E = T = 333. EYY = YY TYY = 307.6 EXY = XY TXY = Tabla. 99.4 uma de cuadrados y productos Fuentes g.l. X XY Y T: Estrategias 6.8 37.4 338.8 E: Error 1 333. 99.4 307.6 : Total 14 360.0 6.0 646.4
Fuentes Ajustados por la covariable XY C( Total _ Ajustado) = YY = 455.7 EXY C( Error _ Ajustado) = EYY = 38.57 E C( Estrategia _ Ajustado) = C( Total _ Ajustado) C( Error _ Ajustado) = 455.7 38.57 = 417.15 Tabla 3. Fuentes ANOVA de fuentes ajustadas g.l. uma de Cuadrados Cuadrados Medios Cálculo de la prueba F Estrategias_Ajust 417.15 08.575 59.4 Error_Ajust 11 38.57 3.51 Total_Ajust 13 455.7 Análisis de Regresión H 0 : β = 0 H 1 : β 0 Coeficiente de regresión estimado ˆ EXY 99.4 β = = = 0.8986 E 333. uma de cuadrados de la regresión ˆ C( regresión) = β E = (0.8986) 333. = 69.053 Tabla 4. ANOVA de la regresión Fuentes g.l. uma de Cuadrados Cuadrados Medios Cálculo de la prueba F Regresión 1 69.053 69.053 76.65 Error_Ajust 11 38.57 3.51 3
Fcal = 76.65. e rechaza la hipótesis nula. La covariable influye sobre la variable respuesta. Las ventas del período en estudio dependen de la estrategia de promoción de ventas del producto y de la covariable (ventas en el período anterior al estudio). La importancia del ANCOVA radica en que puede eliminar el efecto de la covariable sobre la variable en estudio y para que esta sólo pueda estar afectada por la estrategia de ventas. Análisis de Tratamientos (Estrategias) La Tabla 3, muestra un ANOVA de fuentes ajustadas por la covariable, donde las hipótesis son las siguientes: H 0 : No hay diferencia entre los promedios de ventas con las tres estrategias H 1 : Al menos un promedio de ventas es diferente. Fcal = 59.4. e rechaza la hipótesis nula. Al menos un promedio de ventas es diferente. Prueba de Tukey Los promedios de tratamiento ajustados por la covariable pueden ser calculados por la siguiente fórmula Y = Y ˆ β ( X X ) () i Ajustada () i () i Y = Y ˆ β ( X X ) = 38. 0.8986 (3. 5.0) = 39.8 (1) Ajustada (1) (1) Y = Y ˆ β ( X X ) = 36.0 0.8986 (6.4 5.0) = 34.74 () Ajustada () () Y = Y ˆ β ( X X ) = 7. 0.8986 (5.4 5.0) = 6.84 (3) Ajustada (3) (3) qtukey(0.95, 3, 11) = 3.8 CME Ajustado = 3.51 n = n = n = 1 3 5 4
Tabla 5. Prueba de comparaciones múltiples. Comparación Y() i Ajus Y( j) Ajus 3.8 CME Ajustado 1 vs. 39.8 34.74 = 5.08 3. 1 vs. 3 39.8 6.84 = 1.98 3. vs. 3 34.74 6.84 = 7.90 3. 1 1 + ni nj e concluye que los tres tratamientos son diferentes, las tres estrategias de promoción producen diferente resultados en las ventas; la primera estrategia produce las mejores ventas. A la misma conclusión se llega mediante la construcción de intervalos, a continuación. Tabla 6. Comparación Intervalo 1 vs. 5.08 ± 3. = (1.88 8.8) 1 vs. 3 9.78 ± 3. = (9.78 16.18) vs. 3 7.90 ± 3. = (4.70 11.10) OLUCIÓN UANDO R y=c(38,39,36,45,33,43,38,38,7,34,4,3,31,1,8) x=c(1,6,,8,19,34,6,9,18,5,3,9,30,16,9) tr=c(rep(1,5),rep(,5),rep(3,5)) tr=factor(tr) Análisis de Regresión a1=lm(y~tr+x) summary(a1) Coefficients: Estimate td. Error t value Pr(> t ) (Intercept) 17.3534.530 6.878.66e-05 *** tr -5.0754 1.90-4.130 0.00167 ** tr3-1.9768 1.056-10.764 3.53e-07 *** x 0.8986 0.106 8.759.73e-06 *** e concluye que el coeficiente de regresión es significativo. También se concluye lo mismo desde la prueba F. 5
anova(a1) Df um q Mean q F value Pr(>F) tr 338.80 169.40 48.310 3.566e-06 *** x 1 69.03 69.03 76.73.731e-06 *** Residuals 11 38.57 3.51 Análisis de Tratamientos (Estrategias) a=lm(y~x+tr) anova(a) Df um q Mean q F value Pr(>F) x 1 190.68 190.68 54.379 1.405e-05 *** tr 417.15 08.58 59.483 1.64e-06 *** Residuals 11 38.57 3.51 Verificación de supuestos resi=residuals(a) pre=predict(a) plot(resi) plot(pre,resi) qqnorm(resi) qqline(resi) boxplot(resi~tr) 6
shapiro.test(resi) bartlett.test(resi~tr) OLUCION UANDO MINITAB Analysis of Variance for y, using Adjusted for Tests ource DF eq Adj Adj M F P x 1 190.68 69.03 69.03 76.7 0.000 tr 417.15 417.15 08.58 59.48 0.000 Error 11 38.57 38.57 3.51 Total 14 646.40 Term Coef E Coef T P Constant 11.336.610 4.34 0.001 x 0.8986 0.106 8.76 0.000 Tukey 95.0% imultaneous Confidence Intervals Response Variable y All Pairwise Comparisons among Levels of tr tr = 1 subtracted from: tr Lower Center Upper --+---------+---------+---------+---- -8.40-5.08-1.756 (------*-----) 3-16.3-1.98-9.70 (-----*------) --+---------+---------+---------+---- -15.0-10.0-5.0 0.0 tr = subtracted from: tr Lower Center Upper --+---------+---------+---------+---- 3-11.11-7.901-4.690 (-----*------) --+---------+---------+---------+---- -15.0-10.0-5.0 0.0 7
REFERENCIA Kutner, M., Nachtsheim, C., Neter, J. And Li, W. (005). Applied Linear tatistical Models. Fifth Edition. Mc Graw Hill. Montgomery, D. (004). Diseño y Análisis de Experimentos. egunda Edición. Editorial Limusa,.A. de C.V. Grupo Noriega Editores. Balderas 95, Mexico D.F., LIMUA WILEY. 8