Tema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción

Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por una dirección, un sentido y un módulo. Estas definiciones se suelen dar para vectores de R 2 y R 3. También conocemos que dos vectores en R 2 y en R 3 se pueden sumar analíticamente (es decir sumando cada coordenada) y geométricamente (mediante la regla del paralelogramo). Además también se puede multiplicar un número (escalar) por un vector, cuyo resultado es alargar o encoger el vector o cambiarle su sentido en función de si el número es negativo o no. Por tener definidas estas operaciones (y cumplir una serie de propiedades) se dice que R 2 (o R 3 ) es un espacio vectorial. Sin embargo el concepto de espacio vectorial, en definitiva de vector, es mucho más amplio y no sólo se reduce al de segmento orientado sino que a la luz del siguiente tema veremos que otros conjuntos comparten todas las propiedades de las operaciones con vectores de R 2 y R 3 con lo cual también los llamaremos vectores. Así, en este tema, veremos que el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que dos con las operaciones de suma de polinomios y la multiplicación de un número por un polinómio, es un espacio vectorial ( con lo cual un polinomio es un vector!). También las matrices de 2 filas y 3 columnas es un espacio vectorial con la suma de matrices y multiplicación de un número por una matriz (por tanto una matriz 2 3 también es un vector!) y otros muchos conjuntos también cumplen las propiedades de ser un espacio vectorial, con lo cual sus elementos se pueden llamar vectores. Sin embargo, por su gran importancia, comenzaremos estudiando con detalle los espacios vectoriales de la forma K n (donde K = Q, R o Z p, con p primo) y veremos como otros espacios vectoriales se pueden estudiar a partir de ellos. Durante todas estas notas por K entenderemos que representa a R, Q o Z p con p un número primo. 1

2 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES 2.2. Vectores en K n Definición 2.2.1. Sea n 1 un número natural. Un vector sobre K de dimensión n es una lista ordenada de n números de K, es decir v = (a 1,...,a n ) con los a i K. Los a i se llaman las coordenadas del vector v. Al conjunto de los vectores de dimensión n sobre K lo denotaremos por K n. Los vectores pueden verse como un tipo especial de matrices, por lo que pueden efectuarse sobre ellos las mismas operaciones de suma y producto por un elemento de K que podíamos realizar en general. Ejemplo 2.2.1. Dados los vectores v = (1, 3, 4, 2) y w = (1, 3, 2, 0) de Q 4, v + w = (2, 0, 6, 2), y 1/2v = (1/2, 3/2, 2, 1). Llamaremos vector 0 a 0 = (0,...,0) K n. Definición 2.2.2. Sean v 1,...,v m vectores de K n. Una combinación lineal de v 1,...,v m es cualquier expresión del tipo t 1 v 1 +... + t m v m, donde los t i K. Para saber si un vector v es combinación lineal de los vectores v 1, v 2...,v m tenemos que resolver el SEL (sistema de ecuaciones lineales) que tiene a los vectores v 1,...,v m como columnas en la matriz de coeficientes y al vector v como columna de términos independientes. Si el SEL es incompatible quiere decir que el vector v no es combinación lineal de v 1,...,v m. El conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de v 1,...,v m se denota v 1,...,v m. Es decir, v 1,...,v m = {t 1 v 1 +... + t m v m, t i K} Diremos que los vectores v 1,...,v m generan K n (o que forman un sistema generador de K n ) si v 1,...,v m = K n Ejemplo 2.2.2. Consideremos el espacio vectorial Z 4 7. Los vectores u = (0, 5, 5, 6) y v = (2, 0, 5, 6) son combinaciones lineales de los vectores v 1 = (2, 3, 1, 4), v 2 = (1, 2, 1, 4) ya que u = 2v 1 + 3v 2 y v = 4v 1 + 1v 2. Ejemplo 2.2.3. 1. (0, 0, 0, 0) = {(0, 0, 0, 0)}.

2.2. VECTORES EN K N 3 2. Si v 1 = (1, 2) y v 2 = (0, 1) son vectores de R 2 entonces v 1, v 2 = {(0, 0), (1, 2), (0, 1), (1, 1), ( 3, 2 3 1),...}. Nótese que al hacer todas las combinaciones lineales posibles de v 1 y v 2 aparecen todos los vectores de R 2 3. Si v 1 = ( 1, 3, 2), v 2 ( 1, 0, 1) y v 3 = ( 2, 3, 3) son vectores de R 3 entonces es fácil observar que v 1, v 2, v 3 = v 1, v 2 Ejemplo 2.2.4. Comprobemos que los vectores v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (0, 0, 2), v 3 = (2, 1, 1), v 4 = ( 1, 2, 1) generan R 3. Consideremos un vector arbitrario de R 3, pongamos (a, b, c), y ver si la ecuación vectorial asociada (a, b, c) = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 + λ 4 v 4 tiene siempre solución. Eso es lo mismo que decir que el SEL a = λ 1 +2λ 3 λ 4 b = λ 3 +2λ 4 c = λ 1 +2λ 2 +λ 3 +λ 4 es compatible, lo cual es fácil de comprobar resolviéndolo por Gauss. Observación 2.2.1. 1. A la vista del ejemplo anterior es fácil observar que si tenemos menos de n vectores de K n, éstos nunca podrán generar K n. 2. En resumen, para estudiar si un vector w = (b 1, b 2,...,b n ) es combinación lineal de v 1,...,v k tenemos que resolver el siguiente sistema A X = w t, donde A es la matriz que resulta al poner los vectores v 1, v 2,...,v k por columnas. En particular tendremos que v 1,...,v k (k n) es un sistema generador de K n si cualquier sistema A X = w t tiene solución. Otros espacios vectoriales muy importantes son precisamente aquellos espacios vectoriales que se encuentran dentro de K n. Por ejemplo, en R 3 tomemos un plano que pasa por el origen. Entonces si sumamos dos vectores de ese plano el vector resultante también está en el plano y lo mismo si multiplicamos un número por un vector. Se dice entonces que ese plano es un subespacio de R 3. Definición 2.2.3. Un subconjunto no vacío de K n se dice que es un subespacio si cumple: a) Si se suman dos vectores v y w del subespacio entonces v + w también está en el subespacio. b) Si v es un vector del subespacio y lo multiplicamos por un número r, entonces rv está en el subespacio.

4 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Observación 2.2.2. Todo subespacio contiene al vector 0. La esfera de radio 1 con centro en el (0, 0, 0) no puede ser un subespacio de R 3 ( por qué??). Los únicos subespacios posibles de R 3 son: 1. el formado por el vector (0, 0, 0), 2. las rectas que pasan por (0, 0, 0), 3. los planos que pasan por (0, 0, 0), 4. y, por supuesto, el propio R 3. Proposición 2.2.1. Dados los vectores v 1, v 2,...,v m de K n. El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles v 1,...,v m es un subespacio. Se llama subespacio generado por v 1, v 2...,v m y se dice que los vectores v 1, v 2,...,v m son un sistema generador del subespacio. Demostración. Sean v, w v 1,...,v n. Es decir, v = t 1 v 1 +... + t n v n, w = s 1 v 1 +... + s n v n, por lo que v + w = (t 1 + s 1 )v 1 +... + (t n + s n )v n, y así v + w v 1,...,v n. Análogamente, r v = r (t 1 v 1 +...+t n v n ) = r t 1 v 1 +...+r t n v n v 1,...,v n. Nos pueden dar un subespacio W de K n de tres formas. Es muy importante saber pasar de una forma a otra: mediante un sistema generador de W. Ejemplo 2.2.5. El subconjunto W = (1, 2, 1), (2, 3, 1) es un subespacio de R 3. Mediante una expresión paramétrica, es decir, las coordenadas de los vectores de un subespacio vienen dadas en función de unos ciertos parámetros. Dichas funciones deben de ser necesariamente lineales, esto es, expresiones del tipo (2t+3s, t s, 5t+ 2s) en las que cada expresión es suma de constantes por parámetros. Ejemplo 2.2.6. El subespacio W anterior se escribe con ecuaciones paramétricas x = 1t + 2s del siguiente modo: W y = 2t + 3s donde t,s son parámetros (es decir, z = ( 1)t + s valores arbitrarios de R). Para obtener vectores de W sólo tenemos que dar valores concretos a t y a s. Mediante unas ecuaciones que deben de cumplir los vectores del subespacio. Dichas ecuaciones son siempre ecuaciones lineales homogéneas. Se dice que el subespacio está dado en ecuaciones implícitas.

2.3. BASES Y COORDENADAS 5 Ejemplo 2.2.7. La ecuación implicita del subespacio W anterior es W 5x + 3y+z = 0. Para obtenerla es necesario eliminar los parámetros t y s de las ecuaciones implícitas. Para este fin consideramos la matriz (A X) = 1 2 x 2 3 y 1 1 z Para que (x, y, z) sean las coordenadas de un vector de W necesitamos que el rango de la matriz (A X) sea 2 (que es el rango de A). Esto lo conseguimos calculando una matriz escalonada de (A X) 1 2 x 0 1 2x + y 0 0 5x + 3y + z he imponiendo la condición de que dicha matriz tenga rango igual al de A, es decir imponiendo 5x + 3y + z = 0. Pregunta: Cuántas ecuaciones implícitas tiene el espacio R 3? Las dos primeras formas de presentar un subespacio son esencialmente la misma y sirven para calcular tantos vectores del subespacio como queramos, para lo que no hay más que dar valores a los parámetros. Las ecuaciones implícitas, por contra, sirven para saber si un determinado vector está o no en un subespacio. Las ecuaciones implícitas de un subespacio no son únicas, ya que puede haber distintos sistemas de ecuaciones homogéneos con las mismas soluciones. Observación 2.2.3. Los subespacios de R 3 nos van a permitir hacer construcciones complejas en el espacio como la casa que se construye en la página 9 de los apuntes del Tema 3. Observad que, aunque los subespacios de R 3 son infinitos podemos delimitarlos para así construir los segmentos y rectángulos, sin más que acotando el rango de valores de los parámetros en las ecuaciones paramétricas, como podéis ver en las páginas 11, 12, 13, 14 y 15.. 2.3. Bases y coordenadas Vamos a recordar el concepto de vectores linealmente dependientes e independientes. Intuitivamente, si consideramos el espacio R 3 y tenemos 3 vectores (todos ellos distintos del vector 0) decir que son linealmente dependientes quiere decir que están en una misma recta, o bien, que están en un mismo plano. Por contra, si son linealmente independientes quiere decir que dos de ellos están en un mismo plano y el tercero está fuera de ese plano.

6 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Definición 2.3.1. Un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si ninguno de ellos puede ponerse como combinación lineal de los demás. A la hora de hacer los problemas: 1. Para ver si v 1,...,v m K n son independientes hay que comprobar que si t 1 v 1 +... + t m v m = 0, entonces t 1 = t 2 =... = t m = 0. 2. Si v 1,...,v m K n son vectores de modo que v m es combinación de los demás, entonces v 1,...,v m = v 1,...,v m 1. 3. Cuando tengamos varios vectores, los representaremos mediante una matriz sin más que escribir cada vector en una fila. Es fácil comprobar lo siguiente: si un conjunto de vectores es independiente y hacemos una operación elemental por filas, entonces los vectores fila siguen siendo linealmente independientes. Además los vectores fila de la matriz transformada generan el mismo subespacio que los originales. 4. Para saber si un conjunto de vectores son linealmente independientes o no, basta colocarlos por filas en una matriz y hacer operaciones elementales por filas hasta dejarla en forma escalonada. Las filas no nulas de dicha matriz escalonada nos dan un conjunto linealmente independiente de forma que el espacio que genera es el mismo que el conjunto original. Definición 2.3.2. Un conjunto de vectores {v 1,...,v m } es una base de K n si es sistema generador y linealmente independiente. Teorema 2.3.1. Sean w 1,...,w m K n entonces: 1. Si w 1,...,w m forman un sistema generador de K n entonces m n 2. Si w 1,...,w m son linealmente independientes entonces m n 3. Si w 1,...,w m son base entonces m = n. Demostración. 1) Si fuese m < n entonces podemos poner los vectores w 1,...,w m en las filas de una matriz y calcular una matriz escalonada. Como el número de columnas es menor que n habrá al menos una columna compuesta por ceros en dicha matriz escalonada. Si es la columna i basta cogerse el vector con todas las componentes 0 y 1 en la componente i. Ese vector no estará generado por w 1,...,w m, con lo cual dichos vectores no pueden formar un sistema generador de K n. 2) Si w 1,...,w m son independientes y m > n, al ponerlos por filas en forma de matriz y calcular una matriz escalonada, nos aparecerán filas de ceros, dado que no puede haber más de un pivote por fila y como mucho podemos tener n pivotes diferentes de 0 en la matriz escalonada (por ser m > n). Con lo cual no pueden ser independientes. 3) Es una consecuencia inmediata de 1) y 2).

2.3. BASES Y COORDENADAS 7 Dado que una base de K n es, al mismo tiempo, un sistema generador de K n y linealmente independiente, tenemos, como consecuencia del resultado anterior, el siguiente corolario. Corolario 2.3.1. Sea B = {v 1,...,v m } una base de K n. Entonces m = n. Observación 2.3.1. El hecho de elegir diferentes bases es lo que nos va a permitir modificar el origen a la hora de situar la casa como se hace en los apuntes del Tema 3 (página 6). La importancia de que los vectores de una base sean linealmente independientes queda de manifiesto en la página 7 cuando vemos que si elegimos más de 3 direcciones en R 3 a la hora de construir los puntos, tendríamos diferentes formas de construirlos. Proposición 2.3.1. Un conjunto de vectores B = {v 1...,v n } de K n es una base de K n todo vector v K n puede escribirse de forma única en la forma v = t 1 v 1 +... + t n v n. En este caso, (t 1,...,t n ) B se llaman las coordenadas de v en la base B. Demostración. Cualquier vector v está en v 1,...,v n, por lo que puede ponerse como t 1 v 1 +... + t n v n. Por otra parte, si tenemos v = t 1 v 1 +... + t n v n v = s 1 v 1 +... + s n v n, entonces t 1 v 1 +... + t n v n = s 1 v 1 +... + s n v n, es decir, (t 1 s 1 )v 1 +... + (t n s n )v n = 0. Como v 1,...,v n son independientes, esto obliga a que cada t i sea igual al correspondiente s i. Como todo vector de K n puede escribirse en la forma t 1 v 1 +... + t n v n, tenemos que v 1,...,v n = K n. Por otro lado, si tenemos t 1 v 1 +... + t n v n = 0, como también 0v 1 +... + 0v n = 0, por la unicidad t 1 = t 2 =... = t n = 0. Así pues, v 1,...,v n son independientes. Ejemplo 2.3.1. 1. Una base de K n está formada por los vectores e 1 = (1, 0,...,0), e 2 = (0, 1,...,0),, e n = (0, 0,...,1) Las coordenadas de un vector en esta base no son más que las componentes del vector. Dicha base se denota por C K n (o simplemente por C si se sobreentiende el espacio K n sobre el cual trabajamos) y se llama base canónica de K n. 2. Los vectores (1,1) y (-1,1) forman una base de R 2. 3. Desde un punto de vista práctico, determinar las coordenadas de un vector respecto de una base de K n cualquiera consiste en resolver un sistema de ecuaciones compatible (determinado). En concreto, consideremos en el Z 5 -espacio vectorial Z 3 5 el conjunto B = {(1, 2, 4), (2, 2, 1), (0, 3, 2)}.

8 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Entonces es fácil comprobar que B es una base de Z 3 5 ( compruébese!!). Vamos a calcular las coordenadas del vector (3, 1, 1) Z 3 5 respecto de dicha base. Se trata de encontrar tres elementos de Z 5, a, b y c, tales que a(1, 2, 4) + b(2, 2, 1) + c(0, 3, 2) = (3, 1, 1). Esta ecuación vectorial se puede expresar como un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas a, b, c : a + 2b = 3 2a + 2b + 3c = 1. 4a + b + 2c = 1 Resolviendo el sistema por el método de Gauss obtenemos que a = 0, b = 4 y c = 1. Por tanto las coordenadas de (3, 3, 1) respecto de la base B son (0, 4, 1). Comprobemos esto último: 0(1, 2, 4) + 4(2, 2, 1) + 1(0, 3, 2) = (8, 8, 4) + (0, 3, 2) = (8, 11, 6) = (3, 1, 1). Si tenemos una base B, podemos identificar los vectores con sus coordenadas respecto a B. En particular, un conjunto de vectores es generador o independiente si y sólo si sus coordenadas lo son como vectores de K n. Definición 2.3.3. Sea W un subespacio de K n. Un conjunto de vectores {v 1,...,v k } se dice conjunto generador de W si W = v 1,...,v k. Si, además, el conjunto {v 1,...,v k } es linealmente independiente, diremos que es una base de W. Si W tiene una base B, llamaremos dimensión de W al número de elementos de B y lo denotaremos como dim K W. Habíamos definido el rango de una matriz como el número de filas no nulas en una matriz escalonada. Una interpretación en términos de subespacios es que el rango es la dimensión del subespacio generado por las filas de la matriz. Puede comprobarse que el rango coincide también con la dimensión del subespacio generado por las columnas de la matriz. De lo anterior se deduce que si W = v 1, v 2,...,v k, para calcular una base de W nos quedamos con los linealmente independientes. Eso lo haremos poniendo los vectores v 1, v 2,...,v k por filas en una matriz y calculando la matriz escalonada. Los vectores fila no nulos de dicha matriz escalonada nos dan una base de W. Por otro lado si W es un subespacio de K n de dimensión r, para calcular una base de K n nos inventamos n k vectores, con la precaución de que al juntarlos con los de la base de W sean linealmente independientes (es decir su matriz escalonada no nos de filas nulas).

2.3. BASES Y COORDENADAS 9 De todo lo anterior deducimos la siguiente consecuencia: Corolario 2.3.2. Sea S = {v 1, v 2,...,v n } un conjunto de n vectores de K n. Entonces son equivalentes: 1. S es base de K n. 2. S es linealmente independiente. 3. S es un conjunto generador de K n. Por tanto, a la vista de éste resultado, si nos dan un conjunto con tantos vectores como la dimensión de K n para que sea base de K n bastará probar que son linealmente independientes. 1. Consideremos el subespacio W de R 3 dado por las ecuaciones im- Ejemplo 2.3.2. plícitas: x y + z = 0 x z = 0 Para calcular una base de W, resolvemos dicho sistema, teniendo en cuenta que, para ello, debemos introducir 1 variable libre (n o variables libres = n o componentes - n o ecuaciones implícitas linealmente independientes). Obtenemos la solución }. W = {(a, 2a, a) a R}. El subespacio W de R 3 está generado por el conjunto {(1, 2, 1)}, así W = (1, 2, 1). Como es claramente independiente se tiene que B W = {(1, 2, 1)} con lo que dim W = 1. 2. La solución de la ecuación lineal x y z t = 0 en R 4 es W = {(a + b + c, a, b, c) a, b, c R}. Cualquier vector solución (a + b + c, a, b, c) W se expresa de la forma Por tanto (a + b + c, a, b, c) = (a, a, 0, 0) + (b, 0, b, 0) + (c, 0, 0, c) = = a(1, 1, 0, 0) + b(1, 0, 1, 0) + c(1, 0, 0, 1). W = (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1). Además esos tres vectores son linealmente independientes como se puede comprobar al hacer la matriz escalonada. Con lo cual B W = {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)} y así dim W = 3. Si queremos ampliar dicha base hasta una base de R 4 bastará añadir un cuarto vector que sea linealmente independiente con los de la base de W, podemos tomar (1, 0, 0, 0) ( compruébese!!).

10 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Observación 2.3.2. Siempre que nos den un subespacio W de K n en forma de sistema generador, para calcular una base de W tenemos que comprobar que dichos vectores son linealmente independientes calculando una matriz escalonada de esos vectores puestos por filas. Una vez que nos hemos quedado con los l.i. el número de parámetros para calcular las ecuaciones paramétricas y el número de ecuaciones implícitas están relacionadas mediante la siguiente relación: n o de ecuaciones implícitas l.i. = n - n o de parámetros Otra forma de expresar lo anterior es: rg(a) = dim K n dim W, siendo A la matriz de coeficientes de las ecuaciones implícitas. 2.4. Operaciones con Subespacios Definición 2.4.1. Sean W 1, W 2 K n. Se llama 1. Intersección de W 1 y W 2, W 1 W 2 = {v K n /v W 1 y v W 2 } 2. Suma de W 1 y W 2, W 1 + W 2 = {v 1 + v 2 /v 1 W 1 y v 2 W 2 } Proposición 2.4.1. W 1 W 2 y W 1 + W 2 son subespacios de K n. Demostración. 1) Sean u, v W 1 W 2, r, s K. Como u, v W 1 y W 1 es un subespacio, r u + s v W 1. Análogamente, como W 2 es un subespacio, r u + s v W 2. Así pues, r u + s v W 1 W 2. 2) Sean v, w W 1 + W 2, r, s K. Por tanto, v = v 1 + v 2, con v 1 W 1, v 2 W 2 w = w 1 + w 2, con w 1 W 1, w 2 W 2 Ahora r v + s w = r(v 1 + v 2 ) + s(w 1 + w 2 ) = (rv 1 + sw 1 ) + (rv 2 + sw 2 ). Pero rv 1 + sw 1 W 1, por ser W 1 un subespacio, y rv 2 + sw 2 W 2, por ser W 2 un subespacio; por tanto r v + s w W 1 + W 2. Notación Si W 1 W 2 = {0}, se dice que la suma W 1 +W 2 es directa, y suele denotarse por W 1 W 2. Observación 2.4.1. Respecto a bases y subespacios, un resultado interesante es el siguiente. Si W 1, W 2 son subespacios de K n entonces: dim K (W 1 + W 2 ) = dim K (W 1 ) + dim K (W 2 ) dim K (W 1 W 2 )

2.5. OTROS ESPACIOS VECTORIALES 11 2.5. Otros espacios vectoriales Definición 2.5.1. Un espacio vectorial sobre K es un conjunto V con dos operaciones, llamadas suma y producto por un número de K, cumpliendo: 1. u + (v + w) = (u + v) + w, u, v, w V 2. u + v = v + u, u, v V 3. Existe un vector 0 V tal que v + 0 = v, v V 4. Para cada v V existe otro vector, llamado -v, tal que v + (-v) = 0 5. r (u + v) = r u + r v, u, v V, r K 6. (r s) v = r (s v), v V, r, s K 7. (r+s) v = r v + s v, v V, r, s K 8. 1 v = v, v V En este caso, a los elementos de V los llamaremos vectores y a los de K, escalares. Ejemplo 2.5.1. 1. Los vectores de K n que hemos estudiado hasta ahora forman un espacio vectorial. 2. K n [X], los polinomios con coeficientes en K de grado n, con la suma y producto por un número habituales son también un espacio vectorial. 3. M 3 3 (R) con la suma y producto por un escalar definidos en el tema anterior, son un espacio vectorial. 4. El espacio de señales. Sea S el espacio de todas las sucesiones de números infinitas hacia la derecha y hacia la izquierda y k = (...,y 2, y 1, y 0, y 1, y 2,...) La suma de dos de tales sucesiones o su producto por un número se realizan componente a componente, por lo que trivialmente se cumplen las propiedades de espacio vectoial. Los elementos de S aparecen en cualquier ingeniería cuando, por ejemplo, se discretiza o muestrea en tiempos discretos cualquier señal, ya sea eléctrica, mecánica, óptica, etc. Por conveniencia, llamaremos a S espacio de señales en tiempo discreto. Definición 2.5.2. Sean v 1,...,v n V. Llamaremos una combinación lineal de v 1,...,v n a cualquier expresión del tipo t 1 v 1 +... + t n v n, donde los t i K.

12 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Llamaremos v 1,...,v n al conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de v 1,...,v n. Un conjunto de vectores v 1,...,v n V se dice un sistema generador de V si v 1,...,v n = V Definición 2.5.3. Un subconjunto W V, se dice un subespacio si cumple: a) Si u, v W entonces u + v W. b) Si u W, r K, entonces r v W Equivalentemente, un conjunto de vectores forman un subespacio si u, v W, r, s K r u + s v W. Si W es un subespacio de V, lo escribiremos como W V. Definición 2.5.4. Un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si ninguno de ellos puede ponerse como combinación lineal de los demás. Para ver si v 1,...,v n V son independientes hay que comprobar que si t 1 v 1 +...+t n v n = 0, entonces t 1 = t 2 =...= t n = 0 Definición 2.5.5. Un conjunto de vectores v 1,...,v n V se dice base si es sistema generador y linealmente independiente. Proposición 2.5.1. B = {v 1,...,v n } V es una base de V todo vector v V puede escribirse de forma única en la forma v = t 1 v 1 +... + t n v n. En este caso,(t 1,...,t n ) B se llaman las coordenadas de v en la base B. Demostración. Igual que en K n. Proposición 2.5.2. Si B es una base y tenemos dos vectores u y v de coordenadas (t 1,...,t n ), (s 1,...,s n ) entonces a) Las coordenadas de u + v son (t 1 +s 1,...,t n +s n ) b) Las coordenadas de r v son (r t 1,...,r t n ) Una vez tengamos una base de un espacio vectorial, identificaremos los vectores con vectores en K n, donde n es el número de elementos de la base y trabajaremos con ellos como hemos hecho en las secciones anteriores. Por tanto todo lo que hemos hecho en K n lo podremos hacer en un espacio vectorial en general siempre y cuando conozcamos una base. Ejemplo 2.5.2. 1. Una base de K n [X], los polinomios con coeficientes en K de grado n, es la formada por {1, x, x 2,...,x n }. Respecto a esta base, a la que llamaremos base canónica de K n [X], un polinomio se escribe mediante su vector de coeficientes. Así, por ejemplo, en R 2 [x], una base es {1, x, x 2 } y un polinomio como 3 + x 2x 2 se escribe (3,1,-2).

2.5. OTROS ESPACIOS VECTORIALES 13 2. Las matrices M n m (K) tienen dimensión n m. Una base está formada por las matrices que tienen exactamente una entrada igual a 1 y las demás iguales a 0. Para escribir una matriz en esa base basta ir escribiendo las filas de la matriz una a continuación de otra. Así, por ejemplo, una base de M n m (K) es {( 1 0 0 0 en dicha base la matriz ) ( 0 1, 0 0 ( 2 1 3 1 ) ( 0 0, 1 0 ) ( 0 0, 0 1 ) se escribe (2,1,3,-1). 3. En términos generales, si trabajamos con otros espacios vectoriales, daremos la base y la forma en que se escribe un vector en dicha base. Definición 2.5.6. Un espacio vectorial se dice finitamente generado si existe un conjunto generador finito Teorema 2.5.1. Todo espacio vectorial finitamente generado tiene base. Demostración. Sean v 1,...,v n V un sistema generador. Si son linealmente independientes, ya son base. En otro caso, uno de ellos es combinación lineal de los demás. Supongamos que es el último. Como ya comentamos, ahora v 1,...,v n = v 1,...,v n 1, por lo que v 1,...,v n 1 es también un sistema generador. Basta ir repitiendo el procedimiento anterior e ir quitando vectores del sistema generador hasta llegar a uno que sea linealmente independiente. En el caso de que lleguemos a un único vector {v i } con v i 0, este conjunto es claramente linealmente independiente. Proposición 2.5.3. Sea V un espacio vectorial de dimensión n y v 1,...,v n V un conjunto de vectores. Entonces: a) Si son un sistema generador, son base b) Si son linealmente independientes, son base Demostración. a) Si no fueran linealmente independientes, hemos visto que puedo llegar a una base de V a base de eliminar algunos de estos vectores. Tendría así una base de V con menos de n vectores, lo que es imposible porque todas las bases deben tener el mismo número de vectores. b) Si no fuesen un sistema generador, es posible encontrar un vector v / v 1,...,v n. Es fácil comprobar ahora que {v 1,...,v n, v} son linealmente independientes, lo que es imposible porque sabemos que no puede haber más de n vectores independientes. )}

14 TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES Como ocurría en K n, dados vectores v 1,...,v m que sean un sistema generador, siempre podemos reducirlos a una base sin más que quitar de esa colección aquellos que puedan ponerse como combinación lineal de los demás. Esto se hace escribiéndolos por filas en una matriz. Al pasar dicha matriz a forma escalonada, los vectores no nulos que nos queden son la base buscada. Por otra parte, si los vectores son linealmente independientes, el conjunto puede ampliarse a una base añadiendo aquellos vectores de un sistema generador que sean independientes con ellos. En particular, si tenemos un subespacio W V, cualquier base de W puede ampliarse a una base de V.