APÉNDICE B. METODOLOGÍA ECONOMÉTRICA BÁSICA Esaconaredad El concepo de esaconaredad es de suma mporanca en la eoría de la conegracón. Aquí se ulzará el concepo de esaconaredad en sendo débl, o de segundo orden, y se refere a la msma smplemene como esaconaredad. Consderando una sere emporal como la realzacón de un proceso esocásco, se drá que ése es esaconaro en sendo débl s ene momenos de prmer y segundo orden fnos y que no varían en funcón del empo. Formalmene, un proceso esocásco x() es esaconaro en sendo débl s E E [ x( )] E[ x( + h) ] = µ < = 2 2 = E x( + h) = 2 < = E x( + h) x( h) = j [ x( ) ] [ ] µ [ x( ) x( )] [ ] < E µ con µ, µ y 2 µ j consanes a lo largo del empo. De ahora en adelane consderaremos úncamene procesos esocáscos en empo dscreo 64, sn hacer referenca a los de empo connuo. La presenca de no esaconaredad úncamene en la meda, es decr, en el momeno de prmer orden, puede recogerse nroducendo elemenos deermnsas -ales como endencas lneales o polnómcas, endencas segmenadas, varables fccas, ec en la especfcacón del proceso. En caso de que la nroduccón de esos elemenos deermnsas capure la no esaconaredad en meda del proceso, la nferenca esándar es aplcable bajo los supuesos báscos cláscos. Así, por ejemplo, los esmadores MCO endrán dsrbucones asnócas normales. En cambo, como endremos ocasón de observar, la presenca de endencas en la varanza (momeno de segundo orden) orgna que las dsrbucones ulzadas en la nferenca esándar no sean aplcables, y que algunos esadíscos (conrases de la, F, ec...) converjan haca dsrbucones no degeneradas en lugar de hacerlo haca 64 Es decr, procesos meddos en nervalos regulares de empo. Dado que las varables económcas suelen observarse en empo dscreo nos refermos úncamene a ese caso. Apéndce B/ 00
dsrbucones degeneradas. 65 Las endencas en varanza, es decr, que la varanza sea funcón del empo, pueden esar provocadas, enre oros movos, por la exsenca de raíces unaras en el polnomo de la represenacón auorregresva del proceso 66. El ejemplo más smple de no esaconaredad en varanza causada por una raíz unara en el polnomo auorregresvo es el paseo aleaoro (random walk): x φ x ) = = ( φl x ε con = φ (B..) donde ε es un rudo blanco (R.B.) y L es el operador reardo, de forma que L X = X. La no esaconaredad en varanza del paseo aleaoro se comprueba al susur recursvamene en la expresón, llegando a: X = φx o + φ ε = 0 por lo que s φ =, σ 2 es la varanza de ε y la var(xo) = O, la 2 varanza de X será σ. Claramene, se observa que el proceso de paseo aleaoro ene una endenca en la varanza y que ésa vene causada por la raíz unara en el polnomo auorregresvo. A esas endencas ambén se las denomna endencas esocáscas, dsnguéndose de las deermnsas en que las úlmas son endencas en la meda del proceso. En general, endrán endencas esocáscas odos los procesos ARIMA 67. Cuando un proceso esocásco presena una raíz unara en el polnomo auorregresvo (endenca esocásca, en varanza), es decr, presena el facor ( -L), dremos que el proceso es negrable - 65 Es decr, convergen, a medda que aumena el amaño de la muesra, haca una varable aleaora (dsrbucones no degeneradas) en lugar de hacerlo haca una escalar (dsrbucones degeneradas). 66 Tambén podrían ser creadas, por ejemplo, por la presenca de raíces en el polnomo auorregresvo denro del círculo undad. Ésas, a dferenca de las raíces unaras, no desaparecen al aplcar el operador dferenca (-L). Las mplcacones de la presenca de raíces de módulo nferor a la undad se comenan brevemene en el subaparado 2.3.3 67 Es decr, los procesos negrados auorregresvos y de medas móvles. Apéndce B/ 0
o negrado de orden, y se suele escrbr como I(). 68 Una explcacón nuva de por qué se llama negrado se obene a parr de (B.), donde X se puede expresar como: X ε = = X o + φ ε ( L) = 0 donde se observa que X es la "negracón" -enendda como suma de (posblemene nfnos) érmnos de ε. Ello ocasona que dchos procesos engan memora lmada, frene a los no negrados que la enen lmada, ya que el valor acual de X depende de odos los shocks aleaoros ( ε ) pasados, sn que el efeco de ésos se vaya dluyendo en el empo hasa desaparecer. La aplcacón del operador dferenca, =(-L), a una varable con una raíz unara en su polnomo auorregresvo la ransforma en una nueva varable esaconara en varanza. S hubésemos de aplcar d dferencacones para consegur que la varable fuese esaconara esaríamos ane un proceso I(d), de la msma manera que s el proceso ya fuera esaconaro en varanza sería I(0) 69. El valor de d se denomna orden de negrabldad de X. Dado que a una sere negrada de orden d, I(d), para ransformarla en esaconara se le deberá aplcar el polnomo ( L) d, y ése ene d raíces (solucones) de valor, es decr, d raíces unaras, al referrnos al conrase del orden de negrabldad de una sere nos referremos habualmene a él como prueba de raíces unaras. Conrases de raíces unaras 70 Los procedmenos ulzados para deermnar el orden de negrabldad de una varable son de dos pos: los empleados en la meodología Box-Jenkns y los procedmenos basados en 68 Tambén son raíces unaras las raíces complejas de módulo undad y la raíz asocada al facor (+L). Ese po de raíz genera negrabldad de po esaconal. Véase para ello el capíulo 4. 69 Ejemplos de esos procesos son el rudo blanco y odos los procesos ARMA esaconaros, es decr, con odas las raíces del polnomo auorregresvo fuera del círculo de rado undad. 70 Tomado del lbro de Surñach e al (995). Apéndce B/ 02
conrases. Los prmeros, en los que se basaba el análss radconal de seres emporales, conssen en el examen gráfco de la sere y de los correlogramas (funcones de auocorrelacón smple y parcal de la sere en cuesón). Para ese prmer méodo se esperaría que en el caso de seres esaconaras, la funcón de auocorrelacón declna rápdamene, al conraro de lo que sucede en presenca de una raíz unara que lo hace de forma rregular y prolongada. Ese procedmeno, a pesar de su cómoda y fácl mplemenacón no presena la formaldad requerda y sus resulados pueden en muchos casos ser nerpreados dscreconalmene 7. Por ello, además de examnar la varanza de la sere con dsnos órdenes de dferencacón, se han do planeando dversos conrases de raíces unaras, algunos de los cuales (los más ulzados) se explcaran más adelane. Concreamene se hará referenca a las dferenes versones del es de Dckey-Fuller y el es de Phllps-Perron. Los cuales son ulzados en el capíulo 4 para probar la esaconaredad de nuesras varables. Conrase de Dckey-Fuller (DF) y Dckey-Fuller Amplado (ADF) El prmero de esos dos conrases fue propueso por Dckey y Fuller (979) para el caso en que el proceso sea un paseo aleaoro bajo la Ho y un proceso AR() esaconaro bajo la alernava. Poserormene, en el año de 98 lo amplían para el caso en que el proceso sga un esquema AR (p) esaconaro bajo la hpóess alernava. Esa generalzacón del aneror se conoce como conrase de Dckey-Fuller Amplado. 7 Es necesaro ndcar que la meodología Box-Jenkns ambén se apoya en los ess de Ljung-Box y Box-Perce, basados en los coefcenes de auocorrelacón smples esmados. Esos conrases, que manenen bajo la hpóess nula que el proceso es rudo blanco, deecan cualquer po de mala especfcacón, denomnándose por ello ess pormaneau. Ese hecho, junamene con los coefcenes de auocorrelacón smple no son nsrumeno efcene de cara a la especfcacón del modelo, conduce a la necesdad de ulzar conrases más formales de negrabldad. Desde oro puno de vsa, puede nerprearse el orden de negrabldad d como un parámero más del modelo que debe esmarse. Ane ello, parece convenene deermnar ése ulzando un procedmeno expreso. De odos modos los conrases de raíces unaras propuesos ncorporan ambén un grado mporane de dscreconaldad, enre oras cosas por el desconocmeno del PGI. Apéndce B/ 03
Supongamos que consane): X sgue un esquema AR(p) sn derva (érmno p X = φ X + ε, conε ~ RB = (B.2.) La ecuacón caracerísca del polnomo auorregresvo de X es: λ p p = φ λ p = 0 sendo λ, λ 2 p,..., λ las raíces caraceríscas del proceso. S λ < enonces x converge a un proceso esaconaro. La conraacón de dcha hpóess en el caso de una AR() se puede planear medane la esmacón de: x = φ x + ε (B.3.) Esablecendo que la H 0 : λ = como φ =, es decr, que x ~ I(0), frene a la H a : λ <. Es, por ano, un conrase a una cola. Dcho conrase puede efecuarse con dos esadíscos: ) el sesgo normalzado T ( φ ), obendo a parr de la esmacón MCO de (B.3.); y 2) con un conrase de la de la esmacón MCO de φ, sendo la H0 el valor unaro de ese parámero. En la prácca es habual ulzar ese úlmo, aunque al ser más dreca y cómoda la consrasacón de la hpóess de sgnfcacón de un parámero (nuldad del msmo), se puede esmar por MCO el modelo que equvale a esmar el aneror: x = α x + ε (B.4.) donde α = ( φ ). Por ano, conrasar la hpóess nula de exsenca de una raíz unara ( φ ) en (B.3.) equvale a conrasar α = 0en (B.4.). La hpóess alerna sería Ha:α < 0. Por ano, los valores crícos serán negavos, por lo que s se obene un valor nferor a Apéndce B/ 04
esos valores crícos del esadísco de prueba se rechazará la hpóess nula. La dsrbucón del esmador de α no es ndependene de la presenca de un érmno consane y/o de una endenca deermnsa en la especfcacón de la ecuacón del conrase. Por lo ano, se deben consderar separadamene esas posbldades. Así endremos: a) x b) x c) x = αx + ε = µ + αx + ε = µ + β + αx + ε (B.5.) conrasándose la hpóess nula H0: α = 0 con los raos asocados Τ, Τµ, Τ a α en cada especfcacón: respecvamene, cuya dsrbucón ano asnóca como para dsnos amaños muesrales, aparecen en Fuller (976). En Dckey y Fukker (98) se presenan los valores crícos sobre la sgnfcacón ndvdual de los parámeros µ y β en las especfcacones b) y c). Debdo a las dsnas mplcacones de los res modelos sobre el comporameno de la varable72 y con la nencón de maxmzar la poenca des esos esadíscos, varos auores han propueso segur la esraega de análss a parr del modelo más general, sendo el modelo más sencllo el que mayor peso denro del análss: Examnar la ecuacón (B.5.c), el modelo más general. S no rechazamos la hpóess de raíz unara y β es no sgnfcava, Examnar la ecuacón (B.5.b), s la hpóess nula de raíz unara no es rechazada y µ es no sgnfcava, Examnar la ecuacón (B.5.a) Al planear ese conrase se esá suponendo que ε no esá auocorrelaconado. Pero ese supueso no ene porque cumplrse, por lo que la nferenca en cualquera de las res ecuacones planeadas se verá afecada. Se han propueso dos pos de solucón a ese problema: 72 Veáse Surñach e al (995). Apéndce B/ 05
a) Solucón paramérca. Elaborada por Dckey y Fuller en 98 que consse en esablecer en el es DF una esrucura de reardos de la varable dependene que perma capurar el proceso auorregresvo de esá, quedando el érmno de perurbacón lo menos correlaconada posble. A esa modfcacón de la prueba se le conoce como el es de Dckey- Fuller Amplado (ADF) y consse en esmar: p + γ x + = x = µ + β + αx ε Con p lo sufcenemene grande para garanzar que ε sea aproxmadamene rudo blanco. La dsrbucón asnóca de los parámeros µ ˆ, βˆ y αˆ es la msma que en el DF e ndependene de los parámeros γˆ, los cuales sguen asnócamene una dsrbucón normal bajo la H0. La nclusón de los reardos dependerá de su sgnfcanca según el -esadísco conrasado con las ablas de la -Suden y de algún crero de nformacón como Akake o Schwar mínmos.debe enerse en cuena que un número excesvo de reardos reducrá la poenca del conrase, menras que s no se especfca sufcenes no se recogerá oda la auocorrelacón resdual, por lo que los valores crícos abulados no serán aplcables. b) Solucón no Paramérca. Propuesa por Phllps (987) y Phllps y Perron (988) sugere ransformar los esadíscos del es de DF para hacerlos compables con la presenca de auocorrelacón y heerocedascdad en el érmno de perurbacón. La dea es ulzar los resduos esmados ε en la regresón de DF para corregr el esadísco asocado a los parámeros. De esa forma obenemos unos nuevos esadíscos z(), z(µ) y z(γ) que enen las msma dsrbucones líme de los esadíscos abulados en Fuller (976). Sn embargo, los resulados asnócos de esa solucón deben ser omados con prudenca cuando rabajamos con muesras fnas. Conegracón La eoría económca sugere relacones de equlbro que son funcones esaconaras de las varables orgnales. Es decr, los Apéndce B/ 06
desequlbros son ransoros y, por ano, esaconaros. La negrabldad es una propedad domnane, lo que sgnfca que la suma o combnacón lneal de procesos de dsno orden de negrabldad es del msmo orden que el proceso de orden mayor. Es decr, s z = x + αy con x ~ I( e) ~ I( d) y enonces: z ~ I(max(e,d)). En érmnos smlares, la combnacón lneal de dos procesos con el msmo orden de negrabldad es, en general, de ese orden de negrabldad. 73 z = x + αy x, y ~ I( d) z ~ I( d) Es decr, la sere resulane presenará una endenca en varanza resulado de la combnacón de las que presenaban las varables orgnales. La excepcón a ese caso general es lo que se denomna conegracón. El concepo de conegracón se debe a Engle y Granger (987) y puede ser defndo de la sguene forma: Los componenes de un vecor Y(m x ) se dce que esán conegrados de ordenes d y b, y se denoa por Y ~ CI(d,b), s: odos los componenes de Y son negrables del msmo orden d, I(d), exse un vecor α, no nulo, al que α Y=z ~ I(d-b), con b>0. Al vecor α se le denomna vecor de conegracón. El caso más comúnmene consderado es aquel en que d=b=, es decr que odos los elemenos de Y sean I() y z sea I(0), esaconaro. La exsenca de una relacón de conegracón enre un conjuno de varables suele nerprearse como la presenca de una relacón lneal de equlbro enre ellas, que esa dada por el 73 Debe enerse en cuena que la suma de nfnos érmnos de un msmo orden de negrabldad es de uh orden superor. Apéndce B/ 07
vecor de conegracón. Cenrándonos en el caso de varables I(), las desvacones de ese equlbro, meddas por z, recogen el reardo en la respuesa de la varable dependene ane cambos en las explcavas. Pues ben, en ese caso de conegracón, esas desvacones son esaconaras y enen una varanza que no es funcón del empo. En oras palabras, aunque las varables mplcadas en la relacón sean negradas, es decr, con varanza nfna a largo plazo, exse una relacón de equlbro de largo plazo enre las varables alk que las suacones de desequlbro son de carácer esaconaro (I(o)) y, por ano, ransoras. Mecansmo de correccón del error y el eorema de represenacón de Granger. Un modelo de MCE combna varables en nveles y en prmeras dferencas. Las relacones esablecdas enre las varables en nveles acúan como un servomecansmo que nervene en la relacón enre las varables dferencadas para reornar a la suacón de equlbro a largo plazo. En érmnos formales, un vecor Y(m x ) adme una represenacón MCE s podemos expresarlos como: A( L) Y = ΠY + ε donde ε es una perurbacón mulvarane esaconara; A(L) es una marz (m x m) polnómca en el operador de reardos que cumple: A(0)=Im y que A() enen odos los elemenos fnos; y, fnalmene, Π 0. Cabe resalar que en esa especfcacón no se supone exogenedad sobre nnguna de las varables. La relacón formal enre ese po de modelo y las relacones de conegracón la esablece el eorema de represenacón de Granger (Granger, 98 y Engle y Granger, 987), el cual demuesra, enre oras cosas, que: S un vecor de varables es CI(,), exse un mecansmo de correccón del error váldo para represenar el Proceso Generador de Informacón (PGI) S el PGI de un conjuno de varables adme una represenacón MCE, ésas esán conegradas. Apéndce B/ 08
Ese msmo eorema esablece el somorfsmo enre la represenacón como MCE, como vecor auorregresvo y como meda móvl. A manera de lusrar los modelos presenados en el capíulo 4 de esa ess, nos ceñremos, sn pérdda de generaldad, al caso de dos varables I(). En ese caso, descomponendo la marz Π en γα, el MCE vendría dado por: 74 y x = µ = µ 2 + φ ( L) y 2 + φ ( L) y + Ω ( L) x + Ω 2 ( L) x γ γ [ y αx ] + ε 2 [ y αx ] + ε 2 (B.6) donde se mponen las sguenes resrccones: el vecor (, -α) es el msmo en ambas ecuacones. Dcho vecor veremos que es de conegracón y que será únco en el caso de dos varables; los polnomos φ(l) y Ω(L) no enen raíces en el círculo de rado undad; al menos uno de los parámeros γ(=,2), conocdos como parámeros de velocdad de ajuse, no es nulo. En la expresón (B.6) se consaa que s x, y ~ I(), odos los érmnos que aparecen en cada ecuacón serán esaconaros en varanza excepo el érmno enre corchees. Para que ese érmno sea esaconaro es necesaro que x e y esán conegradas. En caso conraro las ecuacones no esarían en equlbro. 75 La únca forma de que esán equlbradas, cuando no hay conegracón, es que ambos parámeros de velocdad de ajuse fueran nulos, ncumpléndose la ercera condcón. 74 Esas expresones se pueden generalzar permendo la nclusón como regresores de la dferenca de las varables en. Se obene así la clásca expresón del MCE dervada a ravés de un esquema auorregresvo y de reardos dsrbudos (ADL). 75 Debe enerse en cuena que una varable esaconara no puede esar en funcón de no esaconaras a menos que ésas cancelen muuamene sus componenes no esaconaros. En caso conraro habría un desequlbro, en cuano a órdenes de negrabldad, enre ambos lados de la gualdad de la ecuacón, por lo que la ecuacón no esaría equlbrada. Apéndce B/ 09
Varacón esaconal El érmno varacón esaconal se refere a movmenos ssémcos, no necesaramene regulares, que denro de cada año presenan las seres de empo económcas. Los movmenos esaconales se suponen orgnados por fuerzas exógenas consderadas nconrolables y, en consecuenca, son elmnados anes de un análss más deallado. A ese proceso de elmnar dchas fuerza se le conoce como desesaconalzacón de una sere dada. Hablando en sendo amplo, hay dos méodos de ajuse esaconal: el méodo ofcal y el méodo de mínmos cuadrados. El méodo de desesaconalzacón que generalmene ulzan los deparamenos ofcales es el denomnado méodo del coefcene de medas móvles. Brevemene, consse en omar una meda móvl cenral de la sere orgna, dvdendo a connuacón esa úlma por la meda móvl para obener una esmacón prelmnar del componene esaconal, y enonces ajusar esas esmacones de al modo que la suma de la sere ajusada esaconalmene para el año del calendaro sea gual a la suma de la sere orgnal. En cambo, el méodo de los mínmos cuadrados esma el componene esaconal esablecendo la regresón de la sere orgnal sobre algunas varables esaconales: Usualmene, esas varables esaconales se consderan como varables fccas; así, por ejemplo, con daos rmesrales formamos la regresón de x sobre res varables fccas, D2 = s la observacón corresponde al segundo rmesre =o en oro caso D3 = s la observacón corresponde al ercer rmesre en oro caso =o en oro caso D4 = s la observacón corresponde al cuaro rmesre =o en oro caso Enonces los resduos de esa ecuacón son adopados como valores de la sere ajusada esaconalmene. Hay dos problemas mplcados en ese méodo. Prmero, la suma de los resduos de la ecuacón de regresón es cero y, por consguene, la suma de la sere ajusada esaconalmene es Apéndce B/ 0
ambén gual a cero. Lo que queremos es que la suma de la sere ajusada esaconalmene sea gual a la suma de la sere orgnal. Eso podemos lograrlo añadendo la meda a cada observacón en la sere ajusada esaconalmene y obenda a parr de la ecuacón de regresón (consane). El segundo problema es que la esmacón de los coefcenes de regresón correspondene a las varables fccas esaconales da smplemene las medas de los rmesres segundo, ercero y cuaro, respecvamene, y eso no parece resular muy plausble. Ese problema no aparece s esmamos movmenos esaconales e nroducmos ambén algún érmno de endenca en la ecuacón 76. En su dscusón del ajuse esaconal, Lovell 77 se refere a algunas mplcacones lógcas de ceros requsos smples de conssenca que deberían sasfacer los procedmenos de ajuse esaconal. S X es la sere sn ajusar y X a es la sere ajusada, las propedades que Lovell defne son:. Suma consane: (X+Y) a = X a +Y a Como lusracón, supongamos que X sea el empleo e Y el desempleo, de al forma que X+Y = Fuerza de rabajo oal. Enonces el ajuse esaconal de la fuerza de rabajo sería gual a la suma del empleo y desempleo ajusados esaconalmene 2. Produco consane: (XY) a = (X a ) (Y a ) Como ejemplo, sea X una candad real e Y el índce de precos, de al modo que XY es la candad nomnal. Lo que la propedad de produco consane dce es que la candad nomnal ajusada esaconalmene es gual al produco de la candad real ajusada esaconalmene por el índce de precos ajusado esaconalmene. S el ajuse manene consane el produco, ello es ndependene de s ajusamos esaconalmene cualquer sere deflacada o ben deflacamos la sere nomnal medane el índce de precos ajusado esaconalmene. Lovell prueba que s un procedmeno de ajuse verfca las propedades de suma y produco consane, es rval porque mplca que X a = X o X a = 0. Por consguene, no podemos nssr en que 76 Véase Cowden (942). 77 Véase Lovell (963) Apéndce B/
las dos propedades se cumplan smuláneamene. 3. Orogonaldad: Esa propedad esablece que podríamos ener (X-X a )X a =0. SI esa condcón no se sasface, ello mplca que los érmnos corregdos esaconalmene esán correlaconados con la sere ajusada, lo cual sgnfca que alguna esaconaldad se manene en los daos. 4. Idempoenca: Esa propedad dce que (X a ) a = X a para odo. S esa condcón no se cumple, someendo la sere una vez más a un ajuse esaconal, obendremos una sere dferene. Eso prueba que el procedmeno es defcene. 5. Smería: Esa propedad esablece que X X a s = X X a s para odo y s. Ese requso esablece que s camba la observacón X o cualquer ora, la sere ajusada esaconalmene podría resular afecada de una forma smérca. Lovell enonces prueba que un procedmeno de suma consane, que posee dos de las propedades de orogonaldad, dempoenca y smería ambén sasface la ercera propedad. Tambén arguye que el procedmeno ofcal de ajuse no sasface las menconadas propedades elemenales, pero sí el méodo de mínmos cuadrados. En consecuenca, ese auor defende el procedmeno de mínmos cuadrados. Economería básca Durane la elaboracón de los Modelos Economércos (ME), se supone la exsenca de un Proceso Generador de Informacón (PGI), desconocdo para nosoros, el cual, se encarga de asgnar o elegr como explcar a la varable dependene o endógena por medo de un conjuno de nformacón relevane que esa afecando a dcha varable endógena o dependene. Suponemos que los daos esadíscos corresponden a una posble realzacón de dcho PGI, y esos daos se comporan con cero grado de ncerdumbre, lo cual, Apéndce B/ 2
nos perme ulzar la eoría esocásca que asoca las seres económcas con deermnadas dsrbucones de probabldad y a una dmensón muldmenconal. Por lo aneror, los daos obendos en las seres económcas son, enonces, varables aleaoras; lo cual le da sendo a la ulzacón de méodos probablíscos, y al méodo economérco en el análss económco del rabajo. Denro de odo ME, exse un Mecansmo Generador Esadísco (MGE), que represena una prmera aproxmacón al PGI y se compone del modelo probablísco y del modelo muesral. El MGE es una formalzacón probablísca que conene la nformacón muesral elaborada para analzar el modelo a esmar. El modelo probablísco (MP) represena un conjuno de funcones de densdad de probabldad de los daos, menras que el modelo muesral (MM) agrupa al conjuno de las varables ndependenes e déncamene dsrbudas (IID) cuyas funcones de densdad concden con aquellas del modelo probablísco. El MM ndca s esamos en presenca de una muesra aleaora (varables IID) o no aleaora. El MGE sneza la nformacón eórca y empírca relevane del PGI, así como ambén concenra la nformacón dada por el modelo probablísco y el modelo muesral y propone a pror una dsrbucón esadísca de la muesra de daos. El MGE del ME se defne como: y=e(y x) + u En donde, y=e(y x) es el componene ssemáco (meda condconal) y u es el componene no ssemáco (érmno de perurbacón). El MP se defne como: (y x)~f(y x;θ) El MM se defne como: X:= (x,x2,x3,,xn) es IID. Apéndce B/ 3
Por lo ano, una vez denfcado las pare del ME, ese debe de sasfacer los sguenes supueso subyacenes a él 78 : I) Supuesos relavos el MGE.. µ = E(y X=x) = xβ es el componene ssemáco, y u = y - E(y X=x) es el componene no ssemáco. El componene ssemáco conene oda la nformacón dsponble sobre el fenómeno en cuesón y u es orogonal al conjuno de nformacón. 2. = (β, σ 2 ) son los parámeros esadíscos de nerés, β ε R k 3. No hay nformacón a pror sobre Θ=(β,σ 2 ). S esos son los parámeros esadíscos, no necesaramene guales a los eórcos, no hay razón para que exsa nformacón alguna acerca de ellos anes de esmar el modelo. 4. Las varables ulzadas no son perfecamene colneales. Eso es el rango de (X())=k para oda N>k donde N es el amaño de la muesra y k el número de parámeros. 5. X es déblmene exógena respeco a Θ=(β,σ 2 ). Eso sgnfca que los parámeros son consanes en el empo ya que las varables exógenas del modelo no conenen nformacón adconal que modfque el valor de los parámeros esmados. II) Supuesos relavos al MP. 6. Ese supueso ndca que las seres esocáscas pueden defnrse como normales e déncamene dsrbudas con meda cero y varanza consane. D(y X:Θ) ene una dsrbucón normal. E(Y X=x) = xβ es lneal en x V(y X=x) = σ 2 es homocedásca. 7. Θ = (β, σ 2 ) son nvaranes en el empo. Eso perme que las seres económcas puedan enonces ser represenadas por un 78 Véase Spanos (997). Apéndce B/ 4
conjuno fno de parámeros. Ese supueso esa esrechamene asocado con el supueso 4. III) Supueso relavo al MM. 8. (y,y2,y3,,yn) es una muesra ndependene. Una vez planeado el modelo formalmene, y habendo esmado sus parámeros, es necesaro verfcar que el modelo propueso es esadíscamene congruene como aproxmacón al PGI. Eso se comprueba hacendo un análss de los ocho supuesos defndos, medane las llamadas pruebas de dagnósco o de especfcacón ncorreca 79. 79 Véase Casson (99). Apéndce B/ 5