EJERCICIOS PROBABILIDAD MATEMÁTICAS APLICADAS A 1º BACHILLERATO 1.- Sabiendo que: P[A B] 0,2 P[B'] 0,7 P[A B'] 0,5 Calcula P[A B] y P[A]. P[A] P[A B'] + P[A B] 0,5 + 0,2 0,7 P[B] 1 P[B'] 1 0,7 0,3 P[A B] P[A] + P[B] P[A B] 0,7 + 0,3 0,2 0,8 2.- Sabiendo que: P[A] 0,5 P[B'] 0,6 P[A' B'] 0,25 a) Son A y B sucesos independientes? b) Calcula P[A B] y P[A / B]. a) P[B'] 1 P[B] 0,6 P[B] 0,4 P[A' B'] P[(A B)'] 1 P[A B] 0,25 P[A B] 0,75 P[A B] P[A] + P[B] P[A B] 0,75 0,5 + 0,4 P[A B] P[A B] 0,15 Por tanto: P P [ A] P[ B] [ A B] 0, 5 0,15 0, 4 0, 2 P [ A B] P[ A] P[ B] Luego, A y B no son independientes. b) Hemos obtenido en el apartado anterior que: P[A B] 0,75
Por otra parte: P [ A B] [ A B] P[ B] P 0,15 / 0,375 0,4 3.- Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde? Hacemos un diagrama que refleje la situación. Llamamos a los sobres A, B y C; y a las cartas correspondientes a, b y c. Así, tenemos las siguientes posibilidades: Vemos que hay seis posibles ordenaciones y que en cuatro de ellas hay menos una coincidencia. Por tanto, la probabilidad pedida será: 4 P 6 2 0,67 3 al 4.- Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son: - A 32 personas les gusta leer y ver la tele. - A 92 personas les gusta leer. - A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar una de esas personas: a) Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele? b) Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele? c) Cuál es la probabilidad de que le guste leer? Vamos a organizar la información en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:
Llamemos L "Le gusta leer" y T "Le gusta ver la tele". 73 a) P, 120 32 47 92 120 [ no I] 0 61 b) P [ L / T ] 0, 68 c) P [ L] 0, 77 23 30 5.- Una bola bolsa, A, contiene 3 bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa, B, contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. Lanzamos un dado: si sale un uno, etraemos una bola de la bolsa A; y si no sale un uno, la etraemos de B. a) Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja? b) Sabiendo que salió roja, cuál es la probabilidad de que fuera de A? Hacemos un diagrama en árbol: 1 1 a) P[ R] + 16 2 [ A / R] 9 16 [ A y R] 116 1 P[ R] 9 16 9 P b) P 6.- Sean A y B los sucesos tales que: P[A] 0,4 P[A' B] 0,4 P[A B] 0,1
Calcula P[A B] y P[B]. 7.- De dos sucesos, A y B, sabemos que: P[A' B'] 0 P[A' B'] 0,5 P[A'] 0,4 Calcula P[B] y P[A B]. 8.- Teniendo en cuenta que: P[A B] 0,9 P[B'] 0,4 P[A B] 0,3 Halla P[A] y P[A' B]. 9.- Teniendo en cuenta que A y B son dos sucesos tales que: P[A'] 0,5 P[A B] 0,12 P[A B] 0,82 a) Son independientes A y B? b) Calcula P[B' / A]. 10.- De dos sucesos A y B sabemos que: P[A'] 0,48 P[A B] 0,82 P[B] 0,42 a) Son A y B independientes? b) Cuánto vale P[A / B]? 11.- Sean A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad tales que: P[A'] 0,6 P[B] 0,3 P[A' B'] 0,9 a) Son independientes A y B? b) Calcula P[A' / B]. 12.- Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número? 13.- En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas?
14.- a) Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número? b) Si son tres personas las que eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5, cuál es la probabilidad de que las tres elijan el mismo número? 15.- En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven de esa localidad al azar: a) Cuál es la probabilidad de que sea chico? b) Si sabemos que juega al tenis, cuál es la probabilidad de que sea chica? c) Cuál es la probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis? 16.- En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a) Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b) Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c) Cuál es la probabilidad de que solo hable francés? 17.- En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la película, 1 500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados: a) Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate? b) Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate? c) Sabiendo que vio la película, cuál es la probabilidad de que viera el debate? 18.- En una bolsa hay 3 bolas rojas, 5 blancas y 2 verdes. Hacemos tres etracciones con reemplazamiento y anotamos el número total de bolas verdes que hemos sacado. a) Haz una tabla con las probabilidades. b) Calcula la media y la desviación típica. a) Los posibles valores de i son 0, 1, 2, 3. La tabla de la distribución de probabilidad es la siguiente:
b) Σ p i 0,6 µ 0,6 µ i 2 2 σ Σ p i µ 0,84 0,36 0,48 0,69 σ 0,69 i 19.- Para cada una de las siguientes situaciones, indica si sigue una distribución binomial. En caso afirmativo, identifica en ella los valores de n y p: a) Lanzamos cien veces un dado y nos preguntamos por el número de unos que obtenemos. b) Etraemos una carta de una baraja y vemos si es un as o no. Sin devolverla al mazo, etraemos otra y también miramos si se trata de un as o no,... y así sucesivamente hasta diez veces. 1 a) Es una distribución binomial con n 100, p B 100, 6 b) No es una binomial, pues la probabilidad de obtener as para la segunda carta es distinta que para la primera (al ser sin reemplazamiento las etracciones). 1 6 20.- Lanzamos un dado siete veces y vamos anotando los resultados. Calcula la probabilidad de obtener: a) Algún tres. b) Más de cinco treses. Halla el número medio de treses obtenidos y la desviación típica. Si hallamos "número de treses obtenidos", se trata de una distribución binomial con n 7, 1 1 p B 7, 6 6 a) p 5 6 [ > 0] 1 p[ 0] 1 0,721 p[ > 0] 0, 721 7
[ > 5] p[ 6] + p[ 7] b) p 6 7 7 1 5 7 1 5 1 36 1 + 7 + 0,000129 p 6 6 6 7 7 7 7 5 6 6 6 6 6 [ > 5] 0, 000129 Hallamos la media y la desviación típica: 1 7 µ np 7 1,17 µ 1,17 6 6 1 5 35 σ npq 7 0,986 σ 0,986 6 6 36 21.- La función de densidad de una variable continua viene dada por: ( ) f 0 si < 1 ( + 1) si 1 3 10 ( 5 ) si 3 < 5 5 0 si > 5 a) Representa gráficamente f(). [ > ] P [ ] b) Calcula P 3 y 2 4. a) La gráfica es: b) El área bajo la curva es 1.
P[ > 3] es el área de un triángulo de base 2 y altura 0,4. Por tanto: 2 0,4 P [ > 3] P [ 3 5] 0,4 P [ > 3] 0,4 2 Entre 2 y 3 tenemos un trapecio de bases 0,4 y 0,3 y altura 1; y entre 3 y 4 tenemos otro trapecio de bases 0,4 y 0,2 y altura 1. Por tanto: ( ) ( ) 0, 4 + 0,3 1 0,4 + 0,2 1 P [ 2 4] P [ 2 < 3] + P [ 3 4] + 2 2 0,7 0,6 + 0,35 + 0,3 0,65 P [ 2 4] 0,65 2 2 22.- Halla las siguientes probabilidades en una distribución N(0, 1): [ < ] a) p z 1,73 [ 0,62 < z 1,34] b) p < [ 1,2 < 1,2] c) p z < [ < 1,73 ] p[ z > 1,73 ] 1 p[ z < 1,73 ] 1 0,9582 0, 0418 a) p z [ 0,62 < z < 1, 34] p[ z < 1,34 ] p[ z < 0,62] 0,9099 0, 7324 0, 1775 b) p [ 1,2 < z < 1,2 ] 2( p[ z < 1,2 ] 0,5) 2( 0,8849 0,5) 0, 7698 c) p
23.- La edad de un determinado grupo de personas sigue una distribución N(35, 10). Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo, elegido al azar, tenga: a) Más de 40 años. b) Entre 23 y 47 años. 35 40 35 a) p z 10 10 [ > 40] p > p[ > 0, 5] [ 0,5] 1 0,6915 0, 3085 1 p z 23 35 35 47 35 b) p z 2 10 10 10 [ 23 < < 47] p < < p[ 1,2 < < 1, ] ( 0,8849 0,5) 0, 7698 2 24.- En una distribución N(0, 1), halla el valor de k en cada caso: [ < k] 9969 a) p z 0, [ k < z < k] 985 b) p 0, ( 2,74) 0,9969 k 2, 74 a) φ [ k < z < k] 2( p[ z < k] 0,5) 2( ( k) 0,5) b) p φ 0, 985 φ 0,985 2 ( k ) 0,5 φ( k) 0,9925 k 2, 43 25.- Lanzamos un dado 300 veces. Cuál es la probabilidad de que obtengamos más de 70 unos? Si llamamos "número de unos obtenidos", entonces es una binomial con n 300, 1 p, en la que tenemos que calcular p[ > 70]. 6 La calculamos aproimando con una normal:
1 La media de es np 300 50 y su desviación típica es npq 6, 45. 6 es B 300, 1 ' 6 es N ( 50; 6,45) z es N( 0, 1) 70,5 50 6,45 [ > 70] p[ ' 70,5] p z p[ z 3, 18] [ < 3,18] 1 0,9993 0,0007 p[ > 70] 0, 0007 1 p z 26.- En un sorteo que se realiza diariamente de lunes a viernes, la probabilidad de ganar es 0,1. Vamos a jugar los cinco días de la semana y estamos interesados en saber cuál es la probabilidad de ganar 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 días. a) Haz una tabla con las probabilidades. b) Calcula la media y la desviación típica. 27.- En cada una de estas situaciones, eplica si se trata de una distribución binomial. En caso afirmativo, di cuáles son los valores de n y p: a) El 3% de las chinchetas que se hacen en una determinada fábrica salen defectuosas. Se empaquetan en cajas de 20 chinchetas. Estamos interesados en el número de chinchetas defectuosas de una caja elegida al azar. b) En una urna hay 2 bolas rojas, 3 blancas y 2 verdes. Etraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Repetimos la eperiencia 10 veces y estamos interesados en saber el número de bolas de cada color que hemos obtenido. 28.- Una urna contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 2 verdes. Etraemos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Si repetimos la eperiencia 5 veces, calcula la probabilidad de sacar: a) Alguna bola verde. b) Menos de dos bolas verdes. Halla el número medio de bolas verdes etraídas. Calcula también la desviación típica.
29.- La demanda diaria de un cierto producto es una variable continua (medida en toneladas) cuya función de densidad es la siguiente: ( ) f 0 si < 0 si 0 1 2 1 si 1 < 2 2 ( 3) si 2 < 3 2 0 si > 3 a) Represéntala gráficamente. b) Calcula las siguientes probabilidades: P[ > 2] (demanda superior a 2 toneladas) P[1,5 < < 2,5] (demanda comprendida entre 1,5 y 2,5 toneladas). 30.- En una distribución N(0,1), calcula las siguientes probabilidades: a) p[ z > 2,21] [ > ] b) p z 1, 25 [ 0,86 < 2,34] c) p z < 31.- El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal N(192, 12). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol: a) Superior a 200 unidades. b) Entre 180 y 220 unidades. 32.- Calcula el valor de k en cada caso, sabiendo que sigue una distribución N(10, 4): [ < k] 9986 a) p 0, [ > k ] 0808 b) p 0, 33.- Un eamen de 100 preguntas admite como respuesta en cada una de ellas dos posibilidades, verdadero
o falso. Si un alumno contesta al azar, calcula la probabilidad de que acierte más de 60 respuestas. 34.- Etraemos tres cartas de una baraja y anotamos el número de ases. Haz una tabla con las probabilidades y calcula la media y la desviación típica. 35.- En cada una de las siguientes situaciones, eplica si se trata de una distribución binomial. En caso afirmativo, identifica los valores de n y p: a) Se ha comprobado que una determinada vacuna produce reacción alérgica en dos de cada mil individuos. Se ha vacunado a 500 personas y nos interesamos por el número de reacciones alérgicas. b) El 35% de una población de 2000 individuos tiene el cabello rubio. Elegimos a diez personas al azar y estamos interesados en saber cuántas personas rubias hay. 36.- Se sabe que el 30% de la población de una determinada ciudad ve un concurso que hay en televisión. Desde el concurso se llama por teléfono a 10 personas de esa ciudad elegidas al azar. Calcula la probabilidad de que, entre esas 10 personas, estuvieran viendo el programa: a) Más de 8. b) Alguna de las 10. Halla la media y la desviación típica. 37.- La función de densidad de una variable continua,, viene dada por: a) Represéntala gráficamente. [ < ] P [ ] b) Calcula P 2 y 2 4. ( ) f 0 si < 0 si 0 2 4 1 si 2 < 3 2 0 si > 3 38.- Calcula, en una distribución N(0, 1), las siguientes probabilidades: [ < ] a) p z 2,3 [ 0,12 < z 3] b) p < [ 1,8 < 0,15] c) p z < 39.- Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución N(950, 200). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:
a) Superen los 1200 euros. b) Estén entre 700 y 1000 euros. 40.- Halla el valor de k en cada caso, sabiendo que z sigue una distribución N(0, 1): [ < k] 9319 a) p z 0, [ k < z < k] 8472 b) p 0, 41.- El 7% de los pantalones de una determinada marca salen con algún defecto. Se empaquetan en caja de 80 para distribuirlos por diferentes tiendas. Cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de 10 pantalones defectuosos?