DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Lanzamiento de monedas Al lanzar cuatro monedas pueden darse posibilidades: CCCC, CCC+, CC+C, CC++, C+CC, Complétalas y justifica los resultados de esta tabla: N.º DE CARAS, FRECUENCIA, f i Haz la tabla correspondiente al NÚMERO DE CARAS que puede obtenerse al lanzar cinco monedas. Represéntala gráficamente. CCCC, CCC+, CC+C, C+CC, +CCC, CC++, C+C+, C++C, +CC+, +C+C, ++CC, C+++, +C++, ++C+, +++C, ++++ Estas son las posibilidades. En ellas, si contamos el número de caras, obtenemos la tabla: N.º DE CARAS FRECUENCIA 0 4 Para el caso de tener cinco monedas, si contamos el número de caras en todas las posibilidades, obtendríamos la tabla: N.º DE CARAS FRECUENCIA La representación sería: 0 4 Unidad. Distribuciones de probabilidad

2 Tiempos de espera Problema Procediendo de la misma forma, es decir, contando cuadraditos, halla las siguientes probabilidades e interpreta lo que significan: a) P [x Ì ] b) P [ Ì x Ì 0] c) P [x Ì 0] d) P [ Ì x Ì ] 0 a) P [x ] = = 0,0 00 La probabilidad de tener que esperar menos de minutos es 0,0 (del 0%). b) P [ x 0] = = 0, 00 La probabilidad de tener que esperar entre y 0 minutos es del %. 0 c) P [x 0] = = 0,0 00 La probabilidad de tener que esperar menos de 0 minutos es del 0%. d) P [ x ] = = 0,0 00 La probabilidad de tener que esperar entre y minutos es del %. Problema Halla las probabilidades siguientes e interpreta lo que significan: a) P [x Ì ] b) P [ Ì x Ì 0] c) P [x Ì 0] d) P [ Ì x Ì ] En total hay 00 cuadritos (el área total es 00). Así: (0 + 9)/ a) P [x Ì ] = = 0,9 00 La probabilidad de que tengamos que esperar menos de minutos es del 9%. (7, + )/ b) P [ Ì x Ì 0] = = 0, 00 La probabilidad de que tengamos que esperar entre y 0 minutos es del,%. (0 + )/ 0 c) P [x Ì 0] = = 0,7 00 La probabilidad de que tengamos que esperar menos de 0 minutos es del 7%. (7, + 7)/ d) P [ Ì x Ì ] = = 0,07 00 La probabilidad de que tengamos que esperar entre y minutos es del 7,%. Unidad. Distribuciones de probabilidad

3 UNIDAD Página 7. Calcula x y q en esta distribución: tiempo que emplean en ir de su casa al colegio un grupo de alumnos. (Recuerda: al intervalo (0, ] le corresponde el valor,; ). TIEMPO (min) N- o DE ALUMNOS (0, ] (, 0] (0, ] (, 0] (0, ] (, 0] Hallamos la marca de clase,, de cada intervalo y hacemos la tabla: f i f i f i, 7,, 7,, 7, 8,, 0 7, 7,, 8,7 0, 87, 8,7 7, S f x = i 40 = =, n S f 77 q = i x i x =, =,94 =, n Página 77. Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidad correspondiente a la puntuación obtenida en el lanzamiento de un dado. 4 / / / / / / / / / 4/ / / / 4/ 9/ / / / μ = =, 9 q =, =,9 =,7 / 9/. Si se tiran dos monedas, podemos obtener 0, ó caras. Calcula la media y la desviación típica de la distribución de probabilidad correspondiente. 0 /4 /4 /4 x i μ = 0 0 /4 /4 /4 q = = = = 0,7 /4 4 Unidad. Distribuciones de probabilidad

4 . En una bolsa tenemos un cierto número de bolas numeradas: 9 bolas con un uno, con un dos y con un tres. Sacamos una bola al azar y vemos qué número tiene. a) Cuál es la distribución de probabilidad? b) Calcula la media y la desviación típica. a) 9/0 /0 /0 b) 9/0 /0 /0 x i 9/0 9/0 0/0 0/0 8/0 4/0 7/0 8/0 7 μ = =,8 0 8 q =,8 0 = 0,7 = 0,8 Página 79. En una distribución binomial B (0; 0,4), halla P [x = 0], P [x = ], P [x = ], P [x = 0] y el valor de los parámetros µ y q. P [x = 0] = 0, 0 = 0, P [x = ] = ( ) 0,4 0, 7 = 0 0,4 0, 7 = 0, 0 P [x = 0] = 0,4 0 = 0,0000 μ = 0 0,4 = 4 P [x = ] = ( ) 0,4 0, = 0,4 0, = 0,0 q = n p q = 0 0,4 0, =,4 =,. Lanzamos 7 monedas. Calcula las probabilidades de caras, caras y caras. Halla los valores de los parámetros µ y q. Se trata de una distribución binomial con n = 7 y p = 0, 8 B(7; 0,) 7 P [x = ] = ( ) (0,) (0,) 4 = 0, 0,0 0,7 7 P [x = ] = ( ) (0,) (0,) = 0,0 0, 0,4 4 Unidad. Distribuciones de probabilidad

5 UNIDAD 7 P [x = ] = ( ) (0,) (0,) = 7 0,0 0, 0,047 μ = n p = 7 0, =, q = n p q = 7 0, 0,, Página 8 k, x é [, 8]. Calcula k para que f (x) = sea una función de densidad. 0, x è [, 8] Halla las probabilidades: a) P[4 < x < ] b) P[ < x Ì ] c) P[x = ] d) P[ < x Ì 0] Como el área bajo la curva ha de ser igual a, tenemos que: P < x < +@] = P [ Ì x Ì 8] = k = 8 k = a) P [4 < x < ] = ( 4) = b) P [ < x Ì ] = P [ Ì x Ì ] = ( ) = c) P [x = ] = 0 d) P [ < x Ì 0] = P [ Ì x Ì 8] = (8 ) = mx, x é [, 7]. Calcula m para que f (x) = sea una función de densidad. 0, x è [, 7] Halla las probabilidades: a) P[ < x < ] b) P[ Ì x < 7] c) P[4 Ì x Ì ] d) P[ Ì x < ] El área bajo la curva (área del trapecio señalado) ha de ser igual a : 7 m m Área = 7 P < x < +@] = P [ Ì x Ì 7] = (7m + m) 4 = = 0m = 8 8 m = 0 Unidad. Distribuciones de probabilidad

6 (/0 + /0) 8 a) P [ < x < ] = = = 0 (7/0 + /0) b) P [ Ì x < 7] = = = 0 (/0 + 4/0) 0 c) P [4 Ì x Ì ] = = = 0 (7/0 + /0) d) P [ Ì x < ] = P [ Ì x Ì 7] = = 40 Página 8. Halla las siguientes probabilidades: a) P [z Ì 0,84] b) P [z <,] c) P [z < ] d) P [z <,87] e) P [z <,] f ) P [z Ì 0] g) P [z < 4] h) P [z = ] Mirando directamente la tabla, obtenemos: a) 0,799 b) 0,9 c) 0,977 d) 0,99 e) 0,990 f) 0,000 g) h) 0. Di el valor de k en cada caso: a) P [z Ì k] = 0,709 b) P [z < k] = 0,8997 c) P [z Ì k] = 0,040 d) P [z < k] = 0,704 a) k = 0, b) k =,8 c) k = 0,0 d) k = 0,4. Di el valor aproximado de k en cada caso: a) P [z < k] = 0,9 b) P [z Ì k] = 0, a) k,8 b) k 0,0 Página Halla: a) P [z >,] b) P [z <,] c) P [z >,] d) P [, < z <,9] e) P [,9 < z <,] f) P [, < z <,9] g) P [,9 < z <,9] Unidad. Distribuciones de probabilidad

7 UNIDAD a) P [z >,] = P [z <,] = 0,90 = 0,098 b) P [z <,] = 0,098, 0, c) P [z >,] = 0,098 = 0,90 d) P [, < z <,9] = 0,970 0,90 = 0,078 e) P [,9 < z <,] = 0,078 f) P [, < z <,9] = 0,970 ( 0,90) = 0,878 g) P [,9 < z <,9] = 0,9. Halla, a partir de la tabla, las siguientes probabilidades: a) P [ Ì z Ì ] b) P [ Ì z Ì ] c) P [ Ì z Ì ] d) P [ 4 Ì z Ì 4] a) P [ Ì z Ì ] = (P [z Ì ] 0,) = 0,8 0 b) P [ Ì z Ì ] = (P [z Ì ] 0,) = 0,944 c) P [ Ì z Ì ] = 0,9974 d) P [ 4 Ì z Ì 4] = Página 8. En una distribución N (7, ), halla las siguientes probabilidades: a) P [x Ì 7] b) P [x Ó 80,] c) P [74 Ì x Ì 80,] d) P [ Ì x Ì 80,] e) P [ Ì x Ì 70] f ) P [x = 74] g) P [x > 9] h) P [x < ] a) P [x Ì 7] = 0, b) P [x Ó 80,] = P [ 80, 7 z Ó ] c) P [74 Ì x Ì 80,] = P [0,7 Ì z Ì,] = 0,9 = P [z Ó,] = 0,8944 = 0,0 Unidad. Distribuciones de probabilidad 7

8 d) P [ Ì x Ì 80,] = P [ Ì z Ì,] = 0,87 e) P [ Ì x Ì 70] = P [ Ì z Ì 0,] = 0,87 f) P [x = 74] = P [z = 0,7] = 0 g) P [x > 9] = P [z > ] = f() = 0,9987 = 0,00 h) P [x < ] = P [z < ] = f() = 0,00 Página 87. Calcula las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales mediante aproximación a la normal correspondiente (en todas ellas, ten en cuenta el ajuste de media unidad que hay que hacer al pasar de una variable discreta a una continua): a) x es B (00; 0,). Calcula P [x = 0], P [x < ] y P [ < x < ]. b) x es B ( 000; 0,0). Calcula P [x > 0] y P [x < 80]. c) x es B (0; 0,9). Calcula P [x > 4] y P [x Ì 0]. a) x es B (00; 0,) x' es N (0; ) P [x = 0] = P [9, < x' < 0,] = P [ 0,7 < z < 0,7] = 0, P [x < ] = P [x' Ì,] = P [z Ì,8] = 0,00 P [ < x < ] = P [, Ì x' Ì 4,] = P [, Ì z Ì,] = 0,84 b) x es B ( 000; 0,0) x' es N (0; 4,47) P [x > 0] = P [x' Ó 0,] = P [z Ó,7] = 0,0089 P [x < 80] = P [x' Ì 79,] = P [z Ì,44] = c) x es B (0; 0,9) = x' es N (4;,) P [x > 4] = P [x' Ó 4,] = P [z Ó 0,4] = 0,40 P [x Ì 0] = P [x' Ì 0,] = P [z Ì,8] = 0 8 Unidad. Distribuciones de probabilidad

9 UNIDAD Página 9 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Distribuciones de probabilidad Completa la siguiente tabla de probabilidades y calcula sus parámetros: 0, 0, 0, 0 0, + 0, + P [] + 0, = 8 P [] = 0, 0 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, x i 0 0, 0,9 μ = S =, q =,, = 0,4 = 0,8 S =, S =, Sacamos dos cartas de una baraja española y anotamos el número de ases (0, ó ). a) Cuál es la distribución de probabilidad? b) Calcula la media y la desviación típica. a) b) μ = 0,; q = 0,4 Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media y la desviación típica /8 /8 /8 μ =,; q = 0,87 0 Unidad. Distribuciones de probabilidad 9

10 4 Recuerda cuáles son las puntuaciones de las 8 fichas de un dominó. Si en cada una de ellas sumamos los puntos de sus dos mitades, obtenemos las posibles sumas 0,,,, 0, y con probabilidades distintas. Haz la tabla con la distribución de probabilidades y calcula μ y q μ = ; q = Un alumno ha estudiado temas de los 0 que entran en el examen. Se eligen temas al azar. El alumno puede haber estudiado los dos, uno o ninguno. Haz la tabla con la distribución de probabilidad y represéntala gráficamente. 0, 0,0 0, 0 0,0 0,40 0,0 0,0 0,0 0 Una urna contiene bolas blancas, rojas y verdes. Se hacen dos extracciones sin reemplazamiento y se anota el número de bolas rojas extraídas. a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad. b) Haz otra tabla suponiendo que hay reemplazamiento. a) b) 0 7 ( ) ( ) 0 7 En una urna A hay bolas numeradas del al, y en otra urna B, hay 4 bolas numeradas del al 9. Se lanza una moneda: si sale cara, se saca una bola de A, y si sale cruz, se saca de B. Se observa el número que tiene la bola. 0 Unidad. Distribuciones de probabilidad

11 UNIDAD a) Haz la tabla de la distribución de probabilidad. b) Represéntala gráficamente. c) Calcula μ y q. a) 4 = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, 4 0, 0, 0, b) 0, 0, c) μ =,; q =,9 Distribución binomial 8 Reconoce en cada uno de los siguientes ejercicios una distribución binomial y di los valores de n, p, μ y q. Un examen tipo test consta de 0 preguntas, cada una con tres respuestas, de las que solo una es correcta. Se responde al azar. Cuál es el número probable de preguntas acertadas? En el examen descrito en el apartado anterior, un alumno conoce las respuestas de 0 preguntas y responde las restantes al azar. Nos preguntamos cuántas de ellas acertará. Una moneda se lanza 400 veces. Número de caras. El % de ciertas soldaduras son defectuosas y revisamos mil de ellas. Número de soldaduras defectuosas que habrá. a) B ( ) 0; b) B ( ) 0; c) B ( ) 400; 0 ; μ = =,7; q =, ; μ = 0; q =,8 relativo a las que contesta al azar ; μ = 00; q = 0 d) B ( 000; 0,0); μ = 0; q =, Unidad. Distribuciones de probabilidad

12 9 En una distribución binomial B (9; 0,) calcula: a) P [x < ] b) P [x Ó 7] c) P[x? 0] d) P [x Ì 9] a) P [x = 0] + P [x = ] + P [x = ] = 0,78 b) P [x = 7] + P [x = 8] + P [x = 9] = 0,0004 c) P [x = 0] = 0,4 = 0,8 d) 0 Un examen tipo test consta de 0 preguntas, cada una con cuatro respuestas, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno contesta al azar: a) Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente 4 preguntas? b) Y la de que conteste bien más de preguntas? c) Calcula la probabilidad de que conteste mal a todas las preguntas. x es B ( ) 0; a) P [x = 4] = ( ) 0,4 0,7 = 0,4 b) P [x > ] = P [x Ì ] = (P [x = 0] + P [x = ] + P [x = ]) = = (0,0 + 0,88 + 0,8) = 0, = 0,474 c) P [x = 0] = 0,7 0 = 0,0 Una urna contiene bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota su color y se devuelve a la urna. Si esta experiencia se repite veces, calcula la probabilidad de obtener: a) Tres bolas rojas. b) Menos de tres rojas. c) Más de tres rojas. d) Alguna roja. Si consideramos éxito = sacar roja, x es B (; 0,). a) P [x = ] = ( ) 0, 0,7 = 0, b) P [x < ] = P [x = 0] + P [x = ] + P [x = ] = = 0, ,0 + 0,087 = 0,89 0,89 c) P [x > ] = P [x Ì ] = (0, + 0,89) = 0,008 d) P [x? 0] = P [x = 0] = 0,7 = 0,89 Unidad. Distribuciones de probabilidad

13 UNIDAD La probabilidad de que un aparato de televisión, antes de revisarlo, sea defectuoso, es 0,. Si se revisan cinco aparatos, calcula: a) P[ninguno defectuoso]. b) P[alguno defectuoso]. x es B (; 0,) a) P [x = 0] = 0,8 = 0,8 b) P [x? 0] = P [x = 0] = 0,8 = 0,7 Página 9 Función de densidad Justifica si pueden ser funciones de densidad las siguientes funciones: a) f (x) = 0, + 0,x, x é [0, ] b) f (x) = 0, x, x é [0, ] c) f (x) = 0,x, x é [0, ] Veamos, en cada caso, si el área encerrada bajo la curva es : a), (, + 0,) Área = =, 0, No puede ser función de densidad. b) f () =, < 0 8 No puede ser función de densidad, pues tendría que ser f (x) Ó 0 c), 0, Área = = f (x) Ó 0 8 Sí puede ser función de densidad. Manejo de la tabla N (0, ) 4 En una distribución N (0, ), calcula las siguientes probabilidades: a) P [z = ] b) P [z Ì ] c) P [z Ó ] d) P [z Ì ] e) P [z Ó ] f) P [ Ì z Ì ] Unidad. Distribuciones de probabilidad

14 a) P [z = ] = 0 b) P [z Ì ] = 0,977 c) P [z Ó ] = 0,979 = 0,08 d) P [z Ì ] = 0,977 = 0,08 e) P [z Ó ] = 0,08 = 0,977 f) P [ Ì z Ì ] = (P [z Ì ] 0,) = 0,944 En una distribución N (0, ), calcula: a) P [z Ì,8] b) P [z Ó 0,7] c) P [z Ì 0,78] d) P [z Ó,] a) P [z Ì,8] = 0,94 b) P [z Ó 0,7] = 0,9 c) P [z Ì 0,78] = 0,77 d) P [z Ó,] = 0,00 En una distribución N (0, ), calcula las siguientes probabilidades: a) P [z =,] b) P [,7 Ì z Ì,8] c) P [, Ì z Ì,] d) P [,87 Ì z Ì,] a) P [z =,] = 0 b) P [,7 Ì z Ì,8] = P [,8 Ì z Ì,7] = P [z Ì,7] P [z Ì,8] = 0,00 c) P [, Ì z Ì,] = P [z Ì,] P [z Ì,] = 0,00 d) P [,87 Ì z Ì,] = P [z Ì,] P [z Ì,87] = P [z Ì,] P [z Ó,87] = = P [z Ì,] ( P [z <,87]) = 0,87,87 0, 7 Calcula k en cada uno de los siguientes casos: a) P [z < k] = 0,8 b) P [z > k] = 0,8 c) P [z < k] = 0,894 d) P [ k < z < k] = 0,9 a) k = 0,98 b) k = 0,98 c) k = 0,88 d) k =,9 4 Unidad. Distribuciones de probabilidad

15 UNIDAD Tipificación 8 En un examen tipo test, la media fue 8 puntos, y la desviación típica, 0 puntos. Calcula la puntuación tipificada de los alumnos que obtuvieron: a) 8 puntos. b) 4 puntos. c) 4 puntos. d) 0 puntos. μ = 8; q = a) = b) 0 0 =, c) =,7 d) 0 0 =,8 9 Si en el mismo examen del problema anterior la puntuación tipificada de un alumno fue 0,8 cuántos puntos obtuvo? Cuántos puntos corresponden a un valor tipificado de 0,? 0,8 8 0, = 0, 8 0, = 0 Las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron 0,8 y 0,4 y sus notas reales fueron 88 y 4 puntos. Cuál es la media y la desviación típica de las puntuaciones del examen? 88 μ q 4 μ q = 0,8 88 μ = 0,88q = 0,4 4 μ = 0,4q La media es 7 y la desviación típica ,8q = 4 + 0,4q 8 q = 0; μ = 7 Cálculo de probabilidades en N (μ, q) En una distribución N (4, 0), calcula las siguientes probabilidades: a) P [x Ó 4] b) P [x Ì 0] c) P [40 Ì x Ì ] d) P [0 Ì x Ì 40] a) P [x Ó 4] = 0, b) P [x Ì 0] = P [ z Ì ] c) P [40 Ì x Ì ] = P [ Ì z Ì 0 0 ] = P [z Ì,] = 0,90 = 0,098 = P [ 0, Ì z Ì,] = 0,08 d) P [0 Ì x Ì 40] = P [, Ì z Ì 0,] = P [0, Ì z Ì,] = P [z Ì,] P [z Ì 0,] = = 0,90 0,79 = 0,8 Unidad. Distribuciones de probabilidad

16 En una distribución N (, ), calcula: a) P [x Ì ] b) P [0 Ì x Ì ] c) P [x Ó 8] d) P [40 Ì x Ì 0] a) P [x Ì ] = P [ z Ì ] b) P [0 Ì x Ì ] = P [,07 Ì z Ì 0,7] = 0,87 c) P [x Ó 8] = P [z Ó,7] = 0,0 d) P [40 Ì x Ì 0] = P [ 0,7 Ì z Ì 0,] = 0,49 = P [z Ì ] = P [z Ó ] = P [z < ] = 0,87 La talla media de los 00 alumnos de un centro escolar es de cm, y la desviación típica, 0 cm. Si las tallas se distribuyen normalmente, calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar mida más de 80 cm. Cuántos alumnos puede esperarse que midan más de 80 cm? x es N (, 0); n = 00 alumnos P [x > 80] = P [ 80 z > 0 ] 00 0,08 =, alumnos = P [z >,] = 0,9 = 0,08 4 Los pesos de 000 soldados presentan una distribución normal de media kg y desviación típica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese: a) Más de kg. b) Entre y 9 kg. c) Menos de 70 kg. d) Más de 7 kg. x es N (, 8) a) P [x > ] = P [ z > 8 ] b) P [ < x < 9] = P [ 0, < z < 0,] = 0,90 c) P [x < 70] = P [z < 0,] = 0,77 = P [z > 0,] = P [z < 0,] = 0,9 d) P [x > 7] = P [z >,] = P [z Ì,] = 0,0 Binomial 8 Normal Si lanzamos un dado mil veces, cuál es la probabilidad de que el número de cincos obtenidos sea menor que 00? x es B ( 000; 0,7) 8 x' es N (,7;,79) P [x < 00] = P [x' Ì 99,] = P [z Ì,70] = 0 Unidad. Distribuciones de probabilidad

17 UNIDAD Una moneda se lanza 400 veces. Calcula la probabilidad de que el número de caras: a) Sea mayor que 00. b) Esté entre 80 y 0. x es B (400; 0,) 8 x' es N (00, 0) a) P [x > 00] = P [x' Ó 00,] = P [z Ó 0,0] = 0,480 b) P [80 < x < 0] = P [80, Ì x' Ì 9,] = P [,9 Ì z Ì,9] = 0, En un bombo de lotería tenemos 0 bolas idénticas numeradas del 0 al 9, y cada vez que hacemos la extracción de una bola la devolvemos al bombo. a) Si sacamos tres bolas, calcula la probabilidad de que el 0 salga una sola vez. b) Si hacemos 00 extracciones, calcula la probabilidad de que el 0 salga más de veces. a) x es B (; 0,) P [x = ] = 0, 0,9 = 0,4 b) x es B (00; 0,) 8 x' es N (0, ) P [x > ] = P [x' Ó,] = P [z Ó 0,8] = 0,0 Página 94 PARA RESOLVER 8 Tenemos una moneda defectuosa para la cual la probabilidad de obtener cruz en un lanzamiento es 0,4. La lanzamos cinco veces y anotamos el número de cruces. Haz una tabla con la distribución de probabilidad, represéntala gráficamente y calcula su media y su desviación típica. x es B(; 0,4) 0 0,078 0,9 0,4 0,0 4 0,077 0,00 μ = 0,4 = ; q = 0,4 0, =, 0 4 Unidad. Distribuciones de probabilidad 7

18 9 En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el % son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 0 tornillos. Calcula la probabilidad de que en una caja haya este número de tornillos defectuosos: a) Ninguno. b) Uno c) Más de dos. Cuántos tornillos defectuosos habrá, por término medio, en cada caja? x es B (0; 0,0) a) P [x = 0] = 0,98 0 = 0,4 b) P [x = ] = 0 0,0 0,98 49 = 0,7 c) P [x > ] = P [x Ì ] = (P [x = 0] + P [x = ] + P [x = ]) = = (0,4 + 0,7 + 0,8) = 0,9 = 0,078 Por término medio, habrá μ = 0 0,0 = tornillo defectuoso en cada caja. 0 La probabilidad de que un torpedo lanzado por un submarino dé en el blanco es 0,4. Si se lanzan torpedos, halla la probabilidad de que: a) Solo uno dé en el blanco. b) Al menos uno dé en el blanco. x es B (; 0,4) a) P [x = ] = ( ) 0,4 0, = 0,8 b) P [x Ó ] = P [x = 0] = 0, = 0,9 En un estadio deportivo se quieren instalar focos para iluminar el campo de juego. El suministrador asegura que el tiempo de vida de los focos es, aproximadamente, normal con media de 00 horas y desviación típica de 00 horas. Supongamos que es cierto. a) Cuál es la probabilidad de que un foco elegido al azar luzca por lo menos 000 horas? b) Se compran 00 focos. Cuántos puede esperarse que luzcan al menos 000 horas? x es N ( 00, 00) a) P [x Ó 000] = P [z Ó,] = P [z Ì,] = 0,998 8 Unidad. Distribuciones de probabilidad

19 UNIDAD El número de visitantes que diariamente acuden a una exposición se distribuye según una normal N ( 000, 0). a) Halla la probabilidad de que un día determinado el número de visitantes no supere los 00. b) Calcula la probabilidad de que un día cualquiera los visitantes sean más de 00. c) En un mes de treinta días, en cuántos días cabe esperar que el número de visitantes supere los 0? x ~ N ( 000, 0) 8 z ~ N (0, ) a) P [x Ì 00] = P [z Ì 0,4] = 0,4 b) P [x Ó 00] = P [z Ó ] = P [z Ì ] = 0,977 c) P [x Ó 0] = P [z Ó 0,84] = 0, ,004 =,0 8 días El 0% de los alumnos con mejor nota de una escuela pueden acceder a estudios superiores. Sabemos que las notas medias finales en esa escuela se distribuyen normalmente con media,8 y desviación típica. Cuál es la nota media mínima que debe obtener un alumno si quiere hacer estudios superiores? Si llamamos X a las notas medias finales, tenemos que X es N (,8; ). Buscamos el valor de x para el cual P [X > x] = 0,. Para una N (0, ), P [z > k] = P [z Ì k] = 0, 8 P [z Ì k] = 0,8 8 k = 0,84 Por tanto: x,8 = 0,84 8 x = 7,84 Debe obtener una media de 7,84 puntos o superior. 4 0, x < k, Ì x Ì a) Calcula el valor de k para que la función f (x) = k, < x Ì 7 0, x > 7 una función de densidad. sea b) Halla estas probabilidades: P[x = ], P[ < x < ], P[4 < x < ], P[x < 7] a) k k El área bajo la curva debe ser : Área = 4k + k = 4k + k = 0k = 8 k = 0 7 Unidad. Distribuciones de probabilidad 9

20 b) P [x = ] = 0 P [ < x < ] = ( ) = = 0, P [4 < x < ] = P [4 < x < ] + P [ < x < ] = + = = = 0, P [x < 7] = En las últimas elecciones celebradas en cierto país, la abstención fue del % del censo electoral. a) Si se seleccionan al azar tres individuos del censo, cuál es la probabilidad de que ninguno haya votado? b) Si se toman al azar 00 miembros del censo, cuál es la probabilidad de que se hayan abstenido al menos 0? a) x es B (; 0,) P [x = ] = 0, = 0,0 b) x es B (00; 0,) 8 x' es N (; 4,) P [x Ó 0] = P [x' Ó 9,] = P [z Ó,04] = 0,49 Un examen tipo test tiene 0 preguntas y cada pregunta tres respuestas diferentes, solo una de las cuales es correcta. Para aprobar, hace falta responder correctamente a preguntas; para un notable, ; y para un sobresaliente, 4 respuestas. Un estudiante responde al azar. Cuál es la probabilidad de que apruebe? Y la de que saque un notable? Y un sobresaliente? x es B (0; 0,) 8 x' es N (,;,) P [x Ó ] = P [x' Ó 4,] = P [z Ó,] = 0, probabilidad de aprobar P [x Ó ] = P [x' Ó 4,] = P [z Ó,] = 0 La probabilidad de sacar notable o sobresaliente es 0. CUESTIONES TEÓRICAS 7 En una distribución B (4; 0,) comprueba que: P [x = 0] + P [x = ] + P [x = ] + P [x = ] + P [x = 4] = 0, , 0,7 + 0, 0, , 0,7 + 0, 4 = 8 Dos ajedrecistas de igual maestría juegan al ajedrez. Qué es más probable: ganar dos de cuatro partidas o tres de seis partidas? (Los empates no se toman en consideración). 0 Unidad. Distribuciones de probabilidad

21 UNIDAD Ganar dos de cuatro: B ( 4, ) ; p [x = ] = ( ) ( ) = Ganar tres de seis: B (, ) ; p [x = ] = 0 ( ) ( ) = = Es más probable lo primero: ganar dos de cuatro. 0 4 Página 9 PARA PROFUNDIZAR 9 Un test de sensibilidad musical da resultados que se distribuyen según una N (, 8). Se quiere hacer un baremo por el cual, a cada persona, junto con la puntuación obtenida, se le asigna uno de los siguientes comentarios: duro de oído; poco sensible a la música; normal; sensible a la música; extraordinariamente dotado para la música, de modo que haya, respectivamente, en cada uno de los grupos, un 0%, un %, un 0%, un 0% y un % del total de individuos observados. En qué puntuaciones pondrías los límites entre los distintos grupos? Qué comentario se le haría a una persona que obtuviera una puntuación de 80? Y a otra que obtuviera una de 40? Empezamos trabajando en una N (0, ): El valor de z bajo el cual un 0% de la población es opuesto a aquel por encima del cual hay un 0%, es decir, por debajo del cual hay un 90%. Este es, mirando las tablas,,8, aproximadamente. (Obsérvese que P (z Ì,8) = 0,8997 es la más próxima a 0,9). Por tanto, P [z Ì,8] 0,. Análogamente, el valor correspondiente al 4% (0% + %) lo obtenemos buscando en la tabla una probabilidad lo más próxima posible al %, es decir, a 0,00. Esta está en el 0,. Unidad. Distribuciones de probabilidad

22 Por tanto, P [z Ì 0,] 0,4 P [z Ì k] = 0,7 8 k 0,8 P [z Ì k] = 0,9 8 k, El baremo lo realizamos destipificando los valores obtenidos para z: BAREMO,8 8 (,8) 8 + = 4,9 0, 8 ( 0,) 8 + =, 0,8 8 0,8 8 + = 77,4, 8, 8 + = 94,7 Hasta 4: duro de oído de 4 a : poco sensible a la música de a 77: normal de 78 a 94: sensible a la música de 9 en adelante: extraordinariamente dotado Puntuación de 80 8 sensible a la música. Puntuación de 40 8 duro de oído. 40 En una mano de póquer se dan cartas a cada jugador. Nos preguntamos por la probabilidad de que un jugador tenga k figuras (k = 0,,,, 4 ó ). Por qué no es una distribución binomial? (En el póquer, cada palo tiene cuatro figuras: J, Q, K, AS). Cada vez que se extrae una carta de la baraja, varía la composición de esta. Por tanto, la probabilidad de FIGURA no es constante para cada una de las cinco cartas. 4 En el proceso de fabricación de una pieza intervienen dos máquinas: la máquina A produce un taladro cilíndrico y la máquina B secciona las piezas con un grosor determinado. Ambos procesos son independientes. El diámetro del taladro producido por A, en milímetros, es N (; 0,). El grosor producido por B es N (,; 0,4). a) Calcula qué porcentaje de piezas tienen un taladro comprendido entre 0, y 4 mm. b) Encuentra el porcentaje de piezas que tienen un grosor entre 0, y,7 mm. c) Suponiendo que solo son válidas las piezas cuyas medidas son las dadas en a) y b), calcula qué porcentaje de piezas aceptables se consiguen. a) P [0, Ì x Ì 4] = P [ Ì z Ì ] = 0, ,7% b) P [0, Ì x Ì,7] = P [, Ì z Ì ] = 0, ,% c) 0,977 0,99 = 0, ,99% Unidad. Distribuciones de probabilidad

23 UNIDAD Página 9 AUTOEVALUACIÓN. La siguiente tabla corresponde a una distribución de probabilidad de variable discreta: 0, 0, 0, 0, , 0 Complétala y calcula μ y q. 0, 0, 0, 0, , 0 0, μ = 7,4, q =,9. Con un cierto tipo de chinchetas se dan las siguientes probabilidades al dejarlas caer en el suelo: P [ ] = 0,; P [ ] = 0,7. Dejamos caer chinchetas. Calcula: a) P [ y 4 ] b) P [alguna ] El número de chinchetas que caen así se distribuye B (; 0,). a) P [ y 4 ] = P [x = ] = ( ) 0, 0,7 4 = 0, 0,7 4 = 0,4 b) Empezamos calculando P [x = 0] = ( ) 0, 0 0,7 = 0,7 = 0,7 0 P [alguna ] = P [ninguna ] = P [x = 0] = 0,7 = 0,884. Si z es N(0, ), calcula: a) P [, < z <,] b) P [, < z <,] a) P [, < z <,] = f (,0) f (,) = 0,98 0,970 = 0,04 b) P [, < z <,] = f (,0) [ f (,)] = 0,98 ( 0,970) = 0,99 4. Sabiendo que z es N(0, ), calcula h y k para que se cumpla que: a) P [z < h] = 0,4 b) P [ k < z < k] = 0,9 a) P [z < h] = 0,4. h es negativo. P [z < h] = 0,, donde h es positivo. Buscamos en la tabla: f (0,) = 0,987, f (0,) = 0,0 Así, asignamos a h el valor 0, y, por tanto, h = 0,. b) P [ k < z < k] = P[0 < z < k] = [f (k) 0,] = f (k) f (k) = 0,9 8 f(k) =,9 : = 0,9 8 k =, Unidad. Distribuciones de probabilidad

24 . El cociente intelectual (C.I.) de un colectivo de bomberos se distribuye normal, de media 08 y desviación típica,. Llamamos x al C.I. de uno de ellos tomado al azar. Calcula: a) P [x < 00] b) P [x > ] c) P [00 < x < ] x 08 x es N(08;,) 8 z = es N(0, ), [ [ ] ] a) P[x < 00] = Pz< = P[z <,8] = f (,8) = 0,9887 = 0,0, 08 b) P[x > ] = Pz> = P[z > ] = f () = 0,977 = 0,08, c) P[00 < x < ] = P[x < 00] P[x > ] = 0,0 0,08 = 0,9. El 7% de las personas padecen un pequeño defecto anatómico de origen genético. En una empresa trabajan 80 personas. Cuál es la probabilidad de que haya más de 0 con ese defecto? x es B (80; 0,07) 8 μ = 80 0,07 =,; q = 80 0,07 0,9 =,08 =,8 x' es N (,;,8) 0,, P[x > 0] = P[x Ó ] = P[x' Ó 0,] = P[ zó ] = P[z Ó,] = f (,) =,8 0,984 = 0,08 x 7. Comprueba que y =, Ì x Ì 4 es una función de densidad. Represéntala y calcula: a) P [x = ] b) P [x < ] c) P [x >,] 4 Es función de densidad por ser no negativa y contener un área igual a. a) P [x = ] = 0 pues en las distribuciones de variable continua las probabilidades puntuales son cero. b) P [x < ] = = 0, ( ),, c) P [x >,] = P [x Ì,] = = 0,47 [ ( )] 4 Unidad. Distribuciones de probabilidad