I.E.S. Historiador Chabás -1- Juan Bragado Rodríguez

Transcripción

1 Problema Una variable aleatoria continua, tiene por función de densidad f() k si,. Calcular: a) El valor de la constante k. b) La varianza de dicha distribución. a) Sabemos que el área bajo la curva de la función de densidad (función de probabilidad) es. 3 k k 3 ( k ) d k b) f d 3 d 3 ( ) f ( ) d d d Problema Dada la función si f() si a 9 si a a) Calcular a para que sea una función de densidad. b) Calcular la función de distribución y representarla gráficamente. c) Encontrar p( ) y p( 5). a a a a a) Se tiene que cumplir f( ) d d d a a I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

2 b) La función de distribución es F ( ) t F ( ) ft ( ) dt c) p ( ) d F( ) 9 7 p ( 5 ) p ( 5 ) d F( 5 ) Problema 3 La figura adjunta representa la función de densidad de cierta variable continua X. Determina su función de distribución. f( ) La función de densidad de X es: si si f( ) si si La función distribución de X es: si tdt si F ( ) tdt ( t) dt si si I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

3 Problema 4 La función de distribución de una variable aleatoria continua X es Calcular la función de densidad. si F() si 4 si Dado que F ( ) es continua R, podemos derivarla haciendo uso de la tabla de derivadas, pero teniendo en cuenta que f( ) no eiste ya que F ( ) no tiene derivada en. si Sabemos que f( ) F( ) f( ) si si F ( ) f( ) f() Problema 5 La función de distribución de la variable continua X es: si 3 F() k si si Halla la función de densidad de X, su media y su varianza. I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguez

4 El parámetro k de F( ) podemos calcularlo al ser F( ) y F( ) k 8 k 8 La función de densidad verifica f( ) F ( ) es decir: 3 si f( ) F( ) 8 si, 4 f d 3 d 3 ( ) f d d ( ) Problema 6 La función de densidad de una variable aleatoria continua X es: k ( 3) si, 3 f() si,3 a) Calcular razonadamente qué valor debe tener k. b) Determinar la función de distribución de X. c) Calcular p ( X ). a) La función de densidad debe cumplir f( ) f ( ) d Como f() es nula fuera del intervalo 3,, es evidente que: f( ) d f( ) d ( k 3k) d k k Aplicando la condición inicial, se deduce que k k 9 I.E.S. Historiador Chabás -4- Juan Bragado Rodríguez

5 b) Recuérdese que F ( ) f( t) dt Es decir, la función de distribución es una primitiva de la función de densidad. Es obvio que F es anula para, vale para 3, y si 3, entonces se verifica: t F ( ) kt( t3) dt k 3 Por tanto, F y su gráfica son como sigue: 3t F ( ) 3 3 si 3 F ( ) si si c) p( X) F( ) F( ) Problema 7 Se sabe que bajo determinadas circunstancias, la probabilidad de que se presente un determinado tipo de úlcera es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud, que puede llegar a ser de 6 mm. a) Calcular y representar la función de densidad de probabilidad y la función de distribución de la variable aleatoria "Longitud de la úlcera". b) Halla la media y desviación típica. c) Determina la probabilidad de que la úlcera sea mayor de 8 mm. a) Sea X " Longitud de la úlcera" I.E.S. Historiador Chabás -5- Juan Bragado Rodríguez

6 f( ) Sabemos que k si 6 si, 6 k d f( ) 6 6 k d lim k 6 d lim k h h h h lim 8 k k h 8 k 8 k k h si 6 f( ) 8 si, 6 si F ( ) dt si 6 8 t si 6 F ( ) F ( ) si 4 si 6 si b) EX d d ( ) ( X) f( ) d d d I.E.S. Historiador Chabás -6- Juan Bragado Rodríguez

7 6 c) px 8 ( ) d es decir el 98% Problema 8 El autobús de Ondara a Denia tiene su salida a las 83 h., sin embargo nunca sale antes de las 84 h., ni tampoco después de las 95 h. La señora del kiosco ha hecho un seguimiento del horario y ha llegado a la conclusión: "La salida del autobús se ajusta a la siguiente función de probabilidad: si 84 k si 84 9 f() si 995 si 95 a) Hallar k para que f( ) sea una función de densidad. b) Representa f () y F (), funciones de densidad y de distribución respectivamente. c) Bernarda, la empleada de la limpieza, hace la siguiente apuesta a Antonia (la kiosquera): "Si el autobús sale antes de las 9 h gano pts, en caso contrario pierdo 6". Qué probabilidad de ganar tiene cada una? La apuesta de Bernarda le es beneficiosa o perjudicial? ( k) a) f( ) d ( k) d d ( k) (8 k) k k 6 k 537 k 783 b) F ( ) si ( t k) dt si ( t 7 83) dt dt 85 si si 9 5 I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez

8 f( ) F ( ) ,5 9 9, ,5 9 9,5 9 c) p( X 9 ) f( ) d 85 p( X 9 ) f( ) d 5 84, La apuesta le es claramente beneficiosa pts gana si sale antes de las Problema 9 Suponiendo que la variable que epresa el número de meses que tarda en salir el primer diente a los niños es N( 75,5), calcular la probabilidad de que a un niño le salgan los dientes: a) Antes de los 5 meses. b) Habiendo cumplido ya año. c) Con 7 meses (entre 7 y 8). d) Antes de cumplir el primer mes. 5 px pz 75 pz66 pz ( 66 ) pz ( 66 ) a) ( 5) b) px ( ) pz pz pz ( 3) pz ( 3) I.E.S. Historiador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguez

9 c) p( 7X8) p Z p( 33 Z 33) pz ( 33) pz ( 33) 5 5 pz ( 33) pz ( 33) pz ( 33) pz ( 33) pz ( 33) 586 ) d) px ( ) pz 75 pz ( 4 33) pz ( 4 33) pz ( 4 33) 5 Problema La puntuación media de un eamen final de Matemáticas es de 7 y la desviación típica de 9. El profesor desea dar sobresaliente al % de la clase. A partir de qué puntuación deberá de darlo? Buscamos en la tabla el valor de Z para el cual la probabilidad de Z menor que ese número sea aproimadamente 9, y nos da Z 8 ya que p ( Z 8) p Z Z 8 Problema Se ha pasado un test a. personas y los resultados se distribuyen según una Normal de media y varianza 36. Se quiere premiar a los mejores. A partir de qué puntuación hemos de seleccionar este grupo? Sobre., los mejores serán el %, es decir,, luego los restantes son el 99%, es decir, 99. Buscamos en la tabla el valor de Z para el cual la probabilidad de Z menor que ese número sea aproimadamente 99, y nos da Z 33 ya que p( Z 33) 99. pz Hay que escoger a partir de 4 de puntuación. Z 33 I.E.S. Historiador Chabás -9- Juan Bragado Rodríguez

10 Problema Un test consta de preguntas con 4 respuestas optativas cada una. Si se responden totalmente al azar: a) Cuál es la probabilidad de acertar 5 o más preguntas? b) Y de acertar entre 5 y 75? c) Y menos de 5? Y más de 75? a) El problema trata de una binomial B, que la podemos aproimar por una normal ya 4 que np 5 nq 75 npq 8 75 X N N Z X 5 5, 8 75 ( 5, 4 33) px ( 5) px ( 49 5) pz pz ( 565 ) pz ( 565 ) b) p( 5 X 75) p( 4 5 X 755 ) p Z p Z p Z p( Z66 ) p( Z ) pz ( 66) pz ( ) c) px ( 5) px ( 4 5) pz pz ( 54 ) pz ( 54 ) 433 pz ( 54 ) px ( 75) px ( 755 ) pz pz ( 66 ) pz ( 66 ) 433 Problema 3 Si X es la variable aleatoria que describe el número de caras obtenidas en lanzamientos de una moneda. Calcular: I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

11 a) Probabilidad de obtener entre 475 y 55 caras. b) Entre qué valores cabe esperar que se halle el 95% de las caras obtenidas? np 5 X B(, 5 ) nq 5 X N(5, 58 ) npq a) p( 475 X 55) p( X 555 ) p Z p( 6 Z 6) pz ( 6) pz ( 6) pz ( 6) pz ( 6 ) pz ( 6 ) pz ( 6 ) pz ( 6) b) Parece lógico buscar ese intervalo centrado en la media, 5 r, 5 r, de manera que se verifique p( 5 r X 5 r) 95. p( 5 r X 5 r) p( r X 5 5 r) r r 5 p Z r 5 r 5 r r p Z p Z p Z r 5 r 5 r 5 r p Z p Z p Z p Z r 5 r p Z 95 p Z por tanto el intervalo buscado será: 5 r 96 r , , , 53 Podemos decir, que el nº de caras obtenidas lanzando monedas se hallará entre 47 y 53 en el 95% de las veces que realicemos el eperimento. Problema 4 a) En una distribución N (63,), dónde están los percentiles P y P9? b) Hallar el º y 3º cuartil de una distribución N (5, 3). I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

12 a) Para el percentil de orden tenemos: px ( ) pz X 63 En las tablas N (, ) sólo encontramos el simétrico respecto de la media, es decir, el 9 que corresponde a 8, por tanto a le corresponderá el simétrico 8. X Z X47 64 P Para el percentil de orden 9 tenemos: px ( ) pz X b) Cálculo del cuartil º X Z X78 36 P px pz X 5 X ( ) Z X Cálculo del cuartil 3º Luego Q 99 px pz X 5 X ( ) Z X Luego Q 3 7 Problema 5 En una población de individuos se establecen dos grupos, A y B. Los cocientes intelectuales de ambos grupos se distribuyen según N(, 3) y N(, 35), respectivamente. Elegido, aleatoria e independientemente un individuo de cada grupo, se pide: a) Cuál es la probabilidad de que el individuo del grupo A tenga un cociente intelectual superior a 9? b) Cuál es la probabilidad de que el individuo del grupo B tenga un cociente intelectual superior a 9? c) Cuál es la probabilidad de que ambos tengan un cociente intelectual superior a 9? 9 px ( ) pz pz 33 pz ( 33) a) 9 I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

13 9 py ( ) p Z pz85 pz ( 85 ) b) 9 c) p p( X 9) p( Y 9) Problema 6 En la asignatura de psicología evolutiva se ha podido determinar que las calificaciones se distribuyen según una N (55,5). a) Entre qué valores en torno a la media se encontrará el 95% de los alumnos? b) Entre qué valores en torno a la media se encontrará el 5% de los alumnos? c) A partir de qué nota se encontrará el % de los alumnos mejor calificados? a) Calculamos el valor de Z que deja a la izquierda el 975% del área. Nos da Por simetría calculamos el otro etremo: Por tanto el intervalo pedido es 56844, b) Haciendo lo mismo que en apartado anterior se obtiene 4 495, 655 c) p Z X 55 X X Luego, a partir de 74 se encuentra el % de los alumnos mejor calificados. Problema 7 Se sabe que dos poblaciones distintas, X e Y, se distribuyen normalmente con media. Además p ( X ) p( Y 3) 587. Se pide que calcules sus respectivas varianzas. Indicaciones: Si Z es normal con parámetros,, entonces P(Z ) 843. Se sabe que las variables aleatorias X e Y se distribuyen según una normal N(, ) y N(, ) respectivamente. Como px ( ) px ( ) 587 px ( ) 843 y py ( 3) 843 I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguez

14 Como para una distribución normal Z, N (, ) se cumple que p( Z ) 843 esto significa que y 3 son, respectivamente, las desviaciones típicas de las variables X e Y, ya que: 4 y Problema 8 Se supone que los resultados de un eamen siguen una distribución normal con media de 78 y varianza 36. Se pide: a) Cuál es la probabilidad de que una persona que se presente al eamen obtenga una calificación superior a 7? b) Suponga que los estudiantes que se encuentran en el % de la parte superior de la distribución se les asigna una calificación A (A significa ecelente). Cuál es la puntuación mínima que debe alcanzar un estudiante para recibir la calificación A? c) Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que eceden por lo menos en 5 puntos la puntuación que marca la frontera entre Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 5% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas). NOTA: Si Z es una variable N(, ) se sabe que: p(z ) 6 ; p(z 76) 5 y p(z 8) 9 a) Es un distribución N( 78, 6) 7 78 px ( 7) pz pz ( ) pz ( ) pz ( ) b) p Z 78 ó p Z c) p Z 78 5 Como p( Z 76 ) 5, por simetría obtenemos: % 6 I.E.S. Historiador Chabás -4- Juan Bragado Rodríguez

15 Problema 9 Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución N( 65,8). Se desea clasificar a los eaminados en 3 grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de ecelente cultura general) de modo que haya en el primero un % de la población, un 65% en el segundo y un 5% en tercero. Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro? Resolveremos el problema para una distribución N(, ) y, después, destipificaremos los valores obtenidos. pz 65 8 pz pz 65 pz 8 pz 65 pz pz pz pz Puesto que lo razonable es marcar los límites con puntuaciones enteras, pondremos: Baja cultura general: puntuaciones hasta 49 puntos inclusive Cultura general aceptable: entre 5 y 83 puntos inclusive Ecelente cultura general: desde 84 en adelante Problema La demanda de una determinada revista en un kiosco tienen de media 9 y una desviación típica de 5. Cuántos ejemplares de la revista deben encargar para atender el 8% de los clientes? I.E.S. Historiador Chabás -5- Juan Bragado Rodríguez

16 Si el kiosquero encarga 9 revistas, tiene una probabilidad del 5% de atender a todos los clientes. Vamos a averiguar cuántas revistas ha de encargar para tener una probabilidad del 8% (o de 8) de atender a la totalidad de la demanda: pz Es decir, si el kiosquero compra revistas tiene una probabilidad de 8 (8%) de atender a toda la demanda. Podríamos preguntarnos cuántas ha de adquirir para tener una probabilidad de por ejemplo 95 de atender al 8% de la demanda. Para ello, calcularíamos X tal que px ( ) 95 y hallaríamos el 8% del así obtenido. Problema Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media y desviación típica 5. a) Determina el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y. b) Qué intervalo centrado en contiene al 5% de la población? c) En una población de 5 individuos cuántos individuos se espera que tengan un coeficiente superior a 5? 95 a) p( 95X) p Z p( 33 Z67 ) 5 5 pz ( 67 ) pz ( 33 ) pz ( 67 ) pz ( 33 ) pz ( 67 ) pz ( 33 ) El 3779% de la población cumple la condición requerida. b) p( r X r) r r r r r r p Z p Z pz pz r r pz pz 5 5 r r r pz pz pz r r pz pz 5 I.E.S. Historiador Chabás -6- Juan Bragado Rodríguez

17 r 67 r y El intervalo pedido es, pues, (9, ). 5 c) px ( 5) pz pz ( 67) Habrá unos 9 individuos con un C.I. superior a 5. Problema El porcentaje de españoles con estudios medios es del 35%. Elegidos 8 al azar, calcular la probabilidad de que entre 3 y 5 (ambos inclusive) tengan estudios medios, aplicando: a) La distribución binomial. b) La distribución normal como aproimación de la binomial. a) Recordando que en una distribución binomial: tenemos: 8 k B(8, 35 ) p( X k) k k p( 3X 5) px ( 3) px ( 4) px ( 5) b) X B(,35) 8 X N(,35) 8 Z N(,) p( 3X5) p( 5 X 55 ) p Z p( Z) pz ( ) pz ( ) pz ( ) pz ( ) pz ( ) pz ( ) 977 ( 587) 5643 I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez

18 La diferencia observada, no suficientemente pequeña, es debida a que la aproimación de la binomial a la normal no es buena, pues n p es notablemente menor que 5, cota a partir de la cual se suele dar por buena la aproimación. Problema 3 Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 6% de los hogares tiene al menos dos televisores. Se elige al azar una muestra de 5 hogares en el citado barrio. Se pide: a) Cuál es la probabilidad de que al menos de los citados hogares tenga cuando menos dos televisores? b) Cuál es la probabilidad de que entre 3 y 4 hogares tengan cuando menos dos televisores? Se trata de una distribución binomial B ( 5, 6). np5 6 3 nq 5 4 Como n p y n q son mayores que 5, podemos aproimar esta binomial a una normal tal que: np3 npq X B( 5, 6) X N( 3, 3 464) Z N(, ) a) px ( ) px ( 9 5) pz pz ( 3 3) pz ( 3 3) b) p( 3 X4) p( 9 5X 4 5) p Z p( 4 Z33 ) pz ( 33 ) pz ( 4 ) pz ( 33 ) pz ( 4 pz ( 33 ) pz ( ( 5557) 5545 Problema 4 El peso de los adultos de una población numerosa se distribuye normalmente con media 65 kg. y desviación típica 3 kg. Se eligen dos individuos al azar. Calculando las correspondientes probabilidades, justifica qué es más probable: a) Que cada uno de los individuos tenga un peso comprendido entre 635 y 665 kg. b) Que uno de ellos tenga un peso comprendido entre 6 y 68 kg. y el otro tenga un peso no comprendido entre 6 y 68 kg. I.E.S. Historiador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguez

19 a) El peso de un individuo de la población indicada se distribuye según una normal N ( 65, 3). Puesto que elegimos dos al azar, sus pesos ( e y) siguen ambos esta distribución, siendo además independientes. p( 63 5 X66 5 y 63 5 Y 66 5) p( 63 5 X 66 5) p( 63 5 Y66 5) Empezamos por calcular la probabilidad p( 63 5 X 66 5) tipificando los etremos y pasando así a la normal N (, ) p( 63 5X66 5) p Z p( 5 Z5 ) 3 3 pz ( 5 ) pz ( 5 ) pz ( 5 ) pz ( 5 ) pz ( 5 ) pz ( 5 ) pz ( 5) p( ambos tengan peso entre 635 y 665) = b) p( 6 X 68) p Z p( Z) p( Z) p( Z ) 3 3 pz ( ) pz ( ) pz ( ) pz ( ) pz ( ) pno( 6 X 68) p(uno tenga peso entre 6 y 68 y el otro no) = = 4333 Problema 5 El tiempo necesario para que una ambulancia llegue a un centro deportivo se distribuye según una variable normal de media 7 minutos y desviación típica 3 minutos. a) Calcular la probabilidad de que el tiempo de llegada esté comprendido entre 3 y minutos. b) Para qué valor de t, la probabilidad de que la ambulancia emplee más de t minutos en llegar es el 5%? a) p( 3 X ) p Z p( 33 Z33 ) p( Z33 ) 3 3 pz ( 33) p( ) ( 98 5) 864 b) p Z t 7 p Z t t t I.E.S. Historiador Chabás -9- Juan Bragado Rodríguez

20 El tiempo para el que la probabilidad de espera es menor que 5 es, aproimadamente minutos. Problema 6 En un gran estadio deportivo se quiere instalar focos para iluminar el campo de juego. El suministrador asegura que el tiempo de vida de los focos es, aproimadamente, normal con media de 4 h y desviación típica 4 horas. a) Escogiendo un foco al azar, cuál es la probabilidad de que luzca por lo menos 3 horas? b) Si se compran 5 focos, cuántos pueden esperarse que luzcan por lo menos 3 horas? c) Si se comprueba que sólo 4 focos lucen durante más de 3 horas qué puede deducirse? 3 4 a) px ( 3) pz pz ( 5) p( 5) b) c) Hay que considerar que los datos aportados por el suministrador son falsos. Veamos: pz ( z) 9333 z 5 pz ( 5) 9333 o o pz ( 5) Es decir, si damos por buena la desviación típica, la media de la población más acorde con los datos eperimentales es de 36 horas, y no las 4 que se nos dijo. Problema 7 Para aprobar unas oposiciones se necesita obtener puntos, o más, en una prueba. Por eperiencias anteriores, se sabe que la distribución de los puntos obtenidos por los opositores es una normal de media puntos y desviación típica 5. a) Qué probabilidad hay de que un opositor apruebe? b) Si sabemos que hay opositores y sólo 3 plazas, cuántos puntos se deberá eigir para ajustar el número de plazas al número de opositores aprobados? a) px ( ) pz pz ( 67) pz ( 67) I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

21 3 b) pz ( zo) 3 pz ( zo) 7 zo 5 5 o 5 o puntos Habría que aprobar con un mínimo de 8 puntos para que el número de aprobados se ajustara a las 3 plazas disponibles, es decir, que hubiera el 3 % de aprobados. Problema 8 Las calificaciones en un eamen de Matemáticas II en dos grupos A y B de COU se ajustan ambos a una distribución normal. En el grupo A se ha obtenido una media de 55 y una desviación típica de. En el grupo B la media es, también, de 55 pero la desviación típica es de 4. a) Hacer las gráficas aproimadas de cada una de estas distribuciones justificando en qué se fundamentan. b) Suponiendo que en otro grupo C la media fuese 55 y la desviación típica cero qué se puede afirmar de la calificación de cada alumno? a) ,5 -,5 3 5,5 8,5 3 5,5 8 En el intervalo ( 3, 3 ) debe de estar el 9974% de la distribución, por tanto: Para la ª ( 5 5 3, 5 5 3) ( 5, 8 5) Para la ª ( 5 5, 5 5) ( 6 5, 7 5) b) Todos los alumnos tienen la misma calificación: 55. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

22 Problema 9 Las calificaciones de los estudiantes de un curso siguen una distribución normal. Si las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron 8 y 4 y sus notas reales fueron 88 y 64 puntos, cuál es la media y la desviación típica de las puntuaciones del eamen? Como se trata de una distribución normal será N( 7, ) Problema 3 Una industria produce piezas con diámetros distribuidos según una normal de media 75 cm. y desviación típica cm. a) Determina los cuartiles de la población de diámetros. b) Supongamos que el control de calidad eige que las piezas tengan un diámetro entre 745 y 755 cm. Cualquier pieza fuera de ese rango es rechazada. Si se eamina una muestra de piezas, cuántas es de esperar que sean rechazadas? a) El segundo cuartil q es la mediana, que coincide con la media, luego q 75. El primer y tercer cuartil son simétricos respecto a 75. Como p( X q3) 75, consultando las tablas y por interpolación: q q3 753 y q b) p( 745X 755) p Z p( 5 Z5 ) pz ( 5) pz ( 5) La probabilidad de que una pieza sea rechazada es: Y se rechazarán 4 piezas I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

23 Problema 3 Un test de sensibilidad musical da resultados que se distribuyen N (65,8). Se quiere hacer un baremo por el cual, a cada persona, junto con la puntuación obtenida, se le asigna uno de los siguientes comentarios: Duro de oído, poco sensible a la música, normal, sensible a la música, etraordinariamente dotado para la música, de modo que haya, respectivamente, en cada uno de los grupos, un %, un 35 %, un 3 %, un % y un 5 % del total de individuos observados. En qué puntuaciones pondrías los límites entre los distintos grupos? El valor de Z bajo el cual hay un % de la población es opuesto a aquél por encima del cual hay un %, es decir, por debajo del cual hay un 9 %. pz 65 pz pz pz Análogamente, el valor correspondiente al 45 % (%+35%) lo obtenemos buscando en la tabla una probabilidad lo más próima posible al 55%, es decir, a 55. pz 65 pz pz pz El valor correspondiente al 3% (%+35%+3%) será: pz El valor correspondiente al % (%+35%+3%+%) será: pz El baremo lo realizamos "destipificando" los valores obtenidos para z: I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguez

24 Hasta de 4 a 6 BAREMO de 63 a 77 de 77 a 94 má s de 95 4 duro de oído poco sensible normal sen sible etraordinario Problema 3 a) Si lanzamos un dado veces, cuál es la probabilidad de que el número de cincos obtenidos sea menor que? b) Si lanzamos una moneda 4 veces, cuál es la probabilidad de que el número de caras difiera de en más de? Y de que difiera en más de? a) Como n p y n q tenemos: XesB(, 667) X esn( 66 7, 79) px ( ) px ( 99 5) pz pz ( 57 ) pz ( 57 ) 79 pz ( 57) b) X es B(4,5) X es N(,) p(x < 9 ó X > ) = p(x 895) = p(z 5) = 469 = 938 p(x < 8 ó X > ) = p(x 795) = p(z 5) = 44 Problema 33 La posibilidad de que una persona, su padre y su abuelo paterno tengan el mismo cumpleaños es En una ciudad con dos millones de habitantes: a) Cuántos habrá por término medio que presenten esta curiosa coincidencia? b) Cuál es la probabilidad de que haya menos de? c) Cuál es la probabilidad de que haya menos de 5? I.E.S. Historiador Chabás -4- Juan Bragado Rodríguez

25 a) X es B(..,7 5-6 ) -6 np npq ( 7 5 ) 387 X es N( 5, 3 87) por término medio habrá px px pz pz 4 pz ( 4) pz ( 4) 387 b) ( ) ( 9 5) px px pz pz 7 pz ( 7) pz ( 7) 387 c) ( 5) ( 45 ) Problema El % de los billetes de lotería recibe algún tipo de premio aunque sea el reintegro. En una familia juegan 46 números. Cuál es la probabilidad de obtener premio, al menos de ellos? X es B(46, ) np npq X es N( 56, ) px ( ) px ( 9 5) pz pz ( 9) pz ( 9) Problema 35 Un eamen tipo test tiene 5 preguntas y cada pregunta tres respuestas diferentes, sólo una de las cuales es correcta. Para aprobar, hace falta responder correctamente 5 preguntas, para un notable, 35, y para un sobresaliente, 45 preguntas. Un estudiante responde al azar. Cuál es la probabilidad de aprobar? Y de sacar un notable? Y un sobresaliente? X es B(5, 333) np npq X es N( 6 66, 3 33) px ( 5) px ( 4 5) pz pz ( 35) 94 94% px ( 35) px ( 34 5) pz pz ( 536 ) pz ( 536 ) 333 La probabilidad de sacar notable o sobresaliente es cero. I.E.S. Historiador Chabás -5- Juan Bragado Rodríguez