42 EJERCICIOS de DISTRIBUCIÓN BINOMIAL y NORMAL 2º BACH.

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1 42 EJERCICIOS de DISTRIBUCIÓN BINOMIAL y NORMAL 2º BACH. Números combinatorios: 1. Calcular: a) 3 b) 5 c) 5 3 d) 4 e) 7 5 f) g) 8 4 h) i) j) 3 7 k) l) 9 3 m) 5 1 n) 10 3 o) 6 p) 12 8 (Sol: a) 20; b) 6; c) 10; d) 15; e) 21; f) 4950; g) 70; h) 3060; i) 53130; j) ; k) 3003; l) 84; m) 5; n) 120; o) 1; p) 495) 2. Demostrar: a) n n = = 1 b) n = n 0 n 1 3. A la vista del ejercicio anterior, y sin efectuar ningún cálculo, decir el valor de los siguientes coeficientes binómicos: Calcular: a) y b) y c) y Qué conclusión podemos sacar? Distribución binomial: 5. Supongamos que la tercera parte de los presos de un determinado centro de reclusión dan positivo en una prueba de agresividad. Escogida al azar una muestra de 10 reclusos, hallar las siguientes probabilidades: a) Encontrar dos individuos agresivos. (Sol: 0,1951) b) Más de 6 agresivos. (Sol: 0,0196) c) A lo sumo cinco. (Sol: 0,9234) d) Hallar la media y la desviación típica de esta distribución. (Sol: µ 3,33 reclusos agresivos; σ 1,49) 6. Se sabe que las tres quintas partes de los enfermos que padecen una determinada enfermedad en cierto hospital se acaban curando. Encontrar la probabilidad de que de cinco pacientes tomados al azar se curen exactamente dos. (Sol: 0,2304) 7. Una determinada película de la cartelera ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que ya la ha ido a ver el 10% de la población. Si se reúnen cuatro amigos, hallar: a) Probabilidad de que la hayan visto dos de ellos. (Sol: 0,0486) b) Probabilidad de que la hayan visto dos o tres de ellos. (Sol: 0,0522)

2 c) Probabilidad de que nadie la haya ido a ver. (Sol: 0,6561) d) Probabilidad de que la haya visto al menos uno de ellos. (Sol: 0,3439) e) Probabilidad de que la hayan visto todos. (Sol: 0,9234) 8. TEORÍA: En cada una de las siguientes experiencias indicar razonadamente si se trata de una distribución binomial. En caso afirmativo, caracterizarla como B(n,p): a) Lanzamos diez monedas y nos preguntamos por el número de caras obtenido. b) Lanzamos seis dados y queremos saber el número de seises obtenido. c) Nos preguntamos cuántos partidos ganará nuestro equipo en los primeros diez partidos de Liga. d) Nos reparten cinco cartas de una baraja española y nos preguntamos cuántos oros nos podrán tocar. e) Nos dan una carta de una baraja española, observamos si es un oro, y la devolvemos al mazo. Barajamos y repetimos la experiencia otras cuatro veces. (Es decir, extraemos cinco cartas con reemplazamiento) f) Una empresa produce bombillas, y por término medio hay un 0,1% de bombillas defectuosas. Adquirimos una caja de cinco bombillas y nos preguntamos si nos habrá tocado alguna defectuosa. g) Elegimos al azar una muestra de cien individuos y queremos saber qué proporción hay de solteros, casados o viudos. h) Indica un ejemplo propio de experimento binomial. 9. Se ha pasado una prueba sobre fluidez verbal a un numeroso grupo de niños de una comarca y se ha detectado que el 55% de ellos tiene muy poca fluidez verbal, mientras que en el resto se puede considerar aceptable. De una muestra aleatoria formada por siete niños, hallar: a) Probabilidad de que todos hablen correctamente. (Sol: 0,0037) b) Esperanza matemática y desviación típica. (Sol: µ = 3,85 alumnos con poca fluidez verbal; σ 1,32) 10. Un examen consta de 10 preguntas tipo test, con cuatro opciones cada una sólo una de ellas es válida. Cada pregunta correcta es un punto, y no se penalizan los fallos. Si se contesta al azar, hallar: a) Probabilidad de sacar un 5. (Sol: 0,0037) b) Probabilidad de fallar todas. (Sol: 0,0037) c) Probabilidad de aprobar. (Sol: 0,0037) d) Esperanza matemática o valor esperado. Interpretar su significado. (Sol: µ = 3,85) 11. Según la revisión del padrón realizada por el INE (Instituto Nacional de Estadística) en 2012 en España había inmigrantes, sobre una población total de habitantes. Extraída una muestra de 8 individuos residentes en España al azar, hallar: a) Probabilidad de que ninguno sea inmigrante. b) Probabilidad de que haya algún inmigrante. c) Probabilidad de que haya un inmigrante. 12. De acuerdo con las cifras de la IATA (Asociación Internacional de Transporte Aéreo) en 2009 hubo un promedio de 1 accidente aéreo por cada 1,4 millones de vuelos. En el caso de una persona que tomara 9 vuelos ese año, hallar la probabilidad de verse involucrado en algún siniestro.

3 13. Se tiene una moneda trucada para la que se sabe que la probabilidad de cruz es 0,3. Si se lanza la moneda cinco veces, calcular: a) Probabilidad de obtener cuatro cruces. (Sol: 0,0284) b) Probabilidad de obtener al menos cuatro cruces. (Sol: 0,0308) c) Probabilidad de obtener a lo sumo cuatro cruces. (Sol: 0,0076) d) Probabilidad de obtener una o dos cruces. (Sol: 0,6689) 14. En el curso eligieron la materia de Religión el 83% de los estudiantes de Castilla-La Mancha. En una clase de 1º de Bachillerato de un centro de esa región formada por 24 alumnos, hallar: a) Probabilidad de que todos cursen religión. b) Probabilidad de ninguno haya elegido religión. c) Esperanza matemática o valor esperado Qué significado tiene? 15. En cierto país se ha estimado que el 40% de los alumnos que comienzan una ingeniería acaban obteniendo el título. Hallar la probabilidad de que, de un grupo de siete jubilados que se matricularon en su juventud: a) Ninguno sea ingeniero. (Sol: 0,0280) b) Todos sean ingenieros. (Sol: 0,0016) c) Hallar la esperanza matemática y la desviación típica. (Sol: µ = 2,8 ingenieros; σ 1,30) 16. En el año 2013 la población de China era de millones de habitantes, frente a un total de millones de habitantes en nuestro planeta. Si elegimos a tres personas al azar, hallar: a) Probabilidad de que al menos uno sea chino. b) Probabilidad de que haya dos chinos. c) Probabilidad de que haya dos o tres chinos. d) Probabilidad de que ninguno sea chino. 17. Según la EPA (Encuesta de Población Activa) el paro en España en el 2º trimestre de 2014 se situó en el 25% de la población activa. En una reunión de seis personas en edad de trabajar, hallar: a) Probabilidad de que todos estén en el paro. (Sol: 0,0002) b) Probabilidad de que todos estén trabajando. (Sol: 0,1780) c) Esperanza matemática o valor esperado. Interpretarlo. (Sol: µ = 1,5 parados) 18. Un total de alumnos de los que se presentaron a las Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) -antigua Selectividad-, a la fase general en el distrito universitario de Castilla-La Mancha, superaron con éxito los exámenes. En un centro de la región en el que se presentaran a dicha prueba 50 alumnos de 2º de Bachillerato, hallar las siguientes probabilidades: a) Que todos aprueben. b) Que al menos uno suspenda. c) Que haya un solo suspenso. d) Que haya tres suspensos.

4 19. Un equipo de fútbol ha determinado a lo largo de sus entrenamientos que en promedio sus jugadores marcan ocho de cada diez penaltis. En una tanda de cinco, hallar la probabilidad de: a) Marcar todos. (Sol: 0,3277) b) No marcar ninguno. (Sol: 0,0003) c) Marcar al menos uno. (Sol: 0,6723) d) Marcar cuatro. (Sol: 0,4096) e) Marcar cuatro o cinco. (Sol: 0,7373) f) Esperanza matemática o valor esperado. Interpretar su significado. (Sol: µ = 4 goles) (*) 20. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan abrochado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para a cinco conductores al azar. Se pide: a) Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones. (Sol: 0,0223) b) Determinar la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones. (Sol: 0,543) Cálculo de áreas en una N(0,1): NOTA: En algunos ejercicios conviene identificar el rango de valores y el significado de la variable aleatoria continua X, y acompañar el planteamiento con una gráfica explicativa. Los señalados con son los más recomendados. 21. Utilizando la tabla de la curva normal tipificada, calcular las siguientes áreas: a) Área entre 0 y 0,25 b) Área desde hasta 1,32 c) Área entre 2,23 y 1,15 (Soluc: 0,0987; 0,9066; 0,862) 22. Sea Z una variable aleatoria N(0,1). Calcular: a) P(Z 1,32) b) P(Z 2,17) c) P(1,52<Z 2,03) (Soluc: 0,0934; 0,9850; 0,0431) 23. Sea Z una variable aleatoria N(0,1). Calcular: a) P(Z -1,32) b) P(Z -2,17) c) P(-2,03 <Z 1,52) d) P(Z>2,8) e) P(Z -1,8) f) P(Z>-1,8) g) P(1,62 Z<2,3) h) P(1 Z <2) i) P(-0,61<Z 1,4) j) P(-1<Z 2) k) P(-2,3<Z -1,7) l) P(-2 Z -1) (Soluc: a) 0,0934; b) 0,015; c) 0,9145; d) 0,0026; e) 0,0359; f) 0,9641; g) 0,0419; h) 0,1359; i) 0,6483; j) 0,8185; k) 0,0339; l ) 0,1359) Problema inverso: 24. Calcular el valor de k (exacto o aproximado) en cada uno de los siguientes casos: a) P(Z k)=0,5 b) P(Z k)=0,8729 c) P(Z k)=0,9 d) P(Z k)=0,33 e) P(Z k)=0,2 f) P(Z>k ) =0,12 g) P(Z k)=0,9971 h) P(Z k)=0,6 (Soluc: a) k = 0; b) k = 1,14; c) k 1,28; d) k =-0,44; e) k -0,84; f) k 1,175; g) k =-2,76; h) k -0,25)

5 Tipificación de la variable: 25. En una distribución N(18,4), hallar las siguientes probabilidades: a) P(X 20) b) P(X 16,5) c) P(X 11) d) P(19 X 23) e) P(11 X<25) (Soluc: a) 0,6915; b) 0,6462; c) 0,0401; d) 0,2957; e) 0,9198) 26. En una distribución N(6; 0,9), calcular k para que se den las siguientes igualdades: a) P(X k ) =0,9772 b) P(X k ) =0,8 c) P(X k ) =0,90 d) P(X k ) =0,95 e) P(X k ) =0,99 f) P(X k ) =0,3 g) P(X k ) =0,6331 (Soluc: a) k=7,8; b) k 6,7605; c) k 7,1565; d) k 7,4805; e) k 8,0925; f) k 5,532; g) k=5,694) 27. En una distribución N(0,1) hallar un intervalo simétrico centrado en la media tal que en él se sitúen: a) El 90 % de las observaciones. b) 95 %. c) 99 %. d) 75 %. (Soluc: 1,645; 1,96; 2,575; 1,155) 28. Se ha observado que en un determinado municipio la edad de la población (en años) se distribuye de acuerdo con una distribución normal N(78;8). Hallar un intervalo simétrico centrado en la media en el que se acumule: a) El 60 % de la población. b) El 90 %. (Soluc: (71,24;84,76); (64,84;91,16)) Problemas de aplicación: 29. Las tallas de los individuos de una población se distribuyen normalmente con media igual a 175 cm y desviación típica igual a 8 cm. Calcular la probabilidad de que un individuo tenga una talla: a) Mayor que 180 cm. b) Menor que 170 cm. c) Entre 170 y 180 cm. (Soluc: 0,27; ídem; 0,4648) 30. Los opositores que se presentan a unas plazas de cierto organismo se distribuyen normalmente con una puntuación media igual a 70,5 y con una desviación típica igual a 9 Cuántas plazas se adjudicarán en la oposición de este año, si el tribunal ha decidido de antemano dejar sin plaza a todos aquellos que obtengan una puntuación inferior a 80? (Soluc: consiguen plaza 14,5 % de los opositores) 31. En un determinado examen la media de las calificaciones es 6 y la desviación típica 1,2. Calcular la probabilidad de que un alumno tenga una calificación: a) Mayor que 7 b) Menor que 5 c) Entre 5,5 y 7 (Soluc: 0,2633; ídem; 0,46) 32. El Ministerio de Educación ha hecho una encuesta sobre la distribución de las edades del profesorado de Educación Especial, y ha observado que se distribuyen normalmente con media de 38 años y desviación típica 6. De un total de 500 profesores, a) Cuántos profesores hay con edades menores o iguales a 35 años? b) Cuántos mayores de 55 años? (Soluc: 154 profesores; 1 profesor) 33. Los pesos de los individuos de una población se distribuyen normalmente con media 70 kg y desviación típica 6 kg. De una población de 2000 personas, calcular cuántas tendrán un peso comprendido entre 65 y 75 kg. (Soluc: 1187) 34. El peso teórico de una tableta de cierto medicamento es de 324 mg. Si suponemos que los pesos de las tabletas siguen una normal de desviación típica 10 mg por tableta, calcular: a) Cuál será el porcentaje de tabletas con peso menor o igual a 310 mg? b) Cuál será el porcentaje de tabletas con peso superior a 330 mg? 35. La duración media de un determinado modelo de televisor es de ocho años, con una desviación típica de medio año. Si la vida útil del televisor se distribuye normalmente, hallar la probabilidad de que un televisor cualquiera dure más de nueve años. (Soluc: 2 % de los televisores)

6 36. Se llama cociente intelectual (C.I.) al cociente entre la edad mental y la edad real. Supongamos que la distribución del C.I. de 2000 personas sigue una distribución normal de media 0,8 y desviación típica 0,2. Calcular: a) El número de personas con C.I. superior a 1,4 b) El número de personas con C.I. inferior a 0,9 (Soluc: 2 personas; 1383 personas) 37. La duración de un determinado modelo de pila se distribuye según una normal con media 70 horas y desviación típica de 2 horas. A un establecimiento le quedan del pedido anterior 20 pilas. a) Cuántas tendrán una duración superior a 70 horas? b) Cuál es la probabilidad de que una pila dure 75 y 82 horas? (Soluc: 10 pilas; 0,0062) 38. Por estudios realizados sobre un gran número de niñas al nacer, se ha determinado que su talla se distribuye según una normal de media 50 cm y desviación típica 1,8 cm. a) Hallar la probabilidad de que una niña al nacer tenga una talla superior a 54 cm. b) Si durante un mes en una maternidad nacen 100 niñas, cuántas tendrán al nacer una talla entre 48,2 y 51,8? (Soluc: 0,0132; 68 niñas) 39. Un almacén de camisas ha determinado que el cuello de los varones adultos se distribuye normalmente con media 38 cm y desviación típica 1,5 cm. Con el fin de poder preparar la próxima temporada, y teniendo en cuenta que su producción está en camisas, cuántas camisas de los números 35, 36, 37, 38 y 39 tendrá que fabricar? (Soluc: 376 camisas del 35; 1112 del 36; 2120 del 37; 2586 del 38) 40. Continuando con el problema anterior, cuántas camisas habrá que fabricar del 43? Y del 33? 41. La cantidad de sustancia S contenida en una dosis de una vacuna se distribuye según un modelo normal de probabilidad con una media de 50 unidades. Se ha comprobado que la vacuna surte efecto si la dosis administrada contiene una cantidad de S entre 46 y 54 unidades. Sabiendo que el 2,5 % de las dosis contiene una cantidad superior a 54 unidades, a) Hallar la desviación típica. b) Qué probabilidad hay de que a un individuo elegido al azar no le surta efecto la vacuna? (Soluc: 2,04 unidades; 95%) 42. En una población de individuos se establecen dos grupos, A y B. Los cocientes intelectuales (C.I.) de ambos grupos se distribuyen según N(100, 30) y N( 120, 35), respectivamente. Elegido, aleatoria e independiente, un individuo de cada grupo, se pide: a) Cuál es la probabilidad de que el individuo del grupo A tenga un C.I. superior a 90? b) Cuál es la probabilidad de que el individuo del grupo B tenga un C.I. superior a 90? c) Cuál es la probabilidad de que ambos tengan un C.I. superior a 90? (Soluc: 0,6293; 0,8051; el producto de las dos anteriores)