DISTRIBUCIÓN NORMAL (Laplace-Gauss)

Transcripción

1 DISTRIBUCIÓN NORMAL (Laplace-Gauss) 1.- El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal N (192; ). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol: Superior a 200 unidades. Entre 180 y 220 unidades. X nivel de colesterol de una persona adulta sana, X N (192; ) : X P (X > 200) P > P (Z > 0; 67) 1 P (Z 0; 67) 1 0; ; P (180 < X < 220) P < X 192 < P ( 1 < Z < 2; 33) P (Z < 2; 33) [1 P (Z < 1)] 0; 9901 (1 0; 8413) 0; La edad de un grupo de personas sigue una distribución N (3; ). Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo, elegida al azar, tenga: Más de 40 años. Entre 23 y 47 años. c) Di entre qué edades estará comprendido el 0 % central de la distribución. Sea X edad. Se tiene que X N (3; ) : X P (X > 40) P > P (Z > 0; ) 1 P (Z 0; ) 1 0; 691 0; 308 1

2 23 3 P (23 < X < 47) P < X 3 < 47 3 P ( 1; 2 < Z < 1; 2) P (Z < 1; 2) [1 P (Z < 1; 2)] 2 0; ; 7698 c) P (3 3 a 3 a < X < 3 + 0; ) P < X < 3 + a 3 a P < Z < a P Z < a h 1 P Z < a i 2P Z < a 1 0; ) P Z < a 0; 7 ) ) a 0; 68 ) a 6; Los pesos de los individuos de una población se distribuyen normalmente con media 70 kg y desviación típica 6kg. De una población de 2000 personas, calcular cuántas personas tendrán un peso entre 64 y 76 kg. 70 Tenemos. Si llamamos X pesos, se tiene que: X N (70; 6) : 6 El 68,26 % de los individuos están en el intervalo ( ; + ) (70 6 ; ) (64 ; 76) : Vamos a calcular el % de 2000: 2000 x ; 26 ) x 136; 2 l 136 individuos 68; Se ha aplicado a 300 alumnos de 1 o de E.S.O. un test de agresividad y se ha observado que se distribuyen normalmente con media 30 y desviación típica. Se pide: (1) Qué proporción de alumnos tendrá una puntuación en dicho test entre 20 y 3? 2

3 (2) Cuántos alumnos tendrán una puntuación superior a 42? 8 < 30 Tenemos. Si llamamos X puntuación obtenida en el test, se : n 300 tiene que: X N (30; ) : 1) P (20 X 3) P Z P ( 0; 83 Z 0; 42) P (Z 0; 42) P (Z 0; 83) P (Z 0; 42) [1 P (Z < 0; 83)] 0; 6628 (1 0; 7967) 0; 49 es decir, aproximadamente el 46 % de los alumnos tienen puntuación entre 20 y 3. 2) P (X > 42) P Z > Haciendo una regla de tres: P (Z > 1) 1 P (Z 1) 1 0; ; x 0 1; ) x 47; 61 ' 48 alumnos 1; Aplicando un test a un grupo de 400 personas se ha obtenido una distribución normal de media 60 y desviación típica. Hallar el percentil Tenemos. Si llamamos X puntuación obtenida en el test, se tiene que: X N (60; ) : El percentil 67 es el valor de x tal que P (X x) 0;67: Vamos a calcularlo: P (X x) 0;67 ) P Z x 60 0;67 Buscando en las tablas obtenemos: x 60 Por tanto el percentil 67 es 62,2 puntos. 0; 44 ) x 62; 2 3

4 6.- Después de realizar varios sondeos sobre cierta población, se ha conseguido averiguar que únicamente el 1 % de la misma es favorable a los tratamientos de psicoterapia. Elegida al azar una muestra de 0 personas de dicha población, se desea saber: (1) La probabilidad de que haya más de cinco personas favorables a dichos tratamientos. (2) La probabilidad de que a lo sumo haya seis personas favorables. Se trata de una distribución binomial: A ser favorable ) P (A) 0; 1 p A ser desfavorable ) P A 0; 8 q Sea X n o de personas favorables a los tratamientos de psicoterapia. Se tiene que: X B (0; 0;1) Dicha distribución binomial no la tenemos tabulada. Veamos si se puede aproximar por una normal. Como np 0 0; 1 7; > nq 0 0; 8 42; > aplicando la aproximación de De Moivre se tiene que: p X 0 N 0 0; 1 ; 0 0; 1 0; 8 N (7; ; 2; 2) P (X > ) P (X 0 > ; ) P P (X 6) P (X 0 6; ) P Z > P (Z 0; 79) 0; 782 Z ; 7; P (Z > 0; 79) 2; 2 6; 7; P (Z 0; 4) 2; 2 1 P (Z 0; 4) 1 0; 64 0; La altura de los individuos en edad militar de un determinado país sigue una N (170; ), donde 170 y están medidos en cm. Se pide: ( Qué proporción de individuos mide menos de 10 o más de

5 ( Si no son admitidos para el servicio militar todos aquellos individuos cuya talla dista más de 30 cm de la talla media, que proporción de individuos se rechaza? Sea X altura. Se tiene que X N (170; ) : P (10 > X > 200) 1 P (10 < X < 200) P < Z 2)) 1 (0; ; 0228) 0; 0241 Por tanto, la proporción de individuos que están en las condiciones pedidas es 2,41 %. P (140 > X > 200) 1 P (140 < X < 200) P < Z 3)) 1 (0; ; 0013) 0; 0027 Por tanto, la proporción de individuos que están en las condiciones pedidas es 0,27 %. 8.- Las precipitaciones anuales en una región son, en media, de 2000 ml/m 2 ; con una desviación típica de 300mlm 2 : Calcular, suponiendo distribución normal, la probabilidad de que un año determinado la lluvia no supere los 00ml/m 2 : 2000 mlm mlm 2 : Si X precipitaciones anuales en una región, la distribución de X es N (2000; 300) : La probabilidad que nos piden es P (X 00): P (X 00) P Z P (Z 2; 67) P (Z 2; 67) P (Z < 2; 67) 1 0; ; 0038

6 9.- Las tallas de 800 recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 66cm y una desviación típica de. Calcular cuántos recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 66cm y una desviación típica de cm. Calcular cuántos recién nacidos cabe esperar con tallas comprendidas entre 6 y 70 cm. 66cm : Si X tallas de los recién nacidos, cm la distribución de X es N (66; ) : En ( ; + ) (66 ; 66 + ) (61; 71) están el % de los recién nacidos, luego: 800 x 0 68; ) x 46; 08 68; 26 0 es decir, aprox. 46 recién nacidos P (6 < X < 70) P < Z 0; 2) P (Z < 0; 8) (1 P (Z 0; 2)) 0; ; 793 0; 3674 es decir, el 36,74 % de los recién nacidos miden entre 6 y 70cm..- En un examen de selectividad se comprobó que las cali caciones obtenidas correspondían razonablemente a una distribución normal de media 6 y desviación típica 1. Elegido al azar un estudiante, calcular cuál es la probabilidad de que su cali cación esté comprendida entre 6,7 y 7,1. 6 : Si X nota en un examen de selectividad, la distribución de X es N (6; 1) : La probabilidad que nos piden 1 es: 6; 7 6 P (6; 7 < X < 7; 1) P 1 < Z < 7; 1 6 P (0; 7 < Z < 1; 1) 1 P (Z < 1; 1) P (Z < 0; 7) 0; ; 780 0; Los ingresos diarios en una empresa tienen una distribución normal, con media euros y desviación típica 2 30 euros. Justi car si es razonable 6

7 o no el esperar obtener un día unas ventas superiores a 000 euros. Calcular cuántos días en un año se espera obtener unas ventas superiores a euros euros : Si X ingresos diarios de 230 euros una empresa, la distribución de X es N (3600; 230) : P (X > 000) 1 P (X 000) 1 P Z P (Z < 7; 67) luego no es razonable obtener esos ingresos. P (X > 40620) 1 P (X 40620) 1 P es decir, el 2.39 % de los días: Z 1 P (Z < 1; 98) 1 0; ; x 0 2 ) x ; 3 ' 7 días El peso de las truchas de una piscifactoría sigue una ley N (200; 0). Se extrae una al azar: (1) Cuál es la probabilidad de que su peso no exceda los 17 gramos? (2) Cuál es la probabilidad de que su peso exceda los 230 gramos? (3) Cuál es la probabilidad de que su peso esté comprendido entre 22 y 27 gramos? 200 gramos : Si X pesos de las truchas, 0 gramos la distribución de X es N (200; 0) : P (X 17) P Z P (Z 0; ) P (Z 0; ) 0 1 P (Z < 0; ) 1 0; 691 0; 308 7

8 P (X > 230) 1 P (X 230) 1 P Z P (Z < 0; 6) 1 0; 727 0; El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye como una distribución normal de 00kg de media y 4kg de desviación típica. Si la ganadería tiene 2000 toros: (1) Cuántos pesarán más de 40kg? (2) Cuántos pesarán menos de 480kg? (3) Cuántos pesarán entre 490 y kg? 00kg : Si X pesos de los toros de la 4kg ganadería, la distribución de X es N (00; 4) : P (X > 40) 1 P (X 40) 1 P Z 1 P (Z 0; 89) 4 1 0; ; 1867 es decir, el % de los toros pesarán más de 40kg: P (X < 480) P 2000 x 0 18; ) x 373; 4 ' 373 toros 18; 67 0 Z 0; 44) 4 1 P (Z 0; 44) 1 0; ; 33 es decir, el 33 % de los toros pesarán menos de 480kg: 2000 x ) x 660 toros

9 c) P (490 < X < ) P (X < ) P Z 0; 22) P (Z < 0; 22) (1 P (Z 0; 22)) 0; ; 871 0; 1742 es decir, el 17,42 % de los toros pesarán entre 490 y kg: 2000 x 0 17; ) x 348; 4 ' 348 toros 17; La compañía aérea Avión sabe que el tiempo de retraso de sus vuelos sigue una ley normal, con un retraso medio de minutos y desviación típica de minutos. Calcular: ( La probabilidad de que un vuelo no tenga retraso ( La probabilidad de que el próximo vuelo llegue con no más de minutos de retraso (c) Probabilidad de que el próximo vuelo llegue con no más de 20 minutos de retraso. Exercise 1 (Datos: F (0) 0;; F (2) 0;9772; F función de distribución de la N (0; 1)) mn : Si X retraso (en minutos) en mn los vuelos de la compañía Avión, la distribución de X es N (; ) : P (X 0) 0 P (X ) P Z P (Z 0) F (0) 0; c) P (X 20) P Z 20 P (Z 2) F (2) 0;

10 1.- Las cali caciones obtenidas por un grupo de alumnos en un examen de Matemáticas sigue una distribución N (.2, 1.6). Calcula la probabilidad de que elegido un alumno al azar halla sacado una nota: Superior a 7 Inferior a 9 c) Entre 3 y 4,. Sea X nota obtenida. P (X > 7) P Z > 7 ; 2 P (Z > 1; ) 1 P (Z 1; ) 1; 6 P (X < 9) P c) 3 ; 2 P (3 < X < 4; ) P < X < 1; 6 1 0; ; 1314 Z < 9 ; 2 P (Z < 2; 37) 0; ; 6 4; ; 2 P ( 1; 38 < X < 0; 48) 1; 6 P (X < 0; 48) P (X < 1; 38) 1 P (X < 0; 48) [1 P (X < 1; 38)] 1 0; 6844 (1 0; 9162) 0; El peso (P) de los socios del Club de Amigos del Buen Comer ha resultado que se distribuye conforme a una normal N (92, 20). Qué peso máximo tienen el % de los individuos menos obesos de tan opíparo Club? Queremos calcular el valor p 0 ; tal que si una persona posee un peso inferior a p 0 se cumpla: P (P < p 0 ) 0; 1, P Z < p ; 1 20 Las tablas de la normal muestran probabilidades superiores a 0., por ello, calculamos la probabilidad del simétrico: P Z < p ; 9 () 20 En la tabla de la normal encontramos: P (Z < 1; 28) 0; 8997 y P (Z < 1; 29) 0; 901

11 Por interpolación lineal, a la probabilidad 0.9 le corresponde la abscisa z 1; 28 + Volviendo a () resulta: p ; 01 0; ; ; 901 0; ; 2817, p ; 2817 ' 66 kg 17.- Los deciles tercero y octavo de una variable normal X N (; ) ; son D 3 P 3 4 y D 8 P 8 80: Calcula la media y la desviación típica de dicha normal. Sabemos que los deciles dividen a la población en partes con el % de individuos cada una, luego: P (X < D 3 ) 0; 3 y P (X < D 8 ) 0; 8,, P (X < 4) 0; 3 y P (X < 80) 0; 8 ya que D 3 P 3 4 y D 8 P 8 80: Como la tabla de la normal no contempla probabilidades inferiores a 0., para el tercer decil procedemos como en el problema anterior, y hallamos: P Z < 4 0;7 En las tablas aparecen P (Z < 0; 2) 0; 698 y P (Z < 0; 3) 0; 7019: Por interpolación lineal: z 0; + 0; 01 0; 001 0; 244 0; ; 698 con lo que: 4 0; 244, 4 + 0; 244 (1) En el caso del octavo decil: P Z < 80 0; 8 En las tablas aparecen P (Z < 0; 84) 0; 799 y P (Z < 0; 8) 0; 8023: Por interpolación lineal: z 0; ; 000 0; 01 0; 84 0; ; 799 con lo que: 80 0; 84, 80 0; 84 (2) Las ecuaciones (1) y (2) forman un sistema lineal, cuya solución es (; ) (8; 44 ; 2; 63) 11