Distribuciones continuas. La distribución Normal.

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1 Distribuciones continuas. La distribución Normal. Matemáticas CSSS II Cuaderno de ejercicios MATEMÁTICAS JRM Nombre y apellidos...

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3 OBJETIVOS 1. Variables aleatorias continuas. Función de densidad. OBJETIVO 1. Conocer los siguientes conceptos relacionados: Variable Aleatoria Continua. Función de densidad de una V.A.C. Cálculo de probabilidades para una V.A.C. 2. Variables aleatorias continuas con distribución normal. Campanas de Gauss. OBJETIVO 2. Conocer la expresión analítica, la gráfica y las características de las funciones de densidad de las distribuciones normales. 3. Cálculo de probabilidades en la distribución normal estándar. Tabla tipificada. OBJETIVO 3. Saber utilizar la tabla tipificada de la distribución N(0 ; 1) para calcular probabilidades de dicha variable. 4. Niveles de confianza y valores críticos en la distribución normal estándar. OBJETIVO 4. Conocer el concepto de nivel de confianza y saber utilizar la tabla tipificada de la distribución N(0 ; 1) para calcular el valor crítico correspondiente. 5. Cálculo de probabilidades en otras distribuciones normales. Tipificación. OBJETIVO 5. Conocer el proceso de tipificación de una variable normal para calcular probabilidades y abcisas de dicha variable, utilizando la tabla tipificada. Si la variable X sigue una distribución, entonces la variable sigue una distribución normal tipificada: 6. Ajuste de una variable estadística continua a una distribución normal. OBJETIVO 6. Utilizar los datos correspondientes a una muestra aleatoria de una variable estadística X, para decidir si la variable se ajusta o no a una distribución normal y en caso afirmativo realizar el ajuste: 7. Aproximación de una binomial por una normal. OBJETIVO 7. Conocer y saber aplicar el teorema de Moivre (Abraham de Moivre ) sobre la aproximación de una variable estadística binomial mediante una normal: cuando Distribuciones continuas. La distribución normal Página 3

4 1. Variables aleatorias continuas. Función de densidad. OBJETIVO 1. Conocer los siguientes conceptos relacionados: Variable Aleatoria Continua. Recorrido. Función de densidad de una V.A.C. Cálculo de probabilidades para una V.A.C. Variables aleatorias continuas. Una variable aleatoria continua es una variable X que toma aleatoriamente cualquiera de los infinitos valores de un intervalo (a, b). Dicho intervalo se denomina recorrido de la variable X. Para definir la distribución de probabilidad de la variable X sobre los infinitos valores del intervalo (a, b) se utiliza una función f(x), denominada función de densidad de X, que cumple los dos siguientes requisitos: El área que encierra la gráfica de sobre el intervalo vale 1. Con una función de densidad podemos calcular las probabilidades relacionadas con la variable X: Ejemplo Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=0 y X=5. En la figura adjunta se ha representado la gráfica de su función de densidad. La función f(x) es una función de densidad porque es positiva en el intervalo (0, 5) y el área que encierra con el recorrido de X es 1. La probabilidad es el valor correspondiente a la superficie sombreada: Distribuciones continuas. La distribución normal Página 4

5 Ejercicio 1.1. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=2 y X=4. En la figura adjunta se ha representado la gráfica de su función de densidad. 1. Justifica si f(x) es una función de densidad. 2. Calcula las siguientes probabilidades: a. b. : 1. f(x) si es una función de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 2. y Ejercicio 1.2. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=0 y X=5. En la figura adjunta se ha representado la gráfica de su función de densidad. 1. Justifica si f(x) es una función de densidad. 2. Calcula las siguientes probabilidades: a. b. : 1. f(x) si es una función de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 2. y Distribuciones continuas. La distribución normal Página 5

6 Ejercicio 1.3. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=0 y X=7. En la figura adjunta se ha representado la gráfica de su función de densidad 3. Justifica si f(x) es una función de densidad. 4. Calcula las siguientes probabilidades: a. b. : 3. f(x) si es una función de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 4. y Ejercicio 1.4. Cierta variable aleatoria X puede tomar todos los valores comprendidos entre X=-10 y X=10. En la figura adjunta se ha representado la gráfica de su función de densidad. 3. Justifica si f(x) es una función de densidad. 4. Calcula las siguientes probabilidades: a. b. : 3. f(x) si es una función de densidad porque cumple los dos requisitos necesarios. 4. y Distribuciones continuas. La distribución normal Página 6

7 Ejercicio 1.5. Dada la función { 1. Represéntala gráficamente 2. Comprueba que f(x) es una función de densidad. 3. Halla ( ) Distribuciones continuas. La distribución normal Página 7

8 2. Variables aleatorias continuas con distribución normal. Campanas de Gauss. OBJETIVO 2. Conocer la expresión analítica la gráfica y las características de las funciones de densidad de las distribuciones normales. Diremos que una variable estadística X, cuantitativa y continua, sigue una distribución normal de media desviación cuando su función de densidad sea: y ( ) En ese caso escribiremos: Estas funciones, denominadas campanas de Gauss, cumplen las siguientes características: Están definidas en todo R: Son funciones de densidad, es decir, son positivas y encierran un área total igual a 1. Son simétricas respecto a la media, punto en el que alcanzan su máximo. Tienen dos únicos puntos de inflexión, en En el intervalo se encuentra el 99,9% de la distribución ( las ramas tocan abcisas ) El aumento de la desviación achata la campana y dispersa los datos respecto a la media. Por qué estudiamos estas funciones de densidad? Porque muchas variables estadísticas reales del mundo de la economía, la sociología, la medicina y otras ciencias se distribuyen siguiendo un comportamiento similar a las campanas de Gauss. De este modo, podemos aproximar el comportamiento de esas variables reales al modelo matemático que nos ofrecen estas funciones. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 8

9 Ejercicio Escribe la expresión analítica de la función de densidad de la distribución normal 2. Determina la abcisa de su máximo, de sus puntos de inflexión y del intervalo que encierra el 99,9% de la distribución. 3. Utiliza la calculadora para hallar el valor aproximado que alcanza su máximo. 4. Representa la gráfica de esa función de densidad. Ejercicio Determina qué distribución normal sigue una variable aleatoria continua X cuya función de densidad tiene la expresión analítica siguiente: ( ) 2. Determina la abcisa de su máximo, de sus puntos de inflexión y del intervalo que encierra el 99,9% de la distribución. 3. Utiliza la calculadora para hallar el valor aproximado que alcanza su máximo. 4. Representa la gráfica de esa función de densidad. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 9

10 Ejercicio 2.3. Cada una de las siguientes gráficas se corresponde a la función de densidad de una variable aleatoria normal. 1. Determina justificadamente la media de cada una de ellas y su varianza aproximada. 2. Escribe la expresión analítica de cada una de estas funciones de densidad. A) B) C) Ejercicio 2.4. Cada una de las siguientes gráficas se corresponde a la función de densidad de una de las siguientes distribuciones normales: Determina justificadamente cuál corresponde a cada una de ellas. A) B) C) Distribuciones continuas. La distribución normal Página 10

11 Ejercicio 2.5. En una ciudad se estima que la temperatura máxima X en el mes de junio sigue una distribución normal, con media de 23 y desviación típica de Determina justificadamente cuál de estas funciones de densidad corresponde a esa distribución. A) ( ) B) ( ) C) ( ) 2. Determina cuál es la gráfica de esta distribución y sombrea en ella la superficie correspondiente a la probabilidad de que la temperatura máxima esté entre 25º y 28º. Ejercicio 2.6. Las tallas de los recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 50 cm y una desviación típica de 5 cm. 1. Determina justificadamente cuál de estas funciones de densidad corresponde a esa distribución. A) ( ) B) ( ) C) ( ) 2. Determina cuál es la gráfica de esta distribución y sombrea en ella la superficie correspondiente a la probabilidad de que la talla de un niño recién nacido sea mayor que 56cm. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 11

12 3. Cálculo de probabilidades en la distribución normal estándar. Tabla tipificada. OBJETIVO 3. Saber utilizar la tabla valores de la distribución N(0 ; 1) para calcular probabilidades de dicha variable. La probabilidad para la distribución normal tipificada Z = N(0 ; 1) está tabulada, lo que nos permite realizar cálculos con esta distribución de forma sencilla. Además, cualquier otra distribución normal puede modificarse de modo que se pueda utilizar la distribución normal para calcular sus probabilidades (en un proceso denominado tipificación o normalización, que estudiaremos más adelante) Colas principales: Colas complementarias: Colas simétricas: Colas complementarias: Distribuciones continuas. La distribución normal Página 12

13 Ejercicio 3.1. Colas principales. Para k positivo, A) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. B) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. C) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 13

14 Ejercicio 3.2. Colas complementarias de las principales. Para k positivo, A) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. B) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. C) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 14

15 Ejercicio 3.3. Colas simétricas de las principales. Para k negativo, A) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. B) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. C) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 15

16 Ejercicio 3.4. Colas simétricas de las complementarias. Para k negativo, A) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. B) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. C) Calcula la siguiente probabilidad y representa la correspondiente superficie. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 16

17 Ejercicio 3.5. Intervalos: Para a < b, A) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie. B) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 17

18 C) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie. D) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 18

19 E) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie. F) Calcula la probabilidad y representa la correspondiente superficie. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 19

20 4. Cálculo de valores críticos. OBJETIVO 4. Saber calcular el valor crítico correspondiente a cualquier cola y a cualquier intervalo simétrico. 1. Colas a la izquierda del valor crítico. Para una probabilidad conocida, queremos calcular el valor crítico que cumple la igualdad ( ) Si la probabilidad p es mayor que 0,5 Si la probabilidad p es menor que 0,5 es positivo y se encuentra e directamente en la tablas. es negativo y encontramos en las tablas el valor positivo cumple ( ) que 2. Colas a la derecha del valor crítico. Para una probabilidad conocida queremos calcular el valor crítico que cumple la igualdad ( ) Si la probabilidad p es mayor que 0,5 Si la probabilidad p es mayor que 0,5 es negativo y encontramos en las tablas el valor positivo cumple ( ) que es positivo y lo encontramos en las tablas cumpliendo que ( ) 3. Intervalos simétricos. Para una probabilidad conocida, que este caso se denomina nivel de confianza, queremos calcular el valor crítico que cumple la igualdad ( ) es positivo y lo encontramos en las tablas cumpliendo que ( ) Distribuciones continuas. La distribución normal Página 20

21 Ejercicio 4.1. Calcula el valor crítico que cumple la siguiente igualdad: ( ) 1. La superficie a sombrear está a la izquierda del valor y mide más de 0,5 luego es un valor positivo. 2. Representamos un valor aproximado y su correspondiente superficie. Como es una cola principal, buscamos 0,7910 directamente en la tabla: : Por tanto, Ejercicio 4.2. Calcula el valor crítico que cumple la siguiente igualdad: ( ) : Distribuciones continuas. La distribución normal Página 21

22 Ejercicio 4.3. Calcula el valor crítico que cumple la siguiente igualdad: ( ) : Ejercicio 4.4. Calcula el valor crítico que cumple la siguiente igualdad: ( ) : Distribuciones continuas. La distribución normal Página 22

23 Ejercicio 4.5. Calcula el valor crítico que cumple la siguiente igualdad: ( ) : Ejercicio 4.6. Calcula el valor crítico que cumple la siguiente igualdad: : Distribuciones continuas. La distribución normal Página 23

24 Ejercicio 4.7. Calcula el valor crítico que cumple la siguiente igualdad: : Ejercicio 4.8. Calcula el valor crítico que cumple la siguiente igualdad: : Distribuciones continuas. La distribución normal Página 24

25 5. Cálculo de probabilidades y abcisas en otras distribuciones normales. Tipificación. OBJETIVO 4. Conocer el proceso de tipificación de una variable normal para calcular probabilidades y abcisas de dicha variable, utilizando la tabla tipificada. Si la variable X sigue una distribución, entonces la variable sigue una distribución normal tipificada: Proceso de tipificación. Las propiedades algebraicas de las variables aleatorias nos permiten asegurar la siguiente afirmación: Si la variable X sigue una distribución, entonces la variable sigue una distribución normal tipificada: Este resultado es muy práctico a la hora de calcular probabilidades de una distribución normal que: ( ) puesto El proceso de restar su propia media a una variable normal y a la variable resultante dividirla por su propia varianza, para obtener la variable, se conoce con el nombre de tipificación o normalización de la variable X. Ejemplo. (PAU) La duración media de un lavavajillas es de 15 años, con una desviación típica igual a 0,5 años. Si la vida útil del electrodoméstico se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al comprar un lavavajillas, este dure más de 16 años. P( El lavavajillas dure más de 16 años ) ( ) Distribuciones continuas. La distribución normal Página 25

26 Ejercicio 5.1. (PAU) Una máquina produce recipientes cuyas capacidades siguen una distribución N(10; 0,1). Un fabricante considera que un recipiente es defectuoso si su capacidad no está entre 9,9 y 10,1. Qué probabilidad tiene un recipiente de ser considerado defectuoso? Ejercicio 5.2. (PAU) Las precipitaciones anuales en una región son, en media, de 2000 L/m 2, con una desviación típica de 300 L/m 2. Suponiendo que el volumen anual de precipitaciones por metro cuadrado sigue una distribución normal, calcula la probabilidad de que un año determinado la lluvia no supere los 1200 L/m 2 Distribuciones continuas. La distribución normal Página 26

27 Ejercicio 5.3. (PAU) Las tallas de 800 recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 50 cm y una desviación típica de 5cm. Calcula cuántos recién nacidos cabe esperar con tallas comprendidas entre 47 y 52 cm. Ejercicio 5.4. (PAU) Según las informaciones médicas actuales, el nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal centrada en el valor 192 y con una desviación típica de 12 unidades. Cuál es la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol inferior a 186 unidades? Distribuciones continuas. La distribución normal Página 27

28 Ejercicio 5.5. (PAU) En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media de 23 y desviación típica de 5. Calcula el número de días del mes de julio en los que se espera alcanzar máximas entre 21 o y 27 o. Ejercicio 5.6. (PAU) Los pesos de los habitantes adultos de una ciudad se distribuyen normalmente con media de 75 kg y desviación típica de 4 kg. a) Cuál será la probabilidad de que el peso de un habitante de esa ciudad esté entre 61 y 83 kg? b) Qué probabilidad hay de que una persona de esa ciudad pese más de 105 kg? Distribuciones continuas. La distribución normal Página 28

29 Ejercicio 5.7. (PAU) Las alturas, expresadas en centímetros, de un colectivo de 300 estudiantes se distribuyen según la distribución normal con una media de 160 y una desviación típica de 20. a) Calcula cuantos estudiantes del grupo miden menos de 170. b) Qué porcentaje de alumnos mide más de 140? Ejercicio 5.8. (PAU) Las puntuaciones de un grupo de 500 alumnos en una prueba de razonamiento numérico se distribuyen normalmente con una media de 5 y una desviación típica de 2. a) Qué porcentaje de alumnos obtiene una nota inferior a 9? Cuántos alumnos son? b) Cuántos alumnos tienen una puntuación mayor de 3? Distribuciones continuas. La distribución normal Página 29

30 Ejercicio 5.9. (PAU) Alfonso es un estudiante de Bachillerato que va andando desde su casa al instituto todos los días. El tiempo que tarda en recorrer ese trayecto es una variable normal con media de 14 minutos y desviación típica de 2,5 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que tarde más de 20 minutos en ir desde su casa al centro? b) Alfonso sale siempre de su casa a las 8:45. Qué porcentaje de días llegará más tarde de las 9:00. Ejercicio (PAU) El peso medio de los estudiantes de un colegio es de 60 kg, y la desviación típica es de 6 kg. Suponiendo que los pesos están normalmente distribuidos: a) Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 64 kg? b) Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese 57 kg o más? c) Si los estudiantes son 200, cuántos cabe esperar que pesen más de 57 kg y menos de 64? Distribuciones continuas. La distribución normal Página 30

31 Ejercicio Una compañía de autobuses realiza un estudio sobre el número de veces que semanalmente utilizan el autobús los usuarios. Se sabe que los datos siguen una distribución normal N(10, 3). Calcula la probabilidad de que un usuario utilice el autobús: a) Más de 11 veces. b) Menos de 8 veces. Ejercicio Supón que en cierta población pediátrica, la presión sistólica de la sangre en reposo se distribuye normalmente con media de 115 mmhg y desviación típica de 15 mmhg. a) Halla la probabilidad de que un niño elegido al azar en esta población tenga presión sistólica superior a 145 mmhg. b) Qué porcentaje de los niños tendrá una presión superior a 105 mmhg e inferior a 125mmHg de los niños? Distribuciones continuas. La distribución normal Página 31

32 Ejercicio (PAU) Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media 4 y varianza Calcula 2. Encuentra un valor tal que Ejercicio (PAU) La longitud de cierto tipo de peces sigue la distribución normal de la figura, en la que la varianza es de 81 mm. Cuál es la probabilidad de que uno de esos peces mida entre 82 y 91 mm? Distribuciones continuas. La distribución normal Página 32

33 6. Ajuste de una variable estadística continua a una distribución normal. OBJETIVO 5. Utilizar los datos correspondientes a una muestra aleatoria de una variable estadística X, para decidir si la variable se ajusta o no a una distribución normal y en caso afirmativo realizar el ajuste: Si los datos aleatorios de una variable estadística X continua cumplen las siguientes propiedades: 1. Se distribuyen de forma simétrica en torno a la media. 2. Se distribuyen de forma creciente hasta la media y decreciente a partir de la media, con una desviación. Entonces, diremos que la variable X sigue una distribución normal y realizaremos el ajuste:, donde son la media y la desviación de la muestra. Es decir, para que X sea normal, su histograma de frecuencias relativas deberá tener la siguiente forma: La función de densidad de la variable es la curva que aproxima la distribución empírica de X El histograma de las frecuencias relativas confirma que los datos se distribuyen de forma simétrica en torno a la media y además lo hacen de forma creciente para datos inferiores a la media y decreciente para datos superiores a la media. La expresión analítica de la función de densidad de la variable normal es: ( ) Distribuciones continuas. La distribución normal Página 33

34 Ejemplo 1. Con el ánimo de conocer la estatura de las chicas adolescentes españolas se realiza un estudio en el que se toma la altura de una muestra aleatoria de 800 chicas. Los datos obtenidos se agrupan en 9 intervalos y se completa una tabla de frecuencias y parámetros. Representamos el histograma de las frecuencias relativas para justificar si la variable estadística X= Altura de las chicas adolescentes sigue una distribución normal o no. En caso afirmativo, calculamos la media y la desviación de la muestra, para realizar el ajuste: Puntos encestados Nº de partidos [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] El histograma de las frecuencias relativas confirma que los datos se distribuyen de forma simétrica en torno a la media y además lo hacen de forma creciente para datos inferiores a la media y decreciente para datos superiores a la media, por tanto, X sigue una distribución normal: Ejemplo 2. Un jugador de baloncesto cree que su regularidad no es normal y decide hacer un estudio estadístico. Para ello recoge las puntuaciones obtenidas en cada uno de sus últimos 40 partidos y los agrupa en 7 intervalos. Las frecuencias absolutas de esos intervalos se recogieron en la tabla adjunta. Puntos encestados Nº de partidos [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] La tabla de frecuencias relativas muestra que la variable X NO es normal: Distribuciones continuas. La distribución normal Página 34

35 Ejercicio 6.1. Para conocer el peso de los alumnos varones de Educación Secundaria Obligatoria se ha realizado un muestreo a 500 estudiantes de esa etapa. Los pesos muestreados se agruparon en cinco intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la siguiente tabla: Pesos (kg) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Frecuencias Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= Peso de los alumnos varones de ESO sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál. 1. Tabla de frecuencias. Media y desviación típica. [ ] x f r % x f x 2 f [50-54) ,11 11% [54-58) ,2 20% [58-62) ,4 40% [62-66) ,2 20% [66-70] ,09 9% Histograma de frecuencias relativas. 3. Análisis de la normalidad de la variable X. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 35

36 Ejercicio 6.2. Se ha preguntado a 300 niños y niñas que cogen el autobús para ir al colegio, cuántos minutos esperan en la parada. Los resultados obtenidos se han agrupado en siete intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la siguiente tabla: Minutos de espera [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Frecuencias Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= Minutos de espera por el autobús sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál. 1. Tabla de frecuencias. Media y desviación típica. [ ] x f r % x f x 2 f [0-1) 0,5 6 0,02 2% 3 1,5 [1-2) 1,5 36 0,12 12% [2-3) 2,5 66 0,22 22% ,5 [3-4) 3,5 84 0,28 28% [4-5) 4,5 66 0,22 22% ,5 [5-6) 5,5 36 0,12 12% [6-7] 6,5 6 0,02 2% , Histograma de frecuencias relativas. 3. Análisis de la normalidad de la variable X. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 36

37 Ejercicio 6.3. Se ha realizado una encuesta a 200 personas para conocer las horas diarias de TV que consumen los españoles. Los resultados obtenidos se agruparon en nueve intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta. 1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= Horas diarias de TV sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál. Horas de TV [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Frecuencias Tabla de frecuencias. Media y desviación típica. [ ] x f r % x f x 2 f [0-0.5) 0,25 2 0,01 1% 0,5 0,125 [0.5-1) 0,75 8 0,04 4% 6 4,5 [1-1.5) 1, ,13 13% 32,5 40,625 [1.5-2) 1, ,2 20% ,5 [2-2.5) 2, ,22 22% ,75 [2.5-3) 2, ,19 19% 104,5 287,375 [3-3.5] 3, ,13 13% 84,5 274,625 [3.5-4) 3, ,06 6% ,75 [4 - ) 4,25 4 0,02 2% 17 72, ,5 2. Histograma de frecuencias relativas. 3. Análisis de la normalidad de la variable X. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 37

38 Ejercicio 6.4. Se ha hecho un estudio sobre la vida media de un lavavajillas estudiando una muestra aleatoria de 400 modelos diferentes. Los resultados obtenidos se agruparon en 11 intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta. 1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= Años de vida de un lavavajillas sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál. Años del lavavajillas [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Frecuencias Tabla de frecuencias. Media y desviación típica. [ ] x f r % x f x 2 f [0-1) 0,5 4 0,01 1% 2 1 [1-2) 1,5 8 0,02 2% [2-3) 2,5 24 0,06 6% [3-4) 3,5 52 0,13 13% [4-5) 4,5 72 0,18 18% [5-6) 5,5 84 0,21 21% [6-7] 6,5 72 0,18 18% [7-8) 7,5 48 0,12 12% [8-9) 8,5 24 0,06 6% [9-10) 9,5 8 0,02 2% [10-11] 10,5 4 0,01 1% Histograma de frecuencias relativas. 3. Análisis de la normalidad de la variable X. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 38

39 Ejercicio 6.5. Se han recogido las últimas 100 calificaciones que ha puesto una profesora de Matemáticas a sus alumnos y alumnas. Dichas notas se agruparon en 10 intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta. 1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= Calificaciones de la profe de mates sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál. Calificaciones [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Frecuencias Tabla de frecuencias. Media y desviación típica. [ ] x f r % x f x 2 f [0-1) 0,5 3 0,03 3% 1,5 0,75 [1-2) 1,5 5 0,05 5% 7,5 11,25 [2-3) 2,5 10 0,1 10% 25 62,5 [3-4) 3,5 14 0,14 14% ,5 [4-5) 4,5 20 0,2 20% [5-6) 5,5 20 0,2 20% [6-7] 6,5 14 0,14 14% ,5 [7-8) 7,5 8 0,08 8% [8-9) 8,5 5 0,05 5% 42,5 361,25 [9-10) 9,5 1 0,01 1% 9,5 90, Histograma de frecuencias relativas. 3. Análisis de la normalidad de la variable X. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 39

40 Ejercicio 6.6. Se han recogido las últimas 200 calificaciones que ha puesto un profesor de Educación Física a sus alumnos y alumnas. Dichas notas se agruparon en 10 intervalos y las frecuencias absolutas de cada intervalo se recogieron en la tabla adjunta. 1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= Calificaciones del profe de E. F. sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál. Calificaciones [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Frecuencias Tabla de frecuencias. Media y desviación típica. [ ] x f r % x f x 2 f [0-1) 0,5 4 0,02 2% 2 1 [1-2) 1,5 6 0,03 3% 9 13,5 [2-3) 2,5 10 0,05 5% 25 62,5 [3-4) 3,5 16 0,08 8% [4-5) 4,5 16 0,08 8% [5-6) 5,5 28 0,14 14% [6-7] 6,5 40 0,2 20% [7-8) 7,5 30 0,15 15% ,5 [8-9) 8,5 28 0,14 14% [9-10) 9,5 22 0,11 11% , Histograma de frecuencias relativas. 3. Análisis de la normalidad de la variable X. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 40

41 Ejercicio 6.7. Una empresa fabrica miles de tornillos y tiene que garantizar cierta precisión en el diámetro de su rosca. Para hacer el control de calidad se toma una muestra aleatoria de 200 tornillos y se mide su diámetro, en milímetros. Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla de frecuencias absolutas: Diámetro (mm) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Frecuencias Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= Diámetro de los tornillos sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál. 1. Tabla de frecuencias. Media y desviación típica. [ ] x f r % x f x 2 f [11,9-12,1) , [12,1-12,3) 12,2 54 0, ,8 8037,36 [12,3-12,5) 12,4 72 0, , ,7 [12,5-12,7) 12,6 56 0, ,6 8890,56 [12,7-12,9] 12,8 8 0, ,4 1310, , ,4 2. Histograma de frecuencias relativas. 3. Análisis de la normalidad de la variable X. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 41

42 Ejercicio 6.8. Para conocer la velocidad de conexión a cierta página web se ha medido el tiempo en segundos que han tardado en conectarse 1000 usuarios que querían acceder a ella. Los datos se muestran en la tabla de frecuencias absolutas: 1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= Tiempo necesario para conectarse sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál. Tiempo (segundos) Nº de usuarios [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Tabla de frecuencias. Media y desviación típica. [ ] x f r % x f x 2 f [0-30) ,25 25% [30-60) ,24 24% [60-90) ,2 20% [90-120) ,15 15% [ ) ,1 10% [ ) ,05 5% [ ] ,01 1% Histograma de frecuencias relativas. 3. Análisis de la normalidad de la variable X. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 42

43 Ejercicio 6.9. Con el ánimo de conocer la estatura de las chicas adolescentes españolas se realiza un estudio en el que se toma la altura de una muestra aleatoria de 800 chicas. Los datos obtenidos se agrupan en 9 intervalos. Las frecuencias absolutas de esos intervalos se recogieron en la tabla adjunta. 1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= Altura de las chicas adolescentes sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál. Puntos encestados Nº de partidos [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Tabla de frecuencias. Media y desviación típica. [ ] x f r % x f x 2 f [ ) ,01 1% [ ) ,05 5% [ ) ,1 10% [ ) ,22 22% [ ) ,27 27% [ ) ,2 20% [ ] ,1 10% [ ) ,03 3% [ ] ,02 2% Histograma de frecuencias relativas. 3. Análisis de la normalidad de la variable X. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 43

44 Ejercicio Un jugador de baloncesto cree que su regularidad no es normal y decide hacer un estudio estadístico. Para ello recoge las puntuaciones obtenidas en cada uno de sus últimos 40 partidos y los agrupa en 7 intervalos. Las frecuencias absolutas de esos intervalos se recogieron en la tabla adjunta. 1. Completa la tabla de frecuencias y calcula la media y la desviación típica. 2. Representa el histograma de las frecuencias relativas. 3. Justifica si la variable estadística X= Puntuación en cada partido sigue una distribución normal y, en caso afirmativo, indica cuál. Puntos encestados Nº de partidos [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Tabla de frecuencias. Media y desviación típica. [ ] x f r % x f x 2 f [0-5) 2,5 6 0,15 15% 15 37,5 [5-10) 7,5 6 0,15 15% ,5 [10-15) 12,5 4 0,1 10% [15-20) 17,5 10 0,25 25% ,5 [20-25) 22,5 8 0,2 20% [25-30) 27,5 4 0,1 10% [30 - ] 32,5 2 0,05 5% , Histograma de frecuencias relativas. 3. Análisis de la normalidad de la variable X. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 44

45 7. Aproximación de una binomial por una normal. OBJETIVO 6. Conocer y saber aplicar el teorema de Moivre (Abraham de Moivre ) sobre la aproximación de una variable estadística binomial mediante una normal: cuando Teorema de Moivre (Aproximación de una Binomial por una normal) El matemático francés Abraham de Moivre ( ) demostró que si una variable estadística discreta X sigue una distribución binomial y se cumplen las condiciones entonces, se puede realizar una aproximación por la distribución normal Corrección por continuidad. Como la binomial es discreta y la normal es continua, al calcular probabilidades aproximadas habrá que introducir una corrección por continuidad de que aumente el intervalo: Ejemplo Un examen consta de 300 preguntas de tipo test, con cuatro posibles respuestas cada una, de las cuales solo una es correcta. Un opositor, que no ha estudiado nada responde al azar. Qué probabilidad tiene de contestar correctamente 150 preguntas o menos? Si llamamos X= Número de respuestas acertadas tendremos que condiciones de Moivre: y como se cumplen las dos podemos aproximar la variable binomial por la variable normal, es decir, por la normal Por tanto: P( Contestar correctamente 150 preguntas o menos ) = ( ) (Es seguro que contesta correctamente menos de la mitad) Distribuciones continuas. La distribución normal Página 45

46 Ejercicio 7.1. (PAU) En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contestan más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcula la probabilidad de aprobar el examen. Ejercicio 7.2. (PAU) La probabilidad de que determinadas piezas de una máquina sean defectuosas es del 6%. En un almacén se han recibido 2000 piezas. a) Cuántas habrá defectuosas por término medio? b) Cuál será la desviación típica? c) Cuál es la probabilidad de que haya más de 150 piezas defectuosas en esa partida? Distribuciones continuas. La distribución normal Página 46

47 Ejercicio 7.3. (PAU) La probabilidad de que un golfista haga hoyo en un cierto tipo de lanzamiento es de 0,2. Si hiciera lanzamientos y su capacidad de acierto se mantuviera (ni aumentara por la práctica ni disminuyera por el cansancio), qué probabilidad habría de que acertase más de 2080 veces? Ejercicio 7.4. (PAU) Se sabe que la vacuna antitetánica produce fiebre como efecto secundario en el 0,1% de los casos. a) Calcula la probabilidad de que en un conjunto de personas vacunadas se produzca fiebre en, al menos, 4 casos. b) Calcula la probabilidad de que en un total de personas vacunadas se den más de 20 casos de fiebre. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 47

48 Ejercicio 7.5. (PAU) Después de realizar varios sondeos sobre cierta población, se ha conseguido averiguar que únicamente el 15% de la misma es favorable a los tratamientos de psicoterapia. Elegida al azar una muestra de 50 personas de dicha población, se desea saber: a) La probabilidad de que haya más de 5 personas favorables a dichos tratamientos. b) La probabilidad de que a lo sumo haya 6 personas favorables. Ejercicio 7.6. (PAU) Se ha realizado una encuesta sobre una población de escasa cultura, de la que solo un 15% ha leído más de tres libros. Elegida al azar una muestra de 60 personas, calcula: a) La probabilidad de que haya más de cinco personas que han leído más de tres libros. b) La probabilidad de que como máximo haya seis personas que han leído más de tres libros. Distribuciones continuas. La distribución normal Página 48

49 Ejercicio 7.7. (PAU) Se estima que uno de cada cuatro individuos de una zona tiene determinada enfermedad. Si se toma una muestra al azar de 120 individuos, halla: a) El número esperado de individuos enfermos. b) La probabilidad de que existan más de 52 individuos enfermos. c) La probabilidad de que el número de individuos enfermos sea, como máximo, igual a 46. Ejercicio 7.8. (PAU) Si se extrae una carta al azar 500 veces seguidas de una baraja de naipes españoles, a) Cuál es la probabilidad de obtener un rey en 50 ocasiones o más? b) Cuál es la probabilidad de obtener un rey en 20 ocasiones o menos? Distribuciones continuas. La distribución normal Página 49