Unitat didàctica 5. Funcions elementals II

Unitat didàctica 5. Funcions elementals II Et convé recordar Com s obtenen punts d una funció Per a la funció = +, calcula els punts següents: a) D abscissa = (, 8) b) D abscissa = (, ) c) D ordenada 0 = (0, 0) i (, 0) d) D ordenada 8 = (, 8) i (6, 8) Per a la funció = +, calcula els punts següents: a) D abscissa = (, ) b) D abscissa = (, ) c) D ordenada 0 = (, 0) d) D ordenada = (7, ) Per a la funció =, calcula els punts següents: a) D abscissa 0 = (0, ) b) D abscissa 5 = (5, ) c) D ordenada 8 = (, 8) d) D ordenada 8 = (7, 8) Com es representa una funció a partir de la seva epressió analítica Els gràfics que hi ha a sota corresponen a les funcions les epressions analítiques de les quals són aquestes: a) = + b) = + c) = d) = Troba, en cada cas, els punts necessaris per esbrinar quin és el gràfic corresponent. II III I IV a) IV b) III c) II d) I Activitats 5. Representa les paràboles següents. a) = + b) = 6 + 5 V V 85

5. Dibuia aquestes funcions. a) = + b) = 0 + 8 V 5. Resol analíticament i gràficament el sistema d equacions següent. = 6 + 5 = 5 (5, 0) i (, ) 5 7-5 7 9 5. Representa gràficament la funció: + si = si < < + 5 si 7 5 5 7 5.5 Representa. 8 a) = b) = 86

5.6 Dibuia aquestes funcions. 8 a) = + b) = + 8 8 5.7 Representa aquestes funcions i digues els seus dominis de definició: a) = + (Dóna a els valors, 0,, 8, 5) Domini de definició: [, ) + 0 0 8 5 8 b) = + 5 (Dóna a els valors, 0,, 8, 5) Domini de definició: [, ) + 5 5 0 8 5 8 5 c) = (Dóna a els valors, 0,, 8, 5) Domini de definició: (, ] 0 0 8 8 5 87

d) = (Dóna a els valors, 0,, 8, 5) Domini de definició: (, ] 0 8 8 0 5 e) = + Domini de definició: [, ) +. 0 0 8 6 8 f) = 5 + Domini de definició: [, ) 5 + 8 7 0 7 7 7 8 g) = + Domini de definició: [, ) +. 0 5 0 6 5 9 6 9 88

h) = 5 + Domini de definició: (, ] 5 + 7 5 7 0 7 7 5 5.8 Representa: a) =. 8 0 0 8 7 8 8 7 b) =. 8 0 0 8 7 89

8 8 7 c) =. 8 0 0 8 7 6 6 8 8 7 5.9 Si penges una rosca d un fil i el fas oscil lar, hauràs aconseguit un pèndol. El temps que tarda en cada oscil lació (anada i tornada) s anomena període. Doncs bé, el període T depèn de la longitud l del fil segons la fórmula següent: T = l (T en segons i l en metres) a) Què passa si l augmenta? Si l augmenta, T augmenta. b) I si l disminuei? Si l disminuei, T disminuei. c) Pot ser l negatiu? l no pot ser negatiu (es troba dins d una arrel; a més, l representa una longitud, per la qual cosa aquesta no pot tenir valors negatius). d) Representa n la funció. T (segons) l (metres) 90

5.0 Utilitza la calculadora i representa en un full mil limetrat aquestes funcions. a) =,5 Fem la taula de valors:. =,5 0, ),6 ) 0,5 0,5,7 b) = 0,8 Fem la taula de valors amb ajuda de la calculadora:. = 0,8,56,5 0 0 0,8 0,6 0,5 5. Escriu en forma eponencial les epressions: a) 0, = (,) b) 0 0,0 = (,0) c),0 = (,) d) ( )/8 = (0,98) 5. Escriu l equació que epressa el nombre aproimat d amebes que hi haurà al cap de t hores en un cultiu similar al de l eemple si al principi hi havia amebes. Quantes amebes hi haurà al cap de 50 minuts? N = t amb t 0 Al cap de 50 minuts, hi haurà 7 amebes, aproimadament. 5. En un banc hi ha un capital de 0 000 a un % d interès anual. Epressa el valor del capital C en funció del temps, t, epressat en ans, que es mantinguin els diners al banc. C = 0 000 (,) t amb t 0 5. El temps que tarda a desintegrar-se la meitat de la massa d una substància radioactiva s anomena període de semidesintegració. Una substància radioactiva té un període de semi desintegració de 0 ans. Tenim 8 g d aquesta subs tància. L equació que dóna la quantitat de substàn cia radioactiva en funció del temps transcor regut, en ans, és C = 8a t. Quin és el valor de a? INDICACIÓ: 8a 0 =. Aïlla a en la igualtat anterior. a = 0,9 9

5.5 Calcula els valors següents i raona quin significat tenen. Esbrina n de nou el resultat amb la calculadora. a) log 5 5 = b) log 5 0,0 = c) log 8 = 7 d) log 0,065 = e) log a = 0 f) log 0 0,000 = 5.6 Calcula. a) log 70 = 9,5 b) log 00 =,9 c) log 5 0,5 = 0,9 d) log 8 0,00 =,65 Comprova la validesa de cada solució mitjançant la tecla. Eercicis de la unitat. Practica Funcions quadràtiques 5.7 Fes, en cada cas, una taula de valors com aquesta per representar les funcions següents, i digues quin és el vèrte de cada paràbola. a) = + 0 9 7 7 9 El vèrte és el punt (0, ) b) = 0 5 0 0 5 v = (0, ) 9

c) = 0 8 8 0 8 8 v = (0, 0) d) = 0,5 0 8,5 0,5 0 0,5,5 8 v = (0, 0) 5.8 Fes una taula de valors com la de l eercici anterior per representar cadascuna de les funcions següents. Digues quin és el vèrte de cadascuna d aquestes paràboles. a) = 0 6 9 0 9 6 v = (0, 0) 9

b) = + v = (0, ) 0 7 7 c) = v = (0, 0) 0 8 7 0 7 8 d) = 0,75 v = (0, 0) 0 6,75 0,75 0 0,75 6,75 9

5.9 Calcula els punts de tall amb els eios, el vèrte i alguns punts pròims a aquest i representa les paràboles següents. a) = ( ) Vèrte: (, 0) 9 b) = 8 + Vèrte: (, 6) c) = + / 7/ Vèrte: (, 9 ) d) = + 8 Vèrte: (, 7 ) 95

5.0 Utilitza una escala adequada per representar les paràboles següents. a) = b) = 75 + 675 c) = 0,00 0,0 d) = 0 00 00 a) b) c) d) 0,0 0,0 00 00 0,5 5. Associa amb cadascun dels gràfics una de les epressions següents. a) = II b) = 6 + 5 IV c) = ( + ) I d) = III I II IV III 5. L altura, h, a què es troba en cada instant, t, un projectil que llancem verticalment a una velocitat de 500 m/s és: h = 500t 5t a) Fes-ne una representació gràfica. h 0 000 5 000 0 50 00 t b) Digues quin és el seu domini de definició. Domini = [0, 00] c) En quin instant assolei l altura màima? Quina és? L altura màima s aconseguei als 50 segons, a una altura de 500 metres. d) En quin interval de temps el projectil es troba a una altura superior als 500 metres? h > 500 m en l interval (0, 90) Altres funcions 5. Representa gràficament les funcions següents. a) = + b) = c) = d) = + a) b) 96

c) d) 5. Dibuia el gràfic de les funcions següents. 8 a) = + b) = c) = d) = + a) b) c) d) 5.5 Fes, en cada cas, una taula de valors com la de l eercici 5.7 i representa les funcions següents. (Utilitza la calculadora.) a) = 0 6 8 0,5 0,5 0,5 0,065 6 = = b) = 0,75 0,6,7,78, 0,75 0,56 0, 0, = 0,75 97

c) =,5 0 0,97 0,96 0, 0,66,5,5,75 5,065 5 =,5 d) = 0,9,87,75,5 5 7 = + = 5.6 Estudia el domini de definició de les funcions següents i representa-les gràficament. a) = + b) = Domini = [, ) Domini = (, ] c) = 5 d) = + 5 Domini = [, ) Domini = (, 0] 5.7 Eercici resolt. 98

5.8 Digues quin és el domini de definició de les funcions següents i representa-les gràficament. a) = b) = c) = + d) = + + a) Domini = Á {} b) Domini = Á {} c) Domini = Á {0} d) Domini = Á {} 5.9 Associa amb cada gràfic la fórmula corresponent: I) = + II) = III) = IV) = a b c d I b), II a), III d), IV c) 5.0 Associa els gràfics amb les fórmules: I) = + II) = + III) = + IV) = + a b c d I c), II b), III) d), IV a) 99

5. Associa amb cada gràfic una d aquestes fórmules. I) = II) =,5 III) = 0, IV) = 0,7 a 6 b 6 c 8 d 8 6 6 Digues si cadascuna de les corbes és creient o decreient. I d) Creient, II b) Creient, III c) Decreient, IV a) Decreient 5. a) Representa les funcions = i = log. = = log b) Comprova si els punts següents pertanen al gràfic de = log : (, 5) (, ( ; 0,5) (, ) 7 ) 7 (, 5), (, ) i (, 0,5) són punts que pertanen al gràfic de = log. Pensa i resol 5. Eercici resolt. 5. Resol analíticament i gràficament els sistemes següents. = 5 6 = + = 8 = + 5 a) b) c) d) = + = + = = + 5 a) (5, 9), (, ) b) (, 0), (, ) c) = 0, = ; = 6, = d) =,8 = 5,6, =,8 = 6,6 00

a) b) 0 5 0 0 5 6 7 0 5 0 5 6 7 c) d) 0 0 6 5 0 5 6 7 5 0 5 6 7 0 0 5.5 Comprova analíticament i gràficament que aquests dos sistemes no tenen solució: = a) = Resolem el sistema: = = 6 + = 0 = ± 9 = ± No hi ha punts en comú No hi ha solució. Representem = Punts de tall amb els eios: Ei : = 0 = 0 = ± + ± = = Ei : = ( 0, ) (, 0) (, 0) Vèrte: (, ) 0

Representem = 0 V = b) = + Resolem el sistema: = + = ( + ) ( ) = ( ) = + + = 0 = ± 8 = ± No hi ha punts en comú. No hi ha solució. Representem = 0 / / Representem = + 0 5.6 Resol analíticament i gràficament els sistemes següents: = a) + = Resolem el sistema: = = ( ) ( + ) + 6 = 0 + 6 = 0 = ± + 7 = 6 ± 7 6 = + 7 = = + 7 = 6 7 + 7 6 7 7 0

(, ) (, 0) = + b) = 5 Punts de tall: + = 5 + = ( 5) + = 0 + 5 + = 0 = ± 96 ± 5 = = = = 8 = = = no pertan a = + Solució: (8, ) Per representar = + donem valors: 0 8 0 Per representar = 5, fem la taula de valors: 8 (8, ) 5.7 Calcula els punts comuns de les funcions = i =. (0, 0) i (, ) 5.8 Aplica la definició de logaritme per calcular aquests. No utilitzis la calculadora. a) log 6 = 6 b) log 6 = 6 c) log = d) log = e) log 8 = 8 f) log = g) log = h) log 6 = 6 0

5.9 Resol amb la calculadora. a) log,5 =,75 b) log 05 = 5,06 c) log 5 =,9 d) log =,807 7 e) log 5 7 = 0,55 f) log 75 =,75 g) log 0 6 = 9,9 h) log 0 = 8,8 5.0 Calcula la base dels logaritmes següents. a) log b 0 000 = b = 00 b) log b 5 = b = 5 c) log b = b = d) log b = b = 9 5. Les finestres d un edifici d oficines han de tenir m d àrea. a) Fes una taula que mostri com varia l alçària de les finestres segons la longitud de la base. b) Representa la funció base-alçària. b h. 0,5 8 0,5 ALTURA h h = b BASE b,5,6,5, ),75, 5. Amb un llistó de fusta de metres de llarg, volem fabricar un marc per a un quadre. a) Si la base mesurés 0,5 m, quant mesurarien l al çà ria i la superfície del quadre? L altura mesuraria m. La superfície seria de 0,5 m. b) Quin és el valor de la superfície per a una base qualsevol? Àrea = ( c) Per a quin valor de la base s obté la superfície màima? ) d) Quant val aquesta superfície? 9 c) i d) La superfície màima és = 0,565 m, que correspon a un marc quadrat de 0,75 m de costat. 6 5. Amb 00 metres de tanca volem delimitar un recinte rectangular aprofitant una paret. 60 m a) Si un dels dos costats de la tanca s anomena, quant val l altre? 00 b) Construei la funció que ens dóna l àrea. (00 - ) La funció seria: f() = c) Quin és el seu domini de definició? Domini de definició: (0, 50) 0

5. El cost de fabricació per unitat d uns adhesius disminuei segons el nombre d unitats fabricades i ve donat per la funció: 0,5 + 0 = a) Fes-ne el gràfic corresponent. Es poden unir els punts que hi has representat? No es poden unir els punts, ja que el nombre d adhesius és un nombre enter (i positiu). b) Quin serà el cost quan el nombre d adhesius sigui molt elevat? 50 cèntims per adhesiu. 5.5 Tenim 00 kg de taronges que avui es venen a 0,0 /kg. Cada dia que passa se n fa malbé kg i el preu augmenta 0,0 /kg. Quan hem de vendre les taronges per obtenir-ne el benefici màim? Quin serà aquest benefici? S han de vendre d aquí a 80 dies, i el benefici serà de. 5.6 Les despeses anuals d una empresa per la fa bricació de ordinadors són G() = 0000 + 50 en euros, i els ingressos que s obtenen de les vendes són I = 600 0, en euros. Quants ordinadors s han de fabricar perquè el benefici (ingressos mens despeses) sigui màim? 750 ordinadors. 5.7 El gràfic d una funció eponencial del tipus = ka passa pels punts (0, ) i (;,6). a) Calcula k i a. k = ; a =, b) És creient o decreient? És una funció creient. c) Representa la funció. 6 0 5.8 La funció eponencial = ka passa pels punts (0, ) i (;,8). Calcula k i a i representa la funció. k = ; a = 0,8 La funció és = (0,8) 5.9 S anomena inflació la pèrdua de valor dels diners; és a dir, si un article que costà 00 al cap d un an costa 5, la inflació haurà estat del 5%. Suposem una inflació constant del 5% anual. Quant costarà al cap de 5 ans un terren que avui costa 50 000? 00 567,86 05

5.50 En el contracte de lloguer d un apartament figura que el preu pujarà un 5% anual. Si el preu és de 600 mensuals, quin serà d aquí a 5 ans? Escriu la funció que dóna el preu del lloguer segons els ans transcorreguts. 765,76 ; P = 600,05 t 5.5 Una furgoneta que costà 0 000 es deprecia a un ritme d un % anual. Quin serà el seu preu d aquí a ans? Calcula la funció que dóna el preu del vehicle segons els ans transcorreguts i calcula quant de temps tardarà el preu a reduir-se a la meitat. 99,90 ; P = 0 000 0,88 t ; t 5, ans. 5.5 En un bosc en etapa de creiement es mesura el volum de fusta i el resultat són 0 50 m. S observa que el bosc crei a un ritme del % anual. a) Quina quantitat de fusta tindrà d aquí a 0 ans? V = 9,7 m b) Quina és la funció que dóna la quantitat de fusta segons els ans transcorreguts, suposant que el ritme de creiement es mantingui? V = 0 50 (,0) t 5.5 Es col loca un milió d euros al 8% d interès anual. En quant es convertei al cap de ans? I al cap de ans? Al cap de tres ans tindrem: C = 59 7 Al cap de ans tindrem: C = 000 000 (,08) 5.5 a) Estudia, sobre el gràfic de la funció = 5, per a quins valors de es verifica 5 > 0. (, ) U (5, + ) b) Quins valors de compliran la desigualtat 5 0? [, 5] 5.55 Representa les funcions següents. a) si < = b) = si si + si > a) b) 5.56 Representa. si < a) f () = si b) f () = si > si < 0 si 0 06

Refleiona sobre la teoria 5.57 L epressió analítica d aquests tres gràfics és de la forma = a. Digues el valor de a en cadascun. (En els eios s ha pres la mateia escala.) a = a =,5 a = 0,76 5.58 Totes les funcions eponencials de la forma = a passen per un matei punt. Digues quin és i justifica-ho. Passen pel punt (0, ). La raó és que qualsevol nombre elevat a 0 dóna. En quins casos la funció és decreient? Quan 0 < a < 5.59 Calcula b perquè el vèrte de la paràbola = + b + 0 es trobi en el punt (, ). Quin és el seu ei de simetria? En quins punts es talla amb els eios? b = 6. L ei de simetria és la recta =. No té punts de tall amb l ei. El punt de tall amb l ei és el punt (0, 0). 5.60 Quant ha de valer k perquè la paràbola = 0 + k tingui un sol punt de tall amb l ei d abscisses? Per a quins valors de k no tallarà l ei? k = 5. La paràbola no talla l ei si k > 5. 5.6 La paràbola = a + b + c passa per l origen de coordenades. Quin valor té c? Si, a més, saps que passa pels punts (, ) i (, 6), com calcularies a i b? Calcula a i b i representa la paràbola. c = 0; a = ; b = 7 Creant un sistema d equació: = a + b 6 = 6a + b 6 5 0 5 6 7 5.6 a Calcula a i b perquè la funció = passi pels punts (, ) i (, ). b b = a = Aprofundei 5.6 Aplica la definició de logaritme per calcular en cada cas: a) log ( ) = = 9 b) log ( + ) = = 5 c) log = = 5 d) log ( ) =,5 = 8, e) log ( + ) = = 0 f) log ( 8) = 0 = ; = 0 07

5.6 Una equació en què la incògnita es troba en l eponent s anomena equació eponencial. Per eemple, = /7. Es resol aií: =. Com que = : = = = ; = 7 7 Epressa com a potència el segon membre i resol aquestes equacions eponencials. a) 5 = 8 = ± b) = = 0 8 c) + = = d) + = 0,5 = 5.65 Per resoldre = 000 no podem aplicar el procediment de l eercici anterior. a) Busca la solució per tempteig amb la calculadora. 6,877 b) Saps que la funció inversa de = és = log. Per aiò: = 000 = log 000 Calcula el valor de i compara el resultat amb el que has obtingut en l apartat a). El resultat és el matei que l obtingut en l apartat a). 5.66 Resol, com en l eercici anterior, les equacions següents. a) 5 = =, b) = 86, =,77 c) + = 87 = ±, d),5 = 0,8 = 0, 5.67 Resol aquestes equacions. a) 7 + = 8 5 = 5 b),5 = 8 =, c) = 75 = ±,57 d) = 0,5 =,5 5.68 5.69 Eercici resolt. Resol les equacions següents. a) + + = 0 = b) 5 + + 5 + 5 = = 0 5 c) 5 + = 0 = ; = 0 d) + = 5 = e) + + 8 = 0 = ; = Problemes d estratègia El salt de la granota n + n Les torres de Hanoi a n = n La superfície ombrejada 0, cm Jocs per pensar Baula rere baula Ha d obrir sols la tercera baula. 08

L estrella Salt Fita suprimida 7 8 6 7 5 8 7 0 6 8 8 6 9 7 8 Tomografia A D C E 5 B 09