Transformada de Fourier *

Transformada de Fourier *. De las series de Fourier a la Transformada de Fourier: primeras consideraciones Las series de Fourier son útiles para el estudio de señales periódicas pero, desafortunadamente, este tipo de señales no son tan frecuentes en la práctica como las no-periódicas. Esta situación requiere el desarrollo de una teoría matemática más ambiciosa y a ello vamos a dedicar algún tiempo. Sea x(t) una señal aperiódica definida en todo el intervalo real y denotemos por x T (t) (T > ) la señal 2T -periódica que se obtiene a partir de x(t) haciendo x T (t) x(t) para t ( T, T ] y extendiendo periódicamente con periodo 2T. Si suponemos que x(t) es suficientemente suave (e.g., es C (R)), entonces tendremos la identidad x(t) x T (t) 2T k [ T T ] x(s)e (πi/t )ks ds e (πi/t )kt, para t ( T, T ] () Evidentemente, si hacemos T en el segundo miembro de la igualdad anterior, entonces la igualdad límite será válida para todo t R y su valor será igual al de la señal de partida x(t). Ahora, estudiemos qué le sucede al segundo miembro si hacemos T. Tomando f /(2T ) y f k k f, podemos reescribir () como [ T ] x(t) f x(s)e ifks ds e ifkt, para t ( T, T ] k T Ahora bien, f k+ f k f /2T ( k Z ) y, por tanto, podemos interpretar los puntos {f k } como nodos equiespaciados de una partición de Riemann para la integral límite ( ) x(s)e ifs ds e ift df Es decir, podemos concluir que (bajo ciertas condiciones restrictivas sobre la suavidad de la señal aperiódica x(t)) se satisface la siguiente identidad (llamada: Teorema integral de Fourier): ( ) x(t) x(s)e ifs ds e ift df * Este documento está basado ampliamente en el libro de texto del autor: J.M. Almira, Matemáticas para la recuperación de señales, Grupo Editorial Universitario, 25. Es decir: no periódica.

Haciendo el cambio de variable ξ f, podemos reescribir la anterior fórmula como x(t) ( ) x(s)e iξs ds e iξt dξ Definición La señal F(x)(ξ) : x(ξ) : x(s)e iξs ds toma el nombre de transformada de Fourier de la señal (aperiódica) x(t) L (R). Definición 2 La señal F (y)(t) : y(ξ)e iξs dξ toma el nombre de transformada de Fourier inversa de la señal (aperiódica) y(ξ). Nota Es evidente que el teorema integral de Fourier se puede reescribir como x(t) ( ) x(s)e iξs ds e iξt dξ F(x)(ξ)e iξt dξ F (F(x))(t) y, de manera análoga, F(F (y))(ξ) y(ξ). Una cosa es clara: bajo ciertas hipótesis (que luego especificaremos), conocer la transformada de Fourier de una señal equivale a conocer dicha señal, ya que al aplicar la transformada inversa recuperamos toda la información. De igual forma, si conocemos los coeficientes de Fourier {c k } k de cierta señal (periódica) x(t), de la que sabemos que es suficientemente suave, entonces conocemos la señal, pues para rescatarla completamente bastará sumar la correspondiente serie de Fourier. Así, el papel del espectro de la señal, que en el caso periódico lo juegan los coeficientes de Fourier, en el caso aperiódico lo juega la transformada de Fourier. Para evitar problemas con la definición de transformada de Fourier, supondremos que la señal x(t) es absolutamente integrable en R. Es decir, supondremos que x L (R) x(t) dt <. En tal caso, su transformada x(ξ) existe y está uniformemente acotada en R, pues e iξs para ξ, s R implica x(ξ) x L (R) para para ξ R. 2

.. Teoremas básicos sobre la transformada de Fourier La palabra transformada indica que estamos trabajando con una herramienta para transformar un tipo determinado de problema en otro. De hecho, la transformada de Fourier será útil (como veremos) para simplificar el estudio de la solución de cierto tipo de ecuaciones diferenciales, convirtiendo el problema de la solución de una ED en un problema de solución de ecuaciones algebraicas. La motivación para dicho estudio está en el hecho de que la transformada de Fourier posee buenas propiedades algebraicas cuando se aplica a las derivadas sucesivas de una señal, o al trasladar la señal, etc. En este apartado estudiamos las propiedades más sencillas de la transformada de Fourier. A continuación exponemos una lista de las propiedades elementales de F(x)(ξ) ˆx(ξ) (Algunas de las demostraciones son muy sencillas y las dejamos como ejercicio). Nota 2 Mantenemos ambas notaciones, F(x) y ˆx para la transformada de Fourier, porque a veces una de ellas es más cómoda o más clarificadora que la otra. Por otra parte, esto ayuda a que el estudiante se familiarize con ambas notaciones y, por tanto, le permitirá leer fácilmente diferentes textos sobre el tema (ya que por ahora no hay acuerdo unánime para la notación en esta materia). Linealidad La transformada de Fourier es un operador lineal. Más precisamente, si x, x 2 L (R), y a, b R, entonces ax + bx 2 (ξ) a x (ξ) + b x 2 (ξ). Traslación en el tiempo. Dado a R, se tiene que F[x(t a)](ξ) e iaξ F[x(t)](ξ) y F[e iaξ x(t)](ξ) F[x(t)](ξ a) Demostración. En realidad, esta propiedad es trivial: basta hacer un cambio de variable, como se observa a continuación: F[x(t a)](ξ) e iξt x(t a)dt e iξ(s+a) x(s)ds (donde s t a) e iaξ F[x(t)](ξ). La otra fórmula se demuestra de forma análoga. Cambios de escala. Si δ > y x δ (t) δ x(t/δ), entonces F[x δ ](ξ) F[x](δξ) y F[x(δt)](δξ) F(x) δ (ξ). Demostración. De nuevo un simple cambio de variable sirve para nuestros objetivos: F[x δ ](ξ) δ e iξt x(t/δ)dt δ e iξδs x(s)δds (donde s t δ ) F[x](δξ) La demostración de la segunda fórmula es análoga. 3

Derivación. Si x es continua y derivable a trozos, con x (t) L (R), entonces Además, si tx(t) es integrable entonces F(x )(ξ) iξf(x)(ξ). F(tx(t))(ξ) if(x) (ξ). Demostración. En este caso vamos a utilizar la fórmula de integración por partes, para el cálculo de ˆx : ˆx (ξ) e iξt x (t)dt e iξt x(t) ] t t + iξ iξ ˆx(ξ) e iξt x(t)dt Antes de continuar desarrollando la teoría, vamos a calcular algunas transformadas de Fourier: Ejemplo Consideremos la señal escalón Su transformada de Fourier es F(u a )(ξ) u a (t) a a { si t < a en otro caso u a (s)e iξs ds e iξs ds e iξs iξ ] sa s a e iaξ e iaξ iξ cos( aξ) + i sin( aξ) cos(aξ) i sin(aξ) iξ 2 sin(aξ) ξ 4

Ejemplo 2 Sea x(t) exp( t ). Entonces x(ξ) De modo que e t e iξt dt e t e iξt dt + e u e iξu du + e t e iξt dt e t e iξt dt e t (e iξt + e iξt )dt 2e t cos(ξt)dt ( 2 cos(ξt)e t] ) + ξ e t sin(ξt)dt [ ( 2 + ξ e t sin(ξt) ] )] ξ e t cos(ξt)dt ( 2 ) 2 ξ2 x(ξ) ; pues ya hemos visto que e t cos(ξt)dt 2 x(ξ). ( x(ξ) 2 ) 2 ξ2 x(ξ) 2 ξ 2 x(ξ) y, por tanto, x(ξ) 2 ξ 2 +. Hay otros ejemplos cuyo cálculo no es tan sencillo como en los casos anteriores. Esto, unido a su importancia para las aplicaciones, los traslada a la categoría de teoremas: Teorema Si x(t) exp( t 2 ), entonces x(ξ) π exp( ξ 2 /4). Demostración. El primer paso para el cálculo de x(ξ) e t2 e iξt dt consiste en agrupar en un sólo término el producto e t2 e iξt, de manera que aparezca como exponente un cuadrado perfecto. Así, si tenemos en cuenta que ( t + iξ ) 2 t 2 + iξt ξ2 2 4, resulta que y, por tanto, x(ξ) ( t 2 + iξt ) ( ξ2 4 t + iξ ) 2 2 e ξ2 4 e t2 e iξt dt e (t+ iξ 2 ) 2 dt, e ξ2 4 (t+ iξ 2 ) 2 dt 5

lo que reduce nuestro problema al cálculo de la integral e (t+ iξ 2 ) 2 dt. Para ello, vamos a demostrar el siguiente resultado técnico: Lema e t2 dt π. Demostración. Denotemos por I la integral que queremos calcular: I e t2 dt. Entonces ( ) ( ) I 2 e t2 dt e s2 ds e (t2 +s 2) dtds. Si hacemos el cambio de variable a coordenadas polares, { t ρ cos θ s ρ sin θ, cuyo Jacobiano es igual a ρ, podemos entonces hacer uso del teorema de integración por cambio de variables, para obtener que I 2 ρe ρ2 dρdθ ( ρe ρ2 dρ 2 e ρ2 ) ( dθ ] 2 π. ) ρe ρ2 dρ Por tanto, I π. Tomamos ahora en consideración la fórmula integral de Cauchy, aplicada a la función entera f(z) exp( z 2 ). Como se trata de una función sin singularidades, la integral γ exp( z2 )dz se anula sobre cualquier curva cerrada γ. Consideramos, pues, la curva γ γ + γ 2 + γ 3 + γ 4, cuyo grafo es el borde del rectángulo [ R, R] [, ξ/2] y que está orientada positivamente (de modo que γ va desde R hasta R, γ 2 va desde R hasta R + i ξ, γ 2 2 va desde R + i ξ hasta R + i ξ y γ 2 2 2 va desde R + i ξ hasta R). Entonces 2 e z2 dz dz + dz + dz + dz γ R R e t2 dt e z2 γ R R e (t+ iξ 2 ) 2 dt. γ 2 e z2 Como esta igualdad se satisface paa todo R >, se concluye que e (t+ iξ 2 ) 2 dt γ 3 e z2 e t2 dt π γ 4 e z2 6

y, por tanto, x(ξ) πe ξ2 4, que es lo que queríamos demostrar. Ya hemos mencionado anteriormente que si la señal es absolutamente integrable en R entonces su transformada de Fourier es acotada. En realidad, el siguiente resultado, más fuerte, se satisface: Teorema 2 (Lema de Riemann-Lebesgue) Si x L (R) entonces lím F(x)(ξ). ξ ± Otro resultado importante (y, en principio, inesperado) consiste en que podemos garantizar la continuidad de x(ξ), para ξ R, incluso para señales x(t) discontinuas. Más precisamente, se satisface el siguiente teorema: Teorema 3 Supongamos que x : R C; t x(t) es continua a trozos y absolutamente integrable (i.e., x(t) dt < ). Entonces x(ξ) es continua en todo ξ R. Demostración. Para demostrar el teorema, vamos a hacer uso de un resultado técnico de análisis real que no cabe demostrar en un curso del nivel que nos proponemos, pero sí podremos utilizar. Se trata de una versión del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue adaptada al contexto en que nos encontramos: Teorema 4 (Convergencia dominada, Lebesgue) Supongamos que tenemos una familia de funciones x h : R C (h R), continuas a trozos tales que existe una cierta función g verificando que x h (t) g(t) para todo t, h R y g(x)dx <. Si además sabemos que existe el límite puntual entonces lím x h (t)dt h x(t) lím h f h (t); t R, (lím x h (t))dt h x(t)dt. Nota: Para la demostración de este resultado, ver [?]. Ahora podemos demostrar la continuidad de x(ξ). Para ello, fijado ξ R hacemos los siguientes cálculos: x(ξ + h) x(ξ) x(t)(e i(ξ+h)t e iξt )dt x(t)e iξt (e iht )dt x h (t)dt, 7

donde x h (t) x(t)e iξt (e iht ). Es claro que, para ξ, h, t R se tiene que x h (t) x(t) e iξt (e iht ) 2 x(t) Como g(t) 2 x(t) es absolutamente integrable, y existe el límite puntual lím x h(t) x(t)e iξt lím(e iht ), t R; h h se concluye que podemos utilizar el teorema de la convergencia dominada, de modo que lím( x(ξ + h) x(ξ)) lím h h que es lo que queríamos probar. x h (t)dt (lím x h (t))dt, h Corolario En las condiciones del teorema anterior, si x(ξ) es absolutamente integrable, entonces x(t) C(R). Es más, si utilizamos una versión más fuerte del Teorema de la convergencia dominada (ver [?]), se puede demostrar el siguiente (importante) resultado: Teorema 5 (Riemann-Lebesgue + Continuidad de ˆx(ξ)) Sean L (R) y C (R) dotados de sus normas usuales x(t) L (R) x(t) dt y x(t) C (R) sup t R x(t). Entonces F : L (R) C (R) es un operador acotado. Lo mismo sucede con el operador transformada de Fourier inversa, F : L (R) C (R) Otra propiedad importante de la transformada de Fourier es el siguiente resultado: Teorema 6 Supongamos que las funciones x(t)e st y x(t)e s2t son continuas a trozos y absolutamente integrables en toda la recta real, y s < s 2. Entonces la función existe y es holomorfa en la banda F (z) x(t)e izt dt D {z C : Imz (s, s 2 )}. Demostración. Sea z w + is D. Entonces, para t, se tiene que x(t)e izt x(t) e st x(t) e s 2t Además, para t, se tiene que x(t)e izt x(t) e st x(t) e st. Por tanto, x(t)e izt dt x(t) e s t dt + x(t) e s 2t dt <. 8

Esto demuestra la existencia de F (z) para z D. Por otra parte, fijados z ({z n } n N D), se tiene que D, y {z n } z F (z n ) F (z ) e iz nt e iz t x(t) dt. Ahora bien, sabemos que lím n e iznt e iz t (puntutalmente en t R) y, por tanto, necesitamos (para utilizar el Teorema de Convergencia Dominada) encontrar una función y(t) L (R) tal que e iz nt e iz t x(t) y(t) para todo t R y todo n. Es fácil comprobar que la función y(t) definida por y(t) 2e s 2t x(t) si t, y(t) 2e s t x(t) si t < satisface dichos requisitos. Por tanto, F es continua en D. Tomamos ahora γ una curva cerrada en D. Entonces, utilizando el teorema de Fubini, vemos que γ F (z)dz ( γ ( γ x(t)e izt dt)dz x(t)e izt dz)dt (por Fubini) dt (por el Teor. Integral de Cauchy) y, por tanto, podemos usar el Teorema de Morera para afirmar que F H(D), que es lo que queríamos demostrar. Corolario 2 Si ˆx(ξ) tiene soporte compacto entonces x(t) es la restricción a R de una función entera x(z)..2. Convolución y Transformada de Fourier Dadas dos señales x(t), y(t) absolutamente integrables en R, recordamos que su convolución está dada por la fórmula (x y)(t) x(s)y(t s)ds. En realidad, la convolución está bien definida desde el momento en que una de las señales sea acotada (en R) y la otra sea absolutamente integrable. Proposición La convolución de señales es una operación conmutativa. Demostración. Basta hacer el cambio de variables t s u, de modo que: x y(t) x(s)y(t s)ds x(t u)y(u)du ỹ x(t). x(t u)y(u)du 9

Proposición 2 Si x(t) e y(t) son señales continuas a trozos y absolutamente integrables en R, entonces su convolución, x y(t) es también una señal absolutamente integrable. Es más, se verifica la desigualdad x y L (R x L (R) y L (R) Demostración. Como las señales son absolutamente integrables, podemos utilizar el Teorema de Fubini, para cambiar el orden de integración en los siguientes cálculos: x y L (R) x y(t) dt x L (R) x(s)y(t s)ds dt x(s) y(t s) dsdt { } x(s) ds y(t s) dt (por F ubini) y(t s) dt x L (R) y L (R), como queríamos demostrar. Teorema 7 Supongamos que x, y L (R). Entonces x y(ξ) ˆx(ξ)ŷ(ξ) Demostración. Ya sabemos que x y(t) es absolutamente integrable, de modo que podemos utilizar el teorema de Fubini otra vez en nuestros cálculos: x y(ξ) x y(t)e iξt dt { } x(s)y(t s)ds e iξt dt ˆx(ξ) x(s)e iξs y(t s)e iξ(t s) dsdt { } x(s)e iξs ds y(t s)e iξ(t s) dt ˆx(ξ)ŷ(ξ), y(t s)e iξ(t s) dt que es lo que queríamos demostrar. Evidentemente el teorema de convolución anterior es útil en teoría de señales, puesto que los filtros son normalmente operadores de convolución y, usando el resultado anterior, podemos convertir

una operación relativamente complicada (la convolución de señales en el dominio del tiempo) en otra muy sencilla (el producto de señales en el dominio de la frecuencia). Esto lleva a pensar que quizás cierto tipo de problemas que se plantean de forma natural en el dominio del tiempo se puedan trasladar (vía la transformada de Fourier) al dominio de la frecuencia, donde (supuestamente) serán más fáciles de resolver. En tal caso, una vez obtenida la solución en el dominio de la frecuencia, será necesario llevársela al domino del tiempo vía una transformación que deberá funcionar como el operador inverso de la transformada de Fourier. Con esto, queda motivado el contenido de la siguiente sección..3. El teorema integral de Fourier En las secciones anteriores llegamos mediante una serie de argumentos heurísticos a la expresión x(t) F(x)(ξ)e iξt dξ. Ahora vamos a estudiar en detalle bajo qué condiciones sobre la señal x(t) se satisface dicha fórmula. De la misma forma que no fue sencillo el estudio de la convergencia de las series de Fourier, la respuesta a la pregunta que nos formulamos ahora no es trivial en absoluto. Para empezar, pudiera suceder que F(x) x / L (R) y, por tanto, la expresión F(x)(ξ)eiξt dξ no sea convergente. Un ejemplo de que esto es perfectamente posible lo da la identidad (que ya demostramos en su momento) F(u a )(ξ) 2 sin(aξ). ξ por otra parte, aún en el caso de que x L (R) es posible que para comprobar la fórmula x(t) ( ) x(s)e iξs ds e iξt dξ no baste con substituir por el valor de x(s) y realizar el cálculo de la integral doble, pues podría suceder que no podamos hacer ciertas operaciones como, por ejemplo, intercambiar el orden de integración (debido a que no hay convergencia absoluta para la integral doble). Pero podemos intentar lo siguiente: Primero multiplicamos el integrando x(ξ) por una función Φ ε (ξ) que decrezca muy rápido para ξ ± pero que, si hacemos ε, se aproxime uniformemente a la función. De esta forma, para ε > fijo, podemos hacer las cuentas (intercambiar el orden de integración, etc) pues la correspondiente integral doble es absolutamente convergente. A continuación intentamos llegar a nuestro resultado tomando ε. Existen varias elecciones de Φ ε (ξ) que funcionan (y, por tanto, existen varias versiones del Teorema Integral de Fourier 2 ). Una posibilidad es tomar Φ ε (ξ) e ε2 ξ 2 /2 y, de hecho, el correspondiente teorema es muy usado para el estudio de procesos estocásticos. Nosotros vamos a elegir Φ ε (ξ) de 2 En realidad, esto es parecido a la existencia de varios métodos de sumación para las series de Fourier.

forma un poco más drástica. Tomamos: Φ ε (ξ) χ [ ε, ](ξ), lo que es equivalente a interpretar la ε integral eiξt x(ξ)dξ como su valor principal. Es decir, para nuestro teorema, no suponemos la convergencia de la integral impropia en el sentido estricto sino que interpretamos que denota su valor principal, ( ) M v.p x(ξ)e iξt dξ lím x(ξ)e iξt dξ. r M De esta forma, llegamos a demostrar el siguiente (importante) resultado: Teorema 8 (Teorema Integral de Fourier) Supongamos que x(t) es continua a trozos, absolutamente integrable en R, en cada punto admite ambas derivadas laterales, y que en los puntos de discontinuidad está definida como Entonces x(t) (x(t+) + x(t ))/2. M x(t) lím e iξt x(ξ)dξ ( M M v.p e iξt x(ξ)dξ ) Demostración. Utilizamos el teorema de Fubini para ver que M ( M x(ξ)eiξt dξ M ) M x(s)e iξs ds e iξt dξ ( x(s) M M e iξs e dξ) iξt ds ( ] ) ξm x(s) e iξ(t s) ds i(t s) ξ M ds t π x(s) 2 sin(m(t s)) t s x(s) sin(m(t s)) t s ds + π Si hacemos el cambio de variable u s t, entonces M x(ξ)e iξt dξ M π Vamos a demostrar que y π π t x(u + t) sin(mu) du + u π x(s) sin(m(t s)) ds t s x(t + u) sin(mu) du x(t+) u 2 x(u + t) sin(mu) u du x(t ). 2 (t R) x(u + t) sin(mu) du. u En realidad, basta que hagamos una de estas pruebas (la otra es análoga). Lo primero que hacemos es descomponer la integral x(t + u) sin(mu) du en dos trozos, como sigue π u π x(t + u) sin(mu) du π u π x(t + u) sin(mu) du + u π π x(t + u) sin(mu) du u 2

(la elección de la constante π no es, de todas formas, significativa). La función y(t) { π x(t+u) u si u π si u < π es continua a trozos y absolutamente integrable en R, de modo que podemos utilizar el Teorema de Riemann Lebesgue para garantizar que lím M y(t) sin(mt)dt Por tanto, lím M M π x(t+u) u sin(mu)du y sólo tenemos que estudiar el límite lím M π π x(t + u) sin(mu) du. u Ahora bien, sabemos que h(u) x(t+u) x(t+ ) es continua a trozos y, por tanto, también como consecuencia del Teorema de Riemann-Lebesgue, se tiene u que lím M π lím M lím M π { π π x(t + ) π x(t + u) sin(mu) du u x(t + u) x(t + ) sin(mu)du + x(t + ) u sin(m u) du u π π } sin(m u) du u Si hacemos el cambio de variable s Mu, obtenemos que du u ds s y, por tanto, π lím M sin(m u) πm du lím u M sin(s) ds s La demostración del teorema se concluye si tenemos en cuenta que separamos en forma de nota. sin(s). Como es continua en [, ), la integral impropia será con- s ds para alguna elección de a >. Para demostrar esto Nota 3 Veamos que sin(s) ds π s 2 vergente si y solo si lo es la integral a último, hacemos integración por partes. a sin(s) ds s sin(s) ds π, hecho que s 2 sin(s) s sin(s) ds cos s s s ] s sa + a sin(s) ds s 2 Ahora bien, sin s s y ds <. Esto demuestra que nuestra integral impropia existe. 2 s 2 a s 2 Teniendo en cuenta que sin u es una función continua concluimos que la integral impropia u se podrá representar como sin(s) ds s Rn lím R n sin(s) ds s sin(s) ds s 3

para alguna elección de la sucesión {R n } n. Para hacer efectivos los cálculos, tomamos R n (n + 2 )π, de modo que sin u π du lím u n π lím n π lím n π 2 lím t + 2 sin( 2 t) t sin((n + /2)t) dt t 2 sin( t) 2 sin((n + /2)t) t 2 sin( t) dt 2 2 sin( t) 2 D n (t)dt t π 2, (donde se ha utilizado el Teorema de Dirichlet??). Esto finaliza la prueba..4. Transformada de Fourier de funciones de L 2 (R) En principio, la transformada de Fourier de una señal x(t) L 2 (R) podría no existir, por la sencilla razón de que la integral x(t)eiξt dξ podría ser divergente si x(t) / L (R). Aún así, sería deseable disponer de una extensión de la transformada de Fourier a todo L 2 (R): despues de todo, L 2 (R) es el substituto natural (en el mundo analógico) de l 2 (Z) y, ya que la serie de Fourier tenía tan buenas propiedades en relación con el espacio l 2 (Z), quizás consigamos algo parecido para la transformada de Fourier. La extensión a que nos referimos se puede hacer en gran medida gracias al siguiente resultado técnico: Lema 2 Si x(t), y(t) L (R) son tales que también x(t), ŷ(t) L (R), entonces tanto x(t), y(t) como x(t), ŷ(t) pertenecen a L 2 (R) y además (x, y) L 2 (R) ( x, ŷ) L 2 (R) En particular, si x(t) y(t), entonces se tiene la siguiente fórmula de Parseval : x L 2 (R) x L 2 (R) Demostración. Que x(t), x(t) L (R) implica x(t), x(t) L 2 (R) es sencillo de probar. Vamos a 4

calcular el producto (x, y) L 2 (R) utilizando el teorema integral de Fourier: (x, y) L 2 (R) x(t)y(t)dt ( x(t) ŷ(ξ)e iξt dξ ) dt ( ) ŷ(ξ)x(t)e iξt dt dξ ( ) ŷ(ξ) x(t)e iξt dt dξ ŷ(ξ) x(ξ)dξ ( x, ŷ) L 2 (R) Esto termina la prueba. Ahora, si x(t) L 2 (R), entonces es posible encontrar una sucesión de señales {x n (t)} n tales que x n (t), x n (ξ) L (R) para todo n y lím n x x n L 2 (R) (ver [?]). Se sigue entonces del lema anterior que la sucesión { x n (ξ)} n es de Cauchy en L 2 (R), ya que la sucesión {x n (t)} n lo es (al ser convergente) y x n (ξ) x m (ξ) L 2 (R) x n (t) x m (t) L 2 (R) se satisface para todo n, m. Se sigue que existe una señal z(ξ) L 2 (R) tal que lím x n(ξ) z(ξ) L n 2 (R). Veamos que z(ξ) no depende de la sucesión de aproximantes {x n (t)} n: si {y n (t)} n fuese otra sucesión de señales con y n (t), ŷ n (ξ) L (R) y lím n x y n L 2 (R), entonces se tendría que lím x n(ξ) ŷ n (ξ) L n 2 (R) lím x n (t) y n (t) L 2 (R) n y, por tanto, también lím n ŷ n (ξ) z(ξ) L 2 (R). Esto prueba que z(ξ) sólo depende de la señal x(t) L 2 (R). Definición 3 Llamamos transformada de Fourier 3 de la señal x(t) L 2 (R) a la única señal x(ξ) tal que es límite en el sentido de L 2 (R) de una sucesión de transformadas { x n (ξ)} n, donde {x n (t)} n L 2 (R) satisface x n (t), x n (ξ) L (R) para todo n y lím n x x n L 2 (R). De esta forma hemos demostrado el siguiente (importante) resultado: Teorema 9 (Plancherel) La transformada de Fourier, definida originalmente en L 2 (R) L (R), se extiende de forma única a un operador F : L 2 (R) L 2 (R) (F(x(t)) x(ξ)). Además, (x, y) L 2 (R) ( x, ŷ) L 2 (R) y x L 2 (R) x L 2 (R), se satisfacen para toda elección de x, y L 2 (R). Nota 4 El resto de propiedades algebraicas de la transformada de Fourier también se conservan para la extensión que hemos definido en esta sección. [?]. 3 Algunos autores llaman transformada de Plancherel a la extensión de F a L 2 (R) y la denotan por P. Ver, por ejemplo, 5

.5. Fórmula de Poisson Sea x L (R) y sea ϕ(t) n x(t + nt ). Es evidente que ϕ(t) ϕ(t + T ) para todo t R y, además, T ϕ(t) dt n T x(t + nt ) dt n (n+)t nt x(t) dt x L < por tanto, podemos intentar calcular los coeficientes de Fourier de ϕ como función T -periódica. c k (ϕ) T T T ϕ(t)e ikt T dt T n T x(t)e ikt T dt T x(k T ) Se sigue que el desarrollo en serie de Fourier de ϕ es ϕ(t) T x(t + nt )e ikt T dt T k x( k ikt )e T T n (n+)t nt x(t)e ikt T dt y, por tanto, cuando se pueda garantizar la convergencia de dicho desarrollo, se tendrá la conocida fórmula de Poisson x(t + nt ) x( n int )e T (2) T T n n Un caso especial es el que se logra de hacer t en la expresión anterior: n x(nt ) T n x( n ). (3) T Es muy importante, para nuestros objetivos futuros (relacionados con la teoría del muestreo de señales analógicas), observar que se satisface la siguiente propiedad: Proposición 3 Si x φ S, entonces se satisface la Fórmula de Poisson (2). 2. Transformada de Fourier de Señales Generalizadas Uno de los problemas que tiene el concepto de transformada de Fourier es que para calcular F(x) es necesario asumir que x L (R) o, mediante el argumento explicado en la seccióón anterior, tambien podemos ampliar dicho cálculo al caso en que x(t) es una señal de energía finita, x L 2 (R). Podemos definir la transformada de Fourier de señales en espacios menos restrictivos?. Por ejemplo, es posible definir F(x) cuando x L p (R), p (, )? (Una idea podría ser considerar los elementos de L p (R) como funciones generalizadas). Si tenemos en cuenta que para toda función φ S se tiene que F(φ) S (algo que dejamos como ejercicio para el lector), entonces podemos definir la transformada de Fourier de una señal generalizada x G del siguiente modo: 6

Definición 4 Sea x G una función generalizada arbitraria. Definimos su transformada de Fourier (generalizada) F(x) mediante la fórmula siguiente: También usamos la notación x F(x). F(x){φ} x{f(φ)} Nota 5 En la definición anterior se está utilizando la caracterización de las funciones generalizadas como distribuciones temperadas (i.e., funcionales continuos h : S C). Ver Teorema??. El concepto que acabamos de introducir permite hacer un uso muy extenso de las transformadas de Fourier ya que en principio no hay grandes restricciones para las funciones generalizadas. En particular, esto se hará notar en el estudio del teorema del muestreo clásico. Ahora, para que la transformada de Fourier que acabamos de introducir sea útil es imprescindible comprobar que las propiedades básicas de la transformada de Fourier clásica se conservan. Teorema (Teorema de inversión de Fourier para señales generalizadas) Sea x(t) G una función generalizada. Entonces para toda señal φ S se tiene que x{φ(t)} x{φ( t)}, y, por tanto, podemos afirmar que x(t) x( t). Demostración. Sean x G y φ S. Entonces x{φ(t)} x{φ( t)} x(t) φ(t)dt x(t) φ(t)dt x(t)φ( t)dt Nota 6 Obsérvese con qué facilidad hemos podido demostrar el teorema de inversión para señales generalizadas, a pesar de lo dificil que fue su prueba para las señales ordinarias. Ahora bien: dicha simplicidad es engañosa puesto que nuestra prueba descansa sobre el hecho de que se conoce el teorema de inversión de Fourier para las funciones φ que están en la clase de Schwartz, que son señales ordinarias. Ejemplo 3 Vamos a calcular la transformada de Fourier de la función delta de Dirac δ. Por definición, F(δ){φ} δ{f(φ)} F(φ)() y, por tanto, F(δ){φ} ˆφ() φ(s) ds {φ}. 7

para toda señal φ S. Por tanto, hemos demostrado que F(δ). Además, utilizando el teorema de inversión de Fourier, y el hecho de que δ es par, podemos afirmar que F()(t) ˆδ(t) δ( t) δ(t). Además, si consideramos las traslaciones de la señal delta de Dirac, δ w (t) δ(t w), entonces obtenemos que es decir, δ( w)(t) exp( wit). δ w {φ} ˆφ(w) δ(t w) ˆφ(t)dt δ(s) ˆφ(s + w)dt e iwt φ(t)dt (e iwt ){φ}, Ejemplo 4 El ejemplo anterior sirve (entre otras cosas) para calcular la transformada de Fourier de una exponencial compleja, x(t) exp(iwt). Para ello basta aplicar el Teorema, pues x(t) δ( w)(t) δ( t w) δ(t + w). Ejemplo 5 Otro ejemplo importante es el cálculo de la transformada de Fourier del tren de impulsos III{φ} T n φ(nt ). Claramente, III T {φ} ( n δ( nt )) {φ}. Por tanto, Es decir, ÎII T T ÎII T {φ} III. T n n n T T δ( nt ){φ} exp( int t){φ} φ(nt ) n III {φ}. T φ( n) (gracias a la Fórmula de Poisson (3)). T Teniendo en cuenta la conocida fórmula de derivación de Leibnitz, n ( ) n (fg) (n) f (k) g (n k), k k 8

se puede demostrar que si la señal α satisface α (k) CSG para todo k N, (4) entonces, para toda señal φ S se tiene que αφ S. Veámoslo. Para ello, calculamos las derivadas n ( ) n (αφ) (n) α (k) φ (n k). k k Como α (k) CSG y φ (n k) S para todo k n, se tiene que las funciones α (k) φ (n k) pertenecen a S para todo k n y, por tanto, también se tiene que (αφ) (n) S. Obviamente, si la señal α satisface la condición (4), podemos definir para toda señal generalizada x G, el producto generalizado (α x){φ} x{φ α}. Obviamente, si la señal α satisface la condición (4), podemos definir para toda señal generalizada x G, el producto generalizado (α x){φ} x{φ α}. Por otra parte, la convolución de señales generalizadas se puede definir de la siguiente forma: Supongamos que las señales β, β, β, pertenecen a S. Entonces, para toda señal x G se define el producto de convolución (β x){φ} : x(t)(φ β)(t)dt, donde β(t) : β( t). Vamos a probar que entonces se satisface la siguiente importante propiedad: Teorema (Producto y Convolución) Sean α(t) verificando (4) y x G. Entonces α x α x. Demostración. Para empezar, si tenemos en cuenta que α verifica (4), entonces β α satisface las condiciones necesarias para definir el producto de convolución β x, puesto que β α α. Sea ϕ S. Entonces, para toda señal φ S se tiene que (ϕα){φ} (ϕα)(t) φ(t)dt α(t)( φ(t)ϕ(t))dt α(t) (φ ϕ)(t)dt α(t)(φ ϕ)(t)dt α(t)(φ ϕ)(t)dt ( α ϕ)(t)φ(t)dt ( α ϕ){φ} 9

lo que demuestra que (ϕα) ( α ϕ) siempre que ϕ S. En particular, hemos dado una prueba explícita de que para toda señal ϕ S se tiene que ϕ α S y, por tanto, el producto de convolución α x{φ} está bien definido. Terminamos la demostración calculando α x{φ} explícitamente: (α x){φ} x(t)α(t) φ(t)dt α(t)( φ(t)x(t))dt α(t) (φ x)(t)dt α(t)(φ x)(t)dt α(t)(φ x)(t)dt ( α x)(t)φ(t)dt ( α x){φ} 3. Transformada de Fourier y sistemas LTI: diferentes tipos de filtros Ya sabemos que una clase amplia de filtros se pueden representar a través de la convolución contra la respuesta del sistema LTI al impulso unidad (i.e., Lx x h, donde h Lδ). Si tomamos la transformada de Fourier a ambos lados de la igualdad, obtenemos que el sistema LTI se puede representar en el dominio de la frecuencia como ŷ F(Lx) F(x)F(h) x ĥ Generalmente, se emplea la notación siguiente: X(w) x(w) representa la entrada del sistema e Y (w) ŷ(w) representa la salida del sistema (ambas en el dominio de la frecuencia). En tal caso, la señal H(w) ĥ(w) caracteriza completamente el sistema (en el dominio de la frecuencia). La señal H(w) recibe el nombre de función de transferencia del sistema. Evidentemente, la fórmula Y (w) X(w)H(w), que describe completamente el sistema en el dominio de la frecuencia, es más sencilla (en principio) que la correspondiente fórmula en el dominio del tiempo. Esto, además, posee importantes aplicaciones para el diseño de filtros: veamos por qué. 2