ÍNDICE PROLOGO... vi 0 CONCEPTOS PRELIMINARES... 1 0.1 CONJUNTOS... 3 0.2 RELACIONES DE EQUIVALENCIA... 6 0.3 FUNCIONES... 10 EJERCICIOS... 16 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES... 23 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES... 27 1.1 SISTEMAS EQUIVALENTES Y EL METODO DE ELIMINACION... 27 EJERCICIOS... 36 2. EL METODO DE ELIMINACION GAUSSIANA... 39 2.1 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES... 40 2.2 OPERACIONES ELEMENTALES EN LAS L1NEAS DE UNA MATRIZ... 44 2.3 EL METODO DE ELIMINACION GAUSSIANA... 46 2.4 SISTEMAS HOMOGENEOS DE ECUACIONES LINEALES... 54 EJERCICIOS... 57 3. MATRICES I : OPERACIONES CON MATRICES... 63 3.1 SUMA Y PRODUCTO POR ESCALARES... 64 3.2 PRODUCTO DE MATRICES... 66 3.3 PARTICION DE MATRICES... 72 3.4 LA SOLUCION DE UN SISTEMA NO HOMOGENEO DE ECUACIONES LINEALES... 78 EJERCICIOS... 81 4. MATRICES II : INVERSIBILIDAD... 89 4.1 DEFINICION Y RESULTADOS PRELIMINARES... 89 4.2 MATRICES ELEMENTALES... 95 4.3 EVALUACION DE A -1... 99 4.4 MAS SOBRE INVERSIBILIDAD... 101 EJERCICIOS... 106 2 DETERMINANTES... 113 1. PERMUTACIONES... 116 EJERCICIOS... 125 2. DEFINICION Y PROPIEDADES... 128 2.1 DEFINICION DE DETERMINANTE... 128 2.2 PROPIEDADES... 131 2.3 OPERACIONES ELEMENTALES Y DETERMINANTES... 135
EJERCICIOS... 143 3. EL DETERMINANTE DE UN PRODUCTO DE MATRICES... 148 EJERCICIOS... 152 4. DESARROLLO POR COFACTORES... 155 EJERCICIOS... 166 5. LA ADJUNTA DE UNA MATRIZ... 170 5.1 UNA FORMULA PARA LA INVERSA... 172 5.2 LA REGLA DE CRAMER... 174 EJERCICIOS... 177 APENDICE. EL DETERMINANTE DE VANDERMONDE... 179 EJERCICIOS... 182 3 ESPACIOS VECTORIALES... 183 1. DEFINICION Y OBSERVACIONES PRELIMINARES... 187 EJERCICIOS... 191 2. EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES... 193 2.1 EL ESPACIO R n... 193 2.2 EL ESPAC1O P n... 201 2.3 EL ESPACIO M mxn... 202 2.4 EL ESPACIO F(I)... 202 EJERCICIOS... 204 3 SUBESPACIOS... 208 3.1 SUBESPACIOS GENERADOS POR UN CONJUNTO DE VECTORES... 214 3.2 OPERACIONES CON SUBESPACIOS... 217 EJERCICIOS... 223 4. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL... 228 EJERCICIOS... 236 5. BASES Y DIMENSION... 239 EJERCICIOS... 255 6. COORDENADAS... 259 6.1 CAMBIOS DE BASE... 262 6.2 ISOMORFISMOS DE ESPACIOS VECTORIALES... 268 EJERCICIOS... 275 7. EL ESPACIO LINEA DE UNA MATRIZ... 279 EJERCICIOS... 287 4 TRANSFORMACIONES LINEALES... 289 1. DEFINICION Y EJEMPLOS... 293
EJERCICIOS... 301 2. NUCLEO E IMAGEN... 305 2.1 DEFINICIÓN... 305 2.2 EL TEOREMA DE LA DIMENSION... 309 EJERCICIOS... 313 3. REPRESENTACION POR MEDIO DE MATRICES... 316 3.1 LA MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL... 318 3.2 CAMBIOS DE BASES... 329 EJERCICIOS... 333 4. SEMEJANZA... 338 EJERCICIOS... 342 5. OPERACIONES CON TRANSFORMACIONES LINEALES... 344 5.1 SUMA Y PRODUCTO POR ESCALARES... 344 5.2 COMPOSICION... 350 APENDICE. ALGEBRAS REALES... 354 EJERCICIOS... 357 6. INVERSA DE UNA TRANSFORMACION LINEAL... 363 APENDICE. UNA APLICACION AL CALCULO DE ANTIDERIVADAS... 374 EJERCICIOS... 381 7. APLICACIONES A LA TEORIA DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES... 384 7.1 RANGO DE UNA MATRIZ... 384 7.2 CONDICIONES DE CONSISTENCIA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES... 389 EJERCICIOS... 393 APENDICE I. FUNCIONALES LINEALES... 396 A I 1. EL ESPACIO DUAL Y EL BIDUAL... 397 A I 2. LA TRANSPUESTA DE UNA TRANSFORMACION LINEAL... 400 A I 3. HIPERESPACIOS E HIPERPLANOS... 403 EJERCICIOS... 409 APENDICE II. ESPACIOS COCIENTE... 412 EJERCICIOS... 424 APENDICE III. LA SUMA DE GAUSS... 425 5 ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO... 445 1. DEFINICION Y EJEMPLOS... 451 EJERCICIOS... 459 2. NORMA Y DISTANCIA... 463 EJERCICIOS... 469
3. ANGULO ENTRE DOS VECTORES ORTOGONALlDAD... 475 3.1 ANGULO ENTRE DOS VECTORES... 476 3.2 CONJUNTOS ORTONORMALES... 479 EJERCICIOS... 486 4. BASES ORTONORMALES... 490 4.1 EL PROCESO DE GRAM-SCHMIDT... 492 4.2 MATRICES ORTOGONALES... 501 4.3 COMPLEMENTOS ORTOGONALES... 503 APENDICE. EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS... 508 EJERCICIOS... 519 5. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES... 527 EJERCICIOS... 536 APENDICE. FUNCIONALES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO... 539 EJERCICIOS... 543 6 VALORES Y VECTORES PROPIOS... 545 1. DEFINICIÓN Y RESULTADOS PRELIMINARES... 549 1.1 VALORES PROPIOS... 551 1.2 VECTORES PROPIOS Y ESPACIOS PROPIOS... 553 EJERCICIOS... 560 2. DIAGONALIZACION... 564 EJERCICIOS... 576 3. EL POLINOMIO MINIMO DE UNA MATRIZ Y EL TEOREMA DE HAM ILTON-CAYLEY... 580 EJERCICIOS... 593 4. DIAGONALIZACION ORTOGONAL... 596 EJERCICIOS... 606 APENDICE. SOBRE LA TEORIA DE GRAFICAS... 607 A 1. ALGUNAS DEFINICIONES PRELIMINARES... 609 A 2. GRAFICAS Y MATRICES... 611 A 3. CAMINOS... 615 A 4. EL ESPECTRO DE UNA GRAFICA... 621 A 5. UNA COTA PARA EL ESPECTRO... 625 A 6. EL TEOREMA DE SACHS... 629 EJERCICIOS... 638 7 FORMAS BILINEALES Y CUADRATICAS... 643 1. FORMAS BILINEALES... 646 1.1 LA MATRIZ ASOCIADA A UNA FORMA BILINEAL... 648 1.2 CAMBIO DE BASE. RANGO DE UNA FORMA BILINEAL... 651 1.3 EL ESPACIO DE FORMAS BILINEALES... 653 EJERCICIOS... 656
2. FORMAS CUADRATICAS... 660 2.1 REDUCCION A UNA SUMA DE CUADRADOS... 662 2.2 LA LEY DE LA INERCIA... 670 2.3 FORMAS DEFINIDAS POSITIVAS Y DEFINIDAS NEGATIVAS... 673 EJERCICIOS... 682 3. PARABOLAS, ELIPSES, HIPERBOLAS, ETC.... 688 3.1 REDUCCION DE LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO A LA FORMA CANONICA... 698 3.2 CONSTRUCCION DE LA GRAFICA DE UNA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO... 710 EJERCICIOS... 721 4. PARABOLOIDES, ELIPSOI DES, HIPERBOLOI DES, ETC..... 723 EJERCICIOS... 735 8 (APENDICE) ALGEBRA MULTILINEAL... 739 1. EL PRODUCTO TENSORIAL... 742 1.1 EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL PRODUCTO TENSORIAL... 742 1.2 ALGUNOS ISOMORFISMOS DE PRODUCTOS TENSORIALES... 751 EJERCICIOS... 762 2. EL PRODUCTO EXTERIOR... 764 2.1 EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL PRODUCTO EXTERIOR... 766 2.2 ALGUNOS ISOMORFISMOS DE PRODUCTOS EXTERIORES... 773 EJERCICIOS... 777 BIBLIOGRAFIA... 780 INDICE ALFABETICO... 783