PROPUESTA A 1A. a) Calcula los valores de los parámetros a, b R para que la función { sea continua y derivable en x = 0. (1 5 puntos) b) Para los valores encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x = 0. (1 punto) 2A. Calcula la integral definida 3A. a) Sabiendo que A es una matriz cuadrada de orden 2 tal que A = 5, calcula razonadamente el valor de los determinantes, b) Sabiendo que calcula, usando las propiedades de los determinantes, 4A. a) Halla a R para que las rectas } } se corten en un punto. (1 25 puntos) b) Para dicho valor de a, da la ecuación implícita de un plano que contenga a r y a s. (1 25 puntos) (sigue a la vuelta)
PROPUESTA B 1B. a) Calcula los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. (1 5 puntos) b) Calcula las asíntotas de f(x). (1 punto) 2B. Para cada c 2 definimos A(c) como el área de la región encerrada entre la gráfica de el eje de abcisas, y las rectas x = 1 y x = c. a) Calcula A(c). (1 5 puntos) b) Calcula (1 punto) 3B. a) Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales { Es compatible indeterminado. Calcula a y resuelve el sistema para dicho valor del parámetro. (2 puntos) b) Para el valor de a encontrado, da una solución particular del sistema tal que x = y. (0 5 puntos) 4B. Dados el plano x y = 4 y la recta { se pide, a) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y sean paralelos. (0 75 puntos) b) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y se corten perpendicularmente. (0 75 puntos) c) Para a = 1, da la ecuación implícita de un plano que contenga a r y corte perpendicularmente a. (1 punto) 2
SOLUCIONES DE LA PROPUESTA A 1A. a) Calcula los valores de los parámetros a, b R para que la función { sea continua y derivable en x = 0. (1 5 puntos) b) Para los valores encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x = 0. (1 punto) Solución. a) Calcula los valores de los parámetros a, b R para que la función { sea continua y derivable en x = 0. (1 5 puntos) Para que f(x) sea continua en x = 0 debe ocurrir que, Calculamos ambos límites y la imagen del valor x = 0 Por lo tanto, para que f(x) sea continua en x = 0 debe ocurrir que, Por otra parte, para que f(x) sea derivable en x = 0, necesitaremos, además de que sea continua en ese punto de abcisa, la condición siguiente: Calculamos ambos valores teniendo en cuenta que, En tal caso, { 3
Por tanto, el valor de b para que f(x) sea derivable es, b = 2 Y puesto que f(x) debe ser continua en x = 0 antes que derivable, tendremos que, a = b + 3 = 2 + 3 = +1 Concluimos que los valores para los que f(x) es derivable son a = + 1 y b = 2. b) Para los valores encontrados, calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x = 0. (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f(x) en un valor abcisa x 0 viene dada por la expresión analítica, donde, en nuestro caso, el valor de abcisa es x 0 = 0. Puesto que para a = + 1 y b = 2, la función es continua y derivable en x = 0 entonces, Por otro lado, f(0) = a = + 1. Por tanto, concluimos que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x = 0 es, 2A. Calcula la integral definida Solución. Resolvemos mediante la aplicación de la integración por partes. La función a derivar será u(x) = x 2 + x + 1 y la función a integrar será du = e x dx, 4
Por lo tanto, [ ] Volvemos a aplicar el método de integración por partes para la nueva integral. La función a derivar será u(x) = 2x + 1 y la función a integrar será du = e x dx, Por lo tanto, [ ] [ ] 5
3A. a) Sabiendo que A es una matriz cuadrada de orden 2 tal que A = 5, calcula razonadamente el valor de los determinantes, b) Sabiendo que calcula, usando las propiedades de los determinantes, Solución. a) Sabiendo que A es una matriz cuadrada de orden 2 tal que A = 5, calcula razonadamente el valor de los determinantes, Determinante A. Puesto que A es una matriz donde, cada elemento está multiplicada por 1 respecto a la matriz A, entonces podemos sacar factor común a ( 1) en cada fila de tal modo que, con n el número de filas o columnas. A = ( 1) n A Como en nuestro caso, el número de filas y de columnas es 2 ya que nos dicen que A es una matriz cuadrada de orden 2, entonces, Por lo tanto, A = 5. A = ( 1) 2 A = 1 A = 1 5 = 5 Determinante A 1. Sabemos que A 1 existe puesto que A 0. En ese caso, puesto que la propiedad de la multiplicación de los determinantes dice que, para cualesquiera matrices M y N del mismo orden, M N = M N 6
Entonces, si aplicamos dicho resultado a las matrices A y A 1 tendremos, A A 1 = A A 1 Como A A 1 = I, siendo I la matriz identidad de orden 2 entonces, A A 1 = A A 1 I = A A 1 De donde, Como el determinante de la matriz identidad es 1 entonces, Y concluimos que A 1 = 1/5. Determinante A T. Puesto que el determinante de una matriz cuadrada y el de su transpuesta es idéntico, entonces, Y concluimos que A T = 1/5. A T = A A T = A = 5 Determinante A 3. Nuevamente, por la propiedad de la multiplicación de los determinantes que dice que, para cualesquiera matrices M y N del mismo orden, M N = M N Entonces, si tenemos una matriz cuadrada cualquiera M, se verificará, reiterando la propiedad, M n = M M M M M = M n, para cualquier n N Si aplicamos dicho resultado a las matriz A 3 tendremos, Y concluimos que A 3 = 125. A 3 = A 3 = 5 3 = 125 7
b) Sabiendo que calcula, usando las propiedades de los determinantes, Determinante. = = Explicación de los pasos realizados. (1) Extraemos factor común 3 de la fila tercera. (2) Deshacemos el determinante en dos mediante la propiedad de la suma de términos en una fila o columna. (3) Los tres últimos determinantes son nulos porque tienen filas o columnas iguales. (4) Intercambiamos la fila uno y la fila tres, quedando el determinante multiplicado por ( 1). 8
Determinante. Explicación de los pasos realizados. (1) Desarrollamos por los elementos de la fila primera. (2) Extraemos factores: 2 en la primera fila; 10 en la segunda fila y 4 en la tercera fila. (3) Intercambiamos la fila dos y la fila tres, quedando el determinante multiplicado por ( 1). 4A. a) Halla a R para que las rectas } } se corten en un punto. (1 25 puntos) b) Para dicho valor de a, da la ecuación implícita de un plano que contenga a r y a s. (1 25 puntos) Solución. a) Halla a R para que las rectas } } se corten en un punto. (1 25 puntos) Las rectas r y s están determinadas por el corte de dos planos, cada una de ellas. Por lo tanto, si queremos que r y s se corten en un punto, los cuatro planos que generan, dos a dos, las rectas deben cortarse igualmente en un punto. 9
Puesto que si cuatro planos se cortan en un punto, entonces tres de ellos deben seguirse cortando en ese mismo punto, entonces resolvemos el sistema que constituyen, por una parte las dos ecuaciones que generan a la recta r, y por otro lado la primera ecuación del plano que genera a s (Los planos que no contienen a la incógnita a ). } Resolvemos dicho sistema, } } } } } } } } } Por lo tanto, el punto de corte de las rectas r y s debe tener por coordenadas ( 1, 1, 0). Puesto que el punto debe pertenecer a la recta s, debe también pertenecer al segundo plano que determina a la recta en las ecuaciones. Por lo tanto, procedemos a sustituir dicho punto en la ecuación del plano 3x + 2y + z = a, y así calculamos el valor de la incógnita a. 3 ( 1) + 2 1 + 0 = a 3 + 2 = a 1 = a Concluimos que el valor de la incógnita para que las rectas r y s se corten en un punto es a = 1. Además, ese punto será P= ( 1, 1, 0). b) Para dicho valor de a, da la ecuación implícita de un plano que contenga a r y a s. (1 25 puntos) Para dar la ecuación del plano que contiene a r y a s, determinamos primero un punto de este plano y dos vectores directores linealmente independientes. Como punto, podemos tomar un punto cualquiera de r o de s. En nuestro caso, tomaremos el punto de intersección P( 1, 1 0), ya calculado en el apartado a) Calculamos los vectores directores de las rectas, que son linealmente independientes, a partir de los productos escalares de los vectores normales a los planos que las determinan. 10
} } Por lo tanto, la ecuación del plano que contiene a r y a s viene determinada por, Por lo tanto, la ecuación del plano que contiene a r y a s con a = 1, viene determinada por 11
SOLUCIONES DE LA PROPUESTA B 1B. a) Calcula los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. (1 5 puntos) b) Calcula las asíntotas de f(x). (1 punto) Solución. a) Calcula los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. (1 5 puntos) Calculamos la primera derivada, Igualamos a cero y resolvemos, { Hacemos una partición de la recta real a partir de los valores de extremo relativo resultantes. En este caso, no hay punto de no continuidad ya que todo valor de abcisa tiene imagen. Calculamos las imágenes de un valor en cada intervalo en f (x) para saber si f(x) es creciente (f (x) > 0) o decreciente (f (x) < 0) en dicho intervalo. Intervalo/semirrecta Punto de prueba f(x) es (, 1) 2 ( ) ( ) = ( + ) creciente ( 1, 0) 0 5 ( ) ( + ) = ( + ) decreciente (0, + 1) 0 5 ( + ) ( + ) = ( + ) creciente (+ 1, + ) 2 ( + ) ( ) = ( ) decreciente Concluimos que f(x) es creciente en (, 1) (0, +1) y es decreciente en ( 1, 0) (1, + ); tiene un mínimo relativo en x = 0, al pasar de decreciente a creciente, y dos Máximos relativos en x = 1 y x = + 1, al pasar de creciente a decreciente. Además, los dos Máximos relativos, dado el carácter continuo de la función, son Máximos absolutos (tienen la misma imagen y son las abcisas de los puntos más altos de la función). 12
b) Calcula las asíntotas de f(x). (1 punto) Asíntotas verticales. No tiene ya que ya que, si existiera un valor a R tal que entonces, y eso es imposible ya que, dado que a R, Asíntota horizontal. Procedemos a calcular la tendencia de la función al tomar abcisas elevadas en valor absoluto, Aplicamos la regla de L Hôpital para el cálculo de la indeterminación en el límite, Por lo tanto, tenemos una asíntota horizontal y = 1, tanto en la tendencia a como en la tendencia a +. Asíntota oblicua. Al haber una asíntota horizontal, tanto en la tendencia a como en la tendencia a +, no puede haber otro tipo de tendencia a una recta oblicua. 13
2B. Para cada c 2 definimos A(c) como el área de la región encerrada entre la gráfica de el eje de abcisas, y las rectas x = 1 y x = c. a) Calcula A(c). (1 5 puntos) b) Calcula (1 punto) Solución. a) Calcula A(c). (1 5 puntos) Se trata de calcular la siguiente integral definida, Reescribimos la integral en suma de en dos integrales y resolvemos por integración inmediata, [ ] [ ] b) Calcula Realizamos el límite, aplicando el resultado del apartado anterior, (1 punto) El límite presenta indeterminación / que se resuelve comparando los grados de numerador y denominador. En este caso, al ser ambos iguales, el resultado del límite es el cociente de los coeficientes principales, Por lo tanto, el límite da como resultado 4/3. 14
3B. a) Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales { Es compatible indeterminado. Calcula a y resuelve el sistema para dicho valor del parámetro. (2 puntos) b) Para el valor de a encontrado, da una solución particular del sistema tal que x = y. Solución. a) Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales (0 5 puntos) { Es compatible indeterminado. Calcula a y resuelve el sistema para dicho valor del parámetro. (2 puntos) Para que un sistema lineal de tres ecuaciones y tres incógnitas sea Compatible Indeterminado, es decir, que tenga infinitas soluciones, debe ocurrir que el rango de la matriz de coeficientes A coincida con el rango de la matriz ampliada A* y sean menores, a su vez, que el número de incógnitas, en este caso 3. Rg(A) = Rg(A*) < 3 Forzamos, por tanto, a que Rg(A) < 3 y a que Rg(A*) < 3. Sea la matriz de coeficientes asociada al sistema, Para que Rg(A) < 3 tendrá que suceder que su determinante sea nulo, Por lo tanto, En tal caso, si a = 8 entonces Rg(A) < 3. 15
Comprobamos que para este valor Rg(A*) < 3. Sea la matriz ampliada asociada al sistema, Para ello nos aseguramos de que no hay ningún menor de orden 3, de los tres que hay sin comprobar, cuyo determinante sea distinto de cero, Por lo tanto, para a = 8 el sistema es Compatible Indeterminado. Resolvemos el sistema para a = 8, { Puesto que el menor de orden 2, tiene por determinante B = 1 + 4 = + 3 0 no nulo, procedemos a rediseñar el sistema dejando como parámetro a la, hasta ahora, incógnita z (única letra fuera del menor B) y eliminando a la tercera ecuación, al ser combinación lineal de las otras dos (ya que el determinante de B es no nulo). { Resolvemos por el método de Cramer, Por tanto, las soluciones son de la forma 16
b) Para el valor de a encontrado, da una solución particular del sistema tal que x = y. (0 5 puntos) Tomamos las paramétricas de las incógnitas x e y de la resolución del sistema compatible indeterminado y las igualamos, Sustituimos el valor de z = 3 en dichas paramétricas, Por lo tanto, la solución particular para que x = y es x = y = 5, z = 3. 4B. Dados el plano x y = 4 y la recta se pide, { a) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y sean paralelos. 17 (0 75 puntos) b) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y se corten perpendicularmente. (0 75 puntos) c) Para a = 1, da la ecuación implícita de un plano que contenga a r y corte perpendicularmente a. (1 punto) Solución. a) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y sean paralelos. (0 75 puntos) Para que sean r y paralelos, el sistema lineal que determinan sus ecuaciones debe ser incompatible. Además, debe ocurrir que Rg(A) = 2, (hay dos vectores normales independientes) y Rg(A*) = 3.
En tal caso, el sistema, { Debe tener determinante de su matriz de coeficientes, nulo. Por lo tanto, Rg(A) < 3 si a = 3. Además, como entonces Rg(A) = 2. Por otra parte, como Con lo que concluimos que para a = 3 el sistema es Incompatible y la recta r es paralela al plano. b) Estudia si existe algún valor del parámetro a para el que r y se corten perpendicularmente. (0 75 puntos) Para que la recta y el plano e corten perpendicularmente tiene que ocurrir que cualquier vector director de la recta,, sea paralelo al vector normal al plano. Un vector director de la recta r puede ser, Por otra parte, un vector normal del plano puede ser,. Si los vectores ser 1. son paralelos, el rango de la matriz que los contiene D, tiene que ( ) Puesto que el menor tiene por determinante, entonces Rg(D) = 2 y, por tanto, los vectores son paralelos por lo que la recta r y el plano no se cortan perpendicularmente. 18
c) Para a = 1, da la ecuación implícita de un plano que contenga a r y corte perpendicularmente a. (1 punto) Para dar la ecuación del plano que contiene a r y corta perpendicularmente al plano, necesitamos un punto del plano y dos vectores directores del plano que sean linealmente independientes. Como punto del plano podemos tomar cualquier punto de la recta r. Si para a = 1, la ecuación de la recta r es, { Simplemente dando valor x = 0, obtenemos que z = 1 (por la primera ecuación) y que y = 1 (por la segunda). Con ello, obtenemos el punto particular (0, 1, 1) de la recta r. Puesto que el plano contiene a la recta r entonces un posible vector director del plano es que, en el caso de que a = 1 entonces. Por otra parte, como el plano corta perpendicularmente al plano el, entonces otro posible vector director del plano es. Como ambos vectores son linealmente independientes, entonces una ecuación del plano que contiene a la recta r y que es perpendicular al plano viene descrita mediante, Operando, Concluimos que una ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano es x + y = 1. 19