.6 Criterios de falla.6. Criterios de falla.6.1. Ensayo a tensión de un material En una prueba a tensión de un material dúctil realizado en laboratorio, Fig..3, existen seis magnitudes que, cuando inicia la fluencia, se alcanzan simultáneamente, tomando cada una de ellas los siguientes valores. Figura.3: Prueba uniaxial a tensión: a) diagráma esfuerzo-deformación y b) representación en el círculo de Mohr. 1. El esfuerzo principal alcanza el límite de fluencia a tensión del material. Este esfuerzo principal es máximo, pues las otras dos son nulas:. El esfuerzo cortante máximo toma el valor de: 1 = (.69) máx = 3. La deformación longitudinal unitaria máxima alcanza el valor: (.70) = 4. La energía de deformación absorbida por unidad de volumen es: (.71) = 1 = (.7) 5. La energía de distorsión, la energía debida al cambio de forma, absorbida por unidad de volumen es: = 1+ 3 = 6 6. El esfuerzo tangente octaédrico alcanza el valor: (.73) c Gelacio Juárez, UAM 116
.6 Criterios de falla = 3 =0 47 (.74) Estas seis magnitudes alcanzan los valores indicados simultáneamente en el ensayo a tensión que originan en el material un estado a tensión simple. Pero si el estado a tensión es dos o tres direcciones, estos seis valores no se alcanzarán simultáneamente. Por lo que surge la necesidad de establecer si alguna de estas magnitudes puede considerarse limitativa de las cargas que actúan sobre una pieza de material elástico para que no se produzcan en la misma deformaciones plásticas..6.. Teoría del esfuerzo principal máximo La teoría del esfuerzo principal máximo, atribuida a Rankine, establece que en un punto de un sólido el estado límite del estado de esfuerzos inicia cuando uno de los esfuerzos principales alcanza un valor igual al esfuerzo límite a tensión o compresión, obtenido de pruebas a tensión o compresión simples. Este criterio se representa como 1 = (.75) 3 = donde es el esfuerzo de fluencia a tención y a compresión. En el espacio de esfuerzos principales, si =, la superficie de fluencia sería un cubo, cuyo centro coincidiría con el origen de las coordenadas, Fig..4a. Como comúnmente ocurre,enlaquela superficie de fluencia es un cubo, el que su centro no coincide con el origen Fig..4b. Figura.4: Superficie de fluencia con la teoría del esfuerzo principal máximo. La teoría del esfuerzo principal máximo puede expresarse por la función de fluencia ( ) =máx( 1,, 3 ) donde el esfuerzo efectivo es =máx( 1,, 3 ) c Gelacio Juárez, UAM 117
.6 Criterios de falla.6.3. Esfuerzo cortante máximo Se le denomina comúnmente como Criterio de Tresca-Guest, o únicamente criterio de Tresca, el cual expresa el estado límite en un punto de un sólido en el que el estado de esfuerzos comienza a fluir cuando el esfuerzo cortante máximo alcanza un valor igual al alcanzado en un ensayo de tracción cuando se llega al esfuerzo último, esto es: o simplemente = 1 3 = 1 3 = Por lo que la función de fluencia de Tresca-Guest se puede definir como: ( ) = (.76) donde el esfuerzo efectivo representa el valor máximo de las siguente ecuaciones: 1 = ± 3 = ± (.77) 3 1 = ± la función de fluencia de Tresca-Guest también se puede representar mediante la ecuación: ( ) = h ih ih i ( 1 ) ( 3 ) ( 3 1 ) (.78) quecorrespondealaecuacióndelasuperficiedeplastificación, formada por seis planos, paralelos dos a dos y todos éstos paralelos a la trisectriz o línea hidrostática, 1 = = 3,Fig..5: Figura.5: Superficie de fluencia de Tresca. c Gelacio Juárez, UAM 118
.6 Criterios de falla Para estado de esfuerzos planos, 3 =0, la expresión.77 se reduce a: 1 = ± = ± (.79) 1 = ± yla.78a: ( ) = h ( 1 ) i 1 (.80) La representación gráfica, en el plano 1,, de la ec. (.79) se muestra como un hexágono en la Fig..6. Figura.6: Superficie de fluencia de Tresca en D..6.4. Teoría de la deformación longitudinal unitaria máxima Esta teoría, conocida como de Saint-Venan, expresa que el estado de esfuerzos en un punto de un sólido inicia su estado límite cuando la deformación longitudinal unitaria máxima es igual al valor, obtenida de una prueba a tensión, cuando el material alcanza el esfuerzo último. = La expresión de la deformación unitaria máxima es: (.81) 1 = 1 [ 1 ( + 3 )] = (.8) Asumiendo que 1 en ec..8 es la deformación principal con la magnitud más grande, igualando 1 con, se obtiene la siguiente función de fluencia : 1 ( ) = 1 ( + 3 ) =0o 1 ( + 3 )=± c Gelacio Juárez, UAM 119
.6 Criterios de falla Considerando que las deformaciones principales están desordenadas, que 1 o 1 puede tener la magnitud mayor. Se obtiene las posibilidades adicionales siguientes: ( ) = ( 1 + 3 ) =0o ( 1 + 3 )=± 3 ( ) = 3 ( 1 + ) =0o 3 ( 1 + )=± Porloque,elesfuerzoefectivo se puede definir como: ylafuncióndefluencia: =máx 6= 6= ( + ) (.83) ( ) = (.84) La superficie de fluencia para el criterio de la deformación longitudinal unitaria máxima para el caso de un estado de esfuerzo plano, 3 =0, se muestra.7. La superficie de fluencia ABCD ilustraque, bajounestadobiaxialdeesfuerzoatensión o compresión, los esfuerzos principales individuales son mayores, por lo que el esfuerzo de fluencia puede ocurrir sin causar fluencia. Figura.7: Superficie de fluencia de la deformación longitudinal unitaria máxima, =0..6.5. El criterio de la densidad de energía de deformación El criterio de la densidad de energía de deformación, propuesto por Beltrami, establece que la fluencia en un punto de un sólido inicia cuando la energía de deformación en el punto es igual a la densidad de energía de deformación de fluencia de una prueba uniaxial en tensión o compresión. En términos de esfuerzos principales, la energía de deformación es: 0 = 1 1 + + 3 ( 1 + 1 3 + 3 ) 0 (.85) El criterio de la densidad de energía de deformación establece que la fluencia inicia cuando la densidad de energía de deformación de la ec. (.85), para cualquier estado de esfuerzo, es igual c Gelacio Juárez, UAM 10
.6 Criterios de falla a la densidad obtenida de una prueba uniaxial a tensión ec. (.7). La función de fluencia para el criterio de la densidad de energía de deformación se obtiene igualando la densidad 0 de la ec. (.85) con la de la ec. (.7). Así, la función de fluencia tiene la forma: 1 + + 3 ( 1 + 1 3 + 3 ) =0 donde el esfuerzo efectivo es: = ( ) = =0 (.86) q 1 + + 3 ( 1 + 1 3 + 3 ) La ec. (.86) corresponde a una a un elipsoide en revolución cuyo eje coincide con la trisectriz, Fig..8. Figura.8: Superficie de fluencia de la criterio de la densidad de energía de deformación, =0. Las longitudes de los ejes son: = 1 ; = 1+ (.87).6.6. Criterio de la densidad de energía de distorsión- Criterio de Von Mises El criterio de la densidad de energía de distorsión, atribuida a von Mises, establece que la fluencia inicia cuando la densidad e energía de distorsión en un punto es igual a la densidad de energía de distorsión de una prueba uniaxial en tensión o compresión, ec. (.73). La densidad de energía de distorsión es la asociada al cambio de forma del medio continuo. La densidad de energía total de deformación 0, dada en la ec.(.85), puede separarse en dos partes: una que produce un cambio volumétrico y la otra que produce distorsión. Manipulando algebraicamente la ec.(.85), se tiene c Gelacio Juárez, UAM 11
.6 Criterios de falla 0 = ( 1 + + 3 ) 18 {z } + ( 1 ) +( 3 ) +( 3 1 ) 1 {z } (.88) donde el módulo está definido como = [3 (1 )]. Bajo un estado de esfuerzo uniaxial, la densidad energía de distorsión está definidaporlaec.(.73),porloqueparaunestadode esfuerzos multiaxial, el criterio de la densidad de energía de distorsión establece que la fluencia inicia cuando la densidad energía de distorsión dada en la ec. (.88) es igual a 6. El criterio de la densidad de energía de distorsión puede expresarse en términos del segundo invariante de esfuerzos como: donde = 1 (.89) h( 1 ) +( 3 ) +( 3 1 ) i = 1 6 Igualando la ec. (.89) y la ec.(.73), se tiene ( ) = 1 h ( 1 ) +( 3 ) +( 3 1 ) i 1 6 3 (.90) La expresión obtenida del criterio de von Mises en la ec. (.90) indica que la superficie de plastificación es un cilindro en revolución, cuyo eje es la trisectriz 1 = = 3 Fig. (.9). Figura.9: Superficie de fluencia de von Mises, =0. Una forma más compacta del criterio de von Mises en la ec. (.90) es: donde el esfuerzo efectivo es: = ( ) = =0 (.91) r 1 h ( 1 ) +( 3 ) +( 3 1 ) i (.9) c Gelacio Juárez, UAM 1
.6 Criterios de falla.6.7. Teoría del esfuerzo cortante octaédrico El esfuerzo octaédrico se expresa, en función de los esfuerzos principales, como: = 1 q ( 1 ) +( 3 ) +( 3 1 ) (.93) 3 En un ensayo a tensión, cuando se alcanza el esfuerzo de fluencia, el esfuerzo cortante octaédrico toma el valor de la ec. (.74) = 3 =0 47 (.94) La Teoría del esfuerzo cortante octaédrico se puede enunciar como: la acción inelástica en un punto de un sólido inicia cuando el esfuerzo cortante octaédrico alcanza el valor de 0 47.Esto es, al igualar las ecs. (.93) y (.93): que es lo mismo: q 1 ( 1 ) +( 3 ) +( 3 1 ) = 3 3 (.95) ( 1 ) +( 3 ) +( 3 1 ) = (.96) Esta teoría, en términos de estado de esfuerzos, es equivalente a la de la energía de distorsión de von Mises en dada en la ec. (.90), por lo que será indistinto utilizar una u otra..6.8. Coeficiente de seguridad El coeficiente de seguridad, se determina como: si = 1 Rango elástico 1 Rango inelástico Tarea 1. Grafique cada una de las superficies de fluencia en el plano de Rankine, Tresca, von Mises, deformación longitudinal máxima y densidad energía de deformación considerando: a) Esfuerzo de fluencia en tensión = 50 kg ycompresión = 50 kg. b) Esfuerzo de fluencia en tensión =50 kg ycompresión = 50 kg. c Gelacio Juárez, UAM 13
.6 Criterios de falla c) Esfuerzo de fluencia en tensión =50 kg ycompresión = 50 kg. d) En todos los casos el coeficiente de Poisson =0 0.. Determine los esfuerzos principales de los siguientes tensores de esfuerzo y represéntelos en las gráficas del inciso c). " 48 1 σ = 1 30 # " kg 4 6 ; σ = 6 30 # " kg 1508 16 ; σ = 16 195 # kg ; 3. Determine los coeficientes de seguridad de los estados de esfuerzo anteriores para cada estado de esfuerzos. c Gelacio Juárez, UAM 14
En un sólido de acero, se tiene el estado de esfuerzos planos dado por los tensores σa, σb y σc. a) Calcule el estado de esfuerzos principales. a) Compare los criterios de Rankine, Tresca y de von Mises. b) Represente los estado de esfuerzos en las gráficas de estos criterios 4000 1000 σa σb 1000 500 Esfuerzo de fluencia 400 Cálculo de esfuerzos principales 3500 550 550 500 σxx σa y σa τxy σa 00, 11, 01, Coeficiente de Poisson υ 0.30 σxx + y σxx y σ1 + + τxy = 4500 σxx + y σxx y σ + τxy = 000 σ1 0 4500 0 σa σa = 0 σ 0 000 σxx σb y σb τxy σb 00, 11, 01, σxx + y σxx y σ1 + + τxy = 3550 σxx + y σxx y σ τxy + = 550 σ1 0 σb 3550 0 0 σ σb = 0 550 σxx σc y σc τxy σc 00, 11, 01, σxx + y σxx y σ1 τxy + + = 409.973 σxx + y σxx y σ τxy + = 3340.07 σ1 0 409.97 0 σc σc = 0 σ 0 3340.03 σc 500 75 75 350
1. Criterio de Rankine f(σ)=max(σ1,σ)- max σa, σa f = 300 Inelástico 00, 11, max σb, σb f = 650 00, 11, max σc, σc 00, 11, f = 650 = 0.933 = 1.183 = 1.743 El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σa Nota Si f<0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango elástico Si f=0, el estado de esfuerzos se encuentra en la superficie de fluencia Si f>0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango no lineal. Criterio de Tresca "f(σ)=[(σ₁-σ₂)²-²][σ₂²-²][σ₁²-²]=0" ( σa 00, ) max σa σa 00, 11,,, σa 11, f 300 = Inelástico = 0.933 ( σb 00, ) max σb σb 00, 11,,, σb 11, f 1900 = Inelástico = 0.689 ( σc 00, ) max σc σc 00, 11,,, σc 11, f = 859.97 Inelástico = 1.57 El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σb
3. Criterio de von Mises f(σ)=1/6[(σ1-σ)²+(σ1)²+(σ)²]-1/3² 1 ( σa σa 00, 11, ) + ( σa 00, ) + σa 11, f = 390000 cm 4 1 ( σb σb 00, 11, ) + ( σb 00, ) + σb 11, f 10517500 = cm 4 = 1.076 = 0.79 1 ( σc σc 00, 11, ) + ( σc 00, ) + σc 11, f = 87565 cm 4 = 1.407 El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σb
En un sólido metálico, que tiene valores de esfuerzo de fluencia a tensión y compresión con el mismo valor absoluto, se tienen los tres estados de esfuerzo: a, b y c en kg/cm². Determine cuál de los estados tiene menor coeficiente de seguridad aplicando los diversos criterios de fluencia. Considere un coeficiente de Poisson de v=0.3 y el esfuerzo de fluencia es de 400 kg/cm². Estado a Estado b Estado c 5000 0 0 3500 0 0 σa 0 1600 0 σb 0 1000 0 σc 0 0 800 0 0 1000 4000 0 0 0 1500 0 0 0 0 Esfuerzo de fluencia 400 Coeficiente de Poisson υ 0.30 1. Criterio del Esfuerzo Principal máximo f(σ)=max( σ1, σ, σ3 )- f max( σa) = 800 Inelástico f max( σb) = 700 f max( σc) = 00 = 0.84 max( σa) = 1. max( σb) = 1.05 max( σc) El coeficiente de seguridad menor corresponde al estado de esfuerzo con mayor esfuerzo principal σ1, que corresponde al tensor σa. Criterio de Tresca f(σ)=(σ1-σ3)- σa σa 00,, f = 0 Superficie σb σb f = 300 Inelástico 00,, σc σc f = 00 00,, El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σb = 1 = 0.933 = 1.05 Nota Si f<0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango elástico Si f=0, el estado de esfuerzos se encuentra en la superficie de fluencia
Si f>0, el estado de esfuerzos se encuentra en el rango no lineal 3. Criterio de formación longitudinal unitaria máxima f(σ)= σ1-v(σ+σ3) - σa υ σa + σa f = 80 Inelástico 00, 11,, σb υ σb + σb f = 700 00, 11,, σc υ σc + σc f = 650 00, 11,, = 0.98 = 1. = 1.18 El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σa 4. Criterio de la densidad de energía de deformación f(σ)=σ1²+σ²+σ3²-v(σ1σ+σ1σ3+σσ3)-² ( σa 11, ) σa + + σa υ σa σa + σa σa + σa σa 00,, 00, 11, 00,, 11,, f 59000 = cm 4 Inelástico = 0.93 ( σb 11, ) σb + + σb υ σb σb + σb σb + σb σb 00,, 00, 11, 00,, 11,, f = 790000 cm 4 = 1.09 ( σc 11, ) σc 00, + + σc υ σc σc + σc σc + σc σc, 00, 11, 00,, 11,, f = 990000 cm 4 = 1.1 El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σa
4. Criterio de von Mises f(σ)=1/6[(σ1-σ)²+(σ-σ3)²+(σ3-σ1)²]-1/3² 1 ( σa σa 00, 11, ) + ( σa σa 11,, ) + σa σa, 00, f = 70000 cm 4 = 1.09 1 ( σb σb 00, 11, ) + ( σb σb 11,, ) + σb σb, 00, f = 390000 cm 4 = 1.08 1 ( σc σc 00, 11, ) + ( σc σc 11,, ) + σc σc, 00, f = 5390000 cm 4 = 1. El coeficiente de seguridad menor corresponde al tensor σb