MATEMÁTICAS ESPECIALES II - 8 PRÁCTICA 5 Parte I - Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Considere el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de primer orden dx dt = f (t, x, x,, x n ) dx dt dx n dt = f (t, x, x,, x n ) = f n (t, x, x,, x n ), donde la derivada de cada variable dependiente x i es función de la variable independiente t, de ella misma y de todas las restantes variables x j ; j i. Definiendo los vectores x(t) = x (t) x (t) x n (t) y f(t, x) = el sistema de ecuaciones puede escribirse de la siguiente manera x (t) = f(t, x). f (t, x, x,, x n ) f (t, x, x,, x n ) f n (t, x, x,, x n ), () Teorema de existencia y unicidad. Considere el PVI { x (t) = f(t, x) x(t ) = x. Si, en una vecindad del punto (t, x ), f es continua y todas las derivadas parciales f i x j (i, j =,,, n) son acotadas, el PVI tiene solución única en el intervalo t t < h, para cierto h >. Ejemplo. x Considere el sistema de EDOs x 3x x (t) = x + cos t. Como las funciones f x x 4x + t ln t i, i =,, son continuamente derivables en (, ) R x α, la solución que satisface (t x ) = existe y β será única para todo t >.
Cuando cada una de las funciones f, f,, f n es lineal en las variables dependientes x, x,, x n, el sistema () puede escribirse de la siguiente manera dx dt = a (t)x + a (t)x + + a n (t)x n ) + g (t) dx dt dx n dt = a (t)x + a (t)x + + a n (t)x n ) + g (t) = a n (t)x + a n (t)x + + a nn (t)x n ) + g n (t) que se conoce como la forma normal de un sistema de ecuaciones lineales de primer orden. Cuando g i (t) = para todo t y para cada i =,,, n, se dice que el sistema lineal es homogéneo; en caso contrario, es no homogéneo. Definiendo A(t) = a (t) a (t) a n (t) a (t) a (t) a n (t) a n (t) a n (t) a nn (t) y g(t) = g (t) g (t) g n (t) se puede obtener la forma matricial del sistema de EDOs lineales de primer orden; es decir,, x = A x + g. () Supongamos que los coeficientes a ij ; i, j =,,, n, así como las funciones g i ; i =,,, n, son continuas en un intervalo común I. Un vector solución en I es una matriz columna x (t) x (t) x(t) = x n (t) cuyos elementos son funciones derivables que satisfacen () para todo t I. Ejemplo. t + 5 El vector x(t) = es un vector solución, en (, ), del sistema t + x 4 x t 7 x (t) = (t) +. 3 x 4t 8 }{{}}{{} A(t) g(t) Observe primero que todas las entradas de la matriz A y del vector g son funciones polinomiales; en
virtud del Teorema de existencia y unicidad, podemos asegurar que la solución del sistema existe en (, ) y será única cualquiera sea la condición inicial (t, x ) elegida. Ahora, lado izquierdo de la ecuación se deriva el vector x(t): x x (t) = x = lado derecho de la ecuación se reemplaza el vector x(t) en el sistema de ecuaciones: 4 t + 5 t 7 t + 9 t 7 A x(t) + g(t) = + = + = 3 t + 4t 8 4t + 7 4t 8 }{{} son iguales x =A x+g t (, ) Considere el sistema de EDOs lineal y homogéneo x (t) = A(t) x(t). Siempre se supondrá que las a ij ; i, j =,,, n, son funciones continuas de t en algún intervalo común I. - (Principio de superposición) Si x, x,, x k ; k n, es un conjunto de vectores solución en un intervalo I, la combinación lineal c x + c x + + c k x k, donde las c i, i =,,, k, son constantes arbitrarias, también es solución en I. - (Sobre la independencia lineal de las soluciones) Supongamos que x, x,, x n son n vectores solución en un intervalo I; serán linealmente independientes en I si, y solo si, el Wronskiano W (x, x,, x n )(t) = x (t) x (t) x n (t) t I. Puede probarse que solo existen dos posibilidades: W (x, x,, x n )(t) para todo t I o W (x, x,, x n )(t) para todo t I. - Cualquier conjunto x, x,, x n de n vectores solución linealmente independientes en un intervalo I se dice que es un conjunto fundamental de soluciones en ese intervalo. - Sea x, x,, x n un conjunto fundamental de soluciones en un intervalo I. Entonces, la solución general del sistema homogéneo en ese intervalo será x(t) = c x + c x + + c n x n donde las c i ; i =,,, n, son constantes arbitrarias.
. Escriba el sistema de ecuaciones en forma matricial y compruebe que el vector x(t) indicado es una solución del mismo. { x (a) = x + x + 4t x ; x(t) = e = x 3 4t t { ( x (b) = (t )x e t(t ) ) x ; x(t) = = x + tx e t e t(t ) { ( ) x (c) = 3x + x + 3 t + cos t ; x(t) = = 5x + 3x + 6 3t t + 3 cos t sin t x. Suponga que los vectores dados son soluciones de un sistema x (t) = A(t) x(t). Determine si forman un conjunto fundamental de soluciones en (, ). cos t sin t x (t) = cos t + sin t x (t) = e t x (t) = sin t cos t cos t sin t sin t + cos t 3. Pruebe que la solución general del sistema x (t) = 6 en el intervalo (, ), es el vector 6 x(t) = c e t + c 5 3 x(t), e t + c 3 e 3t Cuando la matriz A(t) es independiente de t (es decir, es una matriz de constantes), el sistema de EDOs homogéneo x (t) = A x(t) describe el comportamiento de los sistemas lineales autónomos. Estos sistemas tienen la siguiente propiedad: si x(t) es la solución del sistema que satisface x() = a, entonces x(t t ) será la solución del sistema que satisface la condición inicial x(t ) = a (invariancia frente a traslaciones en la variable temporal). Considere el sistema lineal autónomo x (t) = A x(t) y suponga que todos los autovalores de la matriz A son reales y distintos. Sean λ, λ,, λ n los n autovalores de A y sean v, v,, v n los autovectores correspondientes. Entonces, la solución general del sistema de EDO homogéneo estará dada por con dominio de validez en (, ). x(t) = c v e λ t + c v e λ t + + c n v n e λnt,
Ejemplo 3. Encontrar la solución general del siguiente sistema de EDOs x (t) = Se procede por pasos: 3 x(t) primer paso encontrar los autovalores de A; es decir, las raíces del polinomio λ p(λ) = det(a λi) = λ 3 λ = λ3 + 5λ 4λ = λ(λ )(λ 4) segundo paso encontrar los autovectores de A; es decir, las soluciones de los sistemas lineales A v i = λ i v i ; v i ; i =,, 3 (quedarán determinadas a menos de una constante multiplicativa); en este caso, λ = 4 v =, λ = v =, λ 3 = v 3 =. tercer paso construir la solución general; es decir, una combinación lineal de los vectores v i e λ it ; i =,, 3, x(t) = c v e 4t + c v e t + c 3 v 3. La aplicación Matrix Calculator (https://matrixcalc.org/en/) permite el cómputo online de los autovalores y autovectores de una matriz de entradas constantes. 4. Encontrar el vector solución general del sistema x (t) = A x(t) en los siguientes casos 6 3 (a) A = (b) A = 3 5. (a) Probar que, si A v = λv, x(t) = ve λ(t t ), con t constante, es una solución del sistema x (t) = A x(t). (b) Usando el resultado anterior, resuelva el problema de valores iniciales 3 x (t) = x(t), x() = 4 4 3 7
6. Sea x(t) la solución general del sistema x (t) = A x(t), donde A es la matriz 5/ / / 3/4 5/ 3/4 3 /. Pruebe que lim t x(t) = (Ayuda: será necesario calcular los autovectores?). 7. Considere el sistema de x (t) = A x(t), donde A es la matriz 3/ 3/4 / 3/4 / 3 3/ 3/ Encontrar V R 4 tal que, si x V, la solución del sistema que satisface la condición inicial x() = x tienda a cero cuando t (Ayuda: el subespacio V puede describirse en términos de los (algunos) autovectores de A).. Considere el sistema lineal autónomo x (t) = A x(t) y suponga que λ C = (α + iβ) es un autovalor de la matriz A con autovector v C = v R + iv I. Entonces, x (t) = (v R cos βt v I sin βt)e αt y x (t) = (v R sin βt + v I cos βt)e αt son dos soluciones linealmente independientes del sistema de EDOs en (, ). Ejemplo 4. Encontrar la solución del PVI x (t) = Nuevamente, se procede por pasos: x(t); x() = primer paso encontrar los autovalores de A; λ det(a λi) = λ λ = ( λ)(λ λ + ) = ( λ)(λ ( + i))(λ ( i)).
segundo paso encontrar los autovectores de A; para ello, buscamos soluciones de los sistemas lineales A w i = λ i w i ; w i ; i =,, 3; en este caso, trabajando en C, se tiene λ = w =, λ = + i w = i, λ 3 = i w 3 = i }{{} λ 3 =λ y w 3 =w tercer paso encontrar tres soluciones linealmente independientes del sistema de EDOs; v = w x (t) = v e t v C = w v R =, v I = cuarto paso construir la solución general x(t) = c x (t) + c x (t) + c 3 x 3 (t) = c x (t) = (v R cos t v I sin t)e t x 3 (t) = (v R sin t + v I cos t)e t e t + c sin t cos t e t + c cos t sin t quinto paso imponer la condición inicial; esto es, tomando t =, c = c + c + c 3 = c c =, c =, c 3 =. c 3 e t 8. Para qué valores de α, las soluciones del sistema homogéneo x α (t) = x(t) α 3 exhibirán un comportamiento oscilatorio?. 9. Para qué conjunto de vectores x, el PVI x (t) = x(t); x() = x tendrá soluciones acotadas?. Encontrar la solución del siguiente PVI x (t) = 3 3 x(t); x() =.
Considere el sistema lineal autónomo x (t) = A x(t) y suponga que λ es un autovalor de multiplicidad m n. Para algunas matrices de n n - existen m autovectores linealmente independientes, v, v,, v m, correspondientes al autovalor λ; en este caso, la solución general del sistema contiene la combinación lineal x λ (t) = c v e λt + c v e λt + + c n v m e λt - existe solo un autovector que corresponde al autovalor λ; a pesar de esto, siempre se pueden encontrar m soluciones linealmente independientes de la forma x λ (t) x λ (t) = v e λt = v te λt + v e λt x λm (t) = v m t m (m )! eλt + v m t m (m )! eλt + + v mm e λt Observación: Los dos casos enunciados no agotan todas las posibilidades bajo las que puede ocurrir un autovalor repetido (ver ejercicio c)). Ejemplo 5. Resuelva las siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. a) x (t) = x(t) primer paso encontrar los autovalores; λ p(λ) = det(a λi) = λ λ = λ3 + 3λ + 9λ + 5 = (λ + ) (λ 5) segundo paso encontrar los autovectores de A; 4 λ = 5 (A 5I ) = 4 4 }{{} operaciones entre filas eligiendo x 3 = v = { x x 3 = x + x 3 =
λ = (A + I ) = { x = x x 3 }{{} operaciones entre filas eligiendo x =, x 3 = v = eligiendo x =, x 3 = v 3 = tercer paso construir la solución general del sistema de EDOs; b) x (t) = 5 4 5 x(t) x(t) = c v e 5t + c v e t + c 3 v 3 e t primer paso encontrar los autovalores; 5 4 p(λ) = det(a λi) = 5 = λ(λ λ + 5) = λ(λ 5) segundo paso encontrar los autovectores de A; 5 4 { x + x 3 = λ = (A I ) = 5/ 5 x + 5 x 3 = }{{} operaciones entre filas 4 eligiendo x 3 = v = 5 4 λ = 5 (A 5I ) = 5 }{{} operaciones entre filas eligiendo x 3 = v = { x + x 3 = x = De aquí se concluye que el autovalor λ = 5, con multiplicidad algebraica igual a dos, solo tiene un autovector asociado (es decir, el espacio propio asociado a λ = 5 tiene dimensión igual a uno o, equivalentemente, la multiplicidad geométrica de λ = 5 es igual a uno).
En este caso, se puede encontrar otra solución de la forma x 3 (t) = w te λt + w e λt. En efecto, reemplazando en el sistema de ecuaciones y simplificando, se tiene { (A λi) w = (A w λw )t + (A w λw w ) = t (A λi) w = w Obsérvese que la segunda ecuación implica (A λi) w = (A λi) w = Volviendo a nuestro problema, (A 5I) w = w = v = (A 5I) w = w 4 5 eligiendo x 3 = w = / / x x x 3 = { x = x 5x + x 3 = tercer paso construir la solución general del sistema de EDOs; c) x (t) = x(t) = c v + c v e 5t + c 3 (w t + w )e 5t = c v + c v e 5t + c 3 (v t + w )e 5t 6 5 x(t) Como la matriz A es triangular superior, los autovalores son los elementos de la diagonal principal; por lo tanto, λ = es autovalor con multiplicidad algebraica igual a tres. Es fácil chequear que el espacio propio asociado a este autovalor tiene dimensión igual a uno. En este caso, se tendrán las siguientes soluciones x (t) = u e t u solución de {(A I) u = x (t) = v te t + v e t v, v soluciones de x 3 (t) = w t e t + w te t + w 3 e t w, w, w 3 soluciones de { (A λi) v = (A λi) v = v (A λi) w = (A λi) w = w (A λi) w 3 = w
Dicho de otra manera, para poder determinar tres soluciones linealmente independientes se deben resolver las siguientes ecuaciones vectoriales: { u es solución de (A λi) u = { v = u v es solución de (A λi) v = u (A λi) v = (A λi) u = w = u w = v w 3 es solución de (A λi) w 3 = v (A λi) 3 w 3 = (A λi) v = El vector solución general del sistema de EDOs será x(t) = c u e t + c (u t + v )e t + c 3 ( u t + v t + w 3 )e t. Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto la importancia de los denominados vectores propios generalizados. Supóngase que A es una n n-matriz y que λ es un autovalor de A con multiplicidad algebraica m n. Entonces, por cada k =,,, m cualquier solución w de la ecuación (A λi) k w = se denomina un autovector generalizado de A.. Completar los cálculos del Ejemplo 5c).. Hallar la solución general de los siguientes sistemas de EDOs. (a) x (t) = 3 x(t) (b) x (t) = x(t) 6 6 5 (c) x (t) = 4 3 x(t) 7 6 4 En cada caso, indicar las multiplicidades algebraica y geométrica de cada autovalor de A y el conjunto de autovectores generalizados correspondientes.
Una matriz Φ(t) se denomina matriz fundamental de soluciones del sistema x (t) = A x(t) (3) si sus columnas forman un conjunto de n soluciones linealmente independientes de (3). Es claro que, si c es un vector de constantes arbitrario, la solución general del sistema homogéneo puede escribirse como el producto x h (t) = Φ(t) c. El siguiente resultado es una consecuencia directa de la definición anterior: una matriz Φ(t) es una matriz fundamental de (3) si, y solo si, - detφ(t) - d Φ(t) = A Φ(t) dt Considere ahora el sistema de EDOs no homogéneo x (t) = A x(t) + g(t). (4) Si Φ(t) es una matriz fundamental del sistema homogéneo asociado, entonces, la solución de (4) estará dada t x(t) = Φ(t) c + Φ(t) Φ (η) g(η) dη. } {{ } solución particular Ejemplo 6. Resuelva el sistema x (t) = x(t) + te 5t Dividir el cálculo en varios pasos simples reduce significativamente la complejidad del mismo y, en general, evita la aparición de errores. primer paso hallar un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo; del Ejemplo 5a), se tiene x h (t) = c e 5t +c e t +c 3 e t } {{ } x (t) } {{ } x (t) } {{ } x 3 (t) segundo paso construir una matriz fundamental para el sistema homogéneo; usando la definición de matriz fundamental, es inmediato que e 5t e t e t Φ(t) = x (t) x (t) x 3 (t) = e 5t e t e 5t e t
tercer paso calcular la inversa de la matriz fundamental; en este caso, Φ (t) = det Φ(t) adj Φ(t) = det Φ(t) (cof Φ(t))T = e 5t e 5t e 5t e t e t e t 3 e t e t e t cuarto paso hallar el producto Φ (t) g(t); en este caso, Φ (t) g(t) = e 5t e 5t e 5t e t e t e t 3 e t e t e t te 5t = t quinto paso integrar el producto Φ (t) g(t); se tiene t t η Φ (η) g(η) dη = dη = t sexto paso construir una solución particular del sistema inhomogéneo; t e 5t e t e t x p (t) = Φ(t) = e 5t e t t = e 5t e t t e 5t último paso construir la solución general; dado c, un vector de constantes arbitrarias, se tiene e 5t e t e t x(t) = x h (t) + x p (t) = Φ(t) c + x p (t) = e 5t e t c + t e 5t. e 5t e t 3. Considere un sistema lineal x (t) = A(t)x(t), donde las entradas de A(t) son funciones continuas en R. Es posible que la matriz e t sin t Φ(t) = sin t e t sea una matriz fundamental para este sistema? 4. Suponga que r r son raíces de la ecuación z + a z + a =. Mostrar que la matriz ( e r t e Φ(t) = r ) t r e r t r e r t ( es una matriz fundamental del sistema x (t) = A x(t), donde A = a a 5. Sea Φ(t) una matriz fundamental de soluciones del sistema x (t) = A x(t) en un intervalo I. Mostrar que, si C es una n n-matriz de constantes no singular, entonces Ψ(t) = Φ(t) C es también una matriz fundamental del mismo sistema. ).
6. Sea Φ(t) una matriz fundamental del sistema x (t) = A x(t). Mostrar que la solución del PVI { x (t) = A x(t) x(t ) = x está dada por x(t) = Φ(t) Φ (t ) x. Ψ(t) = Φ(t) Φ (t ) es la única matriz fundamental del sistema x (t) = A x(t) que satisface Ψ(t ) = I; por esta razón, se la denomina matriz fundamental principal en t. 7. Considere la matriz Φ(t) = e 3t + t + t e 3t (a) Para qué intervalos de R, Φ(t) puede ser matriz fundamental de un sistema de EDOs lineales homogéneo? (b) Si t = pertenece a uno de esos intervalos, hallar la matriz fundamental principal en t. (c) Construir el sistema de EDOs. 8. Hallar una matriz fundamental correspondiente a los sistemas de EDOs de los Ejemplos 3, 4 y 5. Es la principal en t =? 9. Los siguientes ejercicios se refieren a un sistema de EDOs no homogéno de la forma x (t) = A x(t) + g(t). En cada caso, encontrar la solución del sistema que satisface la condición inicial x(t ). (a) A =, g(t) = e t, x() =. /t (b) A =, g(t) =, x() =. /t (c) A =, g(t) =, x() =. 3 e t cos t