Espacios vectoriales reales

140 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 9.1 Espacios vectoriales Capítulo 9 Espacios vectoriales reales Los conjuntos de vectores del plano, R 2, y del espacio, R 3, son conocidos y estamos acostumbrados a movernos en sus direcciones ancho, largo y alto, manejar sus medidas y ángulos. Pero todo eso es reflejo de su funcionamiento, mejor dicho, de la estructura que generan las pautas de su comportamiento y son estas pautas las que vamos a extraer y fijar para exportar esta estructura tan cómoda y fiable Definición 249.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre de suma de vectores y otra que recibe el nombre de producto por escalares o producto de vectores por números reales, que verifican las siguientes propiedades: 1 u + v V ; u, v V 2 u + v = v + u; u, v V 3 u + v + w = u + v + w ; u, v, w V 4 Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0, tal que: 0 + u = u + 0 = u; u V 5 Para cada u V, existe un vector de V, llamado opuesto de u y denotado u, tal que u + u = 0 6 ku V ; k R y u V 7 ku + v = ku + kv ; k R y u, v V 8 k + lu = ku + lu; k, l R y u V 9 klu = klu; k, l R y u V 10 1u = u; u V Ejemplo Los conjuntos R n, los conjuntos de polinomios reales R n [X] = P X R[X] : grp n y los conjuntos de matrices reales M m n = matrices de tamaño m n, con las operaciones usuales en cada uno de ellos, son espacios vectoriales reales. Por ser los escalares de R se dicen espacios vectoriales reales Propiedades 250.- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son: i 0u = 0 ii k0 = 0 iii 1u = u iv ku = 0 k = 0 ó u = 0 v El vector cero de un espacio vectorial es único. vi El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es único. 9.2 Subespacios vectoriales Definición 251.- Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V, si W es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V. Como W V, todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas se mantienen en W, es decir Proposición 252.- W V es un subespacio vectorial de V si se cumplen las propiedades 1 u + v W ; u, v W 6 ku W ; u W y k R Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad única: ku + lv W ; u, v W y k, l R

141 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 9.3 Base y dimensión Nota: Es claro, que si W es un subespacio de V, entonces 0 W. Ejemplo R 2 [X] es un subespacio de R 4 [X], pues es un subconjunto suyo y si P X, QX R 2 [X], el grado de kp X + lqx es grkp + lq = maxgrkp, grlq maxgrp, grq 2, por lo que está en R 2 [X]. Sin embargo, P X : grp = 2 no es un subespacio de R 4 [X], por dos razones: primero, porque no contiene al polinomio cero; y segundo, no verifica la propiedad 1 ya que X 2 y 2X X 2 son polinomios del conjunto pero su suma X 2 + 2X X 2 = 2X es un polinomio de grado 1 que no está en el conjunto. Definición 253.- Se dice que un vector v V es una combinación lineal de los vectores v 1, v 2,..., v n si, y sólo si, c 1, c 2,..., c n R tales que v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n. Definición 254.- Dado un conjunto de vectores S = v 1, v 2,..., v k de un espacio vectorial V, llamaremos subespacio lineal generado por S y que denotaremos por lin S ó linv 1, v 2,..., v k, al conjunto de todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores de S : lin S = linv 1, v 2,..., v k = c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k : c i R y se dirá que S genera lin S o que los vectores v 1, v 2,..., v k generan lin S. Naturalmente lin S es un subespacio vectorial de V, de hecho el más pequeño que contiene a S Ejer. 9.242 Definición 255.- Dado un conjunto S = v 1, v 2,..., v k de vectores del espacio vectorial V, la ecuación vectorial c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k = 0 tiene al menos una solución, a saber: c 1 = c 2 = = c k = 0. Si esta solución es única, entonces se dice que S es un conjunto linealmente independiente o que los vectores de S son linealmente independientes. Si existen otras soluciones, entonces se dice que S es linealmente dependiente o que los vectores son linealmente dependientes. Ejemplo El vector 2X X 2 de R 2 [X] está generado por los vectores X 1 y X 2 2: λ 2µ = 0 2X X 2 = λx 1 + µx 2 2 = λx λ + µx 2 2µ = λ 2µ + λx + µx 2 = λ = 2 µ = 1 luego 2X X 2 = 2X 1 + 1X 2 2. Ejemplo Los polinomios X + 2 y X 2 de R 2 [X] son linealmente independientes: si λx + 2 + µx 2 = 0 al polinomio cero, se tiene que 0 = λx + 2 + µx 2 = 2λ + λx + µx 2 = 2λ = 0, λ = 0 y µ = 0, ya que los coeficientes de ambos polinomios deben coincidir. Nota: Si los vectores v 1, v 2,..., v k son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los otros; y si son linealmente independientes ninguno de ellos puede ser generado por los restantes. Tenemos así la siguiente caracterización para la dependencia lineal Ejer.o 9.243: Un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente si, y sólo si, al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los restantes. 9.3 Base y dimensión Lema 256.- Si v n+1 = c 1 v 1 + + c n v n, entonces linv 1,..., v n, v n+1 = linv 1,..., v n. Es fácil asumir que este resultado es cierto, ya que cualquier combinacion lineal de los n + 1 vectores puede reconvertirse a una combinación lineal de los n primeros, por simple sustitución. En otras palabras, puede reducirse el número de generadores mientras haya dependencia lineal, lo que nos lleva a: Definición 257.- Sean V un espacio vectorial y S un conjunto finito de vectores de V. Diremos que S es una base de V si: a S es linealmente independiente y b S genera a V Observación: El lema y comentario anteriores a esta definición nos indican la manera de reducir un conjunto generador del espacio a una base. Igualmente, podemos construir una base a partir de un conjunto linealmente independiente de vectores: si S es linealmente independiente y lin S V, tomando v V pero que v / lin S, el conjunto S v es linealmente independiente ver el Lema 258 siguiente; y así, se añaden vectores a S hasta generar V.

142 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 9.3 Base y dimensión Lema 258.- Si S es un conjunto linealmente independiente de vectores de V y v V lin S, entonces S v es linealmente independiente. De cierta forma, estamos diciendo que una base tiene el menor número posible de generadores y el mayor número posible de vectores linealmente independientes ver Lema 259 siguiente; luego no tendrá una base un número fijo de vectores? La respuesta la proporciona el Lema siguiente y se recoge en el Teorema de la base. Lema 259.- Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores. Entonces cualquier conjunto v 1, v 2,..., v m de vectores de V, con m > n, es linealmente dependiente. Teorema de la base 260.- Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos La demostración es muy sencilla si tenemos en cuenta el Lema anterior, pues si B 1 es una base de n elementos y B 2 es una base de m elementos, por ser B 1 base y B 2 linealmente independiente, m n y por ser B 2 base y B 1 linealmente independiente n m, luego n = m. Definición 261.- En un espacio vectorial V se llama dimensión de V, dim V, al número de vectores que hay de cualquier base de V. El espacio vectorial V = 0 diremos que tiene dimensión cero Ejemplo R 2 [X] = P X R[X] : grp 2 tiene dimensión 3, pues B = 1, X, X 2 forman una base. En general, dimr n [X] = n + 1 y B = 1, X,..., X n es una base suya. con las operaciones habi- Ejemplo 262 Los conjuntos R n = R R R = tuales de suma y producto por escalares x 1,..., x n : x i R, i x + y = x 1,..., x n + y 1,..., y n = x 1 + y 1,..., x n + y n λx = λx 1,..., x n = λx 1,..., λx n son espacios vectoriales con dim R n = n, ya que cualquier vector x R n puede escribirse de la forma x = x 1, x 2,..., x n = x 1 1, 0,..., 0 + x 2 0, 1,..., 0 + + x n 0, 0,..., 1 y este conjunto de vectores B = e 1 = 1, 0,..., 0, e 2 = 0, 1,..., 0,..., e n = 0, 0,..., 1 es linealmente independiente. A esta base se la denomina base canónica de R n. Conocer a priori la dimensión de un espacio facilita la obtención de bases: Proposición 263.- Si V es un espacio vectorial, con dim V = n. Entonces, un conjunto de n vectores de V es base de V, a si el conjunto es linealmente independiente, o b si genera a V. 9.3.1 Coordenadas en una base Definición 264.- Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y B = v 1, v 2,..., v n una base de V. Para cada vector v V, se llaman coordenadas de v en la base B a los n únicos números reales c 1, c 2,..., c n tales que v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c n v n. Fijando un orden para los vectores de la base, el vector de R n, de las coordenadas de v en B se denota por v B = c 1, c 2,..., c n y más usualmente por [v] B cuando lo escribimos como vector columna en las operaciones con matrices: [v] B = c 1, c 2,..., c n t. Ejemplo o también Si B = v 1, v 2, v 3 es una base de V y v = v 1 v 2 + 2v 3, se tiene que v B = 1, 1, 2 v 1 B = 1, 0, 0 v 2 B = 0, 1, 0 v 3 B = 0, 0, 1 [v] B = 1 1 2 [v 1 ] B = 1 0 0 [v 2 ] B = 0 1 0 [v 3 ] B = 0 0 1

143 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 9.3 Base y dimensión Nota: Al usar vectores de coordenadas, es imprescindible mantener el orden de los vectores. Si, en el ejemplo anterior, tomamos como base B 1 = v 2, v 3, v 1, tenemos que v B1 = 1, 2, 1 que es un vector de coordenadas distinto de v B = 1, 1, 2. Fijada una base, la unicidad de las coordenadas asigna a cada vector de V un único vector de R n, de manera que disponer de las coordenadas es, en el fondo, disponer del vector. Además, se cumple ver ejercicio 9.251: [v+w] B = [v] B + [w] B y [λv] B = λ[v] B, luego [λ 1 v 1 + +λ n v n ] B = λ 1 [v 1 ] B + + λ n [v n ] B y con esto, no es dificil probar que ejer. 9.251: v linv 1,..., v k V [v] B lin[v 1 ] B,..., [v k ] B R n v 1,..., v k lin. independiente en V [v 1 ] B,..., [v k ] B lin. independiente en R n v 1,..., v n base de V [v 1 ] B,..., [v n ] B base de R n por lo que se puede trabajar sobre las coordenadas en lugar de sobre los vectores. 9.3.2 Espacios de las filas y las columnas de una matriz De lo anterior, tenemos que independientemente del espacio vectorial en que nos encontremos, fijada una base, podemos trasladar todo el trabajo operativo sobre los vectores de R n ; por lo que resulta muy interesante conocer esta sección. Definición 265.- Consideremos la matriz A m n = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn Los m vectores de R n : r 1 = a 11,..., a 1n, r 2 = a 21,..., a 2n,..., r m = a m1,..., a mn, se denominan vectores fila de A y al subespacio lineal generado por ellos, E f A = linr 1, r 2,..., r m, espacio de las filas de A. Por supuesto E f A R n. Los n vectores de R m : c 1 = a 11,..., a m1, c 2 = a 12,..., a m2,..., c n = a 1n,..., a mn, se denominan vectores columna de A y el subespacio lineal generado por ellos, E c A = linc 1, c 2,..., c n, espacio de las columnas de A. Por supuesto E c A R m.. Proposición 266.- Si A es una matriz de tamaño m n, entonces las operaciones elementales sobre las filas resp. columnas de A no cambian el espacio de las filas resp. columnas de A. Claro, puesto que hacer operaciones elementales es hacer combinaciones lineales de los vectores, y el subespacio lineal generado es el mismo Ejer. 9.246 Corolario 267.- Sea A una matriz, entonces: a Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A, forman una base de E f A. b Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A t, forman una base de E c A. Basta probar que los vectores no nulos de una forma escalonada son linealmente independientes, pero eso se comprueba fácilmente ya que debajo de cada elemento principal sólo hay ceros. Teorema 268.- Sea A una matriz de tamaño m n, entonces: dime f A = dime c A. El resultado es inmediato, teniendo en cuenta que rga = rga t, y que el rango coincide con el número de vectores no nulos en la forma escalonada, así como el resultado anterior.

144 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 9.4 Cambios de base Estos resultados nos permiten usar el método de Gauss, y por lo tanto nos ofrecen un operativo sencillo, para comprobar cuando un conjunto de vectores es linealmente independiente y para obtener bases. Ejemplo Los vectores X 1, X + 1 y X 2 1 de R 2 [X] son linealmente independientes? Tomemos la base B = 1, X, X 2 de R 2 [X], entonces formamos por filas la matriz: X 1 B 1 1 0 F 2 +F 1 1 1 0 1 1 0 F A = X + 1 B = 1 1 0 3 F 1 0 2 0 F3+ 1 2 F2 0 2 0 X 2 1 B 1 0 1 0 1 1 0 0 1 Por lo anterior, los vectores fila de la última matriz son linealmente independientes y dim E f A = 3. En consecuencia, los tres vectores fila de la matriz A inicial que generan E f A son también base, luego linealmente independientes y los polinomios del enunciado también son linealmente independientes. Además, forman una base de R 2 [X] por qué?. 9.4 Cambios de base Puesto que las coordenadas están referidas a una base, al cambiar la base de trabajo, habrá que cambiar a las coordenadas en la nueva base. Pero este proceso puede realizarse fácilmente, teniendo en cuenta lo siguiente: Definición 269.- Sean B 1 = u 1, u 2,..., u n y B 2 = v 1, v 2,..., v n son bases de un espacio vectorial V. Recibe el nombre de matriz de transición o matriz de cambio de la base B 1 a la base B 2, la matriz de dimensiones n n, que por columnas es P = [u 1 ] B2 [u 2 ] B2 [u n ] B2, es decir, la columna i-ésima está constituida por las coordenadas en la base B 2, del vector u i de la base B 1. En otras palabras, la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas en la base de llegada de los vectores de la base de partida. El porqué la matriz de paso se contruye así, puede observarse en la prueba de la proposición siguiente: Proposición 270.- Sea P la matriz de paso de una base B 1 en otra base B 2 de un espacio V. Entonces: 1.- x V se tiene que [x] B2 = P [x] B1. 2.- P es inversible y su inversa, P 1, es la matriz de paso de la base B 2 a la base B 1. Sea B 1 = u 1, u 2,..., u n y sea x = c 1 u 1 + c 2 u 2 + + c n u n. Entonces, Apartado 1: P [x] B1 = [u 1 ] B2 [u 2 ] B2 [u n ] c 2 B2. c 1 c n = c 1 [u 1 ] B2 + c 2 [u 2 ] B2 + + c n [u n ] B2 = [c 1 u 1 + c 2 u 2 + + c n u n ] B2 = [x] B2 Apartado 2: como los vectores de la base B 1 son linealmente independientes, sus vectores de coordenadas en la base B 2 también lo son. Luego las columnas de P son vectores linealmente independientes y rgp = n, por lo que P es inversible. Además, [x] B2 = P [x] B1 = P 1 [x] B2 = P 1 P [x] B1 = P 1 [x] B2 = [x] B1 y P 1 es la matriz de cambio de la base B 2 en la base B 1. Ejemplo Consideremos las bases B = 1, X, X 2 y B 1 = X 1, X + 1, X 2 1 de R 2 [X]. La matriz de paso de la base B 1 a la base B será: 1 1 1 1 1 1 P = [X 1] B [X + 1] B [X 2 1] B = 1 1 0 y P 1 2 2 2 = 1 1 1 2 2 2 0 0 1 0 0 1

145 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 9.5 Ejercicios la matriz de paso de B a B 1. Ejemplo Consideremos en R 3 la base canónica B c = e 1 = 1, 0, 0, e 2 = 0, 1, 0, e 3 = 0, 0, 1 y la base B 1 = v 1 =1, 0, 1, v 2 =2, 1, 1, v 3 =0, 1, 1. Como v 1 = 11, 0, 0 + 00, 1, 0 10, 0, 1 = e 1 e 3, se tiene que v 1 Bc = 1, 0, 1; y lo mismo para los otros vectores, luego la matriz de paso de la base B 1 a la base B c será: P = [v 1 ] Bc [v 2 ] Bc [v 3 ] Bc = 1 2 0 0 1 1 y P 1 = 1 1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 1 la matriz de paso de la base B c a la base B 1. Nota: A la vista del ejemplo anterior, obtener las coordenadas de un vector de R n en la base canónica de R n es inmediato, pues x Bc = x. Pero ciudado!, al trabajar con vectores de R n no hay que confundir el vector con las coordenadas en una base, pues la igualdad anterior únicamente es cierta en la base canónica. 9.5 Ejercicios 9.237 Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos: a R 2 con las operaciones: x, y + x, y = x + x, y + y y kx, y = 2kx, 2ky. b A = x, 0 : x R con las operaciones usuales de R 2. c R 2 con las operaciones: x, y + x, y = x + x + 1, y + y + 1 y kx, y = kx, ky. d El conjunto de los números reales estríctamente positivos, R + 0, con las operaciones: x+x = xx y kx = x k. 9.238 Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R 3 ó R 4? a a, 1, 1 R 3 : a R R 3 b a, b, c R 3 : b = a + c R 3 c a, b, c, d R 4 : a + 2d = 7 R 4 d a, b, c, d R 4 : ba = 0 R 4 9.239 Sean v 1 = 2, 1, 0, 3, v 2 = 3, 1, 5, 2 y v 3 = 1, 0, 2, 1 vectores de R 4. Cuáles de los vectores 2, 3, 7, 3, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 y 4, 6, 13, 4, están en linv 1, v 2, v 3? 9.240 Para qué valores reales de λ los vectores v 1 = λ, 1 2, 1 un conjunto linealmente dependiente en R 3? 2 v 2 = 1 2, λ, 1 2 y v 3 = 1 2, 1 2, λ forman 9.241 Dados tres vectores linealmente independientes u, v y w, demostrar que u + v, v + w y w + u son también linealmente independientes. 9.242 Sea V un espacio vectorial y S = v 1,..., v k un conjunto de vectores de V. Probar que: a lin S es un subespacio vectorial de V. b Si W es un subespacio de V que contiene a los vectores de S, entonces lin S W. 9.243 Probar que si los vectores v 1,..., v k son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los restantes. 9.244 Determinar la dimensión de los siguientes subespacios de R 4 : a Todos los vectores de la forma a, b, c, 0. b Todos los vectores de la forma a, b, c, d con d = a + b y c = a b. c Todos los vectores de la forma a, b, c, d con a = b = c = d. 9.245 Probar que los vectores solución de un sistema no homogéneo compatible, AX = B, de m ecuaciones con n incógnitas no forman un subespacio de R n. Qué ocurre si el sistema es homogéneo, es decir, si B = 0?

146 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 9.5 Ejercicios 9.246 Sea W = lin v 1, v 2, v 3. Probar que, para λ 0, se cumple: a lin v 1 + λv 3, v 2, v 3 = W b lin λv 1, v 2, v 3 = W c lin v 2, v 1, v 3 = W 9.247 Sean E y F subespacios de un espacio V. Probar que: E F = v V : v E y v F es un subespacio de V. 9.248 Considerar en R 4 los conjuntos de vectores: A = 1, 2, 1, 3, 0, 1, 0, 3 B = 1, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 0, 0, 0, 1 a Hallar las dimensiones de lina y de linb, y encontrar una base b Hallar las ecuaciones paramétricas de lina y de linb. c Hallar las ecuaciones cartesianas de lina y de linb. d Hallar la dimensión de lina linb. 9.249 Consideremos en el espacio vectorial R 3 la base B = u 1, u 2, u 3. Sea E el subespacio engendrado por los vectores v 1 = u 1 + 3u 3, v 2 = 2u 1 3u 2 + u 3, v 3 = 4u 1 3u 2 + 7u 3. Sea F el subespacio engendrado por los vectores w 1 = u 1 + u 2 + u 3, w 2 = 2u 1 + 3u 2 + 4u 3, w 3 = 3u 1 + 4u 2 + 5u 3. Hallar una base de E, una base de F, el subespacio E F y una base de E F. 9.250 Sea M 2 2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre R y sea E el subconjunto de a b + c M 2 2 formado por las matrices de la forma con a, b, c R. b + c a a Demostrar que E es un subespacio vectorial. 1 0 0 1 0 1 b Probar que las matrices A 1 =, A 0 1 2 = y A 1 0 3 =, forman una base de E. 1 0 9.251 Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión n. Demostrar que el conjunto v 1, v 2,..., v n es una base de V si, y sólo si el conjunto [v 1 ] B, [v 2 ] B,..., [v n ] B es una base de R n. 9.252 En una cierta base u 1, u 2, u 3, u 4 de un espacio vectorial V, un vector w tiene por coordenadas 3, 1, 2, 6. Hallar las coordenadas de w en otra base v 1, v 2, v 3, v 4 cuyos vectores verifican que v 1 = u 1 +u 2, v 2 =2u 4 u 1, v 3 =u 2 u 3 y v 4 =2u 1 u 2. 9.253 En R 3 se consideran las bases B = v 1 = 2, 0, 0, v 2 = 0, 1, 2, v 3 = 0, 0, 3 y la base canónica B c = e 1, e 2, e 3. Hallar las coordenadas respecto de la base B del vector x = 4e 1 + e 2 5e 3. 9.254 Se consideran en R 3 las bases B = u 1, u 2, u 3 y B = v 1, v 2, v 3, siendo u 1 = 3, 0, 3, u 2 = 3, 2, 1, u 3 = 1, 6, 1 y v 1 = 6, 6, 0, v 2 = 2, 6, 4, v 3 = 2, 3, 7. a Hallar la matriz de paso de B a B. b Calcular la matriz de coordenadas, [w] B, siendo w = 5, 8, 5. c Calcular [w] B de dos formas diferentes