Ejercicios de cálculo Vol. IV

Ejercicios de cálculo Vol. IV

Ejercicios de cálculo. Vol. IV Enrique Izquierdo Guallar ISBN: 978-84-9948-357-3 Depósito legal: A-790-2011 Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33 C/ Decano, 4 03690 San Vicente (Alicante) www.ecu.fm ecu@ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma. Telf.: 96 567 19 87 C/ Cottolengo, 25 03690 San Vicente (Alicante) www.gamma.fm gamma@gamma.fm Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Prólogo Analizados todos estos temas, en forma de preguntas de test, en el Volumen II: Cálculo, expongo de nuevo estos conceptos (ampliados en varios temas, integrales múltiples, curvilíneas, ecuaciones diferenciales, etc.), en este Volumen IV, constituido por una amplia colección de ejercicios. He intentado, en este nuevo volumen, volver a repasar los conceptos más importantes de estos temas, con una Colección de Ejercicios Resueltos y Propuestos con soluciones, indicando los métodos más eficaces para resolver las preguntas planteadas. Son conceptos fundamentales, parecidos a los propuestos en exámenes en distintas carreras técnicas y de ingenierías y he querido resolver, con los procedimientos más adecuados en cada caso (a veces más de un método), los problemas que normalmente se plantean. El volumen consta de una extensa colección de ejercicios con las preguntas más frecuentes, ampliado con una serie de ejercicios propuestos con soluciones, para que el alumnado trabaje por su cuenta, y pueda ver si ha asimilado los conceptos necesarios en los distintos temas expuestos. Espero que esta colección de ejercicios facilite al alumnado la completa asimilación y comprensión de estos conceptos y le permita resolver cualquier ejercicio correspondiente a los temas aquí analizados. He evitado, en algunas ocasiones, los procedimientos formales, explicando de una forma más sencilla y comprensible, según mi opinión, el concepto correspondiente. El autor

ÍNDICE Tema 1.- CÁLCULO DIFERENCIAL...7 Tema 1.1.- Derivadas parciales...9 Tema 1.2.- Gradiente. Derivada direccional...24 Tema 1.3.- Límites. Continuidad. Diferenciabilidad...37 Tema 1.4.- Máximos y Mínimos. Hessiano...47 Tema 1.5.- Máximos y Mínimos condicionados...65 Tema 1.6.- Desarrollos en serie. Plano tangente y recta normal...81 Tema 2.- CÁLCULO INTEGRAL...93 Tema 2.1.- Integración aproximada...95 Tema 2.2.- Integral simple...105 Tema 2.3.- Cambio de límites de integración...128 Tema 2.4.- Áreas y volúmenes. Integrales de orden superior...139 Tema 2.5.- Integral curvilínea...164 Tema 2.6.- Integral impropia...177 Tema 3.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN...185 Tema 3.1.- Ecuaciones diferenciales de variables separadas...187 Tema 3.2.- Ecuaciones diferenciales homogéneas...199 Tema 3.3.- Ecuaciones diferenciales exactas...216 Tema 3.4.- Ecuaciones diferenciales lineales...236 Tema 3.5.- Ecuación diferencial de Bernoulli...255

Tema 1.- CÁLCULO DIFERENCIAL 1.1.- Derivadas parciales 1.2.- Derivadas direccionales. Gradiente 1.3.- Límites. Continuidad. Diferenciabilidad 1.4.- Máximos y mínimos absolutos. Hessiano 1.5.- Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange 1.6.- Desarrollos en serie. Fórmulas de Taylor y Mc-Laurin. Plano tangente ------------------------------------- 7

Tema 1.1.- Derivadas parciales Dada una función f(x,y), se denominan: - Derivada parcial de primer orden respecto a x, en un punto (a,b), al límite: (a,b) = [ f/ x] (a,b) = lím [f(a+h,b) f(a,b)]/h h 0 - Derivada parcial de primer orden respecto a y, en un punto (a,b), al límite: (a,b) = [ f/ y] (a,b) = lím [f(a,b+k) f(a,b)]/k k 0 - Derivada parcial de segundo orden respecto a x, en un punto (a,b), al límite: 2 (a,b) = [ 2 f/ x 2 ] (a,b) = lím [ (a+h,b) (a,b)/h h 0 - Derivada parcial de segundo orden respecto a y, en un punto (a,b), al límite: 2 (a,b) = [ 2 f/ y 2 ] (a,b) = lím [ (a,b+k) (a,b)]/k k 0 - Derivada parcial de segundo orden respecto a x, y a y, en un punto (a,b), a: y (a,b) =[ 2 f/ x y ] (a,b) = lím [ (a,b+k) f(a,b)]/k k 0 - Derivada parcial de segundo orden respecto a y, y a x, en un punto (a,b), a : x (a,b) = [ 2 f/ y x](a,b) = lím [ (a+h,b) (a,b)]/h h 0 Teorema de Schwarz.- Si una función f(x,y) es continua, en un punto (a,b), las derivadas cruzadas de segundo orden, en dicho punto, son iguales y (a,b) = x (a,b) 9

Cálculo diferencial de varias variables 2xy/(x+y) (x,y) (0,0) 1.- Dada la función f(x,y) =, hallar y En el punto (0,0): (0,0) = lím {[f(0+h,0) f(0,0)]/h} = lím [(2 h 0)/(h+0)] 0}/h = lím 0/h 2 = 0 h 0 h 0 h 0 (0,0) = lím {[f(0,0+k) f(0,0)]/k} = lím{[(2 0 k)/(0+k)] 0}/k = lím 0/k 2 = 0 k 0 k 0 k 0 En cualquier otro punto (a,b) (0,0): (a,b) = {[2y(x+y) 1 2xy]/(x+y) 2 } = 2y 2 /(x+y) 2 (a,b) = {[2x (x+y) 2xy]/(x+y) 2 } = 2x 2 /(x+y) 2 = = 2y 2 /(x+y) 2 (x,y) (0,0) 2x 2 /(x+y) 2 (x,y) (0,0) 2.- Dada la función f(x,y) = x 3 2xy+y 2, hallar (1,1) y (0,3) (1,1) = (3x 2 2y) (1,1) = 3 2 = 1 (0,3) = ( 2x+2y) (0,3) = 0+6 = 6 ------------------------------------------ 10

Ejercicios de cálculo. Vol. IV 3.- Dada la función f(x,y) = x 2 y+5y, comprobar que verifica el teorema de Schwarz y = [ / y(fx)] = ( / y)(2xy) = 2x x = [ / x](fy) = ( / x)(x 2 +5) = 2x y = x 4.- Dada la función f(x,y) = e x +y 2 x, comprobar el teorema de Schwarz = e x +y 2 y = 2y = 2yx x = 2y y = x 5.- Dada la función f(x,y) = x 3 y 2 2xy+y 3, hallar 2, 2, y, x = 3x 2 y 2 2y 2 = 6x, y = 6x 2 y 2 = 2x 3 y 2x+y 3 2 = 2x 3 +6y, x = 6x 2 y 2 6.- Dada la función f(x,y) = e xy +L(x 2 y) sen x, hallar, y 2, en el punto P(1,2) = ye xy +(1/x 2 y) 2xy cos x = ye xy +2/x sen x (1,2) = 2e 2 +2 cos 1 = xe xy +(1/x 2 y) x 2 = xe xy +1/y (1,2) = e 2 +1/2 2 =y 2 e xy (2y/x 2 )+sen x 2 (1,2) = 4e 2 2+sen 1 11

Cálculo diferencial de varias variables 7.- Dada la función f(x,y) = x 3 y/(x 2 +y) 5 xy2 +3, hallar (0,3), (0,3) ={[3x 2 y(x 2 +y) 2x x 3 y]/(x 2 +y) 2 } y 2 5 xy2 L5 (0,3) = 0/9 9 5 0 L5 = 9L5 = {[x 3 (x 2 +y) x 3 y]/(x 2 +y) 2 } 2xy5 xy 2L5 (0,3) = 0 0 = 0-8.- Dada la función f(x,y)= 5x 2 +3y 3 2xy, hallar 2, 2 y y, en Q(1,1) = 10x 2y 2 = 10, y = 2 2 (1,1) = 10, y (1,1) = 2 = 9y 2 2x 2 = 18y 2 (1,1) = 18 1 = 18 9.- Dada la función f(x,y) = ye x /(x+y), hallar 2, 2, y,x = [ye x (x+y) ye x ]/(x+y) 2 = [(xy+y 2 y)e x /(x+y) 2 2 = [(y+xy+y 2 y)e x (x+y) 2 2(x+y)(xy+y 2 y)e x ]/(x+y) 4 = (x 2 y+2y 2 x+y 3 2xy 2y 2 +2y)e x /(x+y) 3 y = [(x+2y 1)(x+y) 2 e x 2(x+y)(xy+y 2 y)e x ]/(x+y) 4 = (x 2 +xy x+y)e x /(x+y) 3 = [e x (x+y) ye x ]/(x+y) 2 2 = 2(x+y)xe x /(x+y) 4 = 2xe x (x+y) 3 x = [(1+x)e x (x+y) 2 2(x+y)xe x ]/(x+y) 4 = ( x+y+x 2 +xy)e x /(x+y) 3 10.- Dada la función x/(x+y) (x,y) (0,0) 12

Ejercicios de cálculo. Vol. IV Hallar la derivada cruzada de segundo orden, y (0,0) = lím [f(0+h,0) f(0,0)]/h = lím{[0/(0+h)] 0}/h = lím 0/h = 0 h 0 h 0 h 0 En (x,y) (0,0) (x,y) = [1 (x+y) 1 x]/(x+y) 2 = y/(x+y) 2 y (0,0) = lím [ (0,0+k) (0,0)]/k = lím [(0/k) 0]/k = lím 0/k = 0 k 0 k 0 k 0 En (x,y) (0,0) y (x,y) = [1 (x+y) 2 2(x+y) y]/(x+y) 4 = (x y)/(x+y) 3 y = (x y)/(x+y) 3 (x,y) (0,0) 11.- Dada la función xy/(x-y) (x,y) (0,0) Comprobar el teorema de Schwarz (0,0) = lím [(0+h) h/(0+h) 0]/h = lím 0/h = 0 h 0 h 0 En (x,y) (0,0) (x,y) = [y(x y) xy]/(x y) 2 = y 2 (x y) 2 y (0,0) = lím [ (0,0+k) (0,0)]/k =lím [( k 2 /k 2 ) 0]/k = lím k 2 /k 3 = lím 1/k = No existe k 0 k 0 k 0 k 0 13

Cálculo diferencial de varias variables En (x,y) (0,0) y (x,y) = [ 2y(x y) 2 2(x y)y 2 ]/(x y) 4 = 2yx/(x y) 3 (0,0) = lím [f(0,0+k) f(0,0)]/k = lím [0 k/(0 k) 0]/k = lím 0/k = No existe k 0 k 0 k 0 En (x,y) (0,0) = [x(x y)+xy]/(x y) 2 = x 2 /(x y) 2 x (0,0) = lím [ (0+h,0) (0,0)]/h = lím (h 2 /h 2 ) 0]/h = lím 1/h = No existe h 0 h 0 h 0 En (x,y) (0,0) x = [2x(x y) 2 2(x -y)x 2 ]/(x y) 4 = 2xy/(x y) 3 La función verifica el teorema de Schwarz, en todo punto, excepto en (0,0) 12.-Dada la función x/(x 2 y+y) (x,y) (0,0), hallar y (0,0) = lím [f(0+h,0) f(0,0)]/h = lím [(0/h) 0]/h = No existe h 0 h 0 (0,0) = lím [f(0,0+k) f(0,0)]/k = lím [(0/0+k) 0]/k = 0 k 0 k 0 En (x,y) (0,0) (x,y) = (x 2 y+y 2xy x)/(x 2 y+y) 2 = (y x 2 y)/(x 2 y+y) 2 (x,y) = ( 2xy+1)x/(x 2 y+y) 2 (y x 2 y)/(x 2 y+y) 2 (x,y) (0,0) (x 2x 2 y)/(x 2 y+y) 2 (x,y) (0,0) = = No existe (x,y) = (0,0) 14

Ejercicios de cálculo. Vol. IV 13.- Dadas las funciones a) f(x,y) = x 2 xy+xy 3, b) g(x,y) = e xy2, hallar las derivadas parciales de segundo orden de ambas funciones a) f(x,y) = x 2 xy+xy 3 = 2x y+y 3 2 =2 y = 1+3y 2 = x+3y 2 2 = 6xy x = 1+3y 2 b) g(x,y) = e xy2 g x = y 2 e xy2 g y2 = y 4 e xy2 g xy = 2ye xy2 +2xy 3 e xy2 g y = 2xye xy2 g y2 = 4x 2 y 2 e xy2 g yx = 2ye xy2 +2xy 3 e xy2 14.-Dada la función f(x,y) = x 2 +xy, hallar y, por medio de los límites que las definen = lím [f(x+h, y) f(x,y)]/h = lím{[(x+h) 2 +(x+h)y] (x 2 +xy)}/h = lím (x 2 +2xh+xy+hy x 2 xy)/h= h 0 h 0 h 0 = lím (2xh+hy)/h = 2x+y h 0 = lím [f(x,y+k) f(x,y)]/k = lím {[x 2 +x(y+k)] (x 2 +xy)}/k = lím (x 2 +xy+kx x 2 xy)/k= k 0 k 0 k 0 = lím (kx)/k = x k 0 15.- Hallar las derivadas parciales, de primer y segundo orden, de la función f(x,y) = x 2 +y, por medio de los límites que las definen = lím [f(x+h,y) f(x,y)]/h = lím {[(x+y) 2 +y] (x 2 +y)}/h = lím (2xh+h 2 )/h = lím (2x+h) = 2x h 0 h 0 h 0 h 0 = lím [f(x,y+k) f(x,y)]/k = lím {[x 2 +(y+k)] (x 2 +y)}/k = lím k/k = 1 k 0 k 0 k 0 15

Cálculo diferencial de varias variables y = lím [ (x,y+k) (x,y)]/k = lím (2x 2x)/k = lím 0/k = 0 k 0 k 0 k 0 x = lím [ (x+h,y) (x,y)]/h = lím (1 1)/h = lím 0/h = 0 h 0 h 0 h 0 2 = lím [ (x+h,y) (x,y)]/h = lím [2(x+h) 2x]/h = lím 2h/h = 2 h 0 h 0 h 0 2 = lím [ (x,y+k) (x,y)]/k = lím (1 1)/k = lím 0/k = 0 k 0 k 0 k 0-16.-Hallar las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función f(x,y) = sen xy+e xy (x,y) = y cos xy+ ye xy 2 (x,y) = y 2 sen xy + y 2 e xy y (x,y) = cos xy yx sen xy+e xy +yxe xy (x,y) = x cos xy+xe xy 2 (x,y) = x 2 sen xy+x 2 e xy x (x,y) = cos xy xy sen xy+e xy +xye xy 17.-Hallar la derivada cruzada de segundo orden, y, de la función: f(x,y) = (x 2 +y)/(x+y) (x,y) (0,0) (0,0) = lím [f(0+h,0) f(0,0)]/h = lím [(h 2 /h 2 ) 0]/h = lím h 2 /h 2 = 1 h 0 h 0 h 0 En puntos (x,y) (0,0): (x,y) = [2x(x+y) (x 2 +y)]/(x+y) 2 = (x 2 +2xy y)/(x+y) 2 y (0,0) = lím [ (0,0+k) (0,0)]/k = lím [( k/k 2 ) 1]/k = lím ( k 1)/k = No existe k 0 k 0 k 0 En puntos (x,y) (0,0): y = [(2x 1)(x+y) 2 2(x+y)(x 2 +2xy y)](x+y) 4 = x/(x+y) 3 16

Ejercicios de cálculo. Vol. IV y = x/(x+y) 3 (x,y) (0,0 18.-Dada la función f(x,y)= xy/(x y) (x,y) (0,0), hallar 2 Solucion: (0,0) = lím [f(0+h,0) f(0,0)]/h = lím [(h 0/h 0) 0]/h = lím 0/h = 0 h 0 h 0 h 0 En (x,y) (0,0): (x,y) = [y(x y) xy]/(x y) 2 = y 2 /(x y) 2 2 (0,0)= lím [ (0+h,0) (0,0)]/h = lím {[ 0/(h 0) 2 ] 0}/h= lím 0/h 3 = 0 h 0 h 0 h 0 En (x,y) (0,0): 2 = [2(x y) y 2 ]/(x y) 4 = 2y 2 /(x y) 3 2 = 2y 2 /(x y) 3 (x,y) (0,0) 19.- Dada f(x,y) = x 3 4x 2 y+y 3, hallar 2 (1,3) y y (1,3) = 3x 2 8xy 2 = 6x 8y y = 8x 2 (1,3) = 6 1-8 3 = 6 24 = 18 y (1,3) = 8 1 = 8 17

Cálculo diferencial de varias variables 20.-Hallar el valor de a para que la función f(x,y) = ax 2 y+3y 2 x verifique el teorema de Schwarz = 2axy y = 2ax = 6xy x = 6x Para que se verifique el teorema, y = x 2ax = 6x a = 3 18

Tema1.1.- Ejercicios propuestos, con soluciones Ejercicios de cálculo. Vol. IV x 2 /(x+y) (x,y) (0,0) 21.- Dada la función f(x,y) =, hallar y 22.- Dada la función f(x,y) = x 3 x 2 y+y 2, hallar:,, y, x, 2 y 2 23.- Dada la función f(x,y) = e xy -x, hallar: 2, 2, y y x 24.-Dada la función f(x,y) = x 3 +x 2 y 2 y 3, comprobar que verifica el teorema de Schwarz x/(y 3 +x 2 ) (x,y) (0,0) 25.- Dada la función f(x,y) =, hallar y y 2/(x-3y) (x,y) (0,0) 26.- Dada la función f(x,y) =, hallar:, y y ----------- x 2 /(x 3 +y 2 ) (x,y) (0,0) 27.- Dada la función f(x,y) =, hallar:,, y 19

Cálculo diferencial de varias variables 28.- Dada la función f(x,y) = x 3 y+xy 2 +y 2, hallar:,, 2, 2, y y x 29.- Dada f(x,y) = x 4 y 3, hallar:,, 2, 2, y y x 30.- Dada f(x,y) = e x2y +L(xy 2 ), hallar:,, 2, 2, y y x 20

Tema 1.1.- Soluciones a los ejercicios propuestos Ejercicios de cálculo. Vol. IV 21.- 22.- 23.- 24.- 25.- (x 2 +2xy)/(x+y) 2 (x,y) (0,0) x 2 /(x+y) 2 (x,y) ( 0,0) = = 1 (x,y) = (0,0) = 3x 2 2xy, 2 = 6x 2y, y = 2x = x 2 +2y, 2 = 2, x = 2x ------------------------------------------ 2 (1,3) = e 3, 2 (1,3) = e 3, y (1,3) = 4e 3, x (1,3) = 4e 3 ------------------------------------------ Si se verifica dicho teorema, (y = 4xy = x ) (y 3 x 2 )/(y 3 +x 2 ) 2 (x,y) (0,0) ( 3y 5 +9x 2 y 2 )/(x 2 +y 3 ) 3 (x,y) (0,0) = y = no existe (x,y) = (0,0) no existe (x,y) = (0,0) 21

Cálculo diferencial de varias variables En el punto (0,0):, y y, no existen En cualquier otro punto (x,y) (0,0): = 2/(x 3y) 2, = 6/(x 3y) 2, y = 12/(x 3y) 3 27.- - (2xy 2 x 4 )/(x 3 +y 2 ) 2 (x,y) (0,0) 2y/(x 3 +y 2 ) 2 (x,y) (0,0) = = y = ( x 4 4xy 3 xy 2 )/(x 3 +y 2 ) 2 (x,y) (0,0) 26.- 28.- = 3x 2 y+y 2 2 = 6xy y = 3x 2 +2y = x 3 +2xy+2y 2 = 2x+2 x = 3x 2 +2y 29.- (1,1) = 4 2 (1,1) = 12 y (1,1) = 12 (1,1) = 3 2 (1,1) = 6 x (1,1) = 12 22

Ejercicios de cálculo. Vol. IV 30.- = 2xye x2y + [1/(x+y 2 )] = x 2 e x2y [2y/(x+y 2 )] y = x = 2xe x2y +2x 3 ye x2y [2y/(x+y 2 ) 2 ] 2 = 2ye x2y +4x 2 y 2 e x2y [1/(x+y 2 )] 2 = x 4 e x2y +[( 2x-6y 2 )/(x+y 2 ) 2 ] 23

Cálculo diferencial de varias variables Tema 1.2.- Gradiente. Derivada direccional Dada una función f(x,y), se denomina gradiente de f, al vector formado por las derivadas parciales: f f =, = (, ) x y Se denomina derivada direccional de una función al límite: Df v (P) = lím [f(p+tv) f(p)]/t, siendo v un vector unitario t 0 Si la función f(x,y) es diferenciable, D v f(p) = f(p) v unit x 3 /(x 2 +y 2 ) (x,y) (0,0) 31.- Dada la función f(x,y) =, hallar D v f(0,0) y Df v (1,1), siendo v el vector (1,3) Convirtamos el vector en unitario: v = 1+9 = 10 v unit = (1/ 10, 3/ 10) 1 D v f(0,0) = lím {f [(0,0)+t(1 10, 3/ 10)] f(0,0)}/t = lím {[(t3 /10 10)/(t 2 /10+9t 2 /10)] 0}/t = t 0 t 0 = lím [t 3 /(10 10t 3 ] = 1/(10 10) t 0 D v f(1,1), (1,1) = {[3x 2 (x 2 +y 2 ) 2x x 3 ]/(x 2 +y 2 ) 2 }(1,1) =1/4 (1,1) = [ 2yx 3 /(x 2 +y 2 ) 2 ] = 1/8 D v f(1,1) = (1/4, 1/8) (1/ 10, 3/ 10) = 1/8 10 24

Ejercicios de cálculo. Vol. IV 32.- Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x 2 y y 3, en P(1,2), según el vector que forma 30 o con el eje positivo de abscisas v unit = (cos 30 o, sen 30 o ) = ( 3/2, 1/2) (P) = (2xy) P = 2 1 2 = 4 (P) = (x 2 3y 2 ) P = 1 3 4 = 11 f(p) = (4, 11) D v f(p) = (4, 11)( 3/2, 1/2) = (4 3 11) /2-33.-Dada f(x,y) = e xy, hallar D v f(p), siendo P(0,3) y v(1/2, /2) v = 1 3 + 4 4 = 1 (P) = (ye xy ) P = 3 (P) = (xe xy ) P = 0 D v f(p) = (3,0)(1/2, 3/2) = 3/2+0 = 3/2 ------------------------------------------ 34.-Dada la función f(x,y) = x 2 +yx, hallar: a) El valor de D v f(x,y), siendo P(0,3) y v (1/2,/2) b) La dirección en la que la derivada direccional de f(x,y) en el punto P es máxima c) El valor de dicha derivada direccional máxima 25

Cálculo diferencial de varias variables a) v = 2 1 + 4 4 = 1 f (P) = (2x+y)(P) = 3 f (P) = (x)(p) = 1 x y D v f(p) = (3,1) ( 2/2, 2/2) = 2 2 b) La derivada direccional de f en P es máxima en la dirección del vector gradiente en el punto P: f(p) = (3,1) c) El valor de dicha derivada direccional máxima es el módulo de dicho vector gradiente en el punto: Df(P) máx = f(p) = 9+1 = 10 35.-Dada la función f(x,y) = x 2 y (x,y) (0,0), hallar D v f(p), por definición siendo P(0,0) y v, el vector(3/5, 4/5) El vector v es unitario D v f(p) = lím [f(p+tv) f(p)]/t = lím [(3t/5) 2 (4t/5)-0]/t = lím 36t 3 /125t = lím 36t 2 /125 = 0 t 0 t 0 t 0 t 0 36.- Dada la función f(x,y) = x 2 y y 3, halla la derivada direccional en el punto A(1,2), según la dirección del vector que une dicho punto A con el B(2,4) v= AB = (2 1,4 2) = (1,2) v = 1+4 = 5 v unit = (1/ 5, 2/ 5) (A) = (2xy) (1,2) = 2 1 2 = 4 26

Ejercicios de cálculo. Vol. IV (A) = (x 2 3y 2 ) (1,2) = 1 12 = 11 D v f(a) = (4, 11)(1/ 5, 2/ 5) = (4/ 5) (22/ 5) = 18/ 5 37.- Dada la función f(x,y) = x 3 y 2 2x 2 y, hallar el vector gradiente de dicha función, en el punto P(1,0) (P) = (3x 2 y 2 4xy) P = 0 (P) = (2x 3 y-2x 2 ) P = 2 f(p) = (, ) P = (0, 2) 38.- Dada la función f(x,y) = x/(y+1), hallar su vector gradiente, en P(1,0) (P) = [(y+1)/(y+1) 2 ] P = [1/(y+1)] P = 1 (P) = [-x/(y+1) 2 ] P = 1/1 = 1 f(1,0) = (1, 1) x 2 y/(x+y) (x,y) (0,0) 39.- Dada la función f(x,y) =, hallar el vector gradiente En el punto (0,0): (0,0) = lím [f(0+h,0) f(0,0)]/h = lím {[0 2 h/(0+h)] 0}/h = lím (0/h 2 ) = 0 h 0 h 0 h 0 (0,0) = lím [f(0,0+k) f(0,0)]/k = lím{[0 2 k/(0+k)] 0}/k = lím (0/k 2 )= 0 k 0 k 0 k 0 f(0,0) = (0,0) 27

Cálculo diferencial de varias variables En otro punto, (x,y) (0,0): = [2xy(x+y) x 2 y]/(x+y) 2 = (x 2 y 2xy 2 )/(x+y) 2 f(x,y) = [(x 2 y 2xy 2 )/(x+y) 2, x 3 /(x+y) 2 ] = [x 2 (x+y) x 2 y]/(x+y) 2 = x 3 /(x+y) 2 40.- Dada la función f(x,y) = xy-x 2 y 2, en qué dirección es máxima la derivada direcccional de f(x,y) en el punto P(1,1)?, cuál es su valor? La derivada direccional, en P, es máxima en la dirección del vector gradiente en el punto P (P) = (y 2xy 2 ) P = 1 2 = 1 (P) = (x 2x 2 y) P = 1 2 = 1 f(p) = ( 1, 1) El valor máximo es el módulo de dicho vector gradiente Df(P) máx = f(p) = ( 1) 2 + ( 1) 2 = 2 41.-Hallar el valor de a para que la función f(x,y) = axy 2 x 2 y 2 verifique el teorema de Schwarz = ay 2 2xy 2 = 2axy 2x 2 y y = 2ay 4xy x = 2ay 4xy y = x, para todo valor real de a 28