COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS Libro de Ejercicios de Matemáticas Financieras Manuel León Navarro
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Capítulo 1 Ejercicios lección 2 1. Determinar el capital equivalente a (1000000,2020) en 2012 utilizado como punto de valoración p = 2014 si la ley financiera es: a) L(t, p) = 1 + 0,1 (p t) b) L(t, p) = (1 + 0,08) p t 2. Sea la ley financiera: F (C, t, p) = C e α (t p) con t p a) Encuentre los valores de α que hacen que dicha ley pueda considerarse como una ley de capitalización. b) Encuentre los valores de α que hacen que dicha ley pueda considerarse como una ley de descuento. 3. Comprobar para que valores de a,b y d la función F (C, t, p) = C a e b p2 d t 2 puede utilizarse como ley de capitalización. 3
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Capítulo 2 Ejercicios lección 3 1. Un capital de 500 euros se coloca durante 3 meses en capitalización simple a un tanto del 12 % anual. Obtener la cuantía de los intereses utilizando como unidad de medida: El año El trimestre El mes 2. Un capital inicial de 100 euros se ha colocado durante 40 días obteniéndose un montante de 120 euros. Si se sabe que se ha utilizado la ley de capitalización simple, encontrar el tipo de interés anual de dicha operación. Encontrar además el tipo de interés diario. 3. Un capital de 500 euros se coloca durante 3 meses en capitalización compuesta a un tanto del 12 % anual. Obtener la cuantía de los intereses utilizando como unidad de medida: El año El trimestre El mes 5
4. Comprobar si un rédito bimestral del 2 % (i 6 = 0,02) es equivalente a un rédito trimestral del 3 % (i 4 = 0,03) 5. Se coloca hoy un capital de cuantía C al 5 % anual durante 146 días y se sabe que la diferencia entre los intereses calculados con el año comercial y el civil es de 250 euros. Obtener la cuantía C. 6. Calcule el tanto efectivo de un tipo nominal del 12 % de frecuencia trimestral. 7. Un capital inicial de 100 euros se ha colocado durante 40 días obteniéndose un montante de 120 euros. Si se sabe que se ha utilizado la ley de capitalización compuesta, encontrar el tipo de interés anual de dicha operación. Encontrar además el tipo de interés diario. 8. Que capital debe colocarse al 5 % semestral para que al cabo de 4 años haya producido unos intereses de 954911 euros?. 9. Cuanto tiempo ha de trascurrir para que un capital de cuantía C colocado al 10 % anual se duplique? y para que se triplique?. 10. Si tiene una deuda de 100 euros con un compañero y ha acordado pagarla dentro de 2 años y 3 meses, preferirá utilizar el convenio lineal o la capitalización compuesta para todos los periodos? 6
Capítulo 3 Ejercicios lección 4 1. Una letra de dos millones de euros se descuenta hoy a un tanto del 15 % en descuento comercial obteniéndose un valor descontado de 1925000 euros. Determinar: a) Número de dias hasta el vencimiento de la letra b) Tanto equivalente en capitalización simple c) Cual hubiera sido el valor descontado en descuento racional si se utiliza: 1) El mismo tanto que en descuento comercial 2) El tanto equivalente en capitalización simple 2. Obtener el valor descontado y el descuento efectuado a un capital de un millon de euros que vence dentro de 3 meses, si el tanto utilizado es el 10 % anual en descuento comercial. Cual es el tanto de descuento racional que proporciona el mismo resultado que el obtenido con el 10 % en descuento comercial? 3. Obtener el valor descontado y el descuento efectuado a un capital de un millon de euros que vence dentro de 3 meses, si el tanto utilizado es el 10 % anual en descuento racional. Cual es el tanto de descuento comercial que proporciona el mismo resultado que el obtenido con el 10 % en descuento racional? 7
4. Dos capitales de distinta cuantía, pagaderos ambos dentro de 3 meses, se descuentan hoy a un tanto del 12 % anual. Si para utilizando para el primero el descuento comercial y para el segundo el descuento racional se obtiene el mismo valor descontado. Hallar: a) La relación que existe entre sus cuantías. b) Si el primero es de un millón de euros, cual será el otro. 5. Obtener el valor descontado y el descuento efectuado a un capital de 40000 euros que vence dentro de 3 años sabiendo que se aplica la ley financiera de descuento compuesto y que el tanto de descuento para períodos unitarios es el 10 %. Obtener también el tipo de contradescuento. 8
Capítulo 4 Ejercicios lección 5 1. Se dispone de un capital de un millón de euros. Una parte se coloca al 8 % anual y el resto al 10 % anual. Al finalizar el primer semestre, el montante total es de 1046000 euros. Obtener la cuantía que se ha colocado a cada tanto si se utiliza como ley financiera de valoración: a) la capitalización simple b) la capitalización compuesta 2. Una empresa debe pagar una letra de 100000 e dentro de 45 días. Dicha empresa se plantea negociar para pagar a un plazo superior, y por lo tanto le pide al departamento financiero obtener las letras equivalentes (cuantías) a vencimientos 100, 200 y 300 días, si se valoran hoy en descuento comercial a un tanto anual del 14 % (suponer año comercial). 3. Preferiría esta empresa utilizar la ley de descuento racional? PISTA: Repita el ejercicio con dicha ley y compare las cuantías vencimiento a vencimiento. 4. Una empresa tiene dos efectos a cobrar, uno de 20000 euros para dentro de 90 días y otro de 30000 euros para dentro de 120 días. Después de las negociaciones se acuerda sustituir ambos por otro que venza dentro de 150 días. Cual debe ser la cuantía si se utiliza el descuento comercial al 9 % anual? 9
5. Si en el ejercicio anterior, se sustituyen ambas letras por otra de acuerdo al método del vencimiento medio, Cuales serían su cuantía y su vencimiento? 6. Una empresa quiere sustituir un pago de 100000 días para dentro de 105 días, utilizando la ley de descuento comercial a un tanto del 7.5 % anual, por tres pagos. El primero será de 30000 euros a pagar en 36 días y el segundo de 40000 a pagar en 90 días. Se pide: a) La cuantía del tercer capital si se acuerda pagarlo a 114 días. b) El vencimiento del tercer capital si se aplica la regla del vencimiento medio. 7. Una deuda de un millón de euros vence el 20 de julio; se acuerda entregar 400000 euros el 6 de mayo cuando deberá entregar la cuantía restante? 8. Dentro de 50 dias ha de abonarse una deuda de dos millones de euros, pero se acuerda desdoblarlo en dos pagos, uno en este momento y otro dentro de 80 días. Obtener el importe de cada pago. 10
Capítulo 5 Ejercicios lección 6 1. Una renta pospagable de término anual constante 100000 euros y duración 15 años, se valora a un tanto anual constante del 9 %. Obtener los valores actual y final de dicha renta, y comprobar que el valor final puede obtenerse también capitalizando el valor actual. 2. Repetir el ejercicio anterior en el caso de que los pagos se realicen al principio del periodo. Que relación existe entre ambas rentas? compruebe que se cumple dicha relación. 3. Una persona desea instituir un premio cultural de periocidad anual y de cuantía un millón de euros. Determinar el capital que ha de colocar en una entidad financiera para que se pueda pagar siempre, en el futuro, dicho premio, si el tanto de valoración es el 5 %. 4. Repetir el ejercicio anterior si los tipos de interés son el 2.5 % y si son el 10 %. Comente los resultados. 5. Se dispone de un capital de 100000 euros y se desea cambiarlo por una renta de cuantía anual pospagable igual a 15000 euros. Durante cuantos años se podrá recibir la renta si se valora a un tipo de interés del 11 %?. 11
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Capítulo 6 Ejercicios lección 7 1. Una renta de cuantía constante anual de 200000 euros, diferida 8 años, se valora a un tipo del 9.5 % anual. Se desea saber su valor actual en los casos siguientes: Pospagable y duración 12 años Prepagable y perpetua. 2. Determinar el valor en estos momentos de una renta cuya cuantía anual constante es 100000 euros y el tipo de interés es el 5.5 % anual, si comenzó a devengarse hace 14 años en los casos siguientes: Pospagable y de 10 términos Prepagable y habiendo vencido el último término hace 4 años. 3. Hallar los valores actual y final de las siguientes rentas, si valoran en capitalización compuesta a un tanto efectivo anual del 8 %: Inmediata, pospagable, de cuantía constante trimestral 125000 euros y duración 6 años. Inmediata, prepagable, de cuantía constante semestral 250000 euros y perpetua. 13
Diferida 3 periodos, pospagable, de cuantía constante mensual 125000 euros y duración 8 años. 14
Capítulo 7 Ejercicios lección 8 1. Sea una renta que paga al principio de cada periodo y de forma trimestral las cuantías anuales siguientes: En el primer año 1000 euros, en el segundo año 1500 euros, en el tercer año 750 euros y en el cuarto año 2000 euros. Si el tanto efectivo de valoración es el 7 %, se pide: a) Represente gráficamente dicha renta b) Encuentre la expresión del valor actual de dicha renta como suma financiera de cada una de las cuantías c) Encuentre el valor actual de dicha renta d) Encuentre la expresión del valor final de dicha renta como suma financiera de cada una de las cuantías e) Encuentre el valor final de dicha renta 2. Como consecuencia del acuerdo alcanzado entre el comprador y el vendedor de un activo, el comprador se compromete a pagar durante los 5 años próximos una renta variable en progresión geométrica con cuantías mensuales y prepagables de 2000 euros durante el primer año y crecientes anualmente al 4 %. A continuación y durante los 6 años próximos una renta de cuantía mensual constante y prepagable igual a la que se ha pagado durante el ultimo año con 15
la renta creciente. Sabiendo que se ha aplicado la capitalización compuesta a un tanto efectivo del 6 % anual, obtener el precio al que se ha vendido el citado activo (no olvide representar gráficamente la secuencia de pagos). 3. Una empresa ha de pagar este año una nomina de un millon de euros con carácter pospagable y se estima que en los años siguientes crecerá un 6 % acumulativo anual. Se está efectuando una evaluación de costes y se desea conocer el valor actual y el valor final en un horizonte temporal de 10 años utilizando un tanto de valoración del 12 % anual. Se pide a) Represente gráficamente dicha renta b) Encuentre la expresión del valor actual de dicha renta como suma financiera de cada una de las cuantías c) Encuentre el valor actual de dicha renta d) Encuentre la expresión del valor final de dicha renta como suma financiera de cada una de las cuantías e) Encuentre el valor final de dicha renta 4. Utilizando los datos del ejercicio anterior calcule el valor actual de todas las nominas de la vida de la empresa (horizonte temporal indefinido) 5. Una empresa ha de pagar este año una nomina de un millon de euros con carácter pospagable y se estima que en los años siguientes crecerá en 5000 euros cada año. Se está efectuando una evaluación de costes y se desea conocer el valor actual y el valor final en un horizonte temporal de 10 años utilizando un tanto de valoración del 12 % anual. Encuentre dichos valores. 6. Utilizando los datos del ejercicio anterior calcule el valor actual de todas las nominas de la vida de la empresa (horizonte temporal indefinido) 7. El Banco X oferta planes de ahorro para sus clientes. Una persona desea formar un capital de cien mil euros en 5 años mediante aportaciones constantes al 16
Apuntes: Matemáticas Financieras principio de cada mes. Si la entidad abona intereses al 5 % efectivo anual, determinar razonadamente: a) Representar gráficamente la renta que formarían las aportaciones. b) Determinar la cuantía a ingresar cada mes. c) Si trascurridos tres años, el tipo de interés desciende un punto (pasa al 4 %) que cuantía habrá que aportar mensualmente a partir de ese momento para obtener el montante inicialmente previsto. 17
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Capítulo 8 Ejercicios lección 9 Sea un préstamo de 50000 euros que se debe amortizar en 7 años a un tipo de interés anual efectivo del 4 %. Se pide 1. Encuentre el cuadro de amortización si el método utilizado es: a) el método francés. b) el método de cuotas de amortización constantes c) el método americano simple 2. Suponga que el préstamo se devuelve de forma trimestral (amortizaciones e intereses). Encuentre el cuadro de amortización en los casos siguientes: a) el método francés. b) el método de cuotas de amortización constantes c) el método americano simple 3. Suponga que los intereses se devengan de forma trimestral (amortizaciones e intereses). Encuentre el cuadro de amortización en el caso francés. 19