4. Sistemas de ecuaciones

4 - Sistemas de ecuaciones c rafaselecciones 4 Sistemas de ecuaciones 4 Introducción Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es en general del tipo: a +a +a + +a n n =b a +a +a + +a n n =b a m +a m +a m + +a mn n =b m Si en el sistema llamamos A a la matri m n de los coeficientes del sistema, llamamos A,A,A,,A n a sus columnas, X al vector columna de incógnitas B al vector columna formado por los términos independientes, el sistema se podría escribir en forma matricial: a a a a n a a a a n = b b ó A X = B a m a m a m a mn n b m pues si efectuamos con paciencia el producto e igualamos, obtenemos el sistema original También puede ser epresado usando vectores columna en la forma: a a + a a + a a + + a n a n n = b b a m a m a m a mn b m que podremos resumir así: A +A +A + +A n n = B epresiones que nos hacen pensar en la dependencia lineal van a ser claves en los próimos renglones Se llama solución del sistema a toda n-upla (,,, n ) ó las ecuaciones del sistema, o lo que es lo mismo de la ecuación: n A +A +A + +A n n = B - Si eiste una solución única tendremos un sistema compatible determinado SCD que sea solución a la ve de todas - Si eisten infinitas soluciones diremos que el sistema es compatible indeterminado SCI - Si no ha ninguna solución el sistema se dice incompatible SI

Si aplicamos las notaciones anteriores al ejemplo: tendríamos: A = 5 6 9 B = por tanto en forma matricial A X = B, quedaría: 5 6 9 + = + = 5 6+9=8 8 X = = 8 en forma A +A +A = B, sería: 5 + 6 + 9 = 8 como puede comprobarse fácilmente Recordemos que una solución del sistema es una terna (,,) ó que satisface las tres ecuaciones a la ve; o lo que es lo mismo, que satisface A +A +A = B, si nos epresamos por columnas, lo que nos lleva a afirmarque un sistema tendrá solución cuando B sea combinaciónlineal de A,A,A }, pues eistirán entonces números,, que verifiquen A +A +A = B; del mismo modo, si B no añade rango a A,A,A } será combinación lineal de ellas, por tanto el sistema será compatible Esto es lo que dice el famoso Teorema de Rouché-Fröbenius del que pasamos a eponer su parte a : 4 Teorema de Rouché-Fröbenius I Si en un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a +a +a + +a n n =b a +a +a + +a n n =b a m +a m +a m + +a mn n =b m distinguimos las matrices de coeficientes ampliada: A = a a a a n a a a a n a m a m a m a mn A/B = a a a a n b a a a a n b a m a m a m a mn b m

4 - Sistemas de ecuaciones El sistema tiene solución sí sólo sí rango(a) = rango(a/b) Demostración: El sistema tiene solución sí sólo sí eisten,,, n de modo que A +A + +A n n = B lo que ocurrirá sí sólo sí en la matri ( A A A n B ), el vector columna B no añade rango a la matri ( A A A n), o lo que es lo mismo: sí sólo sí rango(a) = rango(a/b) 4 La Regla de Cramer 4 Introducción Recordemos nuestro modo de resolver sencillos sistemas a +b = c a +b = c por reducción: multiplicando por números convenientemente elegidos restando ambas ecuaciones obtenemos: a b +b b = c b a b +b b = c b o lo que es lo mismo (a b a b ) = c b c b a b a b = c b a b así, si podremos despejar c b a b c b a c c b a c = a b del mismo modo = a b a b a b que es en esencia lo que afirma la Regla de Cramer 4 La Regla de Cramer Enunciado: Dado un sistema cuadrado de n ecuaciones con n incógnitas a +a +a + +a n n =b a +a +a + +a n n =b en el que =, se verifica: a n +a n +a n + +a nn n =b n El sistema es compatible determinado su solución es: = det(b,a,a,,a n ), = det(a,b,a,,a n ), n = det(a,a,,a n,b) Demostración: Como = tenemos rango(a) = n, pero como sólo ha n filas también rango(a/b) = n Así, por Rouché, el sistema será compatible eistirán por tanto (,,, n ) que verifican A +A +A + +A n n = B (para más comodidad prosigamos con n = )

4 A partir de A +A +A = B, calculamos el valor del determinante det(b,a,a ) aplicando las propiedades de los determinantes: det(b,a,a ) =det(a +A +A,A,A ) = =det(a,a,a )+det(a,a,a )+det(a,a,a ) = = det(a,a,a )+ det(a,a,a )+ det(a,a,a ) = pues los demás se anulan al tener dos líneas iguales Así si = podremos despejar: = det(b,a,a ) del mismo modo = det(a,b,a ) = det(a,a,b) Así, el sistema no sólo es compatible sino compatible determinado, pues la solución por fuera es la obtenida Ejercicio: ) Resuelve, por Cramer si es posible, el sistema Solución: Comenamos con el determinante = aplicar Cramer, tenemos un SCD de soluciones: 5 5 = = = 5+ +5 = = = +5+ 5 + + = 5 + += + = = 6+ +6 = luego podemos 5 = = + 5 5+ = 44 El Teorema de Rouché-Fröbenius II 44 Introducción Habría manera de aprovechar la Regla de Cramer con un sistema cualquiera? La respuesta es sí Ilustremos el asunto con un ejemplo: Consideremos el sistema + + = + + = + + = =, no podemos aplicar Cramer, como = 5 rango(a) = para calcular el rango de A/B considero =, por tanto la columna B no añade rango así los rangos son /, es decir rango(a) = rango(a/b) =

4 - Sistemas de ecuaciones 5 como F (la tercera ecuación) no añade rango ni en A ni en A/B, podemos suprimirla A continuación renombramos = ω la pasamos al otro miembro, quedando el sistema en la forma: + = ω + = ω sistema cuo determinante = 5 es precisamente el que nos garantiaba rango, al que podremos aplicar Cramer obteniendo un sistema SCD de soluciones = ω ω 5 = e = ω ω 5 = ω eso sí, para cada valor de = ω, con lo que el sistema inicial resulta ser un sistema compatible indeterminado SCI, de soluciones: (, ω,ω)/ ω R} Esta es la idea que desarrolla ahora la a parte del teorema de Rouché-Fröbenius Pasamos ahora a enunciar el teorema de forma completa: 44 Teorema de Rouché-Fröbenius Dadoun sistemademecuacioneslinealesconnincógnitas,enelque llamamosaalamatridecoeficientes A/B a la matri ampliada: El sistema es compatible sí sólo sí rango(a) = rango(a/b) (Rouché-Fröbenius I) Si se da el caso anterior, rango(a) = rango(a/b) = r, se verifica: i) Si r = n el sistema es SCD ii) Si r < n el sistema es SCI con n r grados (parámetros) de libertad Demostración: En ambos apartados partimos de rango(a) = rango(a/b) = r Tenemos por tanto en A un determinante r r no nulo que nos garantia el rango máimo r al que corresponderán r filas (ecuaciones) r columnas (incógnitas) i) Si r = n tenemos n = r filas (ecuaciones) linealmente independientes, las otras m r son CL de las anteriores; no aportan nada, pues no añaden rango ni en A ni en A/B, por tanto pueden ser eliminadas Nos queda ahora un sistema r r al que podemos aplicar Cramer (pues tendrá determinante no nulo) por tanto el sistema es SCD ii) Si r < n comenamos de nuevo suprimiendo las m r filas sobrantes (nos quedamos con r ecuaciones), renombramos como parámetros pasamos al otro lado las n r incógnitas correspondientes a las columnas que no están en el determinante que nos garantia el rango r De este modo, para cada posible valor de estos parámetros tenemos un sistema r r resoluble por Cramer pues su determinante es precisamente el de orden r que de principio nos garantiaba el rango máimo en A Resulta así nuestro sistema inicial SCI con tantos parámetros (grados de libertad) como incógnitas sobrantes ( n r ) hallamos tenido

6 Nota Refleiona ahora sobre los sistemas que hemos resuelto por Gauss, como los resultados que obtuvimos son coherentes con el teorema que acabamos de probar 45 Sistemas homogéneos Son aquellos en que B = las matrices asociadas serán A/B = por tanto B no añade rango por lo que siempre son sistemas SC a a a n a a a n a m a m a mn Obviamente la solución trivial (,,,) siempre vale, así que la cuestión en los sistemas homogéneos es si tendrán infinitas soluciones (SCI) o sólo la solución trivial (SCD) Ejercicios: m + = ) Estudia resuelve cuando sea compatible en función de m el sistema +m m = +m = Solución: m + = Para comenar ordenamos el sistema +m m = +m = ahora escribimos las matrices del sistema hacemos caso de los conocidos briconsejos: como A es cuadrada comenamos con = m m m m m m m m que resulta homogéneo (m ) + = +(m ) m = +m = = (m )(m )+m+m (m ) +m (m ) = m +m+4m +m+m m + +m m = m 4m +5m Usamos Ruffini 4 5 m 4m +5m = (m )(m m +) = (m )(m )(m ) así si m m tendremos por tanto rangos / SCD de solución (,,) si m = la tentación de usar Gauss es fuerte rangos / SCI() = α el sistema quedó en + = = β SCI () de solución (α,β,α+β)/α,β R} = α+β si m = aquí = nos garantia rangos / (recuerda que B no añade que con m = el salía nulo), ahora aplicamos con cuidado nuestro método aprendido con Rouché: suprimimos la a ecuación por superflua, pues no añade rango ni en A ni en A/B, renombramos la incónita sobrante (la que no está en el determinante que nos garantia el rango ) en parámetro, es decir = λ, el sistema queda: = λ que resolvemos (como queramos) obteniendo = λ = λ resultando entonces un SCI() de = λ solución ( λ,λ,λ)/λ R}

4 - Sistemas de ecuaciones 7 46 Resolución matricial de un sistema de ecuaciones a +a +a =b Sabemos que un sistema n n (por comodidad ) a +a +a =b a +a +a =b escribir en forma matricial: a a a a a a a a a = b b b ó A X = B Si = eiste inversa podemos multiplicar a ambos lados (por la iquierda) por ella: lo podemos A A X = A B A A X = A B I X = A B X = A B (*) X = A B = a a a a a a a a a b b b basta con multiplicar a iquierda por la inversa para resolver el sistema! (*) recuerda que como el producto no es conmutativo es indispensable que sea por la iquierda para poder despejar, en el producto A X A nos quedaríamos atascados Ejercicios: ) Resuelve matricialmente el sistema Solución: el sistema es epresable en la forma podremos resolverlo usando la inversa Necesitamos por tanto = así que es un SCD de solución (,,) = = 9 7 5 5 5 + = + = 4 + = 4 = 9 7 5 5 5 4 = así que como 4 (problema anterior) 6 4+ 8 8+ + = = =