UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES CURSO: ENSEÑANZA DE LA FÍSICA MECÁNICA- PRÁCTICA # 8: DINÁMICA DE LA TRASLACIÓN RECTILÍNEA Diego L. Aristizábal R. Profesor asociado con tenencia de cargo, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Mayo de 04 Temas Introducción I. Aspecto teórico Leyes de Newton y sistemas inerciales II. Experimentos Experimento : Cuerpo descendiendo por un plano inclinado Experimento : Cuerpo acelerado en un plano horizontal Experimento 3: Máquina de Atwood (polea de masa despreciable) Introducción Recordar que Isaac Newton plantea en su contribución a la mecánica las tres leyes de movimiento (ley de inercia o primera ley de Newton, ley de la dinámica o segunda ley de Newton y ley de acción y reacción o tercera ley de Newton) y la ley de gravitación universal. En esta práctica se tratará la segunda ley aplicada a cuerpos que se pueden considerar bajo el modelo de partículas. I. Aspecto teórico Leyes de Newton y sistemas inerciales Newton formuló las conocidas tres leyes de movimiento (primera ley de Newton o ley de inercia, segunda ley de Newton o ley de la fuerza y tercera ley de Newton o ley de acción-reacción) y la ley de gravitación universal. Estas se enuncian esencialmente para partículas. La ley de acción y reacción se trabajó en el módulo sobre diagramas de fuerza y la ley de gravitación en el módulo de fuerzas especiales en mecánica parte I. Ley de inercia (primera ley de Newton) Todo cuerpo (partícula) permanece en su estado de reposo, o de movimiento uniforme en línea recta, excepto si sobre él actúan fuerzas. En otros términos, se podría decir: Un cuerpo (partícula) sobre el cual no actúan fuerzas o si éstas actúan se anulan, se mueve con v constante. Si el vector velocidad es constante, su dirección es constante y el movimiento es rectilíneo, además su magnitud también es constante y el movimiento es uniforme. El reposo es sólo un caso particular, v = 0.
Otra forma de enunciarla es: Un cuerpo (partícula) sobre el cual no actúan fuerzas o si actúan se anulan, se mueve en línea recta con rapidez constante o permanece en reposo si lo estaba. Es necesario concluir que como se está hablando de una única velocidad, se está refiriendo a un cuerpo puntual, es decir, a una partícula. La pregunta básica será: respecto a cuál marco de referencia se mide esa velocidad? Y surge una gran dificultad: un mismo cuerpo puede estar en reposo respecto a un cierto marco de referencia, moviéndose con velocidad constante respecto a otro y moviéndose aceleradamente respecto a otro diferente, entonces, en cuál marco se aplica la primera ley? La respuesta no es obvia y parece redundante: estos marcos de referencia deben tener la característica de ser INERCIALES, en los que la característica es que la ley de inercia se cumple en ellos; con base en esto la ley de inercia se puede enunciar así: Existen ciertos marcos de referencia, llamados inerciales, respecto a los cuales un objeto, sobre el cual la fuerza neta es nula, se mueve con v constante. Del concepto de velocidad relativa puede verse inmediatamente que si un determinado marco de referencia es inercial, cualquier otro marco que se traslade con vector velocidad constante respecto al primero, será también inercial. Resumiendo: Dado un marco de referencia inercial si, F 0 el cuerpo (partícula) se traslada en línea recta con rapidez constante o permanece en reposo si lo estaba. Nota: Cualquier cuerpo rígido que se encuentre fijo a la superficie terrestre se comporta de forma muy aproximada como un marco de referencia inercial para el análisis mecánico de situaciones físicas locales. El concepto de equilibrio Cuando un cuerpo se encuentra en reposo respecto a un determinado marco de referencia inercial, se dice que está en equilibrio estático; si se mueve con velocidad constante se dice que se encuentra en equilibrio dinámico. Segunda ley de Newton A continuación se enuncia la segunda ley de Newton, que si bien no es como la enunció Newton originalmente, si es equivalente: Dado un marco de referencia inercial si sobre un cuerpo (partícula) las fuerzas que actúan no se anulan el cuerpo (partícula) cambiará su velocidad, es decir estará acelerado de tal forma que se cumple,
F = ma en donde m es la llamada masa inercial del cuerpo. Esta ley se conoce también con el nombre de ley de la fuerza o ley fundamental de la dinámica. El peso desde la segunda ley de Newton 3 En la mayoría de los casos, la gente confunde la masa con el peso. Se dice que algo tiene mucha materia si es muy pesado. Esto se debe a que se está acostumbrado a medir la cantidad de materia que contiene un objeto por medio de la fuerza de atracción gravitacional que la tierra ejerce sobre él. Pero la masa es algo más fundamental que el peso; la masa depende del número y del tipo de átomos que lo componen: es una propiedad intrínseca del cuerpo. En tanto, el peso es una medida de la fuerza gravitacional que actúa sobre el cuerpo y varía dependiendo del lugar donde éste se encuentre (en la Luna, en el planeta Tierra, en el planeta Marte,...). Sin embargo si se aplica la misma fuerza al objeto en la tierra y en la luna, la aceleración que adquiere éste es la misma concluyéndose que la masa del cuerpo en la Luna y en el planeta Tierra es la misma. Masa vs Peso Masa: Cantidad de materia que contiene un cuerpo. Más específicamente, es una medida de la inercia que presenta un cuerpo en respuesta a cualquier intento por ponerlo en movimiento, detenerlo, desviarlo o cambiar en alguna forma su estado de movimiento o de reposo. Peso: Fuerza de atracción gravitacional que ejerce el planeta Tierra (o la Luna, o el planeta Marte,...) sobre el cuerpo. La masa y el peso no son lo mismo, pero son proporcionales uno al otro. Los objetos cuya masa es grande son muy pesados. Los objetos con masas pequeñas tienen pesos pequeños. En un mismo lugar, duplicar la masa equivale a duplicar el peso. La masa tiene que ver con la cantidad de materia de un objeto y el peso tiene que ver con la intensidad de la fuerza gravitacional que ejerce el planeta Tierra (la Luna,...) sobre el objeto. Con base en la segunda ley de Newton de movimiento se puede deducir que si un cuerpo de masa m que está sólo bajo la acción del PESO P ( caída libre ) se moverá con una aceleración igual a la aceleración de la gravedad, cuyo valor promedio en la superficie terrestre es g 9,80 m.s, Figura. Es necesario agregar que independientemente de la masa todos los cuerpos caen con esta aceleración. Con base en lo expresado en éste párrafo se puede concluir que como, F = ma Y como la única fuerza que actúa es P y la aceleración es g, entonces, P = mg
Esta expresión en magnitud es, P = mg Cuánto pesa un Kilogramo? Si se deja caer un cuerpo de,00 kg de masa en el planeta Tierra, Figura, éste desciende con una aceleración igual a 9,80 m.s - (despreciando los efectos de rozamiento con el aire). Si aplica la segunda ley de Newton, se obtiene: 4 Figura P=mg - P=,00 kg9,80 m.s =9,80 N Es decir el peso en el planeta Tierra, de,00 kg de masa es igual a 9,80 N (Newton). En el sistema técnico (ST, que es muy usado en ingeniería) se dice que en el planeta Tierra un cuerpo cuya masa es de,00 kg, tiene un peso de,00 kgf (kilogramo-fuerza). Esta unidad, obviamente, no es del sistema internacional (SI). En conclusión, otra unidad de fuerza es el kgf que equivale a 9,80 N,,00 kgf=9,80 N En la luna ese mismo cuerpo de,00 kilogramo de masa sólo pesaría,60 N. La caída Libre Galileo mostró que todos los objetos que caen se mueven con la misma aceleración sin importar su masa (como se comentó anteriormente). Esto es estrictamente cierto sólo si la resistencia del aire es despreciable, es decir, si los objetos están en caída libre. En el vacío, una pluma y una piedra caen con la misma aceleración (igual a 9,80 m.s - aquí en el planeta Tierra) debido a que la relación peso-masa ( P g m ) se mantiene constante, es decir, si se divide el valor del peso de la piedra entre su masa se obtiene el mismo valor que si se divide el peso de la pluma entre su masa y este valor es g.
Marcos de referencias inerciales y la segunda ley de Newton La ley de inercia o primera ley de Newton nuestra la exigencia para su aplicación de los denominados marcos de referencia inerciales: Existen ciertos marcos de referencia, llamados inerciales, respecto a los cuales un objeto, sobre el cual la fuerza neta es nula, se mueve con v constante. Para aplicar la segunda ley de Newton también es necesario hacerlo desde marcos de referencia inerciales. Estos tienen las características de que todos miden la misma aceleración de un cuerpo. Para sustentar esta última afirmación supóngase que los sistemas de coordenadas O y O están fijos a marcos de referencia inerciales: el de O está en reposo y el de O se mueve con velocidad constante respecto a O, V o /o, Figura. 5 Figura Con base a la cinemática de movimiento relativo se sabe que, r A/o' = r A/o - r o'/o V A/o' = V A/o - V o'/o a A/o' = a A/o - a o'/o Pero O es inercial por lo que se debe mover con velocidad constante respecto a O, entonces, a o'/o = 0 Y por lo tanto,
a = a A/o' A/o Es decir, todos los marcos inerciales deben medir la misma aceleración de los cuerpos. No sobra entonces insistir en que si un determinado marco de referencia es inercial, cualquier otro marco que se traslade con vector velocidad constante respecto al primero, será también inercial. Nota: Cualquier cuerpo rígido que se encuentre fijo a la superficie terrestre se comporta de forma muy aproximada como un marco de referencia inercial para el análisis mecánico de situaciones físicas locales. 6 Fuerzas ficticias En los marcos de referencia inerciales no hay presencia de las denominadas fuerzas ficticias, las cuales aparecen cuando el marco de referencia está acelerado, como se ilustrará con algunos ejemplos. Una fuerza ficticia es el efecto percibido por un observador en reposo respecto a un marco de referencia no inercial cuando analiza el movimiento de un cuerpo desde ese marco como si fuera inercial. Ejemplo de fuerza ficticia Analizar el movimiento de un péndulo que se encuentra en un carro que acelera con aceleración constante a, Figura 3. Solución: Desde el marco de referencia inercial: Figura 3
7 Figura 4 La fuerza F la ejerce la cuerda sobre la masa pendular y la fuerza P la ejerce el planeta tierra sobre ésta, Figura. Como la masa pendular está acelerada se cumple la segunda ley de Newton, F = m a x F y = 0 A/o Observar que solo hay aceleración en dirección X. Por lo tanto, F sen α = m a A/o [] F cos α - mg = 0 [] Pero, a A/o = a [3] De las ecuaciones [], [] y [3] se puede calcular el ángulo que se inclina el péndulo, a tan α = g Es interesante observar que conocida la inclinación se podría averiguar el valor de la aceleración del carro. Esto se emplea en ingeniería para la fabricación de los denominados acelerómetros. La masa pendular al acelerar el carro trata de quedarse con la velocidad que tenía (ley de inercia): es decir este es un efecto inercial que se aprovecha para construir los acelerómetros (los celulares y muchos dispositivos electrónicos poseen estos elementos internamente). Desde el marco de referencia no inercial: Aquí el observador en O tiene serios problemas. Este se expresará así: La masa pendular está en equilibrio ya que se mantiene con la misma inclinación mientras no cambie la aceleración del carro y por lo tanto
aplicará la primera ley de Newton (para este observador el carro es como si estuviera en reposo y por lo tanto considerará el carro como un marco de referencia inercial). Para lograr explicar esto se debe inventar una fuerza F ficticia, Figura 5. Es claro que la fuerza F la ejerce la cuerda sobre la masa pendular, la fuerza P la ejerce el planeta Tierra sobre la masa pendular; pero quién o qué ejerce la fuerza F ficticia sobre la masa pendular: NADIE o NADA. Esta aparece debido a la obligación de encontrar una fuerza que equilibre la masa pendular (observar que la fuerza F que ejerce la cuerda tiene una componente en X que si no se inventara esas fuera ficticia no habría forma de equilibrarla). 8 Figura 5 Es posible realizar este tipo de análisis en los marcos de referencia no inerciales haciendo correcciones con las llamadas fuerzas ficticias, pero sólo es recomendable cuando el estudiante, ingeniero o físico está lo suficientemente entrenado en estas técnicas de las fuerzas ficticias. En definitiva lo mejor será no inventarse fuerzas y aplicar las leyes de Newton como debe ser: en marcos de referencia inerciales. Es interesante pensar que el observador O también hubiera podido expresar lo siguiente: estamos en presencia de un campo gravitacional donde la gravedad es g efectiva, cuyo valor se calcularía vectorialmente como se ilustra en la Figura 6, izquierda y representaría sólo dos fuerzas, Figura 6, derecha. A P le daría el valor de P = m x g efectivo.
9 Figura 6 Posteriormente aplicaría la primera ley de Newton. Nuevamente el observador se tuvo que inventar algo: la existencia de un campo gravitacional ficticio. Otros ejemplos de fuerzas ficticias Un sistema masa resorte anclado en el techo de un ascensor. Si el ascensor sube con aceleración el resorte se estira. El observador que está dentro del ascensor podría decir que algo o alguien ejerció una fuerza sobre la masa (pero ésta es FICTICIA). Para analizar la situación lo mejor es ubicarse afuera del ascensor, por ejemplo, en el primer piso, para aplicar correctamente las leyes de Newton. Un ascensor en caída libre. Si se sueltan objetos dentro de éste, quedarán flotando : el observador dentro del ascensor podría decir que no hay campo gravitacional por lo que g=0; también podría decir que un fantasma los está sosteniendo. El observador inercial, ubicado afuera del ascensor y parado en uno de los pisos del edifico, dirá que el ascensor y todo su contenido va en picada hacia abajo (en caída libre ) y que el estado de ingravidez se debe a los efectos del movimiento relativo al interior del ascensor. La denominada fuerza centrífuga también es una fuerza ficticia: ésta es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en un marco de referencia en rotación, o equivalentemente la fuerza aparente que percibe un observador no inercial que se encuentra en un marco de referencia giratorio. El calificativo de "centrífuga" significa que "huye del centro". En efecto, un observador no inercial situado sobre una plataforma giratoria siente que existe una fuerza que actúa sobre él, que le impide permanecer en reposo sobre la plataforma a menos que él mismo realice otra fuerza dirigida hacia el eje de rotación. Así, aparentemente, la fuerza centrífuga tiende a alejar los objetos del eje de rotación. Pero esta no la ejerce nada ni nadie, solo son los efectos inerciales del cuerpo, en este caso, del observador.
II. Experimentos Experimento : Cuerpo descendiendo por un plano inclinado Objetivo general Verificar la segunda ley de Newton para un cuerpo en traslación rectilínea. Objetivos específicos 0 Obtener el valor de la aceleración teórica a partir de la segunda ley de Newton. Medir la aceleración y compararla con el valor teórico. Fundamento teórico Marco de referencia y sistema de coordenadas. Movimiento Uniformemente Variado. Segunda ley de Newton. Regresión cuadrática. Procedimiento Trabajo analítico Un cuerpo de masa m se suelta sobre un plano inclinado un ángulo, Figura 7. Si el coeficiente de rozamiento dinámico entre las superficies en contacto es µ k, encontrar la aceleración. Figura 7 Solución: En la Figura 7 se ilustra una representación de la escena física. También se ilustra el sistema de coordenadas elegido. El marco de referencia elegido es el plano y es inercial. En la Figura 8 se ilustra el diagrama de fuerzas sobre el cuerpo. Las fuerzas son: la fuerza de fricción f, el peso P y la normal N.
Figura 8 El cuerpo solo tiene aceleración en dirección X. Aplicando las leyes de Newton de movimiento se obtiene, y F = m a mg sen φ - f = m a [E.] x x x F = 0 N - mg cos φ = 0 [E.] Adicionalmente, f = μ k N [E.3] De [], [] y [3] se obtiene, a = sen φ - μ cos φ g x k [E.4] El cuerpo desciende con aceleración constante en el caso que sen > µ k cos. En la Figura 9 se ilustra el sistema mecánico que se utilizará en ésta práctica para verificar la segunda ley de Newton. Figura 9
El carrito que desciende posee unas ruedas muy pequeñas, muy livianas y en sus ejes hay también muy baja fricción, lo que permite suponer que el carrito no rueda sino que desliza por el plano inclinado de fricción despreciable. Por lo tanto la ecuación [E.4] se transforma en, a x = g sen φ [E.5] Trabajo práctico Emplear los 4 métodos experimentales utilizados en la práctica 3: ver Figuras 0,, y 3. La aceleración obtenida por todos los métodos compararla con la obtenida empleando la ecuación [E.5]. Figura 0 Figura
3 Figura Figura 3 Experimento : Cuerpo acelerado en un plano horizontal Objetivo general Verificar la segunda ley de Newton para un cuerpo en traslación rectilínea. Objetivos específicos Obtener el valor de la aceleración teórica a partir de la segunda ley de Newton. Medir la aceleración y compararla con el valor teórico. Fundamento teórico Marco de referencia y sistema de coordenadas. Movimiento Uniformemente Variado. Segunda ley de Newton. Regresión cuadrática.
Procedimiento Trabajo analítico Calcular la aceleración de los bloques de la Figura 4 si el coeficiente de rozamiento cinético entre las superficies en contacto es µ k. Suponer polea ideal, es decir, muy baja fricción en su eje y masa despreciable. 4 Figura 4 Solución: En la Figura 4 se ilustra una representación de la escena física. También se ilustra los sistemas de coordenadas elegidos. El marco de referencia elegido es el piso y es inercial. En la Figura 5 se ilustra el diagrama de fuerzas sobre los bloques. Se consideró que la tensión en la cuerda se transmite íntegramente a través de la polea (polea ideal). Figura 5 El cuerpo m solo tiene aceleración en dirección X y el cuerpo m solo tiene aceleración en dirección Y. Aplicando las leyes de Newton de movimiento para el sistema,
F = m a T + f = m a [E.] x F = 0 N - m g = 0 [E.] y Adicionalmente, f=μ kn [E.3] 5 Aplicando la segunda ley de Newton al bloque m se obtiene, F = m a - T + m g = m a [E.4] y Además los bloques están ligados por la cuerda y por lo tanto, x + y = constante Derivando dos veces respecto al tiempo se obtiene, a = - a [E.5] Si se hace a = a entonces a = -a. Reemplazando en las ecuaciones [E.] y [E.4] y combinando con las ecuaciones [E.], [E.3] se obtiene, m - μm m + m k a = g [E.6] Observar que se si se desprende la masa m, la masa m descenderá en caída libre. En la Figura 6 se ilustra el sistema mecánico que se utilizará en ésta práctica para verificar la segunda ley de Newton. Figura 6
El carrito que se desplaza por el plano horizontal posee unas ruedas muy pequeñas, muy livianas y en sus ejes hay también muy baja fricción, lo que permite suponer que el carrito no rueda sino que desliza por el plano de fricción despreciable. Por lo tanto la ecuación [E.6] se transforma en, m m + m a = g [E.7] 6 Trabajo práctico Medir las masas m, m y posteriormente calcular el valor de la aceleración a con la ecuación [E.7] (este será el valor que se considerará convencionalmente verdadero). Para el cálculo tomar la - aceleración de la gravedad en la ciudad de Medellín igual a 9,78 m.s. Realizar el montaje ilustrado en la foto de la Figura 7: ubicar la fotocompuerta de tal forma que el haz de luz sea interrumpido por los radios de la polea durante su rotación. Observar que se usan dos celulares: un celular está montado en el carrito y para el cual se activa el acelerómetro de PhysicsSensor en su modo gráfico; el otro celular está acoplado a la fotocompuerta. Figura 7 Soltar la masa m y mediante el uso del sonoscopio de PhysicsSensor para el celular obtener el valor de la aceleración angular de la polea: aquí es necesario analizar la gráfica del sonoscopio (Figura 8) para obtener los datos necesarios para realizar una regresión cuadrática de la posición angular vs el
tiempo. Para obtener una mejor medición tomar los datos del resultado promedio después de realizar unas tres soltadas. Para cada soltada anotar el valor de la aceleración en su componente Y que marca el acelerómetro de PhysicsSensor (está información se encuentra en el teléfono celular que está acoplado al carro que se encuentra en el plano horizontal): para esto se debe analizar la gráfica de la aceleración dada por el acelerómetro, ver Figura 9. 7 Figura 8 Figura 9 Medir el radio de la polea. Obtener el valor de la aceleración tangencial en los bordes de la polea. Para esto aplicar la ecuación [E.8],
a T = α R [E.8] Suponiendo que la cuerda no resbala en la polea aplicar la ecuación [E.9], a = a T [E.9] 8 en donde a es la aceleración con la que se desplaza la masa m. Reportar el porcentaje de error (recordar que esto se hace comparando con el valor convencionalmente verdadero). Promediar las aceleraciones obtenidas con el acelerómetro (obtenidas con el teléfono celular que se encuentra acoplado al carrito que se desplaza en la superficie horizontal) y obtener también el porcentaje de error. Experimento 3: Máquina de Atwood (polea de masa despreciable) Objetivo general Verificar la segunda ley de Newton para un cuerpo en traslación rectilínea. Objetivos específicos Obtener el valor de la aceleración teórica a partir de la segunda ley de Newton. Medir la aceleración y compararla con el valor teórico. Fundamento teórico Marco de referencia y sistema de coordenadas. Movimiento Uniformemente Variado. Segunda ley de Newton. Regresión cuadrática. Procedimiento Trabajo analítico En la Figura 0 se ilustra una máquina de Atwood. Suponiendo polea ideal, encontrar la aceleración con que se desplazan los bloques de masa m y m.
9 Figura 0 Solución: En la Figura 0 se ilustra una representación de la escena física. También se ilustra el sistema de coordenadas elegido. El marco de referencia elegido es el techo y es inercial. En la Figura se ilustra el diagrama de fuerzas sobre cada bloque. Se consideró que la tensión en la cuerda se transmite íntegramente a través de la polea (polea ideal). Figura Los cuerpos solo tienen aceleración en dirección Y. Aplicando las leyes de Newton de movimiento se obtiene, F = m a T + m g = m a [E3.] y F = m a y T + m g = m a [E3.] Pero los bloques están ligados por la cuerda por lo tanto, y + π R + y = constante
en donde R es el radio de la polea. Derivando dos veces respecto al tiempo, a + a = 0 Es decir, a = - a por lo Si a = a entonces a = -a se obtiene de las ecuaciones [E3.] y [E3.], 0 m - m m + m a = g [E3.3] Los bloques se moverán con igual aceleración (en magnitud) y constante (MUV). El sentido del movimiento se define de acuerdo a cuál de los bloques tiene mayor masa. Trabajo práctico Medir las masas m, m y posteriormente calcular el valor de la aceleración a con la ecuación [E3.3] (este será el valor que se considerará convencionalmente verdadero). Para el cálculo tomar la - aceleración de la gravedad en la ciudad de Medellín igual a 9,78 m.s. Realizar el montaje ilustrado en la foto de la Figura : ubicar la fotocompuerta de tal forma que el haz de luz sea interrumpido por los radios de la polea durante su rotación. Observar el teléfono celular está acoplado a la fotocompuerta. Figura
Soltar la masa m y mediante el uso del sonoscopio de PhysicsSensor para el celular obtener el valor de la aceleración angular de la polea: aquí es necesario analizar la gráfica del sonoscopio (Figura 3) para obtener los datos necesarios para realizar una regresión cuadrática de la posición angular vs el tiempo. Para obtener una mejor medición tomar los datos del resultado promedio después de realizar unas tres soltadas. Figura 3 Medir el radio de la polea. Obtener el valor de la aceleración tangencial en los bordes de la polea. Para esto aplicar la ecuación [E3.4], a T = α R [E3.4] Suponiendo que la cuerda no resbala en la polea aplicar la ecuación [E3.5], a = a T [E3.5] en donde a es la aceleración con la que se desplaza las masas m y m. Reportar el porcentaje de error (recordar que esto se hace comparando con el valor convencionalmente verdadero). FIN