Postulación a Sesión Oral: Simulación Metropolis-Montecarlo del Modelo Ising en Dos Dimensiones Lic. Paul Blackburn 1 Facultad de Física, Pontificia Universidad Católica de Chile Introducción Pese a que este modelo lleva el nombre de Ernst Ising, fue propuesto por primera vez en 1920 por W. Lenz, el supervisor de tesis de Ising. Éste se lo asignó en 1922, con el objetivo de estudiar el fenómeno del ferromagnetismo. La importancia de este modelo se debe al hecho de que por mucho tiempo fue uno de los pocos modelos matemáticamente solubles que exhibían transiciones de fases. La solución exacta del modelo en dos dimensiones por Lars Onsager, en 1944, fue visto como un hito de especial importancia en la Mecánica Estadística. Como ejemplo de esto, mencionamos una carta escrita por Pauli y dirigida a Casimir inmediatamente después del término de la Segunda Guerra Mundial. En ella, Casimir expresó su preocupación por haber estado tan aislado de la física teórica de los países aliados. En su respuesta, Pauli dijo que nada mucho de interés ha sucedido excepto la solución exacta por Onsager del Modelo de Ising en Dos Dimensiones. Actualmente el Modelo de Ising encuentra aplicación en un gran número de modelos, no sólo en el área del magnetismo y el estudio de los materiales, sino también en la microbiología, ethología, y sociología, entre otras. En efecto, entre 1969 y 1997, se han publicado más de 12,000 papers que utilizan el modelo de Ising. La sesión oral que propongo realizar tiene como objetivo final comunicar a los estudiantes un espíritu de emprendimiento y manos a la obra, mostrando que hay muchas áreas de la física en las cuales es posible investigar y experimentar sin tener necesariamente que esperar a tener un grado académico o un estudio cabal y riguroso. Presentación Oral La presentación será realizada en diapositivas estilo PowerPoint, y estará ordenada en tres secciones claramente definidas: - Introducción e Importancia histórica, - El Modelo de Ising y la Solución de Onsager, - Procedimiento, Resultados y Comparación con la Solución Exacta, e Interpretación. Trabajo Realizado El trabajo realizado consistió en simular un medio ferromagnético mediante el modelo de Ising bidimensional. Aquí, la energía de cada nodo en un lattice cuadrado viene dado exclusivamente por la configuración de sus vecinos más cercanos, y la energía total del sistema es: N N 4 E = h s i J s ij s j i=1 La sumatoria sobre j se realiza sobre los 4 vecinos al spin i. Hemos asumido aquí que la constante de acoplamiento entre spines es isotrópico, es decir, J ij J. 1 pwblackb@fis.puc.cl i=1 j=1 1
Utilizamos un algoritmo Metrópolis-Montecarlo, iterando sobre un lattice de 400 400 con condiciones de borde periódicas. La simulación se implementó en C++ y todo el código fue escrito especialmente para este propósito, incluyendo una clase especial de generación de números aleatorios con distribución gaussiana, dada la ya conocida pésima calidad del generador de números aleatorios del stdlib. Los estados iniciales y finales del lattice se graficaron fácilmente usando la clase PNGwriter, también escrito por el autor. Se registraron datos de magnetización, energía y temperatura, lo que permitió hacer un análisis de la transición de fases, histéresis y calor específico del lattice. Además, se pudo obtener: - Curvas de magnetización vs. temperatura (sin campo externo), - Energía vs. temperatura (sin campo externo), - Curvas de magnetización vs. campo magnético aplicado, - Energía vs. campo magnético aplicado, - Curva de histéresis. Además, se calculó experimentalmente la temperatura crítica de transición de fases Tc experimental = 2.27J/k. Esto es sorprendentemente cercano al valor de T c = 2.269J/k, obtenido de la solución exacta de Onsager. En las páginas siguientes se muestran algunos resultados seleccionados. Se dividen en dos grupos principales: - Estados del lattice, dominios magnéticos: Figuras 1 y 2. - Gráficos de magnetización y energía vs. temperatura: Figuras 3 y 4. Conclusiones Concluimos que es factible explorar el modelo de Ising bidimensional numéricamente, y que no requiere de conocimientos avanzados para ser entendido o implementado. Este proyecto tiene un gran potencial para motivar e incentivar al estudiante a explorar por cuenta propia, dado el acuerdo experimental que se obtiene con la solución exacta de Onsager, en cuanto a las características generales del comportamiento del lattice y a datos medibles, como la temperatura crítica. Es por esto, entonces, que proponemos exponer el presente trabajo como una Sesión Oral en el Segundo Simposio Nacional de Estudiantes de Fśica. Esta presentación oral está basada principalmente en un proyecto independiente realizado durante el curso de Electrodinámica (dado por Dr. Alejandro Valdivia), en el Departamento de Física de la Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. El trabajo completo puede ser descargado desde http://ket.dyndns.org/electro/ect3/t3ec.pdf (1.1 MB). 2
Figure 1: Un cierto estado final de 400 400 con magnetización cercana a cero pero con clara presencia de dominios magnéticos. Se ha repetido la misma imagen en los 4 cuadrantes de la figura para mostrar su naturaleza periódica. Las líneas rojas denotan los bordes del lattice. Figure 2: Estado inicial y final del lattice. h = 0.0, T = 3.0. 400 400. 9 10 6 iteraciones. M = 0.00, E = 1.3 10 5 3
1.0 0.8 Magnetización Medida Solución de Onsager Datos suavizados 0.6 Magnetización 0.4 0.2 0.0-0.2 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Temperatura (J/k) Figure 3: Magnetización vs. Temperatura para un lattice de 500 500 y 9 10 6 iteraciones. Los datos se grafican en negro, la solución de Onsager en rojo. La curva azul punteada es una suavización de FFT. Magnetizacion 1.0 0.5 0.0 T = 0.0 J/K T = 1.0 J/K T = 2.0 J/K T = 3.0 J/K T = 4.0 J/K T = 5.0 J/K T = 6.0 J/K T = 7.0 J/K -0.5-1.0-1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 Campo Magnetico Aplicado (G) Figure 4: Magnetización vs. Campo Magnético para varias Temperaturas. 4
A continuación se detallan las referencias usadas en la confección de este trabajo. References [1] Metropolis N., Rosenbluth M., Teller A. and Teller E. Journal of Chemical Physics 21 1087-1092 (1953). [2] Bhattacharjee S. M. and Khare, A., Fifty Years of the Exact Solution of the Two-Dimensional Ising Model by Onsager, arxiv:cond-mat/9511003 v2 (10 Nov 1995). [3] Physics Today, Feb. 1977, p 77. [4] Ising E., Z. Phys. 31 253-258 (1925) [5] Bragg W. L. and Williams E. J., Proc. Roy. Soc. A145 199 (1934); A151 540 (1935); [6] Onsager L., Crystal statistics I. A two dimensional model with an order-disorder transition, Phys. Rev. 65, 177 (1944) [7] Yang, C. N., Phys. Rev. 85, 808-816 (1952) [8] Chang-Hong Chien, Monte Carlo Simulations of the Two Dimensional Ising Model, http:www.science.gmu.edu cchienstmisingising.html [9] Blackburn, P., Sand 1.0.1, escribir al autor para obtenerlo, individual61@users.sourceforge.net (Feb 2003) [10] Blackburn P., PNGwriter 0.3.4, pngwriter.sourceforge.net (Feb 2003) [11] New Scientist 175 issue 2357, page 42 (24 August 2002) [12] New Scientist 159 issue 2147, page 40 (15 August 1998) [13] Bernardes A. T., Stauffer D., Kertesz J., Election results and the Sznajd model on Barabasi network, European Physical Journal B 25 199 (1934); A151 Iss 1, pp 123-127 (2002); 5