ESTADÍSTICA I PROBABILITAT EXERCICIS PROPOSATS. Classifica els caràcters estadístics següents en qualitatius o quantitatius. a) El nombre d aprovats en un curs. b) Pes dels xiquets de bolquers en un hospital. c) Color de les pomes d una fruiteria. a) Quantitatiu b) Quantitatiu c) Qualitatiu. Indica si aquests caràcters tenen variables estadístiques discretes o contínues. a) El pes dels melons d una fruiteria. b) El llibres llegits en un any per diversos xiquets. c) Els gols marcats en els partits de futbol. a) Variable estadística contínua. b) Variable estadística discreta. c) Variable estadística discreta.. Construeix una taula estadística amb aquestes dades obtingudes després de llançar un dau vegades. 5 5 5 5 5 Freq. Absolutes Freq. Relatives Freq. Absolutes acumulades,8 5 5,5 5,8 7,8 7 5 5 5,5 5 8 5 5,5 8 5 8
. Fes una taula estadística amb les dades sobre la duració, en minuts, de pel lícules agrupant-les en classes d amplitud 5 minuts. 9 95 5 75 7 5 77 8 9 8 88 9 95 85 5 Duració Marques Freq. Freq. Freq. Absolutes (min) de classe Absolutes Relatives Acumulades 5 x 7 57,5,5 7 x 95 8,5, 9 95 x 7,5, 9 x 5,5,5 5 x 7 57,5, 8 7 x 95 8,5,5 8 9 95 x 7,5,5 9 Suma Suma.5 Fes un diagrama de barres i un diagrama de sectors per a les dades recollides en la taula. Sexe Nre. de persones que donen òrgans per cada individus Homes Dones 9 Nre. de donants per cada individus 7 Dones 9 5 Homes Dones Sexe Homes. Fes un histograma amb les dades de la taula. 5 Intervals Freqüències absolutes x 7 x x 5 x 5 8 Freqüències absolutes 5 5 5 87
.7 Per a calcular la nota de matemàtiques es multiplica per 5 la nota de problemes, per la nota de càlcul i per la nota de teoria. Beatriu ha obtingut 8, 7 i, respectivament, en cada apartat. Quina qualificació final ha obtingut? 5 8 7 La qualificació final que ha obtingut és: Nota 8 7 8 7,8 5.8 Elabora una taula estadística per a aquestes dades agrupant-les en classes d amplitud 5. 7 5 8 5 5 5 5 5 7 58 5 Calcula la mitjana de les dades agrupades. Marques de classe Freqüències absolutes Marca freqüència x,5 57 x 5 8,5 5 7,5 5 x 5 5,5,5 5 x 58,5 7 x,5 5 Suma 8 Suma 78 La mitjana de les dades agrupades és 7 8 5,7 8.9 El nombre d allotjaments rurals en una certa comunitat autònoma es distribueix segons les dades que figuren en aquesta taula. Tipus d allotjament Nombre de places Càmpings Habitatges de lloguer Albergs 8 Habitacions en habitatges a) De quin tipus són les dades d estudi? b) Quina és la moda? c) Fes el diagrama de sectors. a) Es tracta de dades de tipus qualitatiu. b) La moda és la dada habitatges de lloguer. c) Habitacions en habitatges Càmpings Albergs 8 Habitatge de lloguer 88
. La taula següent expressa el preu d uns quants ordinadors personals que hi ha en una botiga d informàtica. Preu (euros) Nombre d ordinadors x 9 9 x x 5 5 x 8 5 8 x a) Quin tipus de dades són les estudiades? b) Quina és la classe modal? c) Quina és la moda? d) Calcula la mitjana aritmètica. e) Representa les dades amb un gràfic. a) Són dades de tipus quantitatiu i continu. b) La classe modal és l interval 9 x c) La moda és la marca de la classe modal: 9 5 d) En primer lloc construïm la taula. e) Marques Freqüències de classe absolutes Marca freqüència x 9 75 5 9 x 5 x 5 5 5 5 x 8 5 5 75 8 x 95 585 Suma Suma Nre. d ordinadors 8 9 5 8 Preu ( ) La mitjana aritmètica és,. Calcula la mediana de les dades següents. a), 5,,,,, 7 b) 5,,, 9,, 7,, 7, 5, a) El nombre de dades és senars. Ordenem les dades i triem la central, que es correspon amb la que ocupa el t lloc:,,,, 5,, 7 La mediana és. b) El nombre de dades és parell. Ordenem les dades i calculem la mediana de les dues que ocupen el lloc central, és a dir, la 5a i la a dada:,,, 5,,, 5, 7, 7, 9 La mediana és,5 89
. Calcula la mediana d aquestes dades. a), 8, 5,, 7, 8, 8, 5, 8 b),; ;,7;,; ; ;,;,; ;,9 a) El nombre de dades és senars. Ordenem les dades i triem la central, que es correspon amb la que ocupa el 5é lloc: 7, 8, 8, 8, 8,,, 5, 5 La mediana és 8. b) El nombre de dades és parell. Ordenem les dades i calculem la mediana de les dues que ocupen el lloc central, és a dir, la 5a i a dada: ; ; ; ;,9;,;,;,;,;,7 La mediana és,,9,,5. Les edats dels membres d un grup de música són les següents: a) Calcula el rang de les dades. b) Calcula la desviació mitjana. 5 8 5 9 9 a) El rang és b) De primer, calculem la mitjana: 5 8 5 9 9 La mitjana és,9 A continuació construïm la taula: Diferències (Dada mitjana) Diferència,9,9 5 9,9 9,9 8,9 8,9 8,9,9,9,9 5,9,9 9,9,9 9,9,9,9,9 7,9 7,9 9,9 9,9 Suma: 7,9 La desviació mitjana és 7, 9,5 9
. Calcula la desviació mitjana de cada grup: Grup A: 7 5 7 5 59 7 5 9 Grup B: 5 9 9 7 9 8 7 7 7 7 Quina conclusió pots extraure n després de veure els resultats obtinguts? Grup A: 7 5 7 5 59 7 5 9 La mitjana de les dades és,8 Grup B: 5 9 9 7 9 8 7 7 7 7 La mitjana de les dades és 7, Grup A: Grup B: Diferències (Dada mitjana) Diferència 9,8,8 5 9,8 9,8 5 5,8 5,8 59,8,8,8,8,, 5,, 7 8, 8, 7 9, 9, 7,, Suma: Diferències (Dada mitjana) Diferència 5,, 8,, 9,, 7,, 7,, 7,, 7,, 7,, 9 7, 7, 9,, Suma: 7, La desviació mitjana del grup A és, La desviació mitjana del grup B és 7, 7, La desviació mitjana és superior en el grup B que en el A. Açò significa que les dades estan més disperses..5 Descriu l espai mostral associat a llançar una moneda i un dau alhora. Indica dos successos compatibles i dos d incompatibles. L espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles d un experiment aleatori. En llançar una moneda a l aire es poden obtenir dos possibles resultats: cara (c) i creu (x). En llançar un dau es poden obtenir sis possibles resultats:,,,, 5,. L espai mostral associat a llançar una moneda i un dau alhora és: E {c, c, c, c, c5, c, x, x, x, x, x5, x} Considerem els successos S { ix cara i un nombre parell }, S { ix cara i un nombre imparell } y S { ix cara i un nombre més gran que }. Els successos S i S són compatibles. Els successos S i S són incompatibles. 9
. Inventa un experiment aleatori i descriu-ne l espai mostral. Dóna un succés impossible, dos successos incompatibles i dos de contraris. Experiment aleatori: llançar dos daus. Espai mostral: E {(, ), (, ), (, ), (, ), (, 5), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 5), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 5), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 5), (, ), (5, ), (5,), (5, ), (5, ), (5, 5), (5, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, 5), (, )} Considerem els successos: S { La suma dels dos valors obtinguts és més gran que } S { En els dos daus s obté un nombre parell } S { En els dos daus ix un nombre imparell } S { En els dos daus no s obté simultàniament un nombre parell } El succés S és impossible perquè la suma dels valors obtinguts no és mai més gran que. Els successos S i S són incompatibles, no poden donar-se alhora. Els successos S i S són contraris. Per a comprovar-ho podem escriure tots els valors dels dos i verificar que S S E..7 Una parella espera bessons. Calcula les probabilitats de tots els successos relatius al sexe dels bebés. Considerem els successos: A { Els dos bessons són barons }; B { Un bessó és home, i l altre, dona }; C { Els dos bessons són dones }. L espai mostral és E {HH, HD, DH, DD}. En total hi ha casos possibles. Només hi ha un cas favorable al succés A: HH. Per tant, P(A),5 Hi ha dos casos favorables al succés B: HD o DH. Per tant, P(B),5 Només hi ha un cas favorable al succés C: DD. Per tant, P(C),5.8 En una urna con bolas rojas, azul y blancas, calcula la probabilidad de sacar bola roja y la del suceso contrario. L espai mostral és E {R, R, A, B, B, B}. En total hi ha boles que es corresponen amb els casos possibles. Siga A { Traure n bola roja }. Tenim que P(A) Siga B { No traure n bola roja }. Tenim que P(B).9 Utilitza un diagrama d arbre per a descriure les diferents possibilitats d ordenació dels quatre fills d una família segons el sexe. ORDRE 9
. Lluïsa té dos pantalons d esport, tres samarretes i dos parells de sabatilles. De quantes maneres diferents es pot vestir per a fer esport? Utilitza un diagrama d arbre per a trobar la resposta. Es pot vestir de formes diferents.. Una abella es troba en el vèrtex A del cub de la figura i vol anar fins al vèrtex G, en què hi ha un pot de mel, però ha de complir tres condicions alhora: a) Només pot caminar per les arestes del cub. b) Només pot recórrer tres arestes. c) No pot passar dues vegades per la mateixa aresta. A Quants camins diferents pot recórrer? G A E F B C D G H Pot recórrer camins diferents: ABCG, ABFG, ADCG, ADHG, AEFG, AEHG CÀLCUL MENTAL. Troba la mitjana del conjunt de dades següent. 5 5 La mitjana és 7. Quin ha de ser el valor de x perquè la mitjana del conjunt de dades 5,, x siga? Ha de succeir que 5 x x 8 7. Calcula les marques de les classes de dades següents. Classes,5 x,5,5 x,5,5 x 9,5 La marca de classe d un interval és el punt mitjà de l interval. Classes Marques de classe,5 x,5,5,5,5 x,5,5,5 5,5 x 9,5,5 9,5 8 9
.5 Esbrina quin dels conjunts de dades següents té més dispersió. a),,, 8,,, 5 b),,,,,, c),5,5,5,5,5,5 El conjunt de dades amb més dispersió és el a), ja que té més rang i més desviació mitjana. a) b) Diferències (Dada mitjana) Diferència 8,8 8,8 7,8 7,8,8,8 8,8,8,8,8 5,,,, Suma: 5,58 Diferències (Dada mitjana) Diferència,,,,,,,,,,,,,,,,,8,8,,8,8 Suma: 5, Rang: Rang: 8 5 Mitjana:,8 Mitjana:, 7 7 Desviació mitjana: 5,58 7, Desviació mitjana: 5,,77 7 7 c) Diferències (Dada mitjana) Diferència,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 Suma: Rang:,5,5,5,5,5,5,5,5 Mitjana: Desviació mitjana:,5. La probabilitat que un alumne qualsevol faça tard a classe és. Quina és la probabilitat que arribe puntual? 5 El succés fa tard a classe és el succés contrari a arribar puntual. Per tant, la probabilitat que arribe puntual és 5 5 9
EXERCICIS PER A ENTRENAR-SE Caràcters i variables estadístics.7 Col loca cadascun dels caràcters estadístics següents en la columna corresponent d aquesta taula. CARÀCTERS ESTADÍSTICS Qualitatius Variables discretes Quantitatius Variables contínues a) Pes d una persona. b) Nombre de pulsacions. c) Professió. d) Color d ulls. e) Nombre de companys. f) Perímetre cranial. g) Estat civil. h) Empleats en una empresa. i) Mesura del palmell de la mà. j) Nombre de llibres llegits en un any. k) Esport preferit. l) Distància de ta casa a la biblioteca. m) Sexe dels nascuts en un hospital. n) Temperatures mínimes d una setmana o) Nombre de vegades que es va al cinema. CARÀCTERS ESTADÍSTICS Qualitatius Variables discretes Quantitatius Variables contínues Professió Nombre Pes d una persona de pulsacions Color d ulls Nombre Perímetre cranial de companys Estat civil Empleats Mesura del palmell en una empresa de la mà Esport preferit Nombre de llibres Distància de ta casa llegits en un any a la biblioteca Sexe dels nascuts Nombre de vegades Temperatures mínimes en un hospital que es va al cinema d una setmana.8 Els alumnes de n d ESO d un centre escolar visiten un jardí botànic i han de prendre dades per a un treball d estadística en què estudien aquestes característiques. a) Caràcters estadístics qualitatius. b) Variables estadístiques discretes. c) Variables estadístiques contínues. Dóna tres exemples per a cada un dels apartats. a) Caràcters estadístics qualitatius: color de la fulla, procedència, estació de floració. b) Variables estadístiques discretes: nombre de regs diaris necessaris, nombre de podes anuals, nombre de cotiledons de la llavor. c) Variables estadístiques contínues: alçada de la planta, grossor de la tija, superfície de la fulla. 95
Recompte de dades. Freqüències.9 Les edats dels components d una companyia de teatre juvenil són les següents. 5 7 9 7 5 9 8 7 5 a) Fes-ne el recompte. b) Forma la taula de freqüències completa. a) Nre. de b) Edat persones 5 7 8 9 Freq. Freq. Freq. Absolutes Edat Absolutes Relatives acumulades,8,8 8,9 8 5,, 7, 9 8,5 9 9,9. Aquestes van ser les temperatures màximes en una ciutat durant el mes d abril. 5,5 8,5 9,5 7 9 9 8,5 5,5,5 9 8 7,5 5,5 9,5 9 7,5 8,5,5 a) Fes el recompte de les dades agrupades en classes d amplitud. b) Forma la taula amb les marques de classe i les freqüències. a) b) Freq. Marques Freq. Freq. Freq. Absolutes Absolutes de classe Absolutes Relatives Acumulades,5 x,5,5 x,5,5,5,5 x 7,5 9, 7,5 x,5,5 x,5,5 x 7,5,5 7,5 9 9, 9 5 7,5 x,5 7,5,5 9, 5 8,5 x,5,5,5,7 8 Suma Suma 9
Gràfics estadístics. En aquesta taula hi ha l esport preferit d un grup d escolars. Esport Futbol Bàsquet Natació Alumnes 5 5 8 Representa la informació en un gràfic. a) Per mitjà d un diagrama de barres. b) Per mitjà d un diagrama de sectors. a) 5 b) Natació 8 Nre. d alumnes 5 5 5 Futbol Bàsquet Esport Natació Bàsquet 5 Futbol 5. Les alçàries, en centímetres, de plantes d una determinada espècie són aquestes., 5,, 5,,8,9 5, 5,,, 5,9 5,8 5,7 5,,9 5, 5,, 5,9 5,8 a) Elabora una taula estadística per a aquestes dades agrupant-les en 8 intervals. b) Fes-ne l histograma amb les dades de la taula. a) b) Marques Freq. Freq. Freq. Absolutes de classe Absolutes Relatives Acumulades,8 x 5,9,5 5 x 5, 5,,5 5, x 5, 5,, 8 5, x 5, 5,5 8 8 5, x 5,8 5,7,5 8 5,8 x 5,9, 5 x,,,5 5 8, x,,, 8 Nre. de plantes 5,8 5, 5, 5, 5, 5,8,,, Alçària (cm) Suma Suma 97
Mitjana aritmètica. Moda. Mitjana. Calcula la mitjana aritmètica i la moda dels conjunts de dades següents. a) b) 7 8 7 c) 5 5 5 5 5 5 5 5 d) 5 7 5 7 5 a) La mitjana és,. Totes les dades són moda. 5 7 8 7 b) La mitjana és 5,8. La moda és 7. c) La mitjana és 5. La moda és 5. 5 7 5 7 5 d) La mitjana és,58. La moda és 5.. Troba la dada que falta en la sèrie 7 5 7 5 si saps que la moda és 5. Una vegada trobat la dada, calcula la mitjana aritmètica. 7 5 7 5 5 La dada que falta és 5. La mitjana aritmètica és 9 5,.5 Calcula la mediana dels conjunts de dades següents. a) 5 7 9 7 b) 5 7 c) 8 7 5 5 a) 5 7 7 9. En total hi ha 7 dades. La mediana és la dada que ocupa el t lloc. Per tant, la mediana és. b) 5 7. En total hi ha dades. La mediana és la a dada. Per tant, 5. c) 5 5 7 8. En total hi ha dades. La mediana és 5,5.. L estalvi de famílies al llarg d un any s expressa en la taula següent. a) Calcula l estalvi mitjà. b) Quina és la classe modal? c) Quina és la moda? d) Representa n l histograma i el polígon de freqüències. Estalvi (en euros) Nre. de famílies x x 5 x 8 5 8 x 9 x a) Marques Freq. Estalvi Marca Freqüència d) de classe Absolutes 5 x x 9 5 5 x 8 5 5 7 5 8 x 9 8 9 x 7 7 Suma Suma Nre. de famílies 5 5 5 5 8 Estalvi ( ) 5 L estalvi mitjà és: b) La classe modal és l interval 8 x. c) La moda és. Nre. de famílies 5 5 5 5 8 Estalvi ( ) 98
.7 El conjunt de dades següent representa el nombre de llibres que han llegit durant un any un grup d estudiants enquestats. 7 8 5 7 9 7 5 5 5 7 5 5 5 a) Quin tipus de dades són? b) Quin tipus de variable estadística és? c) Elabora una taula estadística en què es recullen les freqüències absolutes, les freqüències relatives i les freqüències absolutes acumulades. d) Calcula n la mitjana. e) Indica quina és la moda. f) Quina és la mediana de les dades? g) Representa la informació a través d un diagrama de barres. h) Fes-ne el polígon de freqüències. a) Són dades quantitatives. b) Es tracta d una variable estadística quantitativa discreta. c) Freq. Freq. Freq. Absolutes g) Dada Dada freq. Absolutes Relatives Acumulades,,,8 8 8, 8 Alumnes 9 8 7 5 5 7 8 9 Nre. de llibres,7 7 5 7 5,9 7 7 8,8 7 7 8, 8 8, 5 9 9,5 5 d) La mitjana és, e) La moda és llibres Suma Suma h) Alumnes 9 8 7 5 5 7 8 9 Nre. de llibres f) La mediana és. 99
Mesures de dispersió.8 Després de prendre s les mides, un grup d amics ha obtingut els següents resultats en centímetres. 5 7 75 7 9 7 7 9 7 7 75 9 7 7 No hi havia arribat Lluís, que fa 9 centímetres. a) S altera el valor del rang? b) Si Lluís mesurara 7 centímetres, s hauria alterat el valor del rang? a) El rang abans d arribar Lluís és 75. El rang després d arribar Lluís és 9. Per tant, sí que s altera. b) Si Lluís mesurara 7 centímetres, no s hauria alterat el valor del rang..9 Els jugadors de dos equips de futbol s han pesat i les dades, en quilograms, són les següents. Equip A: 7 5 7 5 59 7 5 9 8 Equip B: 8 8 7 77 7 9 8 7 7 7 a) Calcula el recorregut de cada equip. b) Calcula la mitjana en cada equip. c) Calcula la desviació mitjana per a cada equip. d) Quin equip té les dades més disperses? a) Recorregut de l equip A: 7 9 ; recorregut de l equip B: 8 9 5 5 59 5 8 7 7 7 b) Mitjana de l equip A:, 8 9 7 7 7 7 7 77 8 8 Mitjana de l equip B: 7,5 c) Equip A Diferències (Dada mitjana) Diferència 9,, 5,, 5,, 59,,,,,, 5,, 8 5, 5, 7 7, 7, 7 8, 8, 7 9, 9, 9, Equip B Diferències (Dada mitjana) Diferència,5,5 8,5,5 9,5,5 7,5,5 7,5,5 7,5,5 7,5,5 7,55,55 77,55,55 8 9,55 9,55 8,55,55 5, La desviació mitjana de l equip A és: 9,, La desviació mitjana de l equip B és: 5,,7 d) L equip A té les dades més disperses que l equip B.
Sucessos. Probabilitat.. Xavier té una bossa amb pintures de color taronja, groc i rosa. Sense mirar, hi trau dues pintures per a donar-les a Susanna. a) Escriu-ne l espai mostral. b) Indica n dos successos compatibles. c) Escriu-ne dos successos incompatibles. Suposem que hi ha diverses pintures de cada color. a) E {NN, NA, NR, AA, AR, RR} b) Són successos compatibles A { una de les pintures extretes és taronja } i B { una de les pintures extretes és groga }. c) Són successos incompatibles A { les dues pintures extretes són taronges } i B { alguna de les pintures extretes és rosa }.. D una bossa amb boles roges, de blaves, de verdes i de blanca, traiem una bola sense mirar. Calcula la probabilitat que la bola treta siga: a) Blava. b) Roja o blanca. c) Diferent de roja. a) P ( Traure bola blava ) C asos favorables, Casos possibles b) P ( Traure bola roja o traure bola blanca ) C asos favorables, Casos possibles c) P ( Traure bola diferent de roja ) C asos favorables 8,8 Casos possibles. Òscar demana a Albert que trie un nombre qualsevol del conjunt { 5 7 9}. a) Escriu els elements dels successos següents i calcula n les probabilitats. A Tria un nombre més gran que tres. B Tria un nombre parell. C Tria un nombre diferent de 7. b) Escriu els elements dels successos contraris. Calcula n les probabilitats. c) Hi ha cap succés impossible? Hi ha cap succés segur? a) A {5,7,9};B ; C {,,5,9} b) A {, }; B {,,5,7,9};C {7} c) El succés B és impossible, i el contrari d aquest és un succés segur.
PROBLEMES PER A APLICAR. En una maternitat s ha anotat en una taula el que han pesat els bebés en nàixer. Quilograms Xiquets Xiquetes, x,5 5,5 x, 7, x,5 5,5 x,, x,5 Troba: a) La mitjana aritmètica de les xiquetes i la dels xiquets. b) La classe modal dels xiquets i la de les xiquetes. c) Representa per mitjà d un histograma els pesos dels xiquets, i amb un altre, els de les xiquetes. a) Xiquets: Quilograms Marques de classe Freq. Absolutes Marca Freq., x,5,5,75,5 x,,75 7 9,5, x,5,5 5 8,75,5 x,,75 5, x,5,5 8,5 Suma Suma 98,5 Xiquetes: Quilograms Marques de classe Freq. Absolutes Marca Freq., x,5,5 5,5,5 x,,75,5, x,5,5,5,5 x,,75,5, x,5,5,5 Suma 8 Suma 85,5 La mitjana aritmètica dels pesos dels xiquets és 98, 5,7 La mitjana aritmètica dels pesos de les xiquetes és 8 5,5,5 8 b) La classe modal és, x,5, tant per als xiquets com per a les xiquetes. c) Nre. de xiquets 8 Nre. de xiquetes 8,,5,,5,,5 Pes (kg),,5,,5,,5 Pes (kg)
. Basant-te en l histograma següent: 9 5 5 a) Construeix una taula de freqüències. b) Quina és la mitjana de les dades? c) Quina és la classe modal? a) b) La mitjana de les dades és Marques Freq., Marca Freq. 8 de classe Absolutes c) La classe modal és x 5 5 x 7,5,5 x 5,5 9,5 5 x 7,5 5 Suma 8 Suma.5 Carme i Lola, Andrea i Mar fan unes proves de natació sincronitzada. Els jutges els donen les puntuacions següents. Parella Tècnica Compenetració Ritme Carme i Lola 9, 8,9 9, Andrea i Mar 9, 9,5 9, El pes de la puntuació de tècniques és ; el de la de compenetració,, i el de la de ritme,. Quin dels dos equips obté més puntuació? 9, 8,9 9, Obtenen més puntuació Andrea i Mar, ja que la puntuació de Carme i Lola és 9,5 9, 9,5 9, i la d Andrea i Mar, 9,. Completa les dades que falten en la taula. 8 Freqüència absoluta Freqüència relativa, Frec. Abs. Acumulada 8 Calcula n també la mitjana, la moda i la mediana. 8 Freq. Absoluta 5 8 5 8 Freq. Relativa,5,5,, Freq. Abs. Acumulada 8 5 8 8 La mitjana és 5,; la mediana és ; la moda és.
.7 Una fàbrica de bombetes té dues màquines. La màquina A produeix peretes defectuoses cada 5 bombetes fabricades. El nombre de bombetes defectuoses que produeix la màquina B és de per cada fabricades. Núria té una bombeta que funciona. Amb quina màquina és més probable que s haja fabricat? El més probable és que s haja fabricat amb la màquina B. La probabilitat que la bombeta isca defectuosa en la màquina A és 5,. La probabilitat que la bombeta isca defectuosa en la màquina B és,5.per tant, la probabilitat d una bombeta defectuosa és menor en la màquina B..8 Sílvia té cartes amb aquests nombres. 5 8 8 9 Les posa cap avall i després les baralla. El seu amic Mateu agafa una carta. Calcula la probabilitat que la carta triada siga: a) El 5. e) Parella. b) Major que. f) Menor que. c) Divisible per. g) Menor o igual que. d) Múltiple de. h) Major que 9. 5 a) P( Traure el 5 ), e) P( Traure parella ),5 7 b) P( Traure major que ), f) P( Traure menor que ),7 7 c) P( Traure divisible per ), g) P( Traure menor o igual que ),7 d) P( Traure múltiple de ), h) P( Traure major que 9 ).9 Les parelles A i B de patinatge artístic han obtingut les puntuacions següents. A 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,5 5, 5, B 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, Guanya la parella que tinga la puntuació mitjana més alta. En cas d empat guanya la parella que tinga la desviació mitjana més baixa. Quina serà la guanyadora? Guanya la parella B. La mitjana de les dues parelles és 5,. Les dades de la parella A es troben més disperses que les de la parella B. Per tant, la desviació en la parella B serà més baixa..5 L estatura mitjana de 5 persones és de 7 centímetres. Lara s uneix al grup i l estatura mitjana de les persones és de 9 centímetres. Quina és l estatura de Lara? La mitjana de les persones és ponderada de 7 (amb pes 5) i l edat de Lara. 5 7 x 9 x 9 7 5 79 cm. Lara mesura 79 cm..5 Posa un exemple de dos successos que siguen incompatibles però no contraris. Dins d una bossa hi ha boles amb els nombres {,,,, 5, }. Es considera l experiment aleatori extraure una bola. Els successos A { Traure un nombre parell } i B { Traure l } són incompatibles però no contraris.
REFORÇ Caràcters i variables estadístics.5 Indica en cada cas si el caràcter que es vol estudiar és qualitatiu o quantitatiu, i especifica en aquest cas si es tracta d una variable estadística discreta o contínua. a) Gènere favorit dels membres d una associació de cinèfils. b) Temps que dediquen setmanalment a fer esport els alumnes d un centre escolar. c) Vegades per setmana que mengen peix els habitants d una ciutat. a) Caràcter qualitatiu. b) Caràcter quantitatiu, variable estadística contínua. c) Caràcter quantitatiu, variable estadística contínua. Recompte de dades. Freqüències. Gràfics estadístics. Mitjana. Moda. Mediana.5 El nombre de piles reciclades per 5 persones en un mes és: 8 5 5 5 a) Quin tipus de variable estadística s estudia? b) Elabora una taula estadística amb les freqüències absolutes, les freqüències absolutes acumulades i les freqüències relatives. c) Fes un diagrama de barres. d) Representa les dades en un diagrama de sectors. a) És una variable quantitativa i discreta. b) Freq. Freq. Freq. Abs. c) Piles Absolutes Relatives Acumulades,7 5, 5 Freqüencies absolutes, 5 5,7 5 9 5 5, 9 5, 5 d) 7 Piles () Piles () 5 7 8 Nre. de piles Piles () Pile () Piles () 7 8,7 5 5 5 Piles () Piles () Piles () 5
Mesures de dispersió.5 Aquest diagrama de barres reflecteix les edats, en anys, dels joves que participen en un campament d estiu. 5 5 7 a) Quina és l edat mitjana del campament? b) Calcula n la moda. 9 c) Quina és l edat mitjana? d) Digues el rang de les edats. e) Calcula la desviació mitjana de les edats. 5 7 5 5 9 a) L edat mitjana és 8 5, 5 b) La moda és. c) L edat mitjana és. d) El rang és: 5. 7, 5,,7,7 9,7 e) La desviació mitjana és, 5 Successos. Probabilitat.55 Pilar va al viver a comprar un gerani. Vol comprar-lo de flors roges, però cap no té flors i estan tots mesclats. N agafa un a l atzar i se sap que n hi ha rojos, blancs i taronja. a) Quina probabilitat té d encertar? b) Quina probabilitat hi ha que passe el contrari? a) P( triar roig ), b) P( no triar roig ),,7 AMPLIACIÓ.5 Es passa una enquesta a cursos de n d ESO sobre les tasques domèstiques. Una de les preguntes és sobre el temps que es tarda a fer el llit. Els resultats han sigut els següents: Duració (minuts) x x x x 5 5 x Nombre d alumnes 5 8 a) Hi ha cap alumne que tarde minuts a fer el llit? I un minut? Raona les respostes. b) Quant de temps tarden, de mitjana, els alumnes a fer el llit? c) Quin percentatge d alumnes tarden menys de minuts a fer el llit? a) Cap alumne tarda minuts a fer el llit, ja que el valor x no pertany a cap interval. Podria haver-hi alumnes que tardaren minut a fer el llit, encara que no es puga garantir que siga així, ja que només es disposa de les dades agrupades.,5,5 5,5 8,5 5,5 b) La mitjana és,7 8 Marques de classe Freq. Absolutes Marca Freq. x,5,5 x,5 x,5 5 87,5 x 5,5 8 5 x 5,5 c) El percentatge d alumnes que tarden menys de dos minuts és,8% 8
.57 Tin en compte les dades 5 7, calcula n la mitjana, la moda i el rang. Si els multipliquem per, com es veuran afectats els paràmetres anteriors? La mitjana és 5 7 5,5. Totes les dades són moda. El rang és 7. Si multipliquem totes les dades per, els paràmetres també queden multiplicats per..58 La mitjana de 5 nombres és 9,. La mitjana d altres 7 nombres diferents és,8. Calcula: a) Quant sumen els 5 primers nombres. b) Quant sumen els altres 7 nombres. c) La mitjana de tots els nombres junts. a) Els 5 primers nombres sumen 9, 5 9. b) Els altres 7 nombres sumen,8 7 5,. c) La mitjana de tots els nombres és 9 5, 5,..59 Tres atletes A, B i C participen en una carrera. Considerant que no arriben a la meta al mateix temps, calcula la probabilitat dels successos següents. a) Que guanye A. c) Que guanye A o B. b) Que C hi arribe l últim. d) Que guanye C a) P( guanya A ) c) P( Que guanye A o B ) b) P( C hi arribe l últim ) d) P( Que guanye C ) PER A INTERPRETAR I RESOLDRE. L enquesta Els resultats d una enquesta entre alumnes es recullen en la taula següent. Edat Optativa Cultura C. Imatge Francés Cultura C. Imatge Francés Cultura C. Francés Imatge Imatge Albert ha emplenat aquesta taula de doble entrada amb les dades de l enquesta. Sofia, mirant una casella, assegura que està malament. Explica per què i corregeix la taula. Matèria optativa Cultura C. Imatge Francés Total E D 5 A T Total 5 Observem la casella de totals: l enquesta és entre alumnes, i en la taula apareixen. L error està en la columna d Imatge: cap alumne de anys va demanar aquesta assignatura. 7
. Daus de nombres primers Joan i Pilar juguen amb uns daus cúbics especials: les cares estan numerades amb els sis primers nombres primers. a) Escriu tots els resultats que poden obtenir si llancen els dos daus i calculen el producte de les puntuacions de cadascun. b) Observa el joc que proposa Joan i explica de manera raonada per què Pilar no accepta les condicions de Joan. Llancem els daus fins que el producte que obtinguem siga o 9 punts. Si ix 9, guanyes tu, i si ix, guanye jo. a) La taula indica el conjunt de tots els resultats possibles: b) Pilar no accepta les condicions perquè el joc no és equitatiu: és més probable que isca el que el 9. D A U P( que isca el ) ; P( que isca el 9 ) 5 7 5 5 5 7 D A 9 5 U 5 5 5 5 5 7 7 5 9.A AUTOAVALUACIÓ Per al conjunt de dades següent, 5 5 5 a) Calcula la mitjana, la moda i la mediana. b) Calcula el rang i la desviació mitjana. a) La mitjana és,5. La moda és. La mediana és. b) El rang és.,5,5,5,5 La desviació mitjana és 8,9.A En classe de Tecnologia faran un treball sobre el consum d energia. Ander i Zacaries consulten a casa les factures de l últim any per a saber quin consum han tingut. Aquestes són les dades en kwh. Ander 9 8 8 7 88 9 Zacaries 98 9 8 5 5 8 Fes un diagrama de barres per a cadascun. Ander Zacaries Consum (kwh) 95 9 85 8 75 7 5 E - F M - A M - J J - A S - O N - D Mesos Consum (kwh) 9 8 7 5 E - F M - A M - J J - A S - O N - D Mesos 8
.A.A.A5 Es llancen al mateix temps una moneda i un dau. a) Descriu-ne l espai mostral. b) Calcula la probabilitat de traure n nombre parell i una cara. a) L espai mostral associat en llançar una moneda i un dau al mateix temps és E {c, c, c, c, c5, c, x, x, x, x, x5, x} b) P( traure cara i parell ) c asos favorables casos possibles Un examen consta de dues parts. Per a calcular-ne la qualificació final, multipliquem per la nota de la primera part i per la nota de la segona. Mònica va obtenir un en la primera part i un 8 en la segona. Quina qualificació tindrà? La qualificació de Mónica és la mitjana ponderada entre les dues notes: 8 7, 5 5 L aniversari de Josep és el 9 de gener, i el de Victòria, el de juliol. Es pregunta a una persona per la data del seu aniversari. Calcula la probabilitat dels successos següents. a) Fa anys el mateix mes que Josep. b) Fa anys el mateix mes que Josep o Victòria. c) Coincideix amb el de Josep o el de Victòria. d) No coincideix amb cap dels dos. Com són els dos successos dels apartats c i d? Quant sumen les seues probabilitats? a) P c asos favorables c) P c asos favorables casos possibles casos possibles 5 b) P c asos favorables d) P c asos favo casos possibles casos po rables ssibles 5 Els successos dels apartats c i d són contraris. Les seues probabilitats sumen. Les visites de Ximena JUGANT AMB LES MATEMÀTIQUES Ximena té dos amics, Claudia i Gerard. Per a visitar Claudia ha de prendre el tren en direcció nord, i per a visitar Gerard ha de prendre el tren en direcció sud. Els dos trens passen cada minuts, i com Ximena s ho passa igual de bé amb els dos, ni es fixa si un tren va al nord o al sud, i pren el primer que passa. No obstant això, per algun motiu Ximena acaba visitant Claudia el 9% de les vegades i a Gerard només el % restant. Per què? Els dos trens arriben en dos minuts consecutius. Per exemple, el tren del nord arriba en els minuts,,,,, 5 de cada hora. El tren del sud arriba en els minuts,,,,, 5. La taula mostra el tren que agafa Ximena entre les. i les. en funció de l hora a la qual arribe a l estació: Per tant, en 9 de cada casos Ximena agafa el tren del nord. Hora d Arribada Tren. Nord. Sud. Nord. Nord. Nord.5 Nord. Nord.7 Nord.8 Nord.9 Nord 9