Tema 3 o - Sistemas de Ecuaciones Lineales Definición de Sistema y de Solución 2 Clasificación de los Sistemas atendiendo al n o de Soluciones 3 Sistemas de Cramer FÓRMULS DE CRMER 4 Teorema de Rouchée - Frobenius 5 Resolución de Sistemas Compatibles Indeterminados 6 Sistemas Homogéneos 7 Eliminación de Parámetros 8 Método de Gauss para Discutir y Resolver Sistema de Ecuaciones 8 Sistemas Equivalentes 82 Sistemas Escalonados 83 Método de Gauss 9 Método de la Matriz Inversa
Definición de Sistema y de Solución Llamamos sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas a m igualdades de la forma a x + a 2 x 2 + + a n x n = k a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = k 2 a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = k m los elementos a ij se les llama Coeficientes ( i =, 2,, m ; j =, 2,, n ) los k i se les llama Términos Independientes ( i =, 2,, m ) los x j se les llama Incógnitas del sistema ( j =, 2,, n ) la matriz a a 2 a n a 2 a 22 a 2n se le llama Matriz de Coeficientes asociada al sistema a m a m2 a mn la matriz a a 2 a n k a 2 a 22 a 2n k 2 se le llama Matriz mpliada asociada al sistema a m a m2 a mn k m toda n upla ( α, α 2,, α n ) se le llama Solución del sistema que satisfaga todas y cada una de las ecuaciones Clasificación de los Sistemas atendiendo al n o de Soluciones Sistemas Compatibles admiten solución Compatible Determinado una única solución 2 Compatible Indeterminado infinitas soluciones 2 Sistemas Incompatibles no admiten ninguna solución
Sistemas de Cramer Decimos que un sistema lineal de ecuaciones es de Cramer si es cuadrado (tiene las mismas ecuaciones que incógnitas) y el determinante de la matriz asociada al sistema es 0 a x + a 2 x 2 + + a n x n = k a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = k 2 a n x + a n2 x 2 + + a nn x n = k m a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn k k 2 k n 0 Teorema ) Un sistema de Cramer es COMPTIBLE DETERMINDO 2) La solución viene dada por : x = k a 2 a n k 2 a 22 a 2n k n a n2 a nn x 2 = a k a n a 2 k 2 a 2n a n k n a nn x n = a a n k a 2 a 2n k 2 a n a nn k n En general, x i = i) a k a n a 2 k 2 a 2n a n k n a nn Estas fórmulas se conocen por FÓRMULS DE CRMER
Teorema de Rouchée - Frobenius Consideramos el sistema : a x + a 2 x 2 + + a n x n = k a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = k 2 a nm x + a m2 x 2 + + a mn x n = k m a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn k k 2 k m }{{} B / entonces : ) El sistema es compatible Rango = Rango B / 2) Si Rango = Rango B / = N o de Incógnitas el sistema es compatible determinado 3) Si Rango = Rango B / < N o de Incógnitas el sistema es compatible indeterminado Como consecuencia, si Rango Rango B / el sistema es incompatible Ejemplo Discute, en función los valores de a, el sistema ax + y + z = x + ay + z = x + y + az = 2 a a a 2 B/
Rango de a a a = a3 3a + 2 = 0 si a = ó a = 2 si a = 2 2 2 0 R ( ) = 3 si a, 2 2 si a = 2 si a = si a = = 0 Rango de B/ a = 2 a = 2 2 2 = 0 R ( B/ ) = 2 2 0 R ( B/ ) = 2 R ( B/ ) = { 3 si a, 2 2 si a =, 2 si a, 2 R() = R(B/) = 3 = n o de incógnitas Sistema Compatible Determinado si a = R() = R(B/) = 2 Sistema Incompatible si a = 2 R() = 2 = R(B/) < n o de incógnitas Sistema Compatible indeterminado Resolución de Sistemas Compatibles Indeterminados Cogemos tantas ecuaciones independientes como rango tenga la matriz de coeficientes asociada al sistema y eliminamos las dependientes Nos quedamos en la izquierda con tantas incógnitas como ecuaciones tengamos ( salvo en algunos casos concretos podemos escoger estas incógnitas ) éstas las llamaremos incógnitas principales Las otras las trasponemos al miembro de la derecha junto a los términos independientes ( las llamaremos parámetros ) Obtendremos un sistema de Cramer cuyas incógnitas serán las incógnitas principales Los parámetros formaran parte de las soluciones; es por esto por lo que hay infinitas soluciones, una para cada valor que le demos a los parámetros l n o de parámetros que tengamos que introducir se le llama grado de indeterminación del sistema
Ejemplo Estudia según los valores de k, la compatibilidad del sistema ax + y + z = x + 2y + 3z = k 2x + 3y + 4z = k Resuélvelo para k = 2 3 2 3 4 0 k k B/ Rango de 2 0 2 3 2 3 4 = 0 R ( ) = = 2 k R Rango de B/ 0 2 k 2 3 k = 0 R ( B/ ) = 2 k R Por tanto, el sistema es compatible Indeterminado k R Vamos a calcular las soluciones para k = : Eliminamos la 3 a ecuación y la incógnita z la utilizamos como parámetro λ : x + y = λ x 2y = + 3λ } Sumamos las ecuaciones : y = + 2λ y = 2λ ; x = λ y = λ + 2λ = + λ Solución : x = λ y = 2λ + z = λ
Sistemas Homogéneos Un sistema se dice que es homogéneo si tiene todos sus términos independientes nulos Todos los sistemas homogéneos son compatibles, puesto que admiten la solucíón ( 0, 0,,0 ) llamada solución trivial Teorema de Rouchée - Frobenius para Sistemas Homgéneos Consideramos el sistema homogéneo : a x + a 2 x 2 + + a n x n = 0 a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn 0 0 0 B / entonces : ) El sistema siempre es compatible porque Rango = Rango B / 2) Si Rango = Rango B / = N o de Incógnitas el sistema es compatible determinado y, por tanto, sólo admite la solución trivial 3) Si Rango = Rango B / < N o de Incógnitas el sistema es compatible indeterminado Eliminación de Parámetros Cuando resolvemos un sistema compatible indeterminado, las incógnitas no principales las utilizamos como parámetros, que son valores reales susceptibles de variar hora queremos resolver el problema a la inversa: Supongamos un serie de ecuaciones paramétricas x = a λ + a 2 λ 2 + + a n λ n + k x 2 = a 2 λ + a 22 λ 2 + + a 2n λ n + k 2 x m = a m λ + a m2 λ 2 + + a mn λ n + k m Eliminar parámetros consistirá en encontrar un sistema de ecuaciones de incógnitas x, x 2,, x m cuyas soluciones sean éstas ecuaciones paramétricas Para ello consideramos las ecuaciones paramétricas como un sistema de ecuaciones de incógnitas λ, λ 2,, λ n a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn x k x 2 k 2 x m k m B / Para que este sistema admita solución debe de ser compatible, es decir, que Rango = Rango B Obligando a que Rango = Rango B encontraremos el sistema de ecuaciones buscado
Ejemplo Elimina parámetros de los sistemas : ) x = + λ + µ y = 2 λ + µ z = 3 + 4λ + 3µ 2 x y z B/ R ( ) = 2 ; para que R ( B/ ) = 2 x y z 2 = 0 3x 3y + 6 = 0 x + y = 2 Solución : x + y = 2
B) x = + λ y = + λ z = λ 3 x + y + z 5 }{{} B/ R ( ) = ; para que R ( B/ ) = se tiene que cumplir : x y 2 = 0 x + y = 0 x + y = x 3 z 5 = 0 3x + z = 4 Solución : x y = 3x + z = 4 }
MÉTODO DE GUSS para clasificar y resolver un sistema Sistemas Equivalentes Se dice que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo n o de incógnitas ( aunque puede tener distinto n o de ecuaciones ) y admite las mismas soluciones ; las formas de obtener sistemas equivalentes son las siguientes : lterando el orden de las ecuaciones 2 Multiplicando los dos miembros de una ecuación por el mismo n o 0 3 Sumándole a una ecuación otra ecuación multiplicada por un n o 0 4 Formando una ecuación que sea combinación lineal de todas o de algunas de las dadas y añadiéndola al sistema 5 Quitando una ecuación que sea combinación lineal de otra o de otras Sistemas Escalonados Decimos que un sistema es escalonado si es de la forma Ejemplo : x + y + z = 6 y + z = 5 z = 3 a x + a 2 x 2 + + a n x n = k a 22 x 2 + + a 2n x n = k 2 a mn x n = k m ; los sistemas escalonados son muy fáciles de resolver Método de Gauss El método de Gauss consiste en encontrar un sistema escalonado equivalente al dado ( utilizando los 5 puntos del primer apartado ) Lo que se suele hacer es utilizar la notación matricial, de modo que las filas serán ecuaciones y las columnas, incógnitas Para conseguir un sistema escalonado, hay que hacer ceros por debajo de la diagonal principal Ejemplo : Resolver el sistema : x + 5y + z = 3 3x + y 4z = 5 2x y + 3z = 4 ; lo o que hacemos es construir su forma matricial : 3 4 5 2 3 3 5 4 Para conseguir un cero en el 3 le sumamos a la 2 a ecuación ( fila ) la a multiplicada por -3 Para conseguir un cero en el -2 le sumamos a la 3 a ecuación ( fila ) la a multiplicada por 2 Obtenemos el sistema : 5 0 4 7 0 9 3 4 0 hora hay que conseguir un cero en el 9 sin perder los demás Para conseguirlo hay que hacer el cero a partir de la 2 a fila la 3 a ecuación le sumamos la 2 a multiplicada por 9 4
Obtenemos 5 0 4 7 0 0 2 3 4 que equivale al sistema x + 5y + z = 3 4y 7z = 4 2 z = La solución es sencilla de obtener : x = y = 0 z = 2 Veamos ahora ejemplos de sistemas compatibles indeterminados y de sistemas incompatibles : ) Resolver el sistema : x + y + z = 4 2x + y + 2z = x + 2y + 3z = 5 2 2 2 3 4 5 Para conseguir un cero en el -2 le sumamos a la 2 a ecuación ( fila ) la a multiplicada por 2 Para conseguir un cero en el - le sumamos a la 3 a ecuación ( fila ) la a Obtenemos el sistema : 0 3 4 0 3 4 4 9 9 Restando la 3 a y la 2 a fila, obtenemos 0 3 4 0 0 0 4 9 0 Una ecuación es una igualdad evidente 0 = 0 En este caso el sistema es compatible indeterminado Habría que resolverlo utilizando parámetros 2) Resolver el sistema : x + y + z = 4 2x + y + 2z = x + 2y + 3z = 6 2 2 2 3 4 5 Para conseguir un cero en el -2 le sumamos a la 2 a ecuación ( fila ) la a multiplicada por 2 Para conseguir un cero en el - le sumamos a la 3 a ecuación ( fila ) la a Obtenemos el sistema : 0 3 4 0 3 4 4 9 0 Restando la 3 a y la 2 a fila, obtenemos 0 3 4 0 0 0 4 9 Una ecuación es una igualdad falsa 0 = En este caso el sistema es incompatible y, por tanto, no se puede resolver
Método de la Matriz Inversa Sólo sirve para resolver sistemas de Cramer ( cuadrados y con 0 ) Supongamos un sistema de ecuaciones a x + a 2 x 2 + + a n x n = k a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = k 2 a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = k m Con matriz asociada y ampliada a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn k k 2 k n }{{} K 0 Si llamamos X a la matriz columna x x 2 x n podemos expresar el sistema en la forma : X = K Despejando X, tendremos que X = K De este modo obtenemos la solución del sistema en forma de columna Como vemos, hay que calcular la inversa de la matriz Para que dicha inversa exista, es necesario que 0 De ahí que este método sólo valga para sistemas