C U R S O: FÍSICA MENCIÓN MATERIAL: FM-3 CINEMÁTICA II Tipos de movimienos i) Movimieno recilíneo uniforme (MRU): cuando un cuerpo se desplaza con rapidez consane a lo largo de una rayecoria recilínea, se dice que describe un MRU. Como ejemplo supongamos que un auomóvil se desplaza por una carreera reca y plana, y su velocímero siempre indica una rapidez de 6 km/h, lo cual significa que: en 1 h el auo recorrerá 6 km, en 2 h recorrerá 12 km, en 3 h recorrerá 18 km. Si esos daos los llevamos a un gráfico de posición v/s iempo, su comporamieno sería el siguiene: (m) pendiene = Δ La ecuación de la reca nos permiirá enconrar la información de cada posición de la parícula en el iempo. Esa ecuación se denomina ecuación de iinerario. Noa: la velocidad es consane, ya que la pendiene es única. El signo de la velocidad se debe respear para el cálculo de desplazamienos. = posición inicial Si = (m), enemos () = v, conocida como la epresión d = v
A coninuación se mosrarán los comporamienos gráficos de la velocidad y aceleración en el iempo: pendiene = Δv Δ = aceleración (a) fig. 2 Como la velocidad es consane, implica que la aceleración en un MRU siempre es cero a(m/s 2 ) a = (m/s 2 ) fig. 3 ii) Movimieno recilíneo uniformemene acelerado: el movimieno con aceleración más sencillo, es el recilíneo, en el cual la velocidad cambia a razón consane, lo que implica una aceleración consane en el iempo. Noa: Cuando el vecor velocidad y aceleración ienen disino senido e igual dirección, el móvil disminuye su rapidez en el iempo se dice que es un movimieno reardado. Imaginemos un móvil esacionado en una posición a la derecha del origen (posición m), él comienza a moverse en línea reca, alejándose del origen aumenando su velocidad proporcional con el iempo, lo cual implica que su aceleración es consane. La siuación anerior represena un movimieno recilíneo uniformemene acelerado, lo cual será analizado gráficamene: 2
(m) fig. 4 La ecuación de iinerario generalizada esa represenada por: () = + v + 1 a 2 2 El comporamieno de la velocidad y aceleración en función del iempo es el siguiene: a(m/s 2 ) fig. 5 fig. 6 De acuerdo a la figura 5, podemos deerminar la velocidad insanánea que posee el móvil, enconrando la ecuación de la reca: v() = a El gráfico de la figura 6 muesra la aceleración que se obiene del gráfico de la figura 5. En la epresión generalizada para la velocidad insanánea hay que ener en cuena la velocidad inicial v : v() = v + a Las ecuaciones aneriores sirven para movimienos uniformemene acelerados, sólo hay que poner cuidado con el signo de velocidades y aceleraciones. 3
Qué indica el área bajo la curva en un gráfico? (m) fig. 7 Analizando dimensionalmene, el área (gráfico v/s ) genera una muliplicación de posición y iempo, lo cual en cinemáica no implica ningún concepo físico. v 1 v fig. 8 Δ El calculo del área (grafico v v/s ) genera una muliplicación de velocidad y iempo, con lo cuál podemos obener la disancia recorrida en un inervalo de iempo deerminado, para el cuál hay que omar el valor absoluo del área a calcular. También se puede obener desplazamieno oal eniendo en cuena el signo. Con el grafico de la figura 8, podemos demosrar la ecuación de iinerario de un movimieno recilíneo uniformemene acelerado, para la cual omaremos como posición inicial el origen ( = m). Calculando el área (rapecio) en inervalo de iempo Δ enemos: en la cual se obiene lo siguiene: Área = Área recángulo + Área riángulo = Área rapecio Área = v + 1 2 (v 1 v ) Uilizando un recurso maemáico, muliplicaremos por el neuro muliplicaivo la epresión del área del riangulo: Área = v + 1 2 (v 1 v ) Área = () = v + 1 2 (v 1 v ) 2 1 () = v + 1 2 a 2 4
a(m/s 2 ) fig. 9 El cálculo del área genera una muliplicación enre aceleración y iempo, con lo cual se puede obener la variación de velocidad (respeando los signos). Como analizar la velocidad insanánea en un gráfico v/s? (m) 1 2 fig. 1 Las pendienes de las recas angenes en 1 y 2, es un indicador de la velocidad insanánea en los respecivos insanes de iempo. Con eso logramos verificar que la rapidez de la parícula va aumenando en el senido posiivo. Con esa écnica podemos analizar un problema desde el puno de visa cualiaivo. 5
A coninuación veremos los disinos ipos de proporcionalidad que se dan en las ecuaciones que se ven en las ciencias físicas, es de mucha ayuda para la comprensión de los concepos enender cómo se relacionan las variables. Proporcionalidad Direca Si dos variables, e y, cumplen que y = k donde k es una consane, enonces se dice que e y son direcamene proporcionales y al graficar los disinos valores que oman esas variables se obiene el siguiene gráfico: y fig. 11 Un ejemplo de eso en física es: Es decir una línea reca que pasa por el origen. Se observa que a medida que crece la variable ambién aumena la variable y en la misma medida. Cuando se aplican disinas fuerzas sobre una misma masa la relación enre esas variables es: F = m a si m es consane la fuerza y la aceleración son direcamene proporcionales, por ejemplo si se duplica la fuerza enonces ambién se duplica la aceleración. Proporcionalidad Inversa En ese caso las variables cumplen que y = k, con k consane y se dice que e y son inversamene proporcionales, al graficar los disinos valores que oman esas variables se iene el siguiene gráfico: y Se observa que si una variable aumena la ora disminuye o viceversa, la curva corresponde a una hipérbola. fig. 12 Un ejemplo de eso en física es: Un móvil que debe recorrer una misma disancia (d) con rapideces disinas (v) usamos la relación d = v, donde d es consane y la rapidez es inversamene proporcional al iempo. Como la disancia es consane cuando el móvil recorra con una velocidad mayor enonces la ora variable que es el iempo disminuirá. 6
Proporcionalidad al Cuadrado Aquí una de las variables esa elevada al cuadrado y la relación enre esas variables puede ser de la forma y = a 2 donde, a es consane, en ese caso decimos que y es proporcional al cuadrado de ora forma de decirlo es que y es direcamene proporcional al cuadrado de. Cuando esamos en esa siuación la figura que se obiene al graficar los valores que oman las variables e y es: y fig. 13 Un ejemplo de eso en física es: La relación enre la energía cinéica (E C ) y la velocidad (v) es una proporcionalidad de ese ipo siendo la ecuación que las relaciona la siguiene: donde ½ m es consane. En esa epresión si la velocidad se duplica enonces la energía cinéica se cuadruplica, o si v disminuye a la miad enonces E C disminuye a la cuara pare, ec. Proporcionalidad Inversa al Cuadrado k Esa siuación se da cuando la relación enre las variables es de la forma y = donde k es 2 consane, se dice que y es inversamene proporcional al cuadrado de. Si se ienen disinos valores de e y al graficarlos obendremos lo siguiene: y Aquí ambién como en el caso de la proporcionalidad inversa si una de las variables crece la ora disminuye pero como una de las variables esa elevada al cuadrado, la variable, si esa crece al doble por ejemplo la variable y disminuye a la cuara pare. fig. 14 Un ejemplo de eso en física es: La curva corresponde a una parábola, cuando una de las variables se duplica () la ora se cuadruplica (y). E C = 1 2 m v2 La famosa Ley de la Graviación Universal donde se muesra la forma en que se araen dos masas. Por ejemplo la aracción enre la Tierra (m 1 ) y el Sol (m 2 ), la relación es la siguiene: F = G m m 1 2 2 d donde el produco G m 1 m 2 es consane. Si la disancia enre ambos cuerpos celeses fuese la miad de la acual enonces la fuerza de aracción enre ambos sería 4 veces mayor de lo que es ahora. 7
EJEMPLOS 1. Para un bus que avanzaba por la carreera se obuvo el siguiene comporamieno de su posición, respeco al bus se afirma que: I) Enre A y B iene igual rapidez que enre E y F. II) Hubo dos ramos durane los cuales el bus disminuye su velocidad. III) Enre E y F su rapidez es consane mienras que enre C y D esuvo deenido. (m) Es (son) correca(s) E 12 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 1 A C D 6 B F 4 6 8 12 16 fig. 15 2. Dos vehículos A y B esán viajando por la misma carreera solo que viajan con senido opueso. La figura 16 muesra el comporamieno de la rapidez de ambos móviles, al respeco se puede afirmar que 2 15 A B 1 2 4 7 fig. 16 A) hay res insanes en que A iene igual rapidez que B. B) el móvil B siempre avanzó, pero A hubo ramos en que se devolvió. C) Enre los 4 s y los 7 s ambos recorren igual disancia. D) a los 1 s ambos se encuenran en la misma posición. E) a los 1 s y a los 4 s A y B ienen igual rapidez. 3. Una moo viaja por una carreera y su velocidad se muesra en el gráfico adjuno. En relación a eso es correco que A) en un ramo se ve que la aceleración disminuye. B) durane seis segundos, esuvo deenido. C) recorre mayor disancia enre los 2 s y los 6 s que de 6 s a 12 s. D) desde los 6 s hasa los 12 s el móvil se devuelve. E) la disancia oal recorrida fue 36 m. 3 6 fig. 17 12 8
PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. Un auio se mueve según muesra el gráfico posición versus iempo de la figura 18, el desplazamieno que realizó ese móvil hasa los 6 s fue (m) A) 1 m B) -1 m C) 3 m D) -3 m 6 E) 4 m -1 2 fig. 18 2. Una moo se mueve en una carreera de acuerdo a lo que indica el gráfico posición iempo de la figura 19. Al calcular su rapidez media hasa los veine segundos el valor que se obiene es (m) A) 16 m/s B) 2 m/s C) 32 m/s D) 4 m/s E) 8 m/s 8 8 12 2 fig. 19 3. Los gráficos posición versus iempo de la figura 2 muesran el comporamieno de dos móviles P y Q, los cuales esuvieron en movimieno durane igual canidad de iempo. Es correco decir, en base a esos gráficos, que A) la rapidez de P esá aumenando. B) la rapidez de Q esá disminuyendo. C) Q recorrió una disancia oal mayor que P. D) la rapidez final de Q fue mayor que la final de P. E) la posición final de P es menor que la de Q. P fig. 2 Q 4. La figura 21 muesra dos gráficos uno de posición versus iempo para un móvil P y el oro de velocidad versus iempo de un móvil Q, enonces es correco afirmar que ano para P como para Q (m) A) la velocidad esá aumenando. B) la velocidad al inicio es cero. C) no eise aceleración. D) recorren disancias iguales en iempos iguales. E) odas las aneriores son falsas. P v (m/s) fig. 21 Q 9
5. Para un camión que se mueve sobre una pisa recilínea se obuvo el gráfico de velocidad versus iempo que muesra la figura 22, al respeco se hacen disinas afirmaciones: I) La rapidez del auo disminuyó enre E y F. II) En los inervalos A-B y F-G la rapidez esá aumenando. III) Las aceleraciones en los ramos C-D y E-F ienen igual signo. De esas afirmaciones es (son) falsa(s) A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 4 A B C D E G 4 6 1-2 F fig. 22 6. Un vehículo se mueve de al forma que su velocidad varía según muesra el gráfico de la figura 23. De acuerdo a ese gráfico la velocidad media del móvil hasa los dieciséis segundos es A) 15 m/s B) 1 m/s C) 5 m/s D) 2,5 m/s E) m/s 2 4 12 16-1 fig. 23 7. El gráfico de la figura 24 muesra el comporamieno de la velocidad, de dos móviles M y N cuyos valores fueron omados a parir de un mismo puno y avanzan con igual senido, en la misma dirección recilínea. En base a ese gráfico es correco afirmar que A) M y N se devuelven en uno de los ramos. B) en los punos A y B los móviles esán en la misma posición. C) hasa 1 ambos poseen la misma velocidad media. D) en los punos A y B ambos poseen igual aceleración. E) hasa 1 ninguno de los móviles ha eperimenado aceleración. v M N A 1 B fig. 24 1
8. El gráfico velocidad versus iempo de la figura 25, se obuvo para un cuerpo que se mueve recilíneamene. Se deduce del gráfico que la velocidad media y la rapidez media hasa los 18 s, son respecivamene A) -5 m/s 5 m/s B) -1 m/s 5 m/s C) 5 m/s -1 m/s D) m/s 5 m/s E) 5 m/s -5 m/s -1 18 fig. 25 9. Si un cuerpo cuya velocidad inicial es de 6 m/s se moviera de acuerdo a lo que muesra el gráfico de la figura 26, enonces sería correco afirmar que el cuerpo hasa los res segundos A) fue disminuyendo su velocidad. B) se movió con MRU. C) fue aumenando su velocidad. D) se movió con MRUA. E) se movió pero a los res segundos se deuvo. a(m/s 2 ) 6 fig. 26 3 (s) 1. El gráfico de la figura 27 muesra la velocidad versus iempo para dos cuerpos, M y N, en el se aprecian dos recas paralelas, basándonos en el gráfico es correco decir que la rapidez media A) es la misma para ambos cuerpos. B) es mayor en N. C) vale 5 m/s para M y 3 m/s para N. D) vale 35 para M y 15 para N. E) no es posible calcularla. 5 3 2 M N fig. 27 38 11. La disancia oal recorrida por un cuerpo, cuya posición en función del iempo se muesra en el gráfico de la figura 28, corresponde a (m) A) A + B B) ( A + B) / (C + D + E) C) A B D) A + 2B E) 2B A B A C D E fig. 28 11
12. Una moo se mueve de modo que su posición varía de acuerdo a lo indicado en el gráfico de la figura 29, de acuerdo a eso la velocidad media enre los s y los 16 s iene un valor igual a A) m/s B) (2/16) m/s C) (8/16) m/s D) 1 m/s E) 2 m/s (m) 2 4 fig. 29 12 16 13. Un camión se mueve de al forma que su velocidad esá dada por la epresión v = 4 + 5, de acuerdo a eso el gráfico que muesra en forma correca la velocidad del camión en función del iempo es A) v B) v C) v D) v E) v 14. Una persona avanzaba en biciclea por un carreera recilínea, ora persona anoaba los daos de velocidad versus el iempo para el ciclisa, con el gráfico obenido es correco afirmar que A) a los 5 s dejó de acelerar. B) inviere el senido de su movimieno a los 5 s. C) el signo de su aceleración no cambia. D) recorre mayor disancia de 5 s que de 5 a 1 s. E) el módulo de la velocidad media es igual a su rapidez media. CLAVES DE LOS EJEMPLOS 1C 2E 3C 6 5 1 fig. 3 DMDFM-3 Puedes complemenar los conenidos de esa guía visiando nuesra web hp://pedrodevaldivia.cl/ 12