TEMS DE MTEMÁTICS (Oposiciones de Secndaia) TEM 41 MOVIMIENTOS EN EL PLNO. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS. PLICCIÓN L ESTUDIO DE LS TESELCIONES DEL PLNO. FRISOS Y MOSICOS. 1. Intodcción. 2. Conceptos Básicos. 3. Movimientos en el Plano. 3.1. Taslaciones. 3.2. Gios. 3.3. Simetías. 3.3.1. Simetía Cental. 3.3.2. Simetía xial 4. Composición de Movimientos. 4.1. Podcto de Simetía xial po Taslación. 4.2. Podcto de Simetías xiales. 4.2.1. Ejes Paalelos. 4.2.2. Ejes no Paalelos. 4.3. Podcto de Gios. 4.4. Podcto de Simetías Centales. 4.5. Podcto de na Taslación po n Gio. 4.6. Podcto de n Gio po na Taslación. 5. Movimientos. 6. Teselaciones del Plano. 6.1. Fisos. 6.1.1. Tipos de Movimientos en los Fisos. 6.1.2. Clasificación de Fisos. 6.2. Mosaicos. 6.2.1. Tipos de Mosaicos. Bibliogafía Recomendada. 1/24
TEM 41 MOVIMIENTOS EN EL PLNO. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS. PLICCIÓN L ESTUDIO DE LS TESELCIONES DEL PLNO. FRISOS Y MOSICOS. 1. INTRODUCCIÓN. En este tema vamos a tata n tipo paticla de tansfomaciones en el plano: aqellas qe hacen coesponde a cada figa ota de igal foma y tamaño. Estas tansfomaciones eciben el nombe de movimientos, y son aplicaciones biyectivas del plano en sí mismo. De los axiomas de movimiento también podemos dedci qe son tansfomaciones biyectivas del plano qe consevan la alineación y el oden, y qe tansfoman segmentos y ánglos en otos igales. Paa defini n movimiento es sficiente detemina las imágenes de dos pntos del plano e indica la clase del movimiento (diecto o inveso). De esta manea, calqie oto pnto del plano tiene deteminada de foma nívoca s imagen. Recodemos qe na tansfomación es diecta si conseva la oientación e invesa en caso contaio. Los movimientos del plano qe vamos a estdia son las taslaciones, los gios y las simetías, y ss coespondientes composiciones. 2. CONCEPTOS BÁSICOS. DEF Llamaemos Vecto Fijo a pa odenado de pntos y B. El pnto ecibe el nombe de Oigen y el pnto B de Extemo. Un vecto fijo es eqivalente a n segmento dotado de oden. Como caacteísticas de los vectoes vamos a defini la diección, el sentido y el módlo. DEF Diemos qe dos vectoes fijos (,B) y (C,D) tienen la misma diección si están sitados sobe la misma ecta o sobe ectas paalelas. DEF Diemos qe dos vectoes (,B) y (C,D) con la misma diección tienen el mismo sentido si se veifica na de las dos condiciones sigientes: a) Si los vectoes están sitados en ectas paalelas y tazamos la ecta qe pasa po y C (el oigen de ambos vectoes), los pntos extemos, B y D, están en el mismo semiplano. b) Si los vectoes están sitados en la misma ecta, ambos tienen el mismo sentido qe n tece vecto con la misma diección y sitado en ota ecta paalela. DEF Dos vectoes fijos (,B) y (C,D) tienen el mismo módlo si los segmentos qe definen son igales. 2/24
Si definimos el conjnto de los vectoes fijos del plano, podemos defini sobe dicho conjnto na elación de eqivalencia de la sigiente manea: DEF Sean (,B) y (C,D) dos vectoes calesqiea del conjnto de los vectoes fijos del plano. Diemos qe dichos vectoes están elacionados si y sólo si tienen la misma diección, sentido y módlo. (,B) (C,D) (,B) y (C,D) tienen igal diección, sentido y módlo. PROP La elación anteio es de eqivalencia (también llamada de Eqipolencia). Inmediata. La elación de eqivalencia, o eqipolencia, qe hemos definido sobe el conjnto de los vectoes fijos del plano nos define n conjnto de clases de eqivalencia. Cada clase de eqivalencia ecibe el nombe de vecto libe, y se epesenta mediante na leta en minúscla con na flecha sobe ella, en contaposición con los vectoes fijos, qe se epesentan po ss dos letas (oigen y extemo po ese oden) con na flecha sobe ambas letas. [ B] = { XY / XY B} v = ~ Los conjnto de los vectoes libes del plano se epesenta po V 2. Veamos algnas popiedades de los vectoes libes. PROP Si v es n vecto libe y P n pnto calqiea del plano, existe n único epesentante de v con oigen en P. Sea B n epesentante calqiea de v. Vamos a distingi dos sitaciones: 1) El pnto P no petenece a la ecta qe define el vecto B. B P Q Tazamos po el pnto P na paalela a la ecta B y po B na paalela a la ecta P. El pnto de intesección, qe llamaemos Q, es único. Es tivial compoba qe po constcción obtenemos PQ ~ B. El vecto fijo qe definen los pntos P y Q es el único epesentante de v qe tiene oigen en P 2) El pnto P petenece a la ecta qe define el vecto B. 3/24
En este caso, elegimos n pnto O no peteneciente a la ecta B. continación obtenemos el único epesentante de v qe tiene oigen en O aplicando el caso 1. Po último, obtenemos el epesentante de v qe tiene oigen en P aplicando el caso 1 al vecto fijo consegido en el paso anteio. Veamos ahoa difeentes opeaciones qe podemos defini sobe el conjnto de vectoes libes del plano. DEF Sean y v vectoes libes. Definimos la sma de ambos vectoes como + v = [ OB] siendo O n pnto calqiea del plano, O n epesentante de y B n epesentante de v. PROP La definición dada de sma de vectoes no depende del pnto O elegido. O ' v +v v' B Sea O oto pnto calqiea del plano. Los pntos O O foman n paalelogamo, al igal qe los pntos BB. Entonces los pntos OBB O también foman n paalelogamo, dedciéndose qe OB ~ O'. Po tanto, la sma no depende del pnto O elegido. O' '+v' PROP La opeación sma de vectoes libes veifica las sigientes popiedades: 1) Conmtativa. 2) sociativa. 3) Elemento Neto. 4) Elemento Opesto. 1) y 2) son inmediatas. 3) Llamaemos 0 al neto de la sma siendo = [ ] definición qe es el neto. 0. Es fácil compoba con esa 4/24
4) Dado n vecto = [ B] definimos s opesto como = [ B]. También es inmediato compoba qe esa definición veifica la popiedad de se elemento opesto. Conclsión. El conjnto V 2 con la opeación de sma definida tiene estcta de gpo abeliano. (V 2, +) Gpo beliano. DEF Dado n vecto = [ B] definimos s podcto po n escala α, y se epesenta po α, como aqel vecto libe qe veifica: 1) La diección de los vectoes fijos qe componen la clase α es la misma qe la de los vectoes. 2) El sentido de los vectoes fijos qe componen la clase α es el mismo si α>0 y contaio si α<0. 3) El módlo de calqie vecto fijo qe epesenta la clase α es α mltiplicado po el módlo del vecto, B. PROP La opeación de podcto de n vecto po n escala veifica las sigientes popiedades: 1) Distibtiva especto de los vectoes: α ( + v ) = α + αv 2) Distibtiva especto de los escalaes: ( α + β) = α + β 3) Psedoasociativa: α ( β ) = ( αβ) 4) Elemento Unidad: 1 = Las demostaciones son inmediatas y no coesponden al objetivo del tema. Conclsión: El conjnto de los vectoes del plano, V 2, con las opeaciones intena y extena definidas tiene estcta de espacio vectoial. (V 2,+, ) es n espacio vectoial. 3. MOVIMIENTOS EN EL PLNO. 3.1. Taslaciones. DEF Sea n vecto calqiea de V 2. Llamaemos taslación de vecto a la aplicación E E a del conjnto de los pntos del plano en sí mismo qe tansfoma calqie pnto en oto veificándose qe = T : 2 2 En geneal, el vecto 0 y po tanto y seán pntos difeentes. En el caso de qe el vecto fese nlo, = paa todo pnto del plano, y la aplicación seía la identidad. 5/24
Podemos defini el conjnto de las taslaciones de vectoes del plano como: T = / V 2 { T } PROP Las taslaciones son tansfomaciones binívocas del plano en sí mismo. Tivial PROP Las taslaciones consevan las distancias y tansfoman ectas paalelas en ectas paalelas. Consevan las distancias. Sean y B dos pntos calesqiea del plano y y B ss imágenes po la aplicación T. Entonces se veifica qe = y B =. B pati de la figa podemos dedci qe: B = B = = = Po tanto B ~ Y obtenemos qe el módlo de ambos es el mismo. O lo qe es lo mismo, la distancia de a B se mantiene po la aplicación. Tansfoma ectas paalelas en ectas paalelas. Patiendo de lo obtenido anteiomente, los pntos BB deteminan n paalelogamo pes B ~ y ' = B. Po tanto también tansfoma ectas paalelas en ectas paalelas (y conseva los ánglos). PROP Una taslación de vecto no nlo no tiene pntos invaiantes. Inmediata. 6/24
En el conjnto T de las taslaciones de vectoes del plano, podemos defini na opeación intena, llamada composición o podcto, de la sigiente foma: DEF Sean T, T T v definida po ( T T )( ) T ( T ( ) ) v. Llamaemos composición o podcto de T y T v a la taslación o =. v Compobemos qe la definición es consistente y qe la aplicación obtenida como composición de taslaciones es na taslación. Si tenemos en centa qe: T o T y qe: ( )( ) = T ( T ( ) ) = T ( ) ' v v v = '' = + v obtenemos qe la composición de las taslaciones T y T v nos da como esltado ota taslación de vecto sma de los anteioes T PROP La opeación de composición de taslaciones veifica las sigientes popiedades: 1) sociativa 2) Conmtativa. 3) Elemento Neto. 4) Elemento Opesto. La demostación es inmediata ya qe esas popiedades las veifica la sma de vectoes en V 2 y sólo hemos de tene en centa qe la composición de taslaciones se edce a la taslación de la sma de los vectoes asociados. + v El elemento opesto es T 0 y el elemento inveso es T 1 = T Conclsión: El conjnto T con la opeación de composición definida tiene estcta de T,o Gpo Conmtativo. gpo conmtativo. ( ) PROP Los gpos (V 2,+) y ( T,o) son isomofos. Basta compoba qe la aplicación f: V 2 T definida como f ( ) = T es n isomofismo, lo cal es inmediato. 3.2. Gios. DEF Llamaemos gio de cento el pnto O y ánglo α a na aplicación delplano en sí mismo qe tansfoma cada pnto en oto veificando las condiciones: 7/24
1) Los vectoes O y O tienen el mismo módlo. 2) O = α La aplicación se denota po G O,α PROP Los gios veifican las sigientes popiedades: 1) Consevan las distancias, es deci, son Isometías 2) Tansfoman pntos alineados en pntos alineados. 1) O α β α B Sean y B dos pntos del plano y y B ss imágenes po G O,α Se tata de compoba qe el módlo de los vectoes B y B es el mismo, manteniéndose así la distancia ente dos pntos po medio del gio. Paa ello necesitamos demosta qe los tiánglos OB y OB son semejantes. Los tiánglos OB y OB tienen dos lados igales y n ánglo, qe son O=O OB=OB OB = α-β = OB Po tanto, el tece lado también coincide y B= B, lego el módlo de ambos vectoes es el mismo y la aplicación G O,α conseva las distancias. 2) B C Sean, B y C tes pntos alineados del plano y sean, B y C ss imágenes especto del gio G O,α. C' Po el apatado anteio tenemos qe se consevan las distancias ente los pntos, po tanto O C = B + BC = + C' = C' De aqí obtenemos qe si el pnto B está en el segmento qe foman y C, entonces el pnto B también está en el segmento deteminado po los pntos y C. sí pes tansfoma pntos alineados en pntos alineados. 8/24
PROP Los gios tansfoman cicnfeencias en cicnfeencias del mismo adio. Sea G O,α n gio de cento O y ánglo α. Sea también na cicnfeencia de cento el pnto C y adio. La imagen de C seá n pnto G O,α (C)=C y teniendo en centa qe conseva las distancias, tansfoma na cicnfeencia en ota. Como consecencia de estas popiedades podemos dedci qe los gios son tansfomaciones diectas, ya qe mantienen el sentido de los ánglos. Podemos defini el conjnto de todos los gios de cento O como: G O ={ G O,α / α } DEF En el conjnto G O definimos la opeación intena llamada composición o podcto como: G o G G O, β O, α = O, α + β La opeación es intena, ya qe dado n pnto calqiea del plano tenemos qe al aplicale la composición, la pimea aplicación lo gia n ánglo α y la segnda lo gia n ánglo β. Po tanto el esltado final ha sido n gio sma de ánglos, qe es ota aplicación qe está en el conjnto G O. PROP El conjnto G O con la opeación de composición o podcto veifica las sigientes popiedades: 1) Conmtativa. 2) sociativa. 3) Elemento Neto, G O,0º. 4) Elemento Opesto, dado G O,α s opesto es G O,-α. Inmediata. Conclsión: El conjnto de todos los gios con el mismo cento con la opeación de composición o podcto tiene estcta de gpo conmtativo. ( G O,o) Gpo Conmtativo. 3.3. Simetías. 3.3.1. Simetía Cental. DEF Dada na ecta, consideemos na semiecta sya con oigen en el pnto O. Llamaemos Simetía Cental de cento O al movimiento qe tansfoma la semiecta 9/24
de oigen en O en s semiecta opesta, y cada semiplano deteminado po la semiecta en el semiplano opesto. Podemos da como definición eqivalente de simetía cental la sigiente: DEF2 Llamamos simetía cental de cento O a na aplicación del plano en sí mismo qe tansfoma cada pnto en oto veificando qe el segmento tiene como pnto medio a O CRCTERÍSTICS. 1) Las simetías centales son movimientos diectos, ya qe los semiplanos qedan ambos a la deecha o a la izqieda de las semiectas consideadas. 2) El pnto O es el único pnto invaiante de la aplicación, también llamado pnto doble. R' O B R 3) Si es n pnto calqiea del plano y s imagen, se veifica qe O = O. Si B es oto pnto del plano, también se veifica qe O = OB y de aqí dedcimos qe = O O = OB + O = B PROP Las Simetías Centales veifican las sigientes popiedades: 1) Las ectas qe pasan po el cento de simetía se tansfoman en ellas mismas, es deci, son invaiantes. 2) Las ectas qe no pasan po el cento de simetía se tansfoman en ectas paalelas. 3) Consevan las distancias y los ánglos. 4) Son aplicaciones involtivas, lo cal significa qe aplicadas dos veces se convieten en la aplicación nidad o identidad. La demostación es inmediata sin más qe tene en centa qe na simetía cental de cento O es eqivalente a n gio de cento O y ánglo 180º. En geneal, las simetías centales veifican las mismas popiedades qe los gios, ya qe son n caso especial de éstos. 3.3.2. Simetía xial. DEF Llamaemos Simetía xial de eje al movimiento del plano qe deja invaiante na semiecta OR sitada en la ecta, cambiando los semiplanos qe detemina. 10/24
Ota definición altenativa de simetía axial podía se la sigiente: DEF2 Dada na ecta, llamaemos Simetía xial de eje a la aplicación del plano en sí mismo qe asocia a cada pnto del plano oto pnto tal qe el segmento tiene como mediatiz a la ecta. PROP Las simetías axiales son tansfomaciones involtivas, es deci, aplicadas dos veces se convieten en la aplicación identidad. PROP Los pntos qe foman el eje de na simetía axial son invaiantes po la simetía. Spongamos qe no es cieto. Sea P n pnto del eje y P s imagen po la simetía. Po la pimea definición, el segmento OP se tansfoma en OP, siendo no pate del oto. Y eso es na contadicción con los axiomas de movimiento. PROP Toda ecta pependicla al eje de na simetía, se tansfoma en sí misma. Dado n pnto no peteneciente al eje de la simetía se tansfoma en veificando qe el eje es la mediatiz del segmento qe deteminan. Po tanto, la ecta qe contiene al segmento es pependicla al eje (po definición de mediatiz). Lego todo pnto de na ecta pependicla se tansfoma en oto pnto de la popia ecta. Como conclsión obtenemos qe las ectas pependiclaes al eje son invaiantes. PROP Toda simetía axial es na isometía, es deci, conseva las distancias. P M Q B N Tenemos qe demosta qe el módlo del vecto B coincide con el del vecto B. Paa ello demostaemos qe los tiánglos ectánglos PB y QB son semejantes. Obtenemos los pntos P y Q tazando paalelas a po B y B espectivamente, y están sitados en la ecta qe contiene a los pntos y. Po definición de simetía tenemos qe M=M, BN=NB y PM=MQ Po la manea de obtene P tenemos qe PM=BN y MQ=NB. Entonces M = P + PM = P + BN M = MQ + Q = NB + Q = BN + Q 11/24
Y dedcimos qe P = Q Como B y B están en la misma ecta pependicla a y P y Q también están en ota ecta pependicla a, tenemos qe los cato pntos BB QP deteminan n paalelogamo, po lo qe PB=QB. sí pes tenemos qe ambos tiánglos tienen dos lados igales y el ánglo ectánglo también, po tanto, aplicando n citeio de semejanza de tiánglos tenemos qe ambos tiánglos son semejantes. De lo cal se dedce qe el tece lado de ambos tiánglos también coincide, veificándose qe B = B PROP Las Simetías xiales tansfoman pntos alineados en pntos alineados. Sea el eje de simetía y sean, B y C tes pntos alineados, sitados en el mismo semiplano. Ss imágenes po la simetía son, espectivamente,, B y C. Po la poposición anteio se consevan las distancias, lego: B = B BC = B C C = C Y como Entonces C = B + BC = B + B C C = B + B C siendo B n pnto inteio del segmento C. Po tanto, B y C están alineados. COROLRIO COROLRIO del mismo adio. Las simetías axiales tansfoman ectas en ectas. Las simetías axiales tansfoman cicnfeencias en cicnfeencias PROP Las simetías axiales tansfoman ánglos en ánglos igales peo de sentido contaio. Una semiecta s con oigen en n pnto O del eje de simetía se tansfoma en ota semiecta s con el mismo oigen, pes O es n pnto invaiante. El ánglo qe foma s con el eje se tansfoma en el qe foma s con el popio eje, qe son igales peo de sentido contaio, pes están en distinto semiplano. Conclsión: Las simetías axiales son movimientos invesos. 12/24
4. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS. 4.1. Podcto de Simetía axial po Taslación. DEF Llamaemos ntitaslación o Deslizamiento a todo movimiento qe sea igal a la composición o podcto de na simetía axial de eje po na taslación paalela al eje. El eje ecibe el nombe de eje de la antitaslación o eje del deslizamiento. El eje de na antitaslación o deslizamiento es la única ecta invaiante. B ' ' Dado n vecto B, s imagen po la simetía axial es el vecto B y aplicando la taslación de vecto nos da el vecto B Cando la taslación no es paalela al eje de la simetía se obtiene también na antitaslación, peo de eje paalelo al eje. pati de n vecto B se obtiene po la simetía n vecto B y aplicando la taslación de vecto obtenemos B. Paa halla el eje de simetía de la B antitaslación, éste viene dado como mediatiz del segmento qe ne el pnto con el pnto qe se obtiene como intesección de na paalela a qe pasa po con la pependicla a qe pasa po. ' ' 4.2. Podcto de Simetías xiales. 4.2.1. Ejes paalelos. ' Sean dos simetías axiales de ejes y espectivamente. Dado n pnto calqiea, po la pimea simetía obtenemos, y este pnto tiene como imagen po la segnda simetía. Po tanto, la imagen de po la composición de las dos simetías es, qe está en la ecta pependicla a ambos ejes. Se veifica qe ' = 2, donde es el vecto deteminado po dos pntos, no de cada eje, contenidos en na pependicla a los mismos. Como esto scede paa todos los pntos, el podcto de dos simetías axiales de ejes paalelos es na taslación de vecto 2. 13/24
4.2.2. Ejes no Paalelos. α Sean dos simetías axiales de ejes y espectivamente y n pnto calqiea del plano. Como los dos ejes no son paalelos, se cotan en n pnto qe llamaemos O y deteminan n ánglo α. O ' ' La imagen de po la simetía de eje es, y la imagen de este pnto po la ota simetía es. El ánglo O =2α, ya qe el eje es la bisectiz de O y el eje es la bisectiz de O. Lego la composición de dos simetías axiales de ejes no paalelos eqivale a n gio de cento O y ánglo 2α. 4.3. Podcto de Gios. Vamos a considea la composición o podcto de gios de distinto cento, ya qe si tienen el mismo cento ya lo hemos visto (como na opeación intena en el conjnto de los gios de cento O). s' C (α+ β)/2 β/2 O α/2 s Sean los gios G O,α y G O,β. Spongamos qe ambos ánglos son positivos. O' Tazamos la ecta qe pasa po los pntos OO y la llamamos. Como el pime gio tiene amplitd α, tazamos na ecta s qe foma con la ecta n ánglo α/2. Entonces el gio G O,α se pede descompone como podcto de dos simetías de ejes y s espectivamente; G = S o S G O,α s De foma análoga tazamos n eje s qe foma con el eje n ánglo β/2. Lego S o S O, β = s' Entonces GO, β o GO, α = ( S s' o S ) o ( S o Ss ) = S s' o ( S o S ) o S s = S s' o S s Y como la composición de las simetías de ejes s y s es n gio de cento C y ánglo α+β, tenemos qe la composición de dos gios de difeente cento es oto gio con oto cento y ánglo sma de los otos dos. 14/24
4.4. Podcto de Simetías Centales. Sea la pimea simetía cental la semiecta con oigen en O y la segnda simetía cental con oigen en O. O O' ' Se veifica: O = O O' ' = O' ' = + ' = 2O + 2 O' = 2OO' Como la imagen de n pnto po ambas simetías no depende del pnto elegido, tenemos qe el podcto de dos simetías centales de centos O y O es na taslación de vecto 2OO' 4.5. Podcto de na Taslación po n Gio. Sea T na taslación de vecto y G O,α n gio de cento O y ánglo α. O' α/2 O α/2 s' Sea na ecta pependicla al vecto qe pasa po el cento de Gio O. Sea s na ecta paalela a, qe veifica qe mediante na taslación de vecto /2 se tansfoma en. Sea s la ecta obtenida a pati de al aplicale el gio de cento O y ánglo α/2.. Entonces podemos descompone: T G = S O, = S o S s' s o S Entonces: G O, α o T = ( S s' o S ) o ( S o Ss ) = S s' o S s = GO ', α Po tanto, la composición de na taslación con n gio es oto gio con el mismo ánglo qe el anteio y distinto cento. 4.6. Podcto de n Gio po na Taslación. Sea G O,α n gio de cento O y ánglo α y T na taslación de vecto. Descomponemos el gio en podcto de las simetías S y S, siendo na ecta 15/24
pependicla al vecto po el pnto O. Descomponemos la taslación como podcto de las simetías S y S, cya distancia es la mitad del vecto. G S o S Sstityendo: T O, α = ' = S' ' o S ' T o G = S o S = G O, α '' O ',α O α/2 ' α/2 El podcto de ambas aplicaciones es n gio de cento O y ánglo α. Podemos obseva qe el podcto de gios y taslaciones no es na opeación conmtativa, ya qe vaía el cento de Gio. 5. MOVIMIENTOS. DEF Llamaemos Movimiento a toda tansfomación geomética qe se pede descompone en n númeo finito de simetías. Si el númeo de simetías es pa el movimiento es diecto y si es impa diemos qe es inveso. La definición tiene sentido pes acabamos de ve qe las taslaciones y los gios se peden expesa como podcto de dos simetías axiales. Po tanto, las taslaciones y los gios son movimientos diectos. Igalmente, na simetía cental es también n movimiento diecto, pes se pede intepeta como n gio de ánglo π. PROP Todo movimiento diecto pede edcise a n podcto de na taslación po n gio. Sean dos tiánglos BC y B C dos tiánglos homólogos en el movimiento. Una taslación de vecto tansfoma el tiánglo BC en el tiánglo B C. Si ahoa aplicamos n gio de cento el pnto y ánglo α (siendo α el ánglo fomado po los lados B y B ) tansfomamos el tiánglo B C en B C. Si el movimiento fese inveso, tendíamos qe añadi a la taslación y al gio na simetía axial de eje B. OBS La descomposición anteio no es única ya qe podemos enconta otas con na edcción mayo. TEOREM. Teoema de Chasles. Sean y B dos pntos del plano y y B ss imágenes po n movimiento. 1) Si los vectoes B y B no son eqipolentes y tienen distinta diección peo igal módlo, el movimiento pede edcise a n gio. O' '' 16/24
2) Si tienen la misma diección y módlo, peo no son eqipolentes, se edce a na simetía cental. 3) Si son eqipolentes, se edce a na taslación. 1) B α O Las mediatices de los segmentos B y B se cotan en n cieto pnto O, qe seá invaiante po la aplicación y cento de n gio de amplitd O. 2) B O En este caso los dos segmentos deteminan nivocamente na simetía cental qe tendá de cento el pnto medio de o de BB. 3) B En este caso, la aplicación qe tansfoma no en oto es na taslación de vecto. Como conclsión a todo lo qe hemos visto, podemos esmi qe: Todo movimiento diecto se pede edci a na composición de n númeo pa de simetías axiales, qe podemos limita a dos. Todo movimiento inveso se pede edci a na composición de n númeo impa de simetías axiales, qe podemos limita a tes. Las simetías axiales son las tansfomaciones elementales del gpo de los movimientos. Un movimiento sin pntos dobles es na taslación o na composición de taslación y simetía axial (dependiendo qe qe existan dos o más ectas invaiantes o sólo na). Un movimiento con tes pntos invaiantes no alineados es la identidad. Un movimiento (exclyendo la identidad) con al menos dos pntos invaiantes es na simetía axial. 17/24
Un movimiento con n único pnto invaiante es n gio o otación. 6. TESELCIONES DEL PLNO. DEF Llamamos Teselación del plano a na o vaias figas planas qe al epetise con eglaidad peden llena el plano. Los movimientos qe se peden aplica a la figa o figas del plano son: 1) Simetías axiales. 2) Taslaciones. 3) Gios. 4) ntitaslaciones o Deslizamientos. Las aplicaciones de las teselaciones nos las podemos enconta en los fisos y mosaicos. 6.1. Fisos. Los fisos son también conocidos con el nombe de cenefas y son figas donde el ato tiliza s ingenio geomético paa cea belleza po medio de la epetición. Podemos afima qe los pimeos fisos feon las hileas de dólmenes pehistóicos, lego los podemos enconta en las decoaciones de los templos egipcios y giegos, en las decoaciones textiles omanas, etc. En España los podemos enconta en s máximo esplendo en la edificación mslmana de la lhamba (Ganada). DEF Sea na cieta figa F y sea S(F) el gpo de simetía de F (S(F)=conjnto de isometías qe dejan invaiante F). Diemos qe F es n Fiso si veifica las dos condiciones sigientes: 1) Existe na ecta (qe pede esta o no dibjada) qe indica la acción y desaollo del fiso y qe pemanece invaiante po todas las isometías de S(F). 2) Existe na taslación T de vecto no nlo y paalelo a qe veifica qe dada calqie ota taslación T v qe deja invaiante el fiso, el vecto v es n múltiplo enteo de. 6.1.1. Tipos de Movimientos en los Fisos. a) Simetías xiales en Fisos. Nos podemos enconta na simetía axial especto de la ecta, S, y ota simetías S, siendo na ecta pependicla a. También es posible tene más simetías S, siendo ectas paalela a y sitadas a na distancia mitad del vecto o múltiplos enteos de. b) Gios en Fisos. 18/24
Son posibles todos los gios de cento n pnto O sitado en la ecta y ánglo 180º.. Pede existi más de n gio, peo todos debes de veifica qe ss centos se obtienen como taslación de vecto múltiplo enteo de de no calqiea de ellos. c) ntitaslaciones en Fisos. Las únicas antitaslaciones posibles son las qe se obtienen de mltiplica la 1 simetía axial de eje, S, con taslaciones de vecto n, T1 2. n 6.1.2. Clasificación de Fisos. La clasificación la vamos a ealiza en fnción de los movimientos qe se efectúen paa la obtención del Fiso. a) Taslación. Disponemos de na figa qe desplazamos a la deecha po medio de na taslación de vecto. 1 b) Taslación y simetía axial de eje paalelo al vecto de la taslación. pati de na figa obtenemos el fiso po medio de na taslación de vecto y ss múltiplos enteos y lego aplicamos na simetía axial. especto de n deteminado eje paalelo a. c) Simetía axial y taslación de vecto pependicla al eje de la simetía. Dada na figa, ealizamos na simetía de eje y lego scesivas taslaciones de vecto pependicla al eje de simetía. paecen así infinitas simetías obtenidas po taslación del eje según múltiplos enteos de. d) Taslación y antitaslación. 19/24
Dada na deteminada figa, se ealiza na taslación vecto 1 n + y eje, T 2 o S. 1 + n 2 T y na antitaslación de e) Gio de 180º y taslación. Dada na figa, ealizamos n gio de cento C sitado en na ecta y 180º. continación aplicamos taslaciones de vecto múltiplos de, siendo éste paalelo a la ecta. f) Simetía xial, Gio de 180º y Taslación. Se basa en el fiso anteio, al qe le añadimos na simetía axial de eje. g) Gio, ntitaslación y Taslación. plicando estos movimientos sgen simetías axiales especto de ejes veticales, peo no apaece la simetía axial de eje paalelo al vecto de la taslación. 6.2. Mosaicos. Los Mosaicos apaecen al intenta ecbi el plano de foma qe no qeden agjeos ni se podzcan solapamientos. lo lago de la histoia se han tilizado nos pocos diseños geométicos básicos. Se piensa qe en el viejo Egipto ya conocían de la existencia de 17 fomas de ecbi el plano mediante mosaicos peiódicos, y en la lhamba de Ganada existe na epesentación de 17 modelos. Fe el cistalógafo so Fedoov qien demostó en 1981 qe sólo hay 17 estctas básicas en mosaicos peiódicos. 20/24
6.2.1. Tipos de Mosaicos. a) Mosaicos Reglaes. DEF Son aqellos fomados po baldosas igales con foma de polígono egla. Los casos qe nos podemos enconta son baldosas con foma de: Tiánglos eqiláteos. Cadados. Hexágonos eglaes. Paa qe estas baldosas ecban completamente el plano, basta con qe veifiqen la sigiente popiedad: Si giamos el polígono egla con cento en no de ss vétices y ánglo igal al ánglo inteio del polígono, al cabo de n númeo finito de gios, n, alcanzamos la posición inicial, siendo el podcto de n po el ánglo de gio igal a 360º. Ota foma de obtene mosaicos es desplazando nas filas con especto a otas, siempe qe se peda. También podemos obtene otos mosaicos sin qe veifiqen la popiedad anteio. Basta con qe estén fomados po paalelogamos y tiánglos isósceles con na cieta eqianglaidad o eqilatealidad. Son, po ejemplo: 21/24
b) Polígonos Casieglaes. DEF Diemos qe n polígono es Casiegla si está fomado con baldosas igales y los polígonos qe se foman al ni los pntos medios de ss lados o ni ss centos deteminan nevos polígonos eglaes. Como ejemplo de obtención niendo ss pntos medios tenemos: c) Mosaicos Semieglaes. DEF Diemos qe n mosaico es semiegla si está compesto po dos o más tipos de polígonos eglaes en los qe existe n único tipo de polígono egla obtenido al ni ss pntos medios. 22/24
DEF Diemos qe n mosaico es semiegla si está compesto po dos o más tipos de polígonos eglaes en los qe s distibción alededo de calqie vétice del mosaico es siempe la misma. Los ocho mosaicos semieglaes qe existen son: d) Mosaicos Paaeglaes. Son mosaicos fomados po polígonos no eglaes. e) Mosaicos de Esche. El matemático holandés Maits Esche, conocido po ss configaciones imposibles, también intevino en el poceso de constcción de mosaidos. pati de na cieta loseta básica, ealizaba modificaciones peo manteniendo el áea de la misma. Un ejemplo es el sigiente mosaico, en el qe tiliza figas de animales: 23/24
Bibliogafía Recomendada. Cso de Álgeba y Geometía. t. Jan de Bgos. Ed. lhamba Univesidad. Geometía Mética y Poyectiva. t. Pig dam. Matemáticas de 4º de E.S.O. Difeentes editoiales. 24/24