Cinemática del robot

Cinemática del robot

Cinemática del robot La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia. La cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y la orientación del extremo final del robot con los valores ue toman sus coordenadas articulares. Existen dos problemas fundamentales a resolver en la cinemática del robot; el primero de ellos se conoce como el problema cinemático directo y el segundo como problema cinemático inverso.

Cinemática del robot El problema cinemático directo consiste en determinar cuál es la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas ue se toma como referencia, conocidos los valores de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot. El problema cinemático inverso, resuelve la configuración ue debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas.

Cinemática del robot Denavit y Hartenberg propusieron un método sistemático para describir y representar la geometría espacial de los elementos de una cadena cinemática, y en particular de un robot, con respecto a un sistema de referencia fijo. Este método utiliza una matriz de transformación homogénea para describir la relación espacial entre dos elementos rígidos adyacentes, reduciéndose así el problema cinemático a encontrar una matriz de transformación homogénea de 4x4 ue relacione la localización espacial del extremo del robot con respecto al sistema de coordenadas de su base.

Problema cinemático directo Dado ue un robot se puede considerar como una cadena cinemática formada por objetos rígidos o eslabones unidos entre sí mediante articulaciones, se puede establecer un sistema de referencia fijo situado en la base del robot y describir la localización de cada uno de los eslabones con respecto a dicho sistema de referencia. De esta forma, el problema cinemático directo se reduce a encontrar una matriz homogénea de transformación T ue relacione la posición y orientación del extremo del robot respecto del sistema fijo situado en la base del mismo. Esta matriz T será función de las coordenadas articulares.

Cadenas cinemáticas La resolución del problema cinemático directo consiste en encontrar las relaciones ue permiten conocer la localización espacial del extremo del robot a partir de los valores de sus coordenadas articulares. Así, si se han escogido coordenadas cartesianas y ángulos de Euler para representar la posición y orientación del extremo de un robot de seis grados de libertad, la solución al problema Cinemático directo vendrá dada por las relaciones:

Cadenas cinemáticas La obtención de estas relaciones no es en general complicada, siendo incluso en ciertos casos (robots de pocos GDL) fácil de encontrar mediante simples consideraciones geométricas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, f f f f z f y f x z y x γ β α γ β α = = = = = =

Cadenas cinemáticas Por ejemplo para un robot de 2 GDL ue se muestra en la figura, es fácil comprobar ue: x = l y = l cos + l2 cos sen + l 2 sen ( + 2 ) ( + ) 2 Para robots de más grados de libertad puede plantearse un método sistemático basado en la utilización de las matrices de transformación homogénea. Robot planar de 2 GDL

Cadenas cinemáticas En general, un robot de n grados de libertad está formado por n eslabones unidos por n articulaciones, de forma ue cada par articulación-eslabón constituye un grado de libertad. A cada eslabón se le puede asociar un sistema de r e f e r e n c i a s o l i d a r i o a é l y, u t i l i z a n d o l a s transformaciones homogéneas, es posible representar las rotaciones y traslaciones relativas entre los distintos eslabones ue componen el robot.

Cadenas cinemáticas Normalmente, la matriz de transformación homogénea ue representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot se suele denominar matriz i- A i. Así pues, A describe la posición y orientación del sistema de referencia solidario al primer eslabón con respecto al sistema de referencia solidario a la base, A 2 describe la posición y orientación del segundo eslabón respecto del primero, etc.

Cadenas cinemáticas Del mismo modo, denominando A k a las matrices resultantes del producto de las matrices i- A i con i desde hasta k, se puede representar de forma total o parcial la cadena cinemática ue forma el robot. Así, por ejemplo, la posición y orientación del sistema solidario con el segundo eslabón del robot con respecto al sistema de coordenadas de la base se puede expresar mediante la matriz A 2 : A 2 = A A 2

Cadenas cinemáticas De manera análoga, la matriz A 3 representa la localización del sistema del tercer eslabón: A 3 = A A 2 2 A 3 Cuando se consideran todos los grados de libertad a la matriz A n se le suele denominar T. Así, dado un robot de seis grados de libertad, se tiene ue la posición y orientación del eslabón final vendrá dada por la matriz T: T = A 6 = A A 2 2 A 3 3 A 4 4 A 5 5 A 6

Cadenas cinemáticas Aunue para describir la relación ue existe entre dos elementos contiguos se puede hacer uso de cualuier sistema de referencia ligado a cada elemento, la forma habitual ue se suele utilizar en robótica es la representación de Denavit-Hartenberg. Denvit-Hartenbarg en 955 propusieron un método matricial ue permite establecer de manera sistemática un sistema de coordenadas {S i } ligado a cada eslabón i de una cadena articulada, pudiéndose determinar a continuación las ecuaciones cinemáticas de la cadena completa.

Cadenas cinemáticas Según la representación de D-H, escogiendo adecuadamente los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabón, será posible pasar de uno al siguiente mediante 4 transformaciones básicas ue dependen exclusivamente de las características geométricas del eslabón. Estas transformaciones básicas consisten en una sucesión de rotaciones y traslaciones ue permiten relacionar el sistema de referencia del elemento i con el sistema del elemento i-.

Cadenas cinemáticas Las transformaciones básicas son las siguientes:. Rotación alrededor del eje z i- un ángulo θ i. 2. Traslación a lo largo de z i- una distancia d i ; vector d i (,,d i ). 3. Traslación a lo largo de x i una distancia a i ; vector a i (a i,,). 4. Rotación alrededor del eje x i un ángulo α i.

Cadenas cinemáticas Dado ue el producto no es conmutativo las transformaciones se han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene ue: i- A i = Rot(z,θ i ) Tras(,,di) Tras(a i,,) Rot(x,α i ) y realizado el producto entre matrices: = = cos cos cos cos i i i i i i i i i i i i sen sen a d sen sen α α α α θ θ θ θ A

Cadenas cinemáticas i A i = cosθi senθi cosα senθ cosα cosθ i i senα i i i senα senθ i senα cosθ i cosα i i i ai cosθi a isenθi d i donde θ i, a i, d i, α i, son los parámetros D-H del eslabón i. De este modo, basta con identificar los parámetros θ i, a i, d i, α i para obtener las matrices A y relacionar así todos y cada uno de los eslabones del robot.

Algoritmo Denavit-Hartenberg para la obtención del modelo cinemático directo D-H. Numerar los eslabones comenzando con (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón a la base fija del robot. D-H 2. Numerar cada articulación comenzando por (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n. D-H 3. Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.

Algoritmo Denavit-Hartenberg para la obtención del modelo cinemático directo D.H 4. Situar el origen del sistema en la base {S } en cualuier punto del eje z. Los ejes x y y se situarán de modo ue formen un sistema de dextrógiro con z. D.H 5. Para i de a n-, situar el sistema {S i } (solidario al eslabón i) en la intersección del eje z i con la línea normal común a z i- y z i. Si ambos ejes se cortasen se situaría {S i } en el punto de corte. Si fuesen paralelos {S i } se situaría en la articulación i+. D-H 6. Situar x i en la línea normal común a z i- y z i o en la dirección normal a los planos z i- -z i si z i- y z i se intersectan.

Algoritmo Denavit-Hartenberg para la obtención del modelo cinemático directo D-H 7. Situar y i de modo ue forme un sistema dextrógiro con x i y z i. D-H 8. Situar el sistema {S n } en el extremo del robot de modo ue z n coincida con la dirección de z n- y x n sea normal a z n- y z n. D-H 9. Obtener θ i como el ángulo ue hay ue girar en torno a z i- para ue x i- y x i ueden paralelos.

Algoritmo Denavit-Hartenberg para la obtención del modelo cinemático directo D.H. Obtener d i como la distancia, medida a lo largo de z i-, ue habría ue desplazar {S i- } para ue x i y x i- ueden alineados. D.H. Obtener a i como la distancia medida a lo largo x i (ue ahora coincidiría con x i- ) ue habrá ue desplazar el nuevo {S i- } para ue su origen coincidiese con {S i }. D.H 2. Obtener α i como el ángulo ue habría ue girar en torno a x i (ue ahora coincidiría con x i- ), para ue el nuevo {S i- } coincidiese totalmente con {S i }.

Algoritmo Denavit-Hartenberg para la obtención del modelo cinemático directo D.H. 3. Obtener las matrices de transformación i- A i. D.H. 4. Obtener la matriz de transformación ue relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot T = A, A 2,.. n- A n. D.H 5. La matriz T define la orientación y posición del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares.

Algoritmo Denavit-Hartenberg para la obtención del modelo cinemático directo Los cuatro parámetros de D-H (θ i, a i, d i, α i ) dependen únicamente de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones ue le unen con el anterior y el siguiente. Estos parámetros se muestran en la siguiente figura y representan: θ i es el ángulo ue forman los ejes x i- y x i medido en un plano perpendicular al eje z i-, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias.

Algoritmo Denavit-Hartenberg para la obtención del modelo cinemático directo d i es la distancia a lo largo del eje z i- desde el origen del sistema de coordenadas (i-)-ésimo hasta la intersección del eje z i- con el eje x i. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas. a i es la distancia a lo largo del eje x i ue va desde la intersección del eje z i- con el eje xi hasta el origen del sistema i-ésimo, en el caso de articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia más corta entre los ejes z i- y z i.

Algoritmo Denavit-Hartenberg para la obtención del modelo cinemático directo α i es el ángulo de separación del eje z i- y el eje z i, medido en un plano perpendicular al eje x i, utilizando la regla de la mano derecha. Una vez obtenidos los parámetros D-H, el cálculo de las relaciones entre los eslabones consecutivos del robot es inmediato. Obtenida la matriz T, ésta expresará la orientación y posición del extremo del robot en función de sus coordenadas articulares, con lo ue uedará resuelto el problema cinemático directo.

Algoritmo Denavit-Hartenberg para la obtención del modelo cinemático directo Representación D-H para un eslabón giratorio

Manipulador de dos eslabones Considere el robot de dos eslabones ue se muestra en la figura. Hallar la solución al problema cinemático directo. Manipulador de dos eslabones

Manipulador de dos eslabones Se obtiene la tabla de parámetros y se determinan las matrices A.

Manipulador de dos eslabones Obtenemos la matriz de transformación T La posición del efector final con respecto a la base está dada por:

Robot cilíndrico de tres eslabones Considere ahora el robot cilíndrico de 3 eslabones representado simbólicamente en la siguiente figura. Robot cilíndrico

Robot cilíndrico de tres eslabones Los parámetros se muestran en la siguiente tabla.

Robot cilíndrico de tres eslabones Se hallan las matrices A y T.

Muñeca esférica Una configuración de muñeca esférica se muestra en la siguiente figura, en la cual los ejes de las articulaciones z 3, z 4, z 5 se intersecan en o (origen).

Muñeca esférica Los parámetros Denavit-Hartenberg se muestran en la siguiente tabla. El manipulador Stanford es un ejemplo de un manipulador ue tiene una muñeca de este tipo.

Muñeca esférica Se calculan las matrices A.

Muñeca esférica Se resuelve la matriz de transformación T.

Manipulador cilíndrico con muñeca esférica Supongamos ue ahora fijamos una muñeca esférica al manipulador cilíndrico del ejemplo anterior. Note ue el eje de rotación del eslabón 4 es paralelo a z 2 y coincide con el eje z 3 del ejemplo anterior. Entonces podemos decir ue la cinemática directa está dada por:

Manipulador cilíndrico con muñeca esférica Manipulador cilíndrico con muñeca esférica.

Manipulador cilíndrico con muñeca esférica Desarrollamos la matriz T:

Robot SCARA Considere el robot SCARA ue se muestra en la figura.

Robot SCARA La tabla de parámetros D-H es:

Robot SCARA Las matrices A son las siguientes:

Robot SCARA La matriz de transformación T ueda como:

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot cilíndrico Robot cilíndrico

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot cilíndrico Se localizan los sistemas de referencia de cada una de las articulaciones del robot. Posteriormente se determinan los parámetros de Denavit-Hartenberg del robot con los ue se construye la siguiente tabla. Articulación θ d a α θ l 2 d 2 9 3 d 3 4 θ 4 l 4

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot cilíndrico Una vez calculados los parámetros de cada eslabón, se calculan las matrices A como sigue: = cos cos l sen sen θ θ θ θ A = cos cos 4 4 4 4 4 4 3 l sen sen θ θ θ θ A = 3 3 2 d A = 2 2 d A

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot cilíndrico El resultado de la matriz T es el siguiente: ( ) ( ) + + + = = 2 4 4 4 3 4 4 4 3 4 4 4 3 3 2 2 l d C S l d S S C S C C l d C C S S S C A A A A T

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot IRB64C En primer lugar y siguiendo el algoritmo Denavit- Hartenberg, se localizan los sistemas de referencia de cada una de las articulaciones del robot como se muestra en la figura. Posteriormente se determinan los parámetros de Denavit-Hartenberg del robot con los ue se construye la tabla de parámetros.

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot IRB64C Asignación de ejes de referencia para el robot IRB64C.

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot IRB64C Tabla de parámetros D-H. Articulación θ d a α θ -9 2 θ 2 l 9 3 l 2 9 4 θ 4 l 3-9 5 θ 5 9 6 θ 6 l 4

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot IRB64C Se calculan ahora las matrices A, sustituyendo en la expresión general de la siguiente manera:

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot IRB64C Así pues, se puede calcular la matriz T ue indica la localización del sistema asociado al extremo del robot con respecto de referencia de la base del robot:

Resolución completa del problema cinemático directo para un robot IRB64C A continuación se desarrollan los términos de la matriz T.

Tarea Para el robot simple mostrado en la siguiente figura, asigne los sistemas coordenados necesarios basándose en el algoritmo D-H y llene la tabla con los parámetros. Por último halle la solución al problema cinemático directo.

Solución Se sitúan los ejes de acuerdo al algoritmo D-H

Solución Se hallan los parámetro de D-H y se llena la tabla

Solución Se escriben las transformaciones entre cada articulación sucesiva.

Solución

Solución La transformación total entre la base del robot y la mano es:

Ejercicio El brazo Stanford. Asigne los sistemas coordenados al brazo Stanford de la siguiente figura. El brazo Stanford es un brazo de coordenadas esféricas, lo ue significa ue sus dos primeras articulaciones son rotatorias y la tercera es prismática.

Solución del brazo Stanford La asignación de sistemas del brazo y la tabla de parámetros son los siguientes:

Solución del brazo Stanford