Taller de Cálculo Avanzado - Segundo Cuatrimestre de 2008 Práctica 3 Topología. Decir qué propiedades (abierto, cerrado, acotado) tienen los siguientes conjuntos. (a) Q. (b) N. (c) {x R : x > 0}. (d) (0, ]. (e) { + 4 + 9 + + n 2 : n N }. (f) { + 2 + 3 + + n : n N}. 2. Sean S, T subconjuntos de R. Demostrar las propiedades siguientes: (a) S = {p R n / ε > 0 tal que B(p, ε) S}. (b) Si S T entonces S T. (c) (S T ) = S T. Se puede generalizar esta igualdad a una intersección infinita? (d) (S T ) S T. Vale la igualdad? (e) S T = S T. Se puede generalizar esta igualdad a una unión infinita? (f) S T S T. Vale la igualdad? (g) (R S) = R S. 3. En cada uno de los siguientes casos hallar S, S y S. (a) S = [0, ]. (b) S = Q [0, ]. (c) S = [, 0) {}. (d) S = { n, n N}. { (e) ( ) n n +n }. : n N 4. Sea S R. (a) Demostrar que S es abierto si y sólo si es disjunto con S. (b) Demostrar que S es cerrado si y sólo si S S. 5. Sea S R, demostrar que p S si y sólo si todo entorno de p contiene un punto en S y un punto que no está en S.
6. Si S R notamos con S al conjunto de todos los puntos de acumulación de S. (a) Hallar S para cada uno de los conjuntos del ejercicio 3. (b) Un punto p S se dice punto aislado de S si existe ε > 0 tal que (p ε, p + ε) S = {p}. Demostrar que S = S {puntos aislados de S}. 7. Hallar los puntos de acumulación del conjunto S = {( n + m) : n, m N }. Hallar la adherencia S. 8. Hallar todos los subconjuntos no vacíos de R que son a la vez abiertos y cerrados. 9. Probar que todo conjunto abierto A de R es la unión de una colección, a lo sumo numerable, de intervalos abiertos, posiblemente no acotados, disjuntos. Sugerencia. Sea {x n } una enumeración de los racionales que pertenecen a A. Para cada x n considerar el conjunto U n = I donde la unión se toma sobre todos los intervalos abiertos I que están contenidos en A. Probar que U n es un intervalo abierto no vacío. Finalmente convencerse de que puede extraerse una subcolección {U nk } de intervalos de {U n }, disjuntos dos a dos, cuya unión es A. Funciones Continuas 0. Sea f : R R, A, B R y X, Y R. Decidir en cada caso si corresponde, ó = y probarlo. (i) f(a B)...... f(a) f(b) (ii) f (X Y )...... f (X) f (Y ) (iii) f(a B)...... f(a) f(b) (iv) f (X Y )...... f (X) f (Y ) (v) f(ca)...... C(f(A)) (vi) f (CX)...... C(f )(X). Sea f : R R una función continua tal que f(x) = f(y) para todo x, y Q. Demostrar que f es una función constante. Deducir que dos funciones continuas que coinciden sobre Q son la misma función. 2. Hallar todos los puntos donde la función f es continua, siendo (a) f : [0, ] [0, ] la función: f(x) = { x, si x Q x si x / Q. (b) f : R R la función: f(x) = b si x = a b con a, b Z coprimos y b > 0 0 si x / Q. 3. Sea f : [a, b] [a, b] continua. Demostrar que existe c [a, b] tal que f(c) = c. Sugerencia. Considerar la función x f(x). 2
4. Sea f : R R. Probar que son equivalentes: (a) f es continua (en todo R). (b) f (O) es abierto para todo O R abierto. (c) f (F ) es cerrado para todo F R cerrado. 5. Sea K R n un conjunto compacto y sea f : K R una función continua tal que f(x) > 0 para todo x K. Probar que existe α > 0 tal que f(x) > α para todo x K. Continuidad Uniforme 6. Estudiar la continuidad uniforme de las funciones siguientes: (a) f : R R siendo f(x) = x. (b) f : R R siendo f(x) = x 2. (c) f : (r, + ) R siendo f(x) = x, con r = 0 y con r > 0. (d) f : (0, ) R siendo f(x) = sin( x ). (e) f : R R siendo f(x) = +x 2. (f) f : R R siendo f(x) = d(x, S), donde S R. 7. Sea S R un conjunto arbitrario y sean f, g : S R funciones uniformemente continuas. (a) Probar que f + g es uniformemente continua. (b) Mostrar con un ejemplo que f g no necesariamente es uniformemente continua, aún si alguna de las funciones f ó g es acotada. (c) Probar que si h : f(s) R es otra función uniformemente continua entonces h f : S R también lo es. 8. Sea f : R R una función que es uniformemente continua en los intervalos [a, b] y [b, c]. Probar que f es uniformemente continua en [a, c]. Es cierto que si f es una función uniformemente continua sobre un conjunto A R y también sobre un conjunto B R, entonces lo es en A B? 9. Sea f : R R, x 0 y α números reales. Se dice que f es localmente Lipschitz de orden α en el punto x 0 si existen ε, M R >0 tales que f(x) f(x 0 ) < M x x 0 α para todo x tal que 0 < x x 0 < ε. M se llama la constante de Lipschitz de f. Cuando el orden α = decimos, simplemente, que f es Lipschitz. (a) Demostrar que si f es localmente Lipschitz de orden α > 0 en x 0 entonces f es continua en x 0. (b) Mostrar que si f es localmente Lipschitz de orden α > en x 0, entonces es derivable en x 0 y f (x 0 ) = 0. 3
20. Sea f : [, ] R la función f(x) = 3 x. Demostrar que f no es Lipschitz pero sin embargo f es uniformemente continua (en particular unif. cont. Lipschitz ). 2. Sea S R y sea f : S R una función Lipschitz con constante igual a M <. Demostrar que si S es cerrado, y f(s) S entonces existe y S tal que f(y) = y, en otras palabras, f tiene un punto fijo. Sugerencia. Considerar la sucesión (x n ) n N en S construída recursivamente así: x S cualquiera, si x n está definido se toma x n+ := f(x n ), en otras palabras, x n+ := f (n) (x ). Demostrar que (x n ) n N es una sucesión de Cauchy; tomar y = lim n x n. Mostrar con un ejemplo que el resultado es falso si no se supone S cerrado. 22. Sea f : R R la función f(x) = x+ x 2 + 2. Demostrar que f es Lipschitz con M = pero que f no tiene puntos fijos. Sugerencia. Considerar la función g : K R definida como g(x) = x f (x). 23. Considérese el conjunto Q (0, ). Dado que este conjunto es numerable e infinito se puede escribir: Q (0, ) = {x, x 2,..., x n,...}. Se define f : (0, ) R de la manera siguiente: f(x) = 2 n n Ω x donde Ω x = {n N : x n < x}. Demostrar que: (a) f está bien definida. (b) f es una función monótona creciente. (c) f es discontinua en todo punto del conjunto Q (0, ); más aún: para todo n N se tiene f(x n +) f(x n ) = 2 n > 0. (d) f es continua a izquierda en todo x (0, ); es decir, para todo x (0, ) vale que f(x ) = f(x). (e) f es continua en todo punto del conjunto (0, ) Q. Sucesiones de Funciones 24. En cada uno de los casos siguientes, hallar el límite puntual de la sucesión (f n ) n N en el conjunto S R: (a) f n (c) = x n, S = (, ]. (b) f n (x) = ex, S = (, + ). xn (c) f n (x) = n 2 x( x 2 ) n, S = [0, ]. 25. (a) Probar que la sucesión del ejercicio 24(a) converge uniformemente en T = (0, /2), pero en S = (, ] converge puntualmente a una función que no es continua. 4
(b) Probar que la sucesión del ejercicio 24(b) converge uniformemente en T = [2, 5]. 26. Analizar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones en los conjuntos indicados: (a) f n (x) = sin(nx) n, sobre todo R. (b) f n (x) = sin( x n ), sobre todo R. (c) f n (x) = n x, sobre todo R. n+ { (d) f n (x) = n si x / Q ó x = 0 27. Probar que la sucesión de funciones b + n si x = a, sobre [0, ]. b, b > 0 y (a : b) = f n (x) = x + x 2 x(x2 + ) + (n + ) 2 x 2 converge puntualmente en R a una función continua, pero la convergencia no es uniforme. 28. Sea S R y sea {f n } n N una sucesión de funciones f n : S R que converge uniformemente a una función f : S R. Probar que si f n es acotada para cada n N entonces vale: (a) f es acotada. (b) Existe M R tal que f n (x) M para todo x S y todo n N (en otras palabras, {f n } n N es uniformemente acotada). 29. Sea (f n ) n N la sucesión de funciones f n : [0, ] R definida por f n (x) = n 2 x( x) n. (a) Probar que (f n ) n N converge puntualmente a la función cero en el intervalo [0, ]. (b) Verificar que existe lim n 0 f n(x) dx y que lim n 0 f n(x) dx 0 ( lim f n(x)) dx. n 30. Sea {f n } una sucesión de funciones derivables definidas sobre el intervalo [a, b]. Supongamos que {f n} converge uniformemente en [a, b]. Si existe x 0 [a, b] tal que {f n (x 0 )} converge, entonces {f n } converge uniformemente en [a, b]. 3. Probar que si n= g n converge uniformemente, entonces {g n } converge uniformemente a cero. 32. Considerar la función f(x) = x 2 +n 2. (a) Mostrar que f es continua en R. (b) Es f derivable? Si lo es, es h continua? 5
33. Considerar la serie f(x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 +.... Hallar el dominio de definición de f y estudiar su continuidad y diferenciabilidad. Sugerencia. Para analizar la continuidad en x =, puede ser útil tener primero una fórmula para f. 34. Hallar los desarrollos en serie de potencias para las siguientes funciones, y determinar los radios de convergencia. (a) +x. (b) (+x) 2. (c) x (+x 2 ) 2. 6