RESPUESTA DE SISTEMAS DE CONTROL Y ESTABILIDAD Tema 4
Indice Respuesta Temporal Mapeo del Plano s al Plano z Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente Estabilidad. Transformación Bilineal Lugar de las Raíces en z Respuesta en Frecuencia
Respuesta Temporal Considerando un sistema de control muestreado en lazo cerrado R() s + E() s E() z T G() s - T C() z H() s la respuesta ante la señal de entrada será Cz ( ) = Gz ( ) Rz ( ) = 1 + GH( z) m k ( z z ) n ( z p ) i i Rz ( )
Respuesta Temporal Realizando la descomposición en fracciones simples k1 z kn z Cz ( ) = + K + + CR( z) z p z p 1 Las n fracciones representan la respuesta transitoria debida a los polos del sistema en bucle cerrado, pues cada polo p i contribuye Z 1 ki z z p i = y su numero y colocación es crítica de cara a establecer la respuesta transitoria del sistema. n k k ( p ) u( k) i i El término C R (z) representa la respuesta permanente debida a los polos de la función de entrada R(z).
Mapeo del Plano s al Plano z Las variables s y z están relacionadas a través del mapeo z = e Ts Conocidos los efectos de la colocación de polos en el plano s, se puede determinar los efectos correspondientes de la colocación de polos en el plano z. Para s = σ + jω z = e = e e = e e T( σ+ jω) σt jωt σt j( ωt+ 2πk) Por tanto, polos y ceros en s, cuyas frecuencias (ω) difieren en 2π/T son mapeados en las mismas localizaciones en z, es decir, la correspondencia no es única.
Mapeo del Plano s al Plano z s z 0 1 EL semiplano izquierdo de s se transforma en el interior del circulo unidad en z, siendo la circunferencia unidad la imagen del eje s = jω Por tanto, para que un sistema discreto LTI sea estable, los polos del sistema han de estar situados en el interior del círculo unidad.
Mapeo del Plano s al Plano z Cada banda de anchura ω s se mapea en el círculo unidad. A la primera banda se le llama banda primaria, y al resto bandas complementarias. Esto prueba la no unicidad del mapeo s->z
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente Respuesta Transitoria Las especificaciones de respuesta transitoria vienen dadas por los valores de tiempo de subida, sobreoscilación y tiempo de establecimiento, relacionados con ξ y ω n (sistema dominante 2º orden). Los valores de ξ y ω n determinarán la ubicación de los polos LC en el plano z que satisfagan el transitorio. Es posible obtener diferentes lugares geométricos en el plano z usando z = e Ts.
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente Abaco con los lugares de ξ y ω n constante (en función de ω s ),
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente El efecto sobre la respuesta transitoria de una determinada ubicación de polos en z que cumpla las especificaciones se puede ver examinando la correspondencia entre la situación de polos en s y los polos en z
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente La respuesta transitoria depende también de T, pues la ubicación st σt jωt de los polos es z = e = e e. El valor de T debe cumplir el teorema del muestreo no habiendo ningún polo ω s1 = σ1 + jω1 de la ecuación característica con ω1 > s pues habría solape y 2 la situación de polos y ceros original será cambiada
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente Respuesta Permanente Considerando el sistema de control digital LC, y suponiendo el sistema estable para poder obtener valores en régimen permanente, se va a ver el valor del error en régimen permanente e(kt) ante diferentes referencias. r() t + - e() t e * () t T 1 e Ts s u() t Gp () s c() t bt () Hs ( )
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente 1 e = lime () t = lim e( kt ) = lim(( 1 z ) E( z)) ss t k z 1 El sistema viene dado por la función de transferencia en lazo cerrado Cz ( ) Gz ( ) = Rz ( ) 1 + GH( z) La señal de error E(z) será Ez ( ) = Rz ( ) Bz ( ) = Rz ( ) GHz ( ) Ez ( ) 1 e = lim ( 1 z ) ss z 1 1 + 1 GH( z) Rz ( )
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente 1. Escalón: (error posición) 1 1 1 e = lim z lim ss z + GH z z z = 1 ( 1 ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 + GH( z) 1 K p = lim GH( z) e = z 1 ss 1 + K 2. Rampa: (error velocidad) 1 T z 1 1 T e = lim ( 1 z ) lim ss z GH z + z ( z ) z GH z = 1 1 2 1 1 ( ) 1 1 ( 1 ) ( ) p K v = lim z 1 ( z 1) GH ( z) e zt ss = 1 K v
Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente Los sistemas en tiempo discreto pueden ser clasificados según el número de polos en z = 1 (integradores en el lazo GH ), tal que para un sistema general GH( z) = 1 ( z 1) N Az ( ) Bz ( ) el sistema será tipo N, que indicará el valor de K p y K v. El significado físico de las constantes de error estático es el mismo que el visto en tiempo continuo, excepto que estas dan información solo en los instantes de muestreo.
Estabilidad. Transformación Bilineal La estabilidad de un sistema de control muestreado está asegurada si se cumple que las raíces de la ecuación característica 1+ GH( z) = 0 están en el interior del círculo unidad en el plano z. El estudio de la estabilidad se va a hacer usando técnicas que eviten el cálculo de las raíces de la ecuación característica: 1. Criterio de Jury Maneja la ecuación característica directamente en z, esto es, n n 1 1+ GH( z) = Q( z) = a z + a z + K + a z + a, a > 0 n n 1 1 0 n
Estabilidad. Transformación Bilineal A partir de los a j, se forma un arreglo b k = a a 0 n a n k a k c k = b b b 0 n 1 k n 1 b k
Estabilidad. Transformación Bilineal Las condiciones de estabilidad para Q(z) son 1. Q( 1) > 0 n 2. ( 1) Q( 1) > 0 3. a 0 < a n, b 0 > b n 1, c c,, 0 n 2 Si 1 y 2 no se cumplen, no se seguirá adelante (ni siquiera se construirá el arreglo), ya que el sistema será inestable. 2. Criterio de Routh > m 0 > m2 Se usa el mismo criterio definido para sistemas continuos haciendo uso de la llamada transformación bilineal que mapea el plano z en w, transformando el círculo unidad en z en el eje imaginario en el plano w (jν), para así poder aplicar el criterio de Routh a la ecuación característica 1+ GH( w) = 0.
Estabilidad. Transformación Bilineal Esta transformación bilineal viene dada por T 2 z 1 1 + w w = z T z + = 2 1 T 1 w 2 Para el círculo unidad, z = e jω T 2 w = j tan( ωt 2) T
Estabilidad. Transformación Bilineal La relación entre la frecuencia ν y la frecuencia ω, en los planos w y s es 2 w = jν = j tan( ωt / 2) T Para valores de ω pequeños 2 2 ω ν = ω 2 =ω T tan T T ( / ) T 2 esto es, valido para ω T π ω 2 10 2π ωs = T 10 10
Lugar de las Raíces en z El método del lugar de las raíces (LR) desarrollado para sistemas continuos es extensible a sistemas discretos, excepto que la región de estabilidad límite cambia del eje jω al círculo unidad en z. Esto es así porque la ecuación característica para STD tiene la misma forma que en STC, esto es 1 + K GH ( z) = 0 No obstante, la localización de los polos en bucle cerrado que obtiene el LR en el plano z debe ser interpretada de forma diferente a la del plano s.
Lugar de las Raíces en z El T afecta al trazado del lugar de las raíces Para un valor crítico de K dado, si aumenta T el sistema será menos estable, incluso inestable. Análogamente, si disminuye T, la K crítica es mayor
Respuesta en Frecuencia Si la entrada a un sistema discreto es una señal senoidal de frecuencia ω, la respuesta en régimen permanente es también una señal senoidal de la misma frecuencia. ukt ( ) Gz ( ) ckt ( ) j T j T u( kt ) = sen( ωkt ) ckt ( ) = Ge ( ω ω )sen( ω kt+ Ge ( )) Igual que la respuesta en frecuencia del STC era jωt Ge ( ) Gz ( ) = z =1 G( jω) = G( s) s = j la del STD es, periódica en ω con periodo ω s ω
Respuesta en Frecuencia El desarrollo de técnicas de compensación en la respuesta en frecuencia, hace necesario el uso más que de G(z) con z de G(w) con, por medio de la transformación bilineal. w = jν = e jωt De esta manera, es posible representar G( jν), y frente a logν mediante diagramas de Bode. G( jν ) Hay que señalar que el Bode de G ( w) w= jν presenta particularidades, en concreto, lim G( ν ) es constante al estar γ limitada 0 ω ω s, que corresponde a 0 ν. 2 Además, la transformación bilineal hace G(w) sea una función de transferencia de fase no mínima.
Respuesta en Frecuencia G( w) = 0.0381 (2 w) ( w + 12.14) w ( w + 0.924)