GUÍA 1: FUNCIÓN LINEAL

GUÍA 1: FUNCIÓN LINEAL Una función es una relación de correspondencia, que asocia cada elemento x (preimagen), de un conjunto denominado Dominio, con un único valor f(x) (imagen), de un conjunto denominado Recorrido. PRE-IMÁGENES IMÁGENES Variable independiente 1 2 3 x A B C f(x) Variable dependiente DOMINIO RECORRIDO Esta relación de correspondencia también se dice que es una relación de dependencia entre la variable independiente (x) y la variable dependiente (f(x)). Las funciones se pueden representar en forma algebraica, a través de gráficos y a través de una tabla registrando los valores que puede tomar la variable independiente (preimágenes) con los respectivos valores que toma la variable dependiente (imágenes). Ejemplo: La función cúbica se representa: Forma algebraica En una tabla Forma gráfica 3 f ( x) x x f(x) = x 0 0 1 1 2 8-1 -1 3 1

FUNCIÓN LINEAL Y SU GRÁFICA Los modelos lineales son aquellas funciones que se representan mediante líneas rectas. Función Constante Función Lineal Función Afín x f a a x ax f a, donde, donde y, donde a 0 f x mx n m, n y m, n 0 m: Es el coeficiente numérico que acompaña a la x, y corresponde a la pendiente de la recta. La pendiente de una recta indica el grado de inclinación de esta con respecto al eje X. n: es el coeficiente de posición y corresponde a la ordenada del punto donde la recta corta al eje Y. 2

Ejemplo Considera la función f( x) = 5x - 2 y determina lo siguiente: a) La imagen de f(x) para x = 2. b) La pre-imagen para f(x) = -8. DESARROLLO: a) Para determinar la imagen de una función se debe evaluar (reemplazar el valor de la x) en ella, es decir: f 2 5 2 2 8 Por lo tanto, la imagen de f(x) para x = 2 es 8. b) Para determinar la pre-imagen de un número, se debe igualar la función a este número, y resolver la ecuación que queda: 8 5x 2 8 2 5x 6 5x 6 5 x Por lo tanto, la pre-imagen para f(x) = -8 es x =- 6 5 3

EJERCICIOS 1. Considera la función: f x x 2. Determina: a) f (5) b) f (6) c) f ( 1) d) f (100) 2. Sea f ( x) 5 2x. Determina las pre-imágenes, si es que existen, de los siguientes números: a) 0 b) 1 c) 35 d) 2 3. La altura promedio H( A ), en centímetros, de un niño de A años de edad se puede estimar mediante la función 6,5 A 50 H(A). a) Cuál es la altura promedio de los niños a los 8 años? b) La altura promedio de un grupo de niños es de 128 cm. Teniendo en cuenta la función anterior, qué edad se puede estimar para el grupo? 4. Las ventas anuales, en pesos, estimadas para un nuevo año de una empresa de calzado, están dadas por la función v(t) 180.000 6. 000 t, donde t representa el tiempo medido en años a partir del año 2012. a) Determina las ventas anuales para el año 2022. b) Determina en qué año se estiman unas ventas de $ 270.000 4

Las listas de cotejo, te permitirán revisar si lo que estás generando como desarrollo tiene todos los pasos que serán considerados en la evaluación Lista de cotejo: Calcular la imagen de una función lineal Clasifica la variable dependiente de la función lineal. Clasifica la variable independiente de la función lineal. Identifica el valor de la pre-imagen Reemplaza el valor numérico asignado en la función lineal. Obtiene el valor de la imagen de la función para el valor dado. Redacta una respuesta interpretando el valor de la imagen en el contexto de la función. Lista de cotejo: Calcular la pre-imagen de una función lineal Clasifica la variable dependiente de la función lineal. Clasifica la variable independiente de la función lineal. Identifica el valor de la imagen Iguala el valor identificado a la función dada Obtiene el valor de la pre-imagen de la función para el valor dado. Redacta una respuesta interpretando el valor de la pre-imagen en el contexto de la función. 5

Ejercicios 5. Un vendedor de té quiere calcular cuántas bolsitas de té debe tener disponibles en su negocio para la venta en un mes. La función C( x) 10x 150 modela esta situación, donde x es la cantidad mensual de personas que compran bolsitas de té y C x es la cantidad de bolsitas de té que se venden. a) Cuántas bolsitas de té debe tener disponibles mensualmente el vendedor, si en el mes pasado 60 personas compraron té? b) Si cada cajita de té tiene 20 bolsitas y el vendedor tiene disponibles 45 cajas para el mes, cuántas personas deben comprar en el mes para que se vendan todas las bolsitas de té? 6. Una tienda muy conocida hizo una oferta en internet de un Notebook Lenovo con procesador Intel Core i5 de 4GB de RAM modelo G470. La tienda desea registrar las ganancias obtenidas de estas ventas, para ello modela la siguiente función: G ( x) 299.990 x 2.990, donde x representa la cantidad de notebooks vendidos. a) Calcula la ganancia, en pesos, de la empresa al vender 75 notebooks. b) Si la ganancia de la empresa fue de $20.102.320, cuántos notebooks vendió? 7. Un electricista necesita comprar cable para realizar el cableado en una villa. La función que calcula el total de cable a utilizar es: ( x) 180 x 20 C x C, donde corresponde a la cantidad de cable en metros y x es la cantidad de viviendas a cablear. a) Cuánto cable necesita para cablear una villa de 30 viviendas? b) Si el electricista ocupó 12.260 metros de cable, cuántas viviendas cableó? 6

CONSTRUCCIÓN DE MODELOS LINEALES Seguiremos trabajando con la función lineal, pero deberemos construir la función que está asociada a costos fijos y costos variables, para ello consideremos la definición de la función Costo Total, para x artículos: Donde: Cv : Costo variable Cf : Costo fijo CT Cv x Cf 8. El costo de arriendo de un local en un centro comercial, recién inaugurado comenzó en $230.000. Debido a la buena ubicación y bajos precios, las ventas han crecido significativamente, por lo que el costo de arriendo se ha incrementado durante los últimos 7 años en $15.000 anualmente. a) Escriba la función que modela la situación b) Cuál fue el costo de arriendo después de 5 años de apertura del centro comercial? c) Después de cuántos años de apertura, el costo de arriendo de un local fue de $320.000? 9. Una empresa de limpieza de automóviles ofrece una tarifa especial a los clientes frecuentes que laven su vehículo como mínimo 8 veces en el mes y como máximo 15 veces. La tarifa Cliente Frecuente es de $2.000 por cada lavado, considerando un costo fijo mensual de $4.000. a) Escriba la función tarifa Cliente Frecuente por x lavados mensuales. b) Cuál es la tarifa a cancelar si se lava el vehículo 10 veces en el mes? c) Si la tarifa cancelada fue de $34.000, cuántas veces se lavó el auto en el mes? 10. Una empresa inmobiliaria tiene a la venta 180 departamentos. El vendedor tiene un sueldo base mensual $280.000 y una comisión de $45.000 por departamento vendido, pudiendo acceder a esta comisión si se vende como mínimo 2 departamentos mensuales. a) Escriba la función sueldo mensual por la venta de x departamentos mensuales. b) Cuál es el sueldo si se venden 5 departamentos mensuales? c) Si el sueldo mensual es de $550.000, cuántos departamentos vendió en el mes? 7

Lista de cotejo: Construir una función lineal asociada a costos Identifica el valor del costo fijo Identifica el valor del costo variable Construye la función lineal asociada al contexto Redacta una respuesta con la función obtenida Analiza las siguientes funciones lineales y responde: 11. Un ama de casa hace dos tipos de pasteles: alfajores y chilenitos. Cada alfajor tiene un costo de $80 por concepto de materia prima más un costo fijo de $20.000 por concepto de agua, luz y gas. Cada chilenito tiene un costo de $100 por concepto de materia prima y $14.000 por concepto de agua, luz y gas. Para un evento en el que se necesitan 500 pasteles, qué tipo de pastel tiene menor costo? 12. Dos amigas emprendedoras quieren sacar una innovadora agenda al mercado. Realizaron el diseño y necesitan mandarlas a imprimir. La imprenta Colores Vivos cobra $3.800 por agenda más $24.000 por costos de despacho. La empresa Colores Pasteles cobra $4.000 por agenda más $18.000 por costos de despacho. Qué imprenta es más económica si se quieren mandar a imprimir 50 agendas en una primera temporada? 13. Luis está cursando el último semestre de Técnico en Mecánica y debe comenzar con su práctica profesional, para la cual tiene dos ofertas en talleres mecánicos. En el primer taller recibe una comisión de $4.500 por cada auto que repara, más un sueldo base mensual de $200.000, mientras que en el otro taller recibe una comisión de $2.500 por auto más un sueldo base mensual de $250.000. En cuál taller de práctica profesional le pagan más, si sabe que en promedio entran 32 automóviles en el mes para reparación? Lista de cotejo: Análisis de funciones lineales Construye las funciones lineales asociadas al contexto Identifica la variable independiente Redacta una respuesta justificando con los datos obtenidos 8

SIGUE PRACTICANDO 14. Para comenzar con la remodelación en una tienda, se necesita instalar cerámica. Para ello se cotiza con dos maestros los que entregan la siguiente información: el maestro Juan cobra $3.500 el metro cuadrado más $25.000 por uso de herramientas, mientras que el maestro Luis cobra $3.000 el metro cuadrado más $40.000 por uso de herramientas. Qué maestro se debe contratar para abaratar costos si se quiere cubrir 45 metros cuadrados con cerámica? 15. Un sitio de internet ofrece una Tablet con procesador NVidia Tegra 50 Dual core 1GHz y pantalla LCD de 10,1 por 275 dólares, considerando un gasto fijo de envío y de internación de 150 dólares por compra. Para poder obtener este Precio Preferencial se deben comprar como mínimo de 5 Tablet y como máximo 20. a) Escriba la función Precio Preferencial por la venta de x Tablet por compra. b) Cuál es el precio a cancelar si se compran 10 Tablet? c) Si el precio a cancelar es de 4.275 dólares, cuántos Tablet se compraron? 16. Los alumnos de recursos naturales hacen un estudio a la población de abejas y se han dado cuenta, después de un tiempo de investigación, que por diversos motivos, entre ellos la señal de las antenas de celulares, las abejas están muriendo. El estudio arrojó que la cantidad de abejas está modelada por la función A ( t) 9.780 t 1.000.000, donde t es el tiempo en meses después de iniciada la investigación. a) Cuántas abejas habrá en 1 año? b) Si habían 569.680 abejas cuando terminaron la investigación, cuántos meses duró la investigación? 17. El costo, en pesos, de la construcción de una casa de ladrillo, está dada por la función C ( x) 245 x 1.200. 000, donde x es la cantidad de ladrillos que se utilizarán. a) Cuál es el costo de la construcción de una casa si para ella se necesitan 8.400 ladrillos? b) Si la casa tiene un costo de construcción de $4.012.110, cuántos ladrillos se utilizaron? 9

18 Una compañía de electricidad detalla en su cuenta que el precio mensual a cancelar está determinado por el consumo de cada kwh, más un cargo fijo base de $900 por concepto de medidor. Considerando que el consumo puede variar desde 0 hasta 250 kwh mensuales, y que el precio de un kwh es de $130, determine: a) La función Cuenta de luz por el consumo de x kwh. b) Cuál es el valor a cancelar de Cuenta de Luz, si se consumen mensualmente 150 kwh? c) Si el valor a cancelar por Cuenta de luz es de $26.900. Cuántos kwh se consumieron mensualmente? 10

SOLUCIONES 1. a) 7 b) 8 c) 1 d) 102 2. a) 5 2 b) 3 c) -15 d) 7 2 3. a) La altura a los 8 años es de 102 cm. b) Se puede estimar una edad de 12 años para el grupo de niños 4. a) Las ventas anuales para el año 2022 serán de $240.000 b) Las ventas anuales para el año 2027 serán de $ 27.000.000. 5 a) En el mes debe tener 750 bolsitas de té. b) 75 personas al mes visitan el negocio. 6 a) Al vender 75 notebook la ganancia es de $ 22.502.240 b) La ganancia de la empresa al vender 67 notebook es de $ 20.102.300 7 a) Necesita 5.420 metros de cable b) El electricista cableó 68 casas 8 a) C ( x) 15.000x 230. 000 b) El arriendo después de 5 años es de $305.000. c) A los 6 años el arriendo será de $320.000 9 a) T(x)=2000x+4000 b) Si lava el auto 10 veces al mes, pagará $24.000. c)debe realizar 15 lavados al mes para pagar $34.000. 10 a)s(x)=45.000x+280.000 b) Al vender 5 departamentos se tendrá un sueldo de $505.000. c) Para recibir un sueldo de $550.000 se deben vender 6 departamentos 11 A ( x) 80x 20. 000 y C ( x) 100x 14. 000 A ( 500) 60.000 C ( 500) 64. 000 Los alfajores tienen un menor costo cuando se producen 500 unidades. 12CP ( x) 4.000x 18. 000 y CV ( x) 3.800x 24. 000 CP ( 50) 218.000 CV ( 50) 214. 000 Al producir 50 agendas es más económica la imprenta Colores Vivos. 13 T 1( x) 4.500x 200. 000 y T 2( x) 2.500x 250. 000 T 1(32) 344.000 T 2(32) 330. 000 Al reparar 32 automóviles le pagan más en el Taller 1. 11

14 J ( x) 3.500x 25. 000 y L ( x) 3.000x 40. 000 J ( 45) 182.500 L ( 45) 175. 000 Se debe contratar al maestro Luis. 15 a)p(x) = 275x + 150 b) Al comprar 10 Tablet se cancelará 2.900 dólares. c)si se compran 15 Tablet se cancelará 4.275 dólares. 16 a)en 1 año habrá 882.640 abejas. b)la investigación duró 44 meses. 17 a)el costo de la casa es de $3.258.000. b) Se utilizaron 11.478 ladrillos. 18 a)p(x)=130x+900 b) Si se consumen 150 kwh se cancela $20.400. c) Se deben consumir 200 kwh para cancelar $26.900 12