ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 48, Núm. 6, 006, págs. a 57 Esmacón de cuanles y P-valores para conrases de raíces unaras esocáscas(*) por ROMÁN MÍNGUEZ y Mª DEL MAR HERRADOR Faculad de Cencas Económcas y Empresarales Unversdad San Pablo-CEU RESUMEN En ese rabajo se dan ecuacones (superfces de respuesa) que permen esmar punos crícos para cualquer amaño de muesra y cualquer nvel de sgnfcacón para ceros conrases sobre raíces unaras esocáscas, así como aproxmar p-valores, bajo la hpóess de normaldad en los rudos. Para obener las ecuacones se realza un expermeno de Mone Carlo y, a parr de los daos smulados, se calculan esmadores ópmos de los coefcenes en las ecuacones. Palabras Clave: conrases de raíces unaras esocáscas, superfces de respuesa, méodo de Mone Carlo, seres emporales, funcones de dsrbucón, valores crícos. Clasfcacón AMS: 6K0, 65C05, 6G0, 9B84. (*) Agradecemos los valosos comenaros y sugerencas realzados por pare de dos evaluadores anónmos, así como los realzados por Eduardo Morales, que nos han permdo mejorar el documeno. Cualquer error que pueda quedar en el arículo es de nuesra enera responsabldad.
4 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA INTRODUCCIÓN La modelzacón con fnes predcvos de seres económcas y fnanceras ha dado un gro en los úlmos años, pasando de la ulzacón de procesos negrados homogéneos para modelzar la no esaconaredad, al uso de procesos esocáscos con una no esaconaredad más general que la exhbda por procesos I() con raíz unara fja. Es en ese conexo donde los procesos doblemene esocáscos, en los que la raíz unara puede, a su vez, segur un proceso AR(), cobran fuerza como una opcón alernava a la de raíz unara fja. A ese po de procesos se les denomna STUR (Sochasc Un Roo). La mporanca de deecar s esamos ane un proceso con raíz unara fja o no, es debda a que los procesos STUR, son no esaconaros del po I(.5) (Yoon 00) y no son modelzables medane los procesos de raíz unara fja habuales. Las propedades esadíscas y de largo plazo de los procesos de raíz unara esocásca dferen susancalmene de la no esaconaredad homogénea (McCabe, Marn, y Tremayne 00), por lo cual es relevane dscernr s las seres económcas y fnanceras esán mejor represenadas por procesos STUR que por los procesos I(d) radconales. En Leybourne, McCabe y Mlls (996) y Leybourne, McCabe y Tremayne (996) se desarrollan conrases para dferencar procesos con raíz unara fja (hpóess nula) frene a procesos con raíz unara esocásca ó STUR (hpóess alernava). Los conrases dependen del grado de perssenca en la evolucón de la raíz esocásca, además de la nclusón o no de érmnos deermnsas en los procesos generadores de daos de los esadíscos (E, E, Z y Z ). Las dsrbucones asnócas de esos esadíscos ambén se dervan en dchos arículos, ofrecendo valores crícos para los esadíscos E y E (Leybourne, McCabe y Mlls 996), para Z (Leybourne, McCabe y Tremayne (996) y para Z (Taylor y Van Djk 00)(), para algunos amaños muesrales. En ese rabajo dseñamos expermenos de Mone Carlo que nos permen esmar superfces de respuesa para odos esos conrases de raíces unaras esocáscas, para aproxmar los punos crícos, para cualquer amaño muesral y nvel de sgnfcacón, así como calcular p-valores y represenar las dsrbucones nulas de los esadíscos de esos conrases. () Los valores crícos para Z no aparecen publcados en dcho arículo pero nos fueron amablemene ceddos por sus auores bajo pecón.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 5 El rabajo esá organzado de la sguene forma, en la seccón dos presenamos los modelos STUR y los conrases de raíces unaras esocáscas más recenes para deecarlos, en la res deallamos los expermenos de Mone Carlo realzados, en la seccón cuaro dseñamos y esmamos las superfces de respuesa, obenendo los valores crícos para los dsnos conrases. La obencón de las dsrbucones nulas de los esadíscos de conrase a parr de las superfces esmadas y el cálculo del p-valor a parr de las funcones de dsrbucón nulas suavzadas por splnes, lo ofrecemos en la seccón cnco, dejando la sexa para resumr las prncpales conclusones del esudo.. CARACTERÍSTICAS Y CONTRASTES DE DETECCIÓN DE PROCESOS CON RAÍZ UNITARIA ESTOCÁSTICA.. Procesos con Raíz Unara Esocásca (STUR) Los procesos con raíz unara esocásca consuyen un caso parcular de procesos auorregresvos doblemene esocáscos, esudados en Tjøshem (986), donde la propa raíz de la esrucura auorregresva vene regda, a su vez, por un proceso esocásco. La ecuacón general del proceso STUR, en la formulacón de Leybourne, McCabe y Mlls (996)() se puede expresar como: γ..d.n ( 0 σ ) = ρ γ + ε ε [], ε ρ = + δ donde los rudos ε y η son ndependenes. δ = γδ + η η..d. N( 0 σ )., En ese caso, y es un proceso AR() cuyo parámero ρ sgue oro proceso auorregresvo con meda unara. Dependendo del valor que ome ρ en cada momeno del empo, el proceso y será esaconaro (cuando ρ < ), explosvo (cuando ρ > ), no esaconaro homogéneo (cuando ρ = ). Es fácl comprobar que el caso de raíz unara fja es un caso parcular de ese proceso cuando σ η = 0, por lo cual ese po de procesos abarcan la no esaconaredad homogénea como caso parcular. Inuvamene el valor del parámero σ η da una medda de la magnud de las osclacones η () En Leybourne, McCabe y Mlls (996) no asumen normaldad para los rudos, sólo ndcan que son..d.
6 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA del proceso ya que ndca la volaldad de la raíz unara que rge el proceso auorregresvo. La paramerzacón de la raíz unara esocásca como un proceso auorregresvo perme que la evolucón de la raíz ρ en [] pueda ener dsnos grados de nerca según los valores del parámero γ (valores próxmos a la undad ndcarán fuere perssenca en la evolucón de la raíz menras que, por oro lado, valores próxmos a cero ndcarán que la raíz se compora como un rudo blanco sn dependenca del pasado). Eso se puede aprecar gráfcamene en la fgura que aparece en Leybourne, McCabe y Mlls (996)(). Las propedades del proceso dado en [] han sdo esudadas en la leraura economérca (Granger y Swanson 997, Leybourne, McCabe y Mlls 996, Leybourne, McCabe y Tremayne 996, McCabe, Marn y Tremayne 00, Yoon 00, Yoon 004). Concreamene, como se ndca en Leybourne, McCabe y Tremayne (996), el proceso, aunque es no esaconaro en covaranzas, ampoco es I() n I() ya que no se ransforma en esaconaro al omar nngún número enero de dferencas (salvo el caso en que σ η = 0 ya que enonces es un sendero aleaoro). Para comprobarlo supongamos, sn pérdda de generaldad, que γ = 0, enonces la ecuacón [] se puede expresar como: Δ y = η y + ε [] por lo que y no es I() ya que Δ γ depende de γ y no ene varanza margnal consane. De hecho, en Yoon (00) se muesra que los procesos STUR son I(.5) con propedades de largo plazo smlares a los procesos de dferencacón fracconal. Para adapar el proceso STUR a las caraceríscas habuales de las seres económcas, se perme que y evolucone alrededor de endencas deermnsas y pueda ener esrucura auorregresva esaconara. Es decr, se exende el modelo [] aneror de la forma: y λ p p y y y φ =ρ λ φ + ε = ( ) = ε..d.n 0, σε ρ = + δ [] δ = γδ + η η..d.n ( 0 σ ), η donde λ represena la endenca deermnsa habualmene represenada con una funcón lneal en el empo ( λ = + β) para aquellas seres con derva crecene, o () pp. 56 y 57.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 7 λ cuando la sere deambula sn una evolucón crecene o decrecene a largo plazo(4). Como es habual, se exge que las raíces p del polnomo φ L φp L = 0 esén fuera del círculo undad para que el auorregresvo sea esaconaro. ben medane una consane ( = ).. Conrases STUR En Leybourne, McCabe y Mlls (996) y Leybourne, McCabe y Tremayne (996) se desarrollan conrases para dferencar procesos con raíz unara fja (hpóess nula) frene a procesos STUR del po [] (hpóess alernava). Por ano, en odos los casos se pare de la exsenca de raíz unara en el proceso generador de daos y se nena dscrmnar s esa raíz es fja o esocásca. El conrase a consderar depende del grado de perssenca en la evolucón de la raíz. S γ < enonces la evolucón de la raíz unara esocásca es esaconara y el esadísco de conrase vene dado por: Z T ) = T σˆ ε κ = ωˆ ( εˆ σˆ ) ε =,; =,, T [4] donde ˆε son los resduos de una regresón mínmo cuadráca en la que en la explcacón de Δy se ncluye una endenca lneal o sólo una consane(5). p Δy = + β + φj Δy j + ε = [5] j= p Δy = + φ j Δy j + ε = j= = = j j= T = p + ωˆ ( p + ) ) ε es la suma parcal acumulada de los resduos, menras que εˆ σˆ ε = represena la esmacón conssene de T σ ε (varanza de la ecua- (4) En Leybourne, McCabe y Tremayne (996) y Leybourne, McCabe y Mlls (996) se perme ncluso la posble exsenca de endencas cuadrácas en el empo. (5) Aunque β no sea sgnfcavo en =, la nclusón de una endenca mejora la poenca de los conrases.
8 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA cón de medda) y κˆ = ( εˆ σˆ ) T ε = p + T ( p + ) es una esmacón de la varanza a largo plazo. En Leybourne, McCabe y Tremayne (996) se derva que la dsrbucón asnóca del esadísco Z converge a funconales de puenes brownanos(6). En el arículo cado se encuenran valores crícos para algunos amaños muesrales del esadísco Z, menras que para el esadísco Z hemos ulzado los valores obendos y no publcados por Taylor y Van Djk (00)(7). S γ = en [], enonces la evolucón de la raíz unara esocásca no es esaconara y el conrase descro no ene valdez. En Leybourne, McCabe y Mlls (996) se desarrolla un conrase para ese caso líme cuyo esadísco vene dado por: T T T 4 E = T σˆ ε ˆ ˆ σˆ ωˆ =, =,...T j ε ω ε = j = = [7] donde los resduos y esmadores enen el msmo sgnfcado que anerormene. En Leybourne, McCabe y Mlls (996) se obene la dsrbucón asnóca del (6) La dsrbucón asnóca del esadísco Z vene dada por: () r dg () r G ( s) dsg () Z 0 G 0 [6] donde (r) W () r rw () + 6r( r) () W = 0 W () s ds es un puene brownano de G G ψ con W (r) es un movmeno brownano esándar ndependene de W (r). ψ es la correlacón enre ε y ε. El problema del esadísco Z es que el parámero ψ aparece en la dsrbucón asnóca, sn embargo, para dsrbucones smércas, como la normal, el parámero ψ es nulo. (7) Tal y como hemos ndcado anerormene, dchos valores nos fueron ceddos por los auores bajo pecón. segundo nvel (W (r) es un movmeno brownano esándar) y () r = ψw () r + ( ) W () r
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 9 esadísco E como funconales de puenes brownanos(8) y valores crícos se pueden enconrar en dcho arículo. En odos los casos la forma de realzar el conrase es smlar: se compara el valor del esadísco con el valor críco correspondene y, s el valor del esadísco es superor, se rechaza la hpóess nula de raíz unara fja.. EXPERIMENTOS DE MONTE CARLO El objevo de ese rabajo es consegur, medane superfces de respuesa, un conjuno de ecuacones que perman obener cuanles de los esadíscos anerores para cualquer amaño de muesra fna. La meodología será smlar a la planeada en la leraura economérca sobre smulacón de conrases y obencón numérca de funcones de dsrbucón asnócas (MacKnnon 994, MacKnnon 996, MacKnnon 000, Ercsson y MacKnnon 00). En las referencas anerores se descrbe la especfcacón de ecuacones, o superfces de respuesa, donde la varable dependene es el cuanl esmado correspondene menras que las varables ndependenes suelen ser poencas negavas del amaño muesral T. La eoría asnóca para conrases de conegracón y de raíz unara dce que las dsrbucones de esos esadíscos de conrase se aproxmarían a las dsrbucones asnócas correspondenes a una asa de convergenca(9) que habualmene es de orden O(T - k ), con k, sendo la forma de esas ecuacones: q = β0 + β + β + L + βk + ε [9] k T T T donde q es el cuanl esmado, ε es el érmno de error que refleja, ano la ncerdumbre de la smulacón como la aproxmacón a la verdadera forma funconal de los cuanles por la expresón hasa T -k. Como odos los érmnos, excepo la consane enden a cero cuando T ende a nfno, el cuanl de la dsrbucón asnó- (8) La dsrbucón asnóca de los esadíscos E es: r r ( G() s dg() s ) G() s ds dr E 0 0 0 r r ( B() s db() s ) B() s ds dr E 0 0 0 [8] donde, al gual que el caso aneror, G(s) es un puene brownano de segundo nvel y r B() s = W () s 0 W ()dr r es un puene brownano de prmer nvel. (9) McKnnon (000), pp. 458.
40 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA ca del esadísco queda recogdo en el érmno 0, menras que los érmnos resanes permen recoger las dferencas enre los valores de los cuanles del q β. esadísco en muesras fnas respeco de la dsrbucón asnóca ( ).. Dseño del Expermeno y Smulacón El paso ncal de esa meodología es el dseño y realzacón de un expermeno de Mone Carlo para obener los cuanles de nerés de los conrases esudados. En el expermeno de Mone Carlo se smularán dsrbucones muesrales de cada esadísco de conrase (Z y E ) bajo la hpóess nula (raíz unara deermnsa), para lo cual se generarán réplcas del sendero aleaoro: β ( σ ) = γ + ε, ε..d.n 0, ε 0 γ [0] con dsnos amaños muesrales, obenéndose el valor del esadísco en cada uno de ellos y los cuanles correspondenes a las dsnas repecones. El vecor de 0 amaños muesrales ulzado en la smulacón complea es T=<0,0,...,00,5,50,...,500,600,...,000>; para cada amaño muesral del vecor T se realzan M expermenos cada uno de ellos con N réplcas(0). La realzacón, para cada amaño muesral, de M expermenos cada uno de ellos con N repecones, en lugar de una únca smulacón con MN réplcas, perme obener una esmacón de la varabldad muesral de cada cuanl esmado, lo cual será fundamenal para esmar las ecuacones por Mínmos Cuadrados Ponderados (MCP) como veremos poserormene. Por ora pare, las necesdades de memora dsmnuyen al dvdr los expermenos pueso que el número de valores aleaoros almacenados en memora es un múlplo de N. Para cada uno de los M expermenos con N réplcas realzado se guarda el vecor de 5 cuanles de orden para los sguenes valores de : = < 0.000, 0.000,..., 0.00, 0.00,..., 0.0, 0.05,.., 0.99, 0.99,..,0.999, 0.9995, 0.9996,,.., 0.9999 > [] La abla resumen del dseño expermenal ncluyendo el vecor de amaños muesrales consderado, el número de expermenos, número de réplcas por expermeno y empo de compuacón se puede consular en el Cuadro. (0) MacKnnon (000) recomenda unos valores de N=00000 ó 00000 y M=50 ó 00. Los valores de N (réplcas por expermeno) ulzados en los expermenos fueron menores de los recomendados ane la fala de ordenadores con sufcene poenca para guardar en memora el número de valores aleaoros que sería necesaro generar.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 4 Cuadro DISEÑO DE LA SIMULACIÓN T M N Duracón 0 00 00000 :4:50 0 00 00000 :7:54 40 00 00000 :7:0 50 00 00000 50:0:0 60 00 00000 60:44:08 70 00 00000 7:7:5 80 00 00000 8:40:9 90 00 00000 95:7:4 00 00 00000 06:06: 5 00 00000 0:0:06 50 00 00000 5:59:9 75 00 75000 4:7:0 00 00 75000 5:5: 5 00 50000 5:4:7 50 00 50000 :05:45 75 00 50000 9:7:5 00 00 50000 5:59:4 5 00 50000 6:46:49 50 00 50000 8::09 75 00 50000 5::4 400 00 50000 50:4:6 45 00 40000 59:46:9 450 00 40000 7:5:49 475 00 40000 8:48:4 500 00 40000 89:0:49 600 00 40000 4:0: 700 00 40000 87:09:06 800 00 0000 4:5:8 900 00 0000 78:44:48 000 00 5000 09::7 Noas: el valor de represena el amaño muesral, el valor de m represena el número de expermenos realzados, el valor de n el número de réplcas por expermeno, menras que la duracón es el empo de cálculo en cada ordenador penum (450 mhz) ulzado en la smulacón (hhh:mm:ss)
4 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA.. Algormo de Obencón de Cuanles El algormo de obencón de los cuanles de los esadíscos de conrase se puede resumr en los sguenes pasos:. Esablecer =.. Esablecer T = elemeno -ésmo del vecor T.. Esablecer j=. 4. Generar N muesras aleaoras normales esándar de amaño T. Replcar N veces el sendero aleaoro dado en [0] omando como valores muesrales de ε las N muesras generadas() y un valor ncal y 0 = 0. 5. Para cada una de las N realzacones muesrales del sendero aleaoro de amaño T, realzar una regresón por Mínmos Cuadrados Ordnaros (MCO) Δ y = + β + ε y calcular los valores de los esadíscos E y Z, dados en [7] y [4], con los resduos ( ˆε ) y sumas acumuladas de resduos ( ˆω ) obendos en la regresón. Los valores de los esadíscos E y Z se obenen ulzando los resduos y sumas acumuladas procedenes de la regresón Δ y = + ε (obvamene, en ambas regresones, no se ncluyen reardos de Δy como regresores pueso que, en el proceso generador de daos, la prmera dferenca de y no ene auocorrelacón). 6. Para los N valores obendos de cada esadísco, se obene el vecor de cuanles dado en []. Como señala MacKnnon (000) en la págna 457 de su arículo, para que las esmacones de los cuanles de los esadíscos de conrase sean váldas, el número de repecones por expermeno, N, ha de cumplr que N sea un número enero para cualquer valor del vecor. A pesar de que, en nuesro caso, para algunos amaños muesrales el número de réplcas es claramene nsufcene (como ya se ha comenado, MacKnnon recomenda no bajar de las 00000), sí que se cumple esa condcón para odos los valores de N y. 7. S j < M esablecer j = j+ y volver al paso 4. En caso conraro connuar con el sguene paso. 8. S < dm(t) esablecer = + y volver al paso. En caso conraro ermnar el algormo. Los cálculos fueron realzados usando el programa Ox versón.0 (Doornk 00) a parr de un generador de números aleaoros de L Ècuyer (997) con período aproxmado. Dcho generador parece adecuado pueso que el número oal de números aleaoros generados es del orden de 4 9 (claramene menor del () La dsrbucón nula de los esadíscos Z y E no dependen de σ ε.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 4 período del generador), con lo que la probabldad de solapameno enre los conjunos de valores aleaoros generados en ordenadores dsnos es muy pequeña.. OBTENCIÓN DE VALORES CRÍTICOS CON SUPERFICIES DE RESPUESTA Una vez esmados los cuanles de cada esadísco de conrase para cada amaño muesral, se realzan esmacones de las ecuacones dadas en [9] con k = (recuérdese que los esadíscos E son reescalados por T - menras que los esadíscos Z son reescalados por T -/ para obener la dsrbucón asnóca), es decr(): q =,,, dm(t)* M [] ( T ) β + β + β + β ε = 0 T T T La esmacón MCO de las 5 ecuacones (una ecuacón para cada cuanl), cada una de ellas con dm(t) M=(000) daos(), muesra ndcos evdenes de heerocedascdad. Ese resulado se debe a que la varabldad muesral de los cuanles obendos (varables dependenes de las ecuacones) dependerá del número de réplcas, N, realzado para cada amaño muesral (mrando el Cuadro se observa que dcho número se reduce al aumenar el amaño muesral debdo a las necesdades de memora)... Esmacón Ópma de las Superfces de Respuesa Para esmar de forma ópma, smuláneamene, odas las ecuacones especfcadas en el modelo: q( Mxdm(T)) * = X β(k*) + ε(mxdm(t))* E (Mxdm(T)) *k ' [ ε ε ] = Ω [] MacKnnon (000) propone ulzar un esmador generalzado de momenos (Cragg 98, Davdson y MacKnnon 004): ˆ,GMM β = (X' W (W' ΩW) W'X) X'W (W' ΩW) W' q [4] () Por ora pare, se puede conrasar de forma senclla s se elmna algún regresor de la ecuacón [9] una vez esmada. () Recordemos que dm(t) represena la dmensón del vecor T de amaños muesrales, que en nuesro caso es 0 y M el número de expermenos realzados para cada amaño muesral, que en nuesro caso es 00.
44 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Para el caso de heerocedascdad desconocda (y no auocorrelacón), Cragg (98) propone ulzar como esmacón de la marz Ω, una marz dagonal con la dagonal prncpal consuda por los resduos al cuadrado de una regresón MCO de q sobre W. La marz de nsrumenos W escogda (MacKnnon 996) es una marz de gual dmensón que X, cuyas columnas son varables bnaras (una por cada amaño muesral) con valor unaro s el amaño muesral es el represenado por la columna correspondene (es decr, la prmera columna valdrá uno para T = 0 y cero en el reso y así sucesvamene). En ese caso la ecuacón [4] se reduce a una regresón por Mínmos Cuadrados Ponderados (MCP)(4) en dos pasos:. Realzar una regresón MCP de q sobre W. Como la marz W esá compuesa por varables bnaras, los valores esmados de la regresón serán las medas muesrales de los cuanles (es decr, qˆ = q ) para cada amaño muesral. T T. Con las 0 medas muesrales obendas (valores esmados de la varable dependene en la regresón aneror) realzar la regresón: q σ ~ T * T =β 0 σ ~ * T +β T σ ~ * T +β T σ ~ * T +β T σ ~ * T + u T [5] Esa regresón se esma con 0 daos (un dao para cada T ) obenendo los esmadores β ) dados en,gmm [4]. Pueso que la varanza del érmno de error en [] varía con T, se preferrá un esmador(5) de la msma que enga en cuena esa varacón, lo que se consgue a ravés de la sguene regresón auxlar: [ q qt ] = γ + γ + γ + υ T T [6] (4 ) S la marz de nsrumenos W elegda fuera dsna (no esuvera compuesa por varables 0- por cada amaño muesral) los resulados sobre la gualdad de esmacón GMM y MCP no se manendrían. (5) Exsen oras alernavas para esmar la varanza del érmno de error, como es el ) M uso de la varanza muesral medane σ T = (q qt ) M, sn embargo, las = esmacones obendas flucúan mucho más que con el méodo elegdo, pueso que el uso de valores esmados de la regresón auxlar reduce la varabldad expermenal de los resulados de las smulacones.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 45 Los valores esmados de esa regresón, que denoamos por σ ~ T se usarán para el cálculo de las ponderacones en la regresón [5]. Tenendo en cuena el número de expermenos M, la ponderacón ulzada ha sdo: ~ σ * T = ~ σ T M.. Conrases de Especfcacón Como la regresón esmada por MCP puede nerprearse como una esmacón por el méodo generalzado de momenos (GMM), se puede realzar un conrase de especfcacón adecuado de la ecuacón [5]. El conrase, cuya hpóess nula es que la ecuacón esá ben especfcada, ene como esadísco de conrase el valor de la funcón objevo evaluado en el esmador GMM, es decr: (q X ˆ, GMM )'W (W' ˆ W) W'(q X ˆ,GMM β Ω β ) [7] el cual es gual a la suma de cuadrados resdual (SCR) de la regresón [5] y su dsrbucón nula asnóca (válda cuando M ) es X dm(t) k donde k es el número de parámeros de la regresón (4 en ese caso). Ya que la forma funconal en [5] ha de ser la msma para las 5 ecuacones esmadas (una para cada cuanl), hay que omar una decsón únca sobre el resulado del conrase para odas las ecuacones en conjuno. Desgracadamene, los esadíscos enre las dsnas ecuacones no son ndependenes por dos causas: Los msmos números aleaoros son usados para calcular los 4 conrases, con lo cual exse correlacón cruzada enre los dsnos esadíscos de conrase. Los esmadores GMM enen fuere correlacón para valores próxmos de (exse dependenca enre cuanles cercanos). Como consecuenca de lo aneror, el valor medo de los 5 esadíscos no ene una dsrbucón conocda, sn embargo, s la meda de la suma de cuadrados resdual no se aleja demasado del valor críco de la dsrbucón Xdm(T) k, dcho resulado se ha consderado como evdenca muesral a favor de la hpóess nula (superfce de respuesa correcamene especfcada). Los resulados empírcos correspondenes a los cuaro conrases se pueden consular en el Cuadro.
46 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Polnomo orden Cuadro RESULTADOS DE LOS CONTRASTES DE ESPECIFICACIÓN E E Z Z Meda SCR (T compleo) 65.6 5.559.870 780.6 Meda SCR (T modfcada) 5.4 7.665 40.7 85.07 Polnomo orden Meda SCR (T compleo) 9.45 6.0 8.080 5.0 Meda SCR (T modfcada) 79.445.07 04.0 09.5 Noas: Los valores de meda SCR represenan la meda de la suma de cuadrados resdual (esadísco de conrase) de las 5 regresones (una por cuarl) dadas en la expresón (5). los valores de compleo (=0) y modfcada (=6) ndcan s se ha ulzado odo el vecor de amaños muesrales o se han corado los amaños muesrales más pequeños Los valores correspondenes a la fla T modfcada corresponden a ecuacones esmadas con una muesra más cora elmnando los valores más pequeños del vecor T (en ese caso T = 0, 0, 40, 50). Eso se hace pueso que, en algunos casos, las superfces de respuesa se esman mejor al elmnar los cuanles esmados con mayor varabldad (correspondenes a los amaños muesrales más pequeños). Los percenles de las dsrbucones asnócas de los conrases, dadas por el érmno consane β 0 son, enonces, esmadas con mayor precsón. Los mejores ajuses se obenen para los polnomos de orden menras que en el polnomo de orden el valor de la suma de cuadrados resdual aumena mucho en odos los conrases(6). Para el esadísco Z, el valor medo de las sumas de cuadrados resduales obendas con el vecor T compleo es claramene nferor a los valores crícos usuales de la dsrbucón X 6 (8.9 al 5% y 48. al %). Para el esadísco E el valor medo de las SCR ambén esá por debajo de los valores crícos pero con menor ndez que en el caso aneror. Sn embargo, ano en el esadísco E como, sobre odo, Z los valores medos de las sumas de cuadrados resduales (con vecor T compleo) superan amplamene los valores crícos correspondenes. En el caso del esadísco E, dcho valor medo de las SCR se reduce mucho al consderar el vecor T modfcado, de hecho el valor ahora es menor que los valores crícos de la dsrbucón X (los grados de lberad de la dsrbucón ch-cuadrado se reducen al elmnarse algunos elemenos del vecor T). Desgracadamene, en el caso del eadísco Z, aunque se reduce consderablemene el valor medo de las SCR al corar el vecor T, dcho valor sgue superando los valores crícos de la dsrbucón X (.9 al 5% y 4.8 al %). (6) Tambén se han realzado pruebas con polnomos de orden 4 y con ajuses mucho peores que los polnomos de orden y.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 47 Las superfces de respuesa esmadas, correspondenes a los cuanles más usuales en la prácca, se pueden consular(7) en los Cuadros y 4. Cuadro SUPERFICIES DE RESPUESTA ESTIMADAS PARA LOS CONTRASTES E Y E Conrase E SCR (vecor T modfcado) Cuanl 90 (0%) 0.060+ (0.0000) 0.447 (0.0045) 0.4876 (0.66) 70.645 (5.76) T.47 [0.4] Cuanl 95 (5%) 0.066+ (0.0000) 0.7754 (0.0044).405 (0.65) 98.99 (5.64) T.74 [0.90] Cuanl 99 (%) 0.07086+ (0.0000).556 (0.009) 46.4 (.589) 0.888 (64.599) T 4.874 [0.867] Conrase E (vecor T compleo) SCR Cuanl 90 (0%) 0.05047+ (0.0000) 0.74 (0.006) 0.9055 (0.09).5 (.4) T 9.6 [0.809] Cuanl 95 (5%) 0.05699+ (0.0000) 0.59 (0.00) -0.7984 (0.8). (.850) T 9.77 [0.84] Cuanl 99 (%) 0.0654+ (0.0000) 0.879 (0.0055) 9.8079 (0.45) 77.548 (5.08) T.85 [0.697] Noas: Los valores enre paréness ndcan desvacones ípcas esmadas. Para obener cualquer cuanl basa con susur el amaño muesral en la ecuacón correspondene. la columna de la derecha proporcona las scr de cada ecuacón, sendo los valores enre corchees, los p-valores para un conrase de especfcacón, que aquí se ndcan a modo descrpvo (7) El reso de superfces de respuesa para odos los valores de esán a dsposcón públca bajo requermeno a los auores.
48 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Cuadro 4 SUPERFICIES DE RESPUESTA ESTIMADAS DE LOS CONTRASTES Z Y Z Conrase Z (vecor T compleo) Cuanl 90 (0%) 0.068+ (0.000) 4.645 (0.0) 00.78 (7.7557) 08. (6.46) SCR T 0.78 [.000] Cuanl 95 (5%) 0.55+ (0.0009) 5.77 (0.) 8.505 (8.580) 5.557 (.486) T 0.78 [.000] Cuanl 99 (%) 0.6788+ (0.00059) 7.0644 (0.895) 70.590 (.440) 566.557 (64.898) T 0.76 [.000] Conrase Z (vecor T modfcado) SCR Cuanl 90 (0%) 0.956+ (0.0005) 4.6456 (0.4) 9.04 (7.588) 4566.0 (674.6) T 48.64 [0.00] Cuanl 95 (5%) 0.765+ (0.0007) 5.80 (0.904) 00.7496 (5.4) 449.84 (966.88) T.906 [0.050] Cuanl 99 (%) 0.6784+ (0.0009) 5.6045 (0.479).67 (6.895) 785.999 (7.00) T.44 [0.77] Noas: Los valores enre paréness ndcan desvacones ípcas esmadas. para obener cualquer cuanl basa con susur el amaño muesral en la ecuacón correspondene. la columna de la derecha proporcona las scr de cada ecuacón, sendo los valores enre corchees, los p-valores para un conrase de especfcacón, que aquí se ndcan a modo descrpvo Como se puede observar, las ecuacones esmadas para los esadíscos Z muesran cambos en las esmacones de sus coefcenes, ane cambos en el vecor T ulzado, de mayor dmensón relava que para los esadíscos E, además de ofrecer unas desvacones ípcas muy superores a esos.. Obencón de Valores Crícos Esmados Una vez esmadas las superfces de respuesa, los valores crícos se obenen smplemene susuyendo para cada amaño muesral en la ecuacón correspondene a cada nvel de sgnfcacón. Esos valores se pueden consular en el Cuadro 5.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 49 Cuadro 5 VALORES CRÍTICOS ESTIMADOS CON LAS SUPERFICIES DE RESPUESTA DADAS EN LOS CUADROS Y 4. CUANTILES 90, 95 Y 99 0. 0.05 0.0 0. 0.05 0.0 Conrase E Conrase E 50 0.07 0.0784 0.096 0.054 0.067 0.0796 00 0.0674 0.079 0.088 0.05 0.0604 0.07 00 0.065 0.0698 0.0776 0.054 0.0587 0.0695 500 0.069 0.0677 0.078 0.0508 0.0577 0.067 000 0.065 0.0670 0.074 0.0506 0.057 0.066 Conrase Z Conrase E 50 0.65 0.68 0.55 0.78 0.970 0.76 00 0.40 0.94 0.0 0.5 0.746 0.77 00 0.58 0.74 0.99 0.85 0.596 0.706 500 0.47 0.6 0.8 0.8 0.475 0.6888 000 0.06 0.56 0.748 0.40 0.48 0.688 Se han comparado los valores crícos ya publcados de los conrases con los obendos ulzando las superfces de respuesa esmadas(8). La dferenca enre los valores crícos publcados y los esmados con las superfces de respuesa es, para odos los nveles de sgnfcacón y amaños muesrales, menor de res cenésmas (valor máxmo de 0.07 en el conrase Z ). El reso de esadíscos enen dferencas noablemene menores, lo cual concuerda con las conclusones obendas en los conrases de especfcacón correca de las superfces de respuesa esmadas); el resulado deallado se puede observar en el Cuadro 6. (8) Los valores crícos respeco a los que se han comparado corresponden a los publcados en Leybourne, McCabe y Mlls (996), para los esadíscos de conrase E y E, los publcados en Leybourne, McCabe y Tremayne (996), para el esadísco de conrase Z y los valores ceddos por Taylor y Van Djk (00) para el esadísco de conrase Z.
50 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Cuadro 6 DIFERENCIAS ENTRE LOS VALORES CRÍTICOS PUBLICADOS Y LOS OBTENIDOS CON LAS SUPERFICIES DE RESPUESTA ESTIMADAS 0. 0.05 0.0 0. 0.05 0.0 Conrase E Conrase E 50-0.00-0.00-0.00 0.000-0.00-0.00 00 0.000-0.00-0.00 0.000 0.000-0.00 00 0.000-0.00-0.00 0.000 0.000-0.00 500 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 000 0.00 0.00 0.00-0.00 0.000 0.00 Conrase Z Conrase Z 50-0.00-0.00-0.004 - - - 00 0.00 0.000-0.00 0.0065 0.0049-0.06 00 0.00 0.00 0.000 - - - 500-0.00 0.000-0.00 0.0006-0.0044-0.075 000-0.007-0.007-0.04 - - - Noa: Los máxmos (en valor absoluo) para cada conrase esán señalados en negra. para el esadísco de conrase z no exsen valores crícos publcados para los amaños muesrales 50, 00 y 000 con respeco a los cuales comparar 4 FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN Con las 5 superfces de respuesa esmadas para cada conrase se puede represenar gráfcamene la esmacón obenda de la funcón de dsrbucón ) asnóca bajo la hpóess nula de cada esadísco, unendo los punos ( β ) 0, para odos los valores consderados de. Los gráfcos de esas funcones de dsrbucón, se pueden observar en la Fgura.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 5 Fgura FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN ASINTÓTICAS NULAS DE E Y Z OBTENIDAS A PARTIR DE LAS SUPERFICIES DE RESPUESTA ESTIMADAS En esa fgura observamos que la dsrbucón asnóca de los conrases Z y E son muy dsnas enre sí, a la vez que muy dferenes de la Normal. Además, la dsrbucón de los esadíscos E es asmérca haca la zquerda menras que los esadíscos Z son smércos alrededor del cero. Para obener una expresón suavzada de las funcones de dsrbucón se puede ulzar una nerpolacón a parr de splnes de las prmeras, pueso que esa écnca es aplcable a funcones monóonas no decrecenes. Inuvamene, un splne es una funcón que se consruye unendo polnomos defndos enre subnervalos e mponendo ceras condcones de connudad (Kncad y Cheney 994). Más formalmene, s enemos una funcón F(x) evaluada en n+ punos o nodos x 0, x,...,
5 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA x n una funcón splne de grado k es una funcón S que cumple las sguenes condcones:. En cada nervalo [ x, ) x, la funcón S es un polnomo de grado k.. La funcón S ene dervada de orden (k-) connua para odo el nervalo [, ] x. 0 x n. F(x)=S(x), x { x, x,..., } 0 xn En la prácca el grado de los polnomos que consuyen la funcón splne suele ser de orden (splnes cúbcos). 0 x d S Para hallar la funcón splne S es necesaro calcular 4n coefcenes correspondenes a los n polnomos cúbcos + x + x +. Imponendo la connu- ds dad de las funcones S ' = y S'' = se obenen 4n- condcones para deermnar los 4n coefcenes, con lo cual hay grados de lberad en el cálculo de los dx dx z = S'' y se esablece z 0 = z n = 0 polnomos de nerpolacón. S se denomna ( ) x (splne cúbco naural), la funcón splne nerpolada enre x y x + es (Kncad y Cheney, pág. 6): z 6h z 6h y h z h 6 y h z h 6 + + + ( x) ( x x) + ( x x ) + + ( x x ) + ( x x) S = + + donde ( ) ( ) [ x, ] x x + [8] y = S x = F x y h = x + x. En la Fgura se puede consular las funcones splne obendas para las funcones de dsrbucón nulas asnócas de cada esadísco de conrase.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 5 Fgura SPLINES CÚBICOS NATURALES OBTENIDOS A PARTIR DE LAS FUNCIO- NES DE DISTRIBUCIÓN ASINTÓTICAS NULAS DE LOS ESTADÍSTICOS E Y Z Una vez obendas medane splnes las funcones de dsrbucón, es fácl obener el p-valor para cualquer valor x del esadísco de conrase correspondene, calculando la ordenada F(x) en la funcón de dsrbucón adecuada. Como odos los conrases son unlaerales, el p-valor vendrá dado por F(x). Analícamene hay que buscar enre qué cuanles [ x, x + ] se súa el valor de x y susur drecamene en el polnomo(9) dado en [8] para obener F(x) y el p-valor(0). (9) Los splnes calculados esán a dsposcón públca preva pecón a cualquera de los auores. (0) Exsen oras écncas de obencón del p-valor medane aproxmacones locales en sere de Taylor parendo de la dsrbucón normal, sn embargo, para ese conexo, resula más sencllo el cálculo basado en splnes.
54 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA 5. CONCLUSIONES En ese rabajo hemos esmado superfces de respuesa para los prncpales esadíscos usados en la leraura de conrases de raíces unaras esocáscas, concreamene aquellos desarrollados por Leybourne, McCabe y Mlls (996) y Leybourne, McCabe y Tremayne (996), llamados comúnmene E y Z. Las caraceríscas de los procesos de raíz unara esocásca ó STUR, descras en ese rabajo, son las que orgnan la necesdad de realzar esos conrases para deecar su presenca en seres económcas y fnanceras. S se deeca una raíz unara esocásca en el proceso generador de daos de una sere emporal, no son aplcables los procedmenos esadíscos ulzados para seres I(d) con d enero. Hemos aplcado la écnca nroducda por MacKnnon (994, 996, 000), para la esmacón de valores crícos en muesras fnas, deallando las smulacones po Mone Carlo realzadas para obener los cuanles correspondenes en las regresones de las superfces de respuesa. Las superfces de respuesa se han esmado por GMM, realzando conrases de especfcacón sobre ellas. Los mejores ajuses los hemos enconrado para ecuacones con polnomos de orden res en ambos esadíscos, de gual forma hemos mejorado el ajuse ulzando el vecor de cuanles modfcado (elmnando los valores para los amaños de muesra más pequeños, esmados con mayor varabldad) para los conrases E y Z y el vecor compleo para E y Z. Oro resulado que arroja el esudo es la mayor varacón de los coefcenes esmados y mayor desvacón ípca de los msmos, enre las superfces de respuesa de los esadíscos Z respeco de las correspondenes enre los esadíscos E, ane cambos en el vecor T. Tenendo en cuena la valdez de esos resulados bajo las hpóess de normaldad de los rudos que asummos, esas superfces de respuesa esmadas nos permen obener valores crícos, para cualquer nvel de sgnfcacón y amaño muesral deseado. A ravés de ese méodo hemos obendo resulados basane smlares a los publcados en la leraura, para los msmos nveles de sgnfcacón y amaños muesrales, de hecho, la dferenca máxma que hemos enconrado es menor de res cenésmas, para el caso del conrase Z, sendo en el reso de los casos noablemene nferores. En el cálculo de las dsrbucones nulas asnócas de los esadíscos consderados, enconramos que son muy dsnas y dferenes a la normal. Desacamos que la dsrbucón asnóca nula de los esadíscos E es asmérca haca la zquerda menras que para los esadíscos Z es smérca alrededor del cero.
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 55 Por úlmo, hemos expresado esas funcones de dsrbucón nula en forma connua a ravés de la nerpolacón por splnes, lo que nos perme obener los P- valores para cualquer valor x del esadísco de conrase correspondene calculando - F(x), sendo F(x) la ordenada en la funcón de dsrbucón asocada a dcho conrase. REFERENCIAS CRAGG, J.G. (98): «More Effcen Esmaon n he Presence of Heeroscedascy of Unknown Form», Economerca, 5, 75-76. DAVIDSON, R. Y J.G. MACKINNON (004): «Economerc Theory and Mehods». Oxford Unversy Press. DOORNIK, J. A. (00): «Objec-Orened Marx Programmng Usng Ox». Tmberlake Consulans Press, London, edn. ERICSSON, N. R. Y J. G. MACKINNON (00): «Dsrbuons of error correcon ess for conegraon», Economercs Journal, 5, 85-8. GRANGER, W. J. C. Y N. R. SWANSON (997): «An Inroducon o Sochasc Un-Roo Processes», Journal of Economercs, 80, 5-6. KINCAID, D. Y W. CHENEY (994): «Análss Numérco. Las Maemácas del Cálculo Cenífco». Addson-Wesley Iberoamercana, Delaware, U.S. L ECUYER, P. (997): «Tables of Maxmally-Equdsrbued Combned LSFR Generaors», Mmeo. LEYBOURNE, S. J., B. P. MCCABE Y T. C. MILLS (996) : «Randomzed Un Roo Processes for Modellng and Forecasng Fnancal Tme Seres: Theory and Applcaons», Journal of Forecasng, 5, 5-70. LEYBOURNE, S. J., B. P. MCCABE Y A. R. TREMAYNE (996) : «Can Economc Tme Seres Be Dfferenced o Saonary?», Journal of Busness and Economc Sascs, 4, 45-446. MACKINNON, J. G. (994): «Approxmae Asympoc Dsrbuon Funcons for Un- Roo and Conegraon Tess», Journal of Busness and Economc Sascs,, 67-76. (996): «Numercal Dsrbuon Funcons for Un Roo and Conegraon Tess», Journal of Appled Economercs,, 60-68.
56 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA (000): Hgh Performance Compung Sysems and Applcaons. Chap. Compung Numercal Dsrbuon Funcons n Economercs, pp. 455-470. Kluwer, Amserdam. MCCABE, B. P. M., G. M. MARTIN Y A. R. TREMAYNE (00): PERSISTENCE and Nonsaonary Models, Workng Paper 6/00, Deparmen of Economercs and Busness Sascs, Unversy of Monash, Ausrala. hp://www.buseco.monash.edu.au/deps/ebs/pubs/wpapers/00/wp6-0.pdf TAYLOR, A. M. R. Y D. VAN DIJK (00): Can Tess for Sochasc Un Roos provde useful Pormaneau Tess for Perssence?, Oxford Bullen of Economcs and Sascs, 64, 8-97. TJØSTHEIM, D. (986): Some doubly Sochasc Tme Seres Models, Journal of Tme Seres Analyss, 7, 5-7. YOON, G. (00): Sochasc Un Roos, Long memory and I(.5), Workng Paper, Deparmen of Economcs and Relaed Sudes, Unversy of York. hp://www.bwl.un-kel.de/econ/es-old/es-papers/yoon.pdf (004): A Noe on Some Properes of STUR Processes, Workng Paper, Deparmen of Economcs and Relaed Sudes, Unversy of York. hp://repec.org/esfeam04/up.475.0807476.pdf
ESTIMACIÓN DE CUANTILES Y P-VALORES PARA CONTRASTES DE RAICES UNITARIAS ESTOCÁSTICAS 57 ESTIMATION OF QUANTILES AND P-VALUES FOR STOCHASTIC UNIT ROOT TESTS ABSTRACT In hs paper we gve equaons (response surface) ha enable us o esmae crcal values for any sample sze and sgnfcaon level for some ess for sochasc un roos. The equaons also allow us o approxmae p-values under normaly hypohess abou noses. We have underaken a Mone Carlo expermen o oban hese equaons and from he smulaed daa we have calculaed opmal esmaors for he equaon s coeffcens. Keywords: sochasc un roos ess, response surface, Mone Carlo mehod, me seres, dsrbuon funcon, crcal values. Clasfcaon AMS: 6K0, 65C05, 6G0, 9B84..