AMARUN www.amarun.org Comisión de Pedagogía - Diego Chamorro Esacios Funcionales y Alicaciones (Nivel 3). Lección n : Esacios de Lebesgue, esacios de Lorentz, Funciones Maximales UCE, verano 23 Introducción Como vamos a ver en este curso, los esacios de Lebesgue constituyen la herramienta de base ara la construcción de muchos otros esacios funcionales y uede considerárselos como una materia rima necesaria ara la correcta comrensión de estos esacios de funciones. En este sentido, muchísimas de las roiedades de los esacios de Lebesgue se transmitirán a los diferentes esacios que serán construidos con ellos y es or esta razón que es necesario tener en mente las rinciales roiedades y características de los esacios de Lebesgue. Sin embargo, en muchas situaciones rácticas, los esacios de Lebesgue no son suficientes y es necesario medir el tamaño de las funciones de forma más recisa. Para ello vamos a estudiar los esacios Lorentz débiles, que son una generalización de los esacios de Lebesgue, y que tienen varias alicaciones interesantes, esecialmente or las imortantes relaciones que existen entre estos esacios y las funciones maximales lo cual nos ermitirá deducir algunos resultados muy imortantes.. Esacios de Lebesgue En todo esta lección trabajaremos rincialmente sobre el esacio euclídeo R n, con n, dotado de su estructura de gruo usual y de la norna canónica x = (x 2 + +x2 n )/2. Consideraremos además el esacio medido (R n,bor(r n ),dx) en donde Bor(R n ) es la σ-álgebra de los borelianos de R n y dx es la medida de Lebesgue. De ser necesario consideraremos también esacios medidos más generales (, Bor(), µ). Definición (Esacios de Lebesgue) Definimos sobre el esacio medido (R n,bor(r n ),dx) los esacios de Lebesgue L (R n ), con < +, como el conjunto de funciones f : R n K con K = R o C, cuyo módulo a la otencia es integrable. Este esacio admite la siguiente norma: ( ) / f L = f(x) dx. R n Si = +, definimos el esacio L (R n ) como el conjunto de funciones esencialmente acotadas, normado or la funcional f L = su x R n ess f(x). Proosición (Estructura) Los esacios de Lebesgue L (R n ) son: ) esacios de Banach si +. 2) esacios searables si < + (atención: el esacio L (R n ) no es searable) Observación Si < <, los esacios de Lebesgue L no son esacios localmente convexos y no ueden ser normados, lo que hace su utilización oco interesante en las alicaciones.
Proosición 2 (Resultados de Densidad) ) El conjunto de funciones simles integrables es denso en L (R n ) si < +. 2) El esacio de funciones continuas a soorte comacto es denso en L (R n ) si < +. Proosición 3 (Dualidad y Reflexibilidad) ) Si <,q < + son tales que + q =, entonces el esacio dual del esacio de Lebesgue L (R n ) es el esacio de Lebesgue L q (R n ). Es decir que (L ) = L q. En articular, es osible calcular la norma L or dualidad: f L = su f(x)g(x)dx R n g L q= Además estos esacios son reflexivos y se tiene (L ) = L. 2) Si =, el esacio dual del esacio de Lebesgue L (R n ) es el esacio de Lebesgue L (R n ). Pero este esacio no es reflexivo. Proosición 4 (Teoremas Clásicos) ) Teorema de Convergencia Monótona de Beo Levi: sea (f k ) k N una sucesión creciente de funciones medibles definidas sobre R n a valores en R + y sea f tal que lím f k(x) = f(x) en casi todas k + artes. Entonces f(x)dx = lím f k (x)dx R n k + R n 2) Lema de Fatou: sea (f k ) k N una sucesión de funciones medibles definidas sobre R n a valores en R +. Entonces límínf f k(x)dx límínf f k (x)dx R n k + k + R n 3) Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue: sea (f k ) k N una sucesión de funciones medibles definidas sobre R n a valores en R. Si lím f k(x) = f(x) en casi todas artes y si existe una k + función integrable g : R n R tal que f(x) g(x) en casi todas artes, entonces la función f es integrable y se tiene lím f k (x)dx = f(x)dx k + R n R n 4) Teorema de Fubini-Tonelli: sean (, Bor(), µ) y (, Bor(), ν) dos esacios medidos. Si f : R + es una función Bor() Bor()-medible, entonces las alicaciones x f(x,y)dν(y) y y f(x, y)dµ(x) son Bor()- y Bor()- medibles resectivamente y se tiene f(x,y)dµ ν(x,y) = ( ) f(x, y)dµ(x) dν(y) = ( ) f(x, y)dν(y) dµ(x) 2
Proosición 5 (Desigualdades imortantes) ) Desigualdad de Hölder: si f L (R n ) y g L q (R n ) con,q + y tales que + q =, entonces se tiene la desigualdad: R n f(x)g(x) dx f L g L q 2) Desigualdad de Minkowski continua: sean (, Bor(), µ) y (, Bor(), ν) dos esacios medidos. Si f : K es una función Bor() Bor()-medible y si < + entonces ( ( / f(x,y) dν(y)) dµ(x)) ( f(x,y) dµ(x)) / dν(y) 3) Desigualdad de Interolación: si f L (R n ) L (R n ) con < +, entonces ara todo θ [,] se tiene que f L (R n ) con = θ + θ. Además se tiene la desigualdad f L f θ L f θ L 4) Desigualdad de Jensen: sea (,Bor(),µ) un esacio medido tal que µ() =. Si ϕ : I R R es una función convexa y si f L () es una función tal que f(x) I ara µ-casi todo x, entonces se tiene la desigualdad: ( ) ϕ f(x)dµ(x) ϕ ( f ) (x)dµ(x) 5) Desigualdad de Tchebychev: sea (,Bor(),µ) un esacio medido y sea f : K una función tal que f L () con < +. Entonces, ara todo α > se tiene la desigualdad µ ( {x : f(x) > α} ) / α f L Observación 2 Estos resultados se mantienen si se consideran los esacios de sucesiones l (N) con +, caracterizados or la funcional a l = ( n N ) / a n si < + y a l = su a n si = +. n N Definición 2 (Esacios de Lebesgue locales) Definimos sobre el esacio medido (R n,bor(r n ),dx) los esacios de Lebesgue locales L loc (Rn ), con < +, como el conjunto de funciones f : R n K con K = R o C, cuyo módulo a la otencia es integrable sobre todo comacto K: { ( } / L loc (Rn ) = f : R n K : f L (K) = f(x) dx) < +, K R n comacto K Proosición 6 (Estructura) Sea (K n ) n N una sucesión exhaustiva de comactos de R n (es decir que R n = n N K n). Los esacios de Lebesgue locales L loc (Rn ) son esacios de Fréchet ara la familia de seminormas L (K n). Proosición 7 (Inclusiones) Para todo + se tienen las inclusiones L (R n ) L loc (Rn ). 3
2. Esacios de Lorentz Son una generalización de los esacios de Lebesgue: miden el tamaño de las funciones. Muy útiles cuando se trabaja con oeradores, es decir en todo el análisis. Muchas veces sólo se disonen de estimaciones en donde intervienen los esacios de Lorentz no se uede asar a estimaciones más fuertes en donde intervienen esacios de Lebesgue. 2.. Función de distribución Definición 3 Sea (,Bor(),µ) un esacio medido, sea f : K una función medible y sea α [,+ [ un real. Definimos sobre [,+ [ la función de distribución asociada a la función f or d f (α) = { f(x) >α} (x)dµ(x) = µ({x : f(x) > α}). Proosición 8 Sea (,Bor(),µ) un esacio medido y sean f,g : K dos funciones medibles. Entonces, ara todo α,β tenemos: () d f es decreciente y continua a la derecha sobre [,+ [, (2) si g(x) f(x) µ-c.t.. entonces d g (α) d f (α), ara todo α, (3) ara toda constante λ K, se tiene d λf (α) = d f (α/ λ ), ara todo α, (4) d f+g (α+β) d f (α)+d g (β), (5) d fg (αβ) d f (α)+d g (β). Proosición 9 Sea (,Bor(),µ) un esacio medido, sea f : K una función medible y sea < + un arámetro real. Se tiene entonces la identidad f L = + α d f (α)dα. Prueba. + α d f (α)dα = + α ( ) { f >α} (x)dµ(x) dα. Alicamos el teorema de Fubini en la última integral ara obtener + f(x) = α { f >α} (x)dα dµ(x) = α dα dµ(x) = f dµ(x) = f L. 2.2. Esacios de Lorentz L, También llamados esacios de Lebesgue débiles o esacios de Marcinkiewicz. Definición 4 Sea (,Bor(),µ) un esacio medido y sea f : K una función medible. ) Sea < + un número real, diremos que f ertenece al esacio L, () si la cantidad { } } f L, = su α d / f (α) = ínf {d f (α) C α> C> α, α > es finita. 2) El esacio L, () es or definición el esacio L (). 4
Proosición Sea < + y sea (,Bor(),µ) un esacio medido. Entonces tenemos la inclusión: L () L, (). f L, f L. Esta inclusión es estricta. Prueba. Sea α > un número real, entonces f L = f(x) dµ(x) = { f >α} Es decir, ara todo α >, f L αd / f (α). { f >α} f(x) dµ(x) α f(x) dµ(x)+ f(x) dµ(x) { f α} { f >α} dµ(x) = α d f (α). La inclusión es estricta: Sea la función f : x x n/ definida sobre = R n. Se tiene f / L (R n ). Pero f L, es igual a la raiz -ésima de la medida de la bola unidad de R n, en efecto, un cambio de variable ermite ver que d / f (α) = α B(,) /. Luego se tiene f L, = B(,) /. Primera utilidad de los esacios de Lorentz: = Permiten mejorar el resultado de interolación entre los esacios de Lebesgue. Sabíamos que se tiene la estimación f L r f /r < r < +. Con los esacios de Lorentz tenemos algo mejor: f /r L L ara toda función f L () L (), con Proosición Sean < q + y sea f L, () L q, (), entonces f L r () ara todo < r < q: f L r C(,q,r) f θ L, f θ L q, con θ = r q r q si q < + y θ = /r si q = +. Prueba. Sea q < +. Sabemos que Fijemos T = ( f q ) L q, q f L, ara escribir + f r L r = r α r d f (α)dα r r T α r f L, dα+r ( f ) L d f (α) mín, α, f q L q, α q + + T ( f α r mín r r f L T r + r, q r f q L T r q = q, L, α, f q L q, α q ) dα α r q f q L dα () q, ( r r + r ) ( f q r L ) q ( f q r q, L ) r q, q Sea q = +. Como d f (α) = si α > f L entonces basta utilizar la estimación d f (α) α f L ara, la arte α f L en la integral () ara obtener f r L r r r f L f r, L 5
Teorema (Caracterización) Sean < < + y sea f : R n R una función medible. Entonces f L, (R n ) si y solo si ( A > ) ( f,f : R n R) t.q. f(x) = f (x)+f (x) con f L C A θ y f L C A θ con A >, = θ + θ, < < y < θ <. Además se tiene f L, = ínf {C > : f = f +f con f L CA θ, f L CA θ} Prueba. (= ) Seaf L, (R n ).Definimosf = f {x R n : f(x) >B} yf = f {x R n : f(x) B} conunciertob >.Mostremos que f L y que f L : Para f : f dx = R n f dx = { f(x) >B} (2 j+ B) d f (2 j B) j= j= f dx (2 j+ B) dx j= {2 j B< f(x) <2 j+ B} j= {2 j B< f(x) <2 j+ B} (2 j+ B) (2 j B) f L, = B C f L, la suma anterior converge ues < y or lo tanto f L. Para f : R n f dx = f { f(x) B} j= dx = f dx j= {2 j B< f(x) <2 j+ B} (2 j+ B) d f (2 j B) la suma anterior converge ues < y or lo tanto f L. Reescribimos estas estimaciones de la siguiente forma: j= f L CB / f / L, = C f L, f L CB / f / L, = C f L, j= (2 j+ B) dx {2 j B< f(x) <2 j+ B} (2 j+ B) (2 j B) f L, = B C f L, ( B f L, ( B ( / (/ / ) B basta entonces escribir A = f L, ) y C = C f L,. f L, ) / ) / ( =) Tenemos la estimación { f(x) > α} { f (x) > α/2} + { f (x) > α/2}. Alicando la desigualdad de Tchebychev y las hiótesis obtenemos { f(x) > α} C f ( C α L α ) [ +C f L A (θ ) α ( C α C A(θ ) α ) +A θ + C Aθ α ( C α ) ] Para terminar basta escojer A tal que la cantidad entre corchete anterior siemre sea igual a : tenemos entonces que f L,. 6
3. Teoremas de interolación de Marcinkiewicz y de Riesz-Thorin es un tio de resultado esencial en el análisis. estos teoremas son la fuente de muchas alicaciones muy útiles. son el unto de artida de la teoría de interolación entre esacios de Banach. Definición 5 Sea (,Bor(),µ) un esacio medido. Definimos L ()+L () como el esacio de todas las funciones f tales que f = f +f en donde f L () y f L (). Proosición 2 Sea (,Bor(),µ) un esacio medido. Si < se tiene L () L () + L () ara todo tal que < <. Prueba. Sea f una función de L () y sea γ una constante ositiva fijada. Escribimos f(x) si f(x) > γ f(x) si f(x) γ f (x) = f (x) = si f(x) γ si f(x) > γ de manera que f = f +f. Puesto que se tiene f (x) dµ(x) = De forma similar tenemos f (x) dµ(x) = f (x) f (x) dµ(x) γ f (x) f (x) dµ(x) γ f(x) dµ(x) f(x) dµ(x), luego f L () y f L (). 3.. Interolación de Marcinkiewicz Un oerador sublineal verifica T(αf +βg) αt(f)+βt(g). Teorema 2 Sean (,Bor(),µ) y (,Bor(),ν) dos esacios medidos. Sea < +. Sea T un oerador sublineal definido en el esacio L () + L () y que toma valores en el esacio de funciones medibles definidas sobre. Suongamos que existen dos constantes ositivas A y A tales que: T(f) L, () A f L (), ara toda función f L (), (2) T(f) L, () A f L (), ara toda función f L (). (3) Entonces, ara todo < < y ara todo f L (), tenemos la estimación: T(f) L () A f L (), (4) en donde ( A = 2 + ) / / / A / A / / / /. (5) Demostración. 7
Suongamos que < + y fijemos una función f L () y un arámetro α >. Utilizamos la descomosición anterior de la función f escribiendo f = f α +fα en donde f α (x) = { f(x) si f(x) > δα si f(x) δα f α (x) = { f(x) si f(x) δα si f(x) > δα. Aqui δ es un arámetro ositivo cuyo valor será determinado osteriormente. Obsérvese que f α ertenece al esacio L () y que f α ertenece al esacio L (). Utilizemos la hiótesis de sublinealidad ara obtener T(f) = T(f α +fα ) T(fα ) + T(fα ), lo que imlica las inclusiones {x : T(f)(x) > α} {x : T(f α) > α/2} {x : T(fα ) > α/2}, de donde se tiene, al nivel de las funciones de distribución Esta estimación anterior, junto con a las hiótesis (2) y (3), nos da d T(f) (α) A (α/2) { f >δα} d T(f) (α) d T(f α )(α/2)+d T(f α )(α/2). (6) f(x) dµ(x)+ A (α/2) f(x) dµ(x) { f δα} Ahora vamos a contruir la norma L de T(f) utilizando la roosición 9, en efecto: T(f) L = + α d T(f) (α)dα (2A ) +(2A ) + Alicamos el teorema de Fubini ara obtener T(f) L (2A ) f(x) es decir T(f) L (2A ) f /δ α + { f δα} α { f >δα} f(x) dµ(x)dα. α dαdµ(x)+(2a ) f(x) f(x) f(x) δ dµ(x)+(2a ) f(x) dµ(x)dα + f /δ α dαdµ(x), f(x) f(x) δ dµ(x). De donde se obtiene T(f) L [ (2A ) δ +(2A ) δ ] f L. Faltaahorafijarunvalordeδ araterminarlarueba;araelloessuficenteescribirδ = (2A ) (2A ). El lector verificará sin roblema que se tiene la estimación deseada. Caso cuando = +. Escribamos otra vez f = f α +fα con f α (x) = { f(x) si f(x) > γα si f(x) γα f α (x) = { f(x) si f(x) γα si f(x) > γα. Tenemos las estimaciones siguientes T(f α ) L A f α L A γα = α/2 8
siemre y cuando fijemos γ = 2A. Se deduce de esto que el conjunto {x : T(f α ) > α/2} es de medida cero; or lo tanto d T(f) (α) d T(f α )(α/2). Se construye otra vez la norma L de T(f) utilizando la roosición 9: Alicando el teorema de Fubini se tiene Es decir de donde concluimos que lo que termina la rueba. T(f) L + (2A ) f(x) (2A ) T(f) L 2 A α d T(f α )(α/2)dα. 2A f α dαdµ(x). f(x) f(x) (2A ) dµ(x). A f L 3.2. Alicación: Funciones Maximales Funciones de gran imortancia en el análisis armónico: una herramienta indisensable Ejemlo de oeradores que no son acotados en L en L : ilustración de la necesidad de los esacios de Lorentz Definición 6 Sea f : R n R una función localmente integrable. Definimos el romedio de f sobre la bola B = B(x,r) como m B (f)(x) = f(y)dy B(x, r) B(x,r) Definición 7 (función maximal centrada) Sea f : R n R una función medible. La función maximal centrada de Hardy-Littlewood es: M(f)(x) = su m B ( f )(x) = su r> r> v n r n f(x y) dy { y <r} Definición 8 (función maximal no centrada) Sea f : R n R una función medible. La función maximal no centrada de Hardy-Littlewood es: M(f)(x) = su m B(y,δ) ( f )(x) δ>; x y <δ Teorema 3 (Control sobre funciones maximales) Sea ϕ una función continua y decreciente definida sobre [,+ [. Si Φ(x) = ϕ( x ) es una función integrable sobre R n entonces, ara toda función f localmente integrable sobre R n, se tiene la estimación ( ) su f Φε (x) Φ L M(f)(x) ε> en donde hemos notado Φ ε (x) = ε n Φ(ε x). Observación 3 M(f) nunca está en L (R n ) si f. Se tiene M(f) M(f). 9
Teorema 4 Las funciones maximales M y M son oeradores acotados: de L (R n ) en L, (R n ) de L (R n ) en L (R n ) de L (R n ) en L (R n ) ara todo < < + Demostración. de L (R n ) en L, (R n ): Dado que M(f) M(f), se tiene la inclusión de conjuntos {x R n : M(f)(x) > α} {x R n : M(f)(x) > α}. Como M(f) es el suremo de funciones continuas, se tiene que M(f) es semi-continua inferiormente y el conjunto E α = {x R n : M(f)(x) > α} es abierto. Sea K un comacto de E α, entonces ara todo x K existe una bola B x tal que: B x f(y) dy > α B x Por comacidad de K existe un recubrimiento finito {B x,,...,b x,k } de K. Lema (Teorema de recubrimiento) Sea {B,...,B k } una familia finita de bolas abiertas de R n. Existe entonces una subcolección finita {B j,,...,b j,l } formada or bolas disjuntas tales que l k B j,i 3 n B i i= i= Alicamos este lema a la familia de bolas {B x,,...,b x,k } ara obtener K k l B x,i 3 n B x,ji 3n α i= i= l i= B x,ji f(y) dy 3n α R n f(y) dy Tomando el suremo de todos los comactos contenidos en E α obtenemos α E α 3 n f L de donde se deduce M(f) L, M(f) L, 3 n f L. de L (R n ) en L (R n ): Se tiene inmediatamente M(f) L M(f) L f L. de L (R n ) en L (R n ) ara todo < < + : Aquí se alica el teorema de interolación de Marcinkiewicz!
3.3. Interolación de Riesz-Thorin Teorema 5 Sean (,Bor(),µ) y (,Bor(),ν) dos esacios medidos. Sea T un oerador lineal definido sobre el conjunto de todas las funciones simles f :. Sean,,q,q +. Si se tiene T(f) L q () M f L (), T(f) L q () M f L (), ara toda función simle f sobre, entonces, ara todo < θ < se tiene T(f) L q () M θ M θ f L () ara todas las funciones simles de en donde = θ + θ y q = θ simles, T osee una única extensión acotada de L () en L q (). q + θ q. Por densidad de las funciones Demostración. Sea f = m a k e iα k Ak k= una función simle sobre en donde a k >, α k R y A k son subconjuntos disjuntos de de medida finita. Por dualidad, necesitamos controlar la cantidad T(f) L q () = su T(f)(x)g(x)dν(x) en donde el suremo toma en cuenta todas las funciones simles g L q () tales que g L q (). Escribimos entonces n g = b j e iβ j Bj j= en donde β j >, β j R y B j son subconjuntos disjuntos de de medida finita. Definimos ahora las cantidades Para z {z C : Re(z) } definimos F(z) = en donde Por linealidad se tiene P(z) = ( z)+ z y Q(z) = q q ( z)+ q q z. F(z) = f z = m m k= n k= j= T(f z )(x)g z (x)dν(x) a P(z) k e iα k Ak y g z = a P(z) k b Q(z) j notar que F es analítica en z uesto que a k,b j >. e iα k e iβ j n j= b Q(z) j e iβ j Bj. T( Ak )(x) Bj (x)dν(x) Sea ahora z tal que Re(z) =. Dado que los conjuntos A k son disjuntos y que a P(z) k = a / k f z L = f L. Simétricamente como se tiene b Q(z) j = b q /q j, odemos escribir g z q L q Si z es tal que Re(z) =, or las mismas razones tenemos f z L = f L y g z q L q Utilizando la desigualdad de Hölder y la hiótesis tenemos cuando Re(z) = : F(z) T(f z ) L q g z L q M f z L g z L q = M f / L g q /q L q = g q L q. = g q L q. tenemos
Cuando Re(z) = se tiene: Necesitaremos el lema siguiente: F(z) M f / L g q /q L q. Lema 2 (de las tres líneas de Hadamard) Sea F una función analítica sobre la banda abierta que es continua y acotada sobre B y tal que F(z) B cuando Re(z) = F(z) B cuando Re(z) = B = {z C : < Re(z) < } con < B,B < +. Entonces se tiene F(z) B θ B θ si Re(z) = θ, con θ. Suoniendo este lema odemos escribir directamente, cuando Re(z) = θ: F(z) M θ M θ f L g L q Para terminar notamos que P(θ) = Q(θ) = y entonces F(θ) = T(f)gdν. Podemos concluir tomando el suremo sobre todas las funciones simles g definidas sobre a valores en L q de norma g L q (). 3.4. Alicación: Desigualdad de oung Teorema 6 Sea,q,r + tal que + q = + r. Entonces, ara todo f L (R n ) y todo g L r (R n ) se tiene f g L q f L g L r. Sea g L r y definamos T(f) = f g. = Nótese que T : L L r con norma mayorada or g L r: T(f) L r = f g L r f L g L r (desigualdad de Minkowski continua) = que T : L r L con norma mayorada or g L r: f(y)g(x y)dy f L r g L r = T(f) L f L r g L r R n Entonces una alicación directa del teorema de Riesz-Thorin nos da que T envía L en L q con norma mayorada or g θ L r g θ L = g r L r con / = θ +θ/r y /q = ( θ)/r +θ/ ; es decir: f g L q f L g L r. 2