JUNIO 2006 Opción A 1.- Una familia dispone de 80 euros mensuales para realizar la compra en una carnicería. El primer mes compran 10 Kg. de carne de pollo, 6 Kg. de carne de cerdo y 3 Kg. de ternera y les sobran 3,1 euros. El siguiente mes adquieren 10 kg. de carne de pollo, 7 Kg. de carne de cerdo y 2 Kg. de carne de ternera y les sobran 5,1 euros. El tercer mes compran 11 Kg. de carne de pollo, 6 Kg. de carne de cerdo y 2 Kg. de carne de ternera, abonando un total de 72 euros y 30 céntimos. Suponiendo que no ha variado el precio de la carne en estos meses, cuánto cuesta el Kg. de carne de pollo, cerdo y ternera? 2.- Una inmobiliaria está interesada en adquirir unos terrenos que pueden ser representados en un determinado plano como la superficie encerrada entre la parábola f (x) = x 2 + 2x + 4 y la recta g (x) = 2x. a) Halla la representación gráfica simultánea de estas dos funciones. b) Si una unidad de área en este plano equivale a 1 km 2 y el precio del km 2 es de 30 millones de euros, qué importe debe pagar la inmobiliaria por esos terrenos? 3.- a) Los salarios de los trabajadores de un país puede suponerse que siguen una distribución normal de media 2000 euros y desviación típica desconocida. Si la probabilidad de ganar más de 2100 euros es de 0,33, cuál es la desviación típica? b) Los salarios en euros de los trabajadores en un segundo país también puede suponerse que siguen una distribución normal con la misma media y con varianza de 40000 euros 2. Es más fácil ganar más de 2100 euros en este segundo país que en el país del apartado anterior? 4.- Se lanzan dos dados A y B con las caras numeradas del 1 al 6. Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea múltiplo de 4? Dpto. Matemáticas 1 / 10 IES Ramón Olleros
Opción B 1.- En una factoría, se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad de producto B ocupa un metro cúbico de espacio de almacenamiento, lo mismo que cada unidad de producto A. Tan solo disponemos de un almacén con capacidad de 20 metros cúbicos. Juan se encarga de una fase de la producción y Pedro de otra fase de la producción. Cada unidad de A requiere 4 horas de trabajo de Juan y 2 horas de trabajo de Pedro. Cada unidad de B requiere 1 hora de trabajo de Juan y 3 horas de trabajo de Pedro. Juan debe trabajar al menos 32 horas y Pedro al menos 36 horas. Cada unidad de producto A produce un beneficio de 25 euros y cada unidad de B produce un beneficio de 20 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula el número de unidades de producto A y de producto B que permiten obtener mayores beneficios, así como el beneficio máximo que se puede conseguir. 2.- a) Calcula la ecuación de la recta tangente a f (x) = x 3 3x 2 en x = 1. b) Calcula el área encerrada entre la función f (x), el eje OX y las rectas x = 0 y x = 4. 3.- En un IES se va a organizar una excursión que consiste en una semana en la nieve. De los alumnos de Bachillerato van a apuntarse 20 chicas y 25 chicos de un total de 43 chicas y 50 chicos. Si se elige un alumno al azar calcula la probabilidad de que: a) Sea chico y no vaya a la excursión. b) Vaya a la excursión sabiendo que es chica. c) Sea chica sabiendo que va a la excursión. d) Son los sucesos sea chica e ir de excursión sucesos independientes? 4.- Se considera el experimento lanzar una moneda tres veces. Sea A el suceso obtener al menos una cara y B el suceso obtener al menos dos cruces. Calcula P (A B). Dpto. Matemáticas 2 / 10 IES Ramón Olleros
SOLUCIONES Opción A 1.- Una familia dispone de 80 euros mensuales para realizar la compra en una carnicería. El primer mes compran 10 kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 3 kg de ternera y les sobran 3,1 euros. El siguiente mes adquieren 10 kg de carne de pollo, 7 kg de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera y les sobran 5,1 euros. El tercer mes compran 11 kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y 2 kg de carne de ternera, abonando un total de 72 euros y 30 céntimos. Suponiendo que no ha variado el precio de la carne en estos meses, cuánto cuesta el kg de carne de pollo, cerdo y ternera? Sean x, y, z el precio del kilo de carne de pollo, de cerdo y de ternera, respectivamente. Entonces se obtiene el sistema: 10 x + 6y + 3z = 76,9 10 x + 7y + 2z = 74,9 11x + 6y + 2z = 72,3 Lo transformamos como sigue: 10 x + 6y + 3z = 76,9 10 x + 7y + 2z = 74,9 11x + 6y + 2z = 72,3 10 x + 6y + 3z = 76,9 y z = 2 x z = 4,6 10 x + 6y + 3z = 76,9 y = z 2 x = z 4,6 Sustituyendo las dos últimas ecuaciones en la primera: 10z 46 + 6z 12 + 3z = 76,9 19z = 134,9 z = 7,1; y = 5,1; x = 2,5 Por tanto, el pollo cuesta a 2,5 /kg; el cerdo a 5,1 /kg; la ternera a 7,1 /kg. 2.- Una inmobiliaria está interesada en adquirir unos terrenos que pueden ser representados en un determinado plano como la superficie encerrada entre la parábola f (x) = x 2 + 2x + 4 y la recta g (x) = 2x. a) Halla la representación gráfica simultánea de estas dos funciones. b) Si una unidad de área en este plano equivale a 1 km 2 y el precio del km 2 es de 30 millones de euros, qué importe debe pagar la inmobiliaria por esos terrenos? a) La función f (x) = x 2 + 2x + 4 tiene como representación gráfica una parábola. Calculemos su vértice: x v = b = 2a 2 2 ( 1) = 1 y v = 1 2 + 2 1 + 4 = 5 Por tanto el vértice es el punto (1, 5). Para completar el dibujo de la parábola podemos calcular algunos valores mediante una tabla: Dpto. Matemáticas 3 / 10 IES Ramón Olleros
x 1 0 1 2 3 f (x) = x 2 + 2x + 4 1 4 5 4 1 Por otra parte, la función g (x) = 2x tiene como representación gráfica un recta. Calculemos algunos de sus puntos mediante una tabla de valores: La gráfica simultánea de ambas funciones será pues: x 2 1 0 1 2 g (x) = 2x 4 2 0 2 4 b) Para calcular el precio que debe pagar la inmobiliaria tenemos que calcular el área encerrada entre las gráficas de ambas funciones (recinto sombreado en la figura anterior). Calculemos en primer lugar los puntos de corte de las gráficas: f (x) = g (x) x 2 + 2x + 4 = 2x x 2 = 4 x = ± 2 Así pues el área buscada vendrá dada por: A = 2 2 ( x + 2 x + 4) (2 x ) dx 2 = 2 x 2 ( + 4) dx = 2 3 x + 4x 3 2 2 8 8 = + 8 8 3 3 = 32 3 km2 Como el precio de km 2 es de 30 millones de euros, el importe total de la parcela vendrá dado por: Importe = 32 30 = 320 millones de euros. 3 Dpto. Matemáticas 4 / 10 IES Ramón Olleros
3.- a) Los salarios de los trabajadores de un país puede suponerse que siguen una distribución normal de media 2000 euros y desviación típica desconocida. Si la probabilidad de ganar más de 2100 euros es de 0,33, cuál es la desviación típica? b) Los salarios en euros de los trabajadores en un segundo país también puede suponerse que siguen una distribución normal con la misma media y con varianza de 40000 euros 2. Es más fácil ganar más de 2100 euros en este segundo país que en el país del apartado anterior? La distribución que tenemos es una normal, N (2000, σ), que se tipifica mediante el cambio: X 2000 Z = σ Por tanto, como sabemos que P (X > 2100) = 0,33, tipificando tendremos: P (X > 2100) = P Z 2100 2000 > = 1 P σ 100 Z = 0,33 σ De aquí deducimos que: P 100 Z = 1 0,33 = 0,67 σ A continuación hacemos uso de la tabla de una distribución normal tipificada para ver cual es el valor de Z al que le corresponde una probabilidad de 0,66. El valor buscado es: Z = 0,44. Por tanto: 0,44 = 100 σ σ = 100 : 0,44 = 227,27 euros b) Calculemos la probabilidad de ganar 2100 euros en este segundo país en el que los sueldos siguen una distribución normal N = (2000, 200) y comparémosla con la probabilidad de ganar 2100 en el primer país. (Nota: en este segundo país σ = Varianza = 40000 = 200 euros). 2100 2000 P (X > 2100) = P Z > 200 = P 100 Z > = P (Z > 0,5) = 200 = 1 P (Z 0,5) = 1 0,6915 = 0,5885 Se observa que la probabilidad de ganar 2100 euros en el segundo país es mayor la probabilidad de ganar esa cantidad en el primer país. Por tanto sí es más fácil ganar ese dinero en el segundo país que en el primero. Dpto. Matemáticas 5 / 10 IES Ramón Olleros
4.- Se lanzan dos dados A y B con las caras numeradas del 1 al 6. Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea múltiplo de 4? El resultado de la suma de dos dados es el que indicamos en la siguiente tabla: + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 La suma es múltiplo de 4 si los dados suman 4, 8 o 12. Así: Suma = 4 3 veces Suma = 8 5 veces Suma = 12 1 vez En total: 3 + 5 + 1 = 9 casos. Por tanto, P (la suma sea múltiplo de 4) = 9 1 =. 36 4 Dpto. Matemáticas 6 / 10 IES Ramón Olleros
Opción B 1.- En una factoría, se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad de producto B ocupa un metro cúbico de espacio de almacenamiento, lo mismo que cada unidad de producto A. Tan solo disponemos de un almacén con capacidad de 20 metros cúbicos. Juan se encarga de una fase de la producción y Pedro de otra fase de la producción. Cada unidad de A requiere 4 horas de trabajo de Juan y 2 horas de trabajo de Pedro. Cada unidad de B requiere 1 hora de trabajo de Juan y 3 horas de trabajo de Pedro. Juan debe trabajar al menos 32 horas y Pedro al menos 36 horas. Cada unidad de producto A produce un beneficio de 25 euros y cada unidad de B produce un beneficio de 20 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula el número de unidades de producto A y de producto B que permiten obtener mayores beneficios, así como el beneficio máximo que se puede conseguir. Se trata de un problema de programación lineal. Sean x e y el número de unidades fabricadas de los productos A y B respectivamente. A partir del enunciado, podemos escribir las siguientes restricciones: y 4 x + y 20 4x + y 32 2x + 3y 36 A estas restricciones podríamos añadirle estas otras (aunque no son necesarias en el problema): La función objetivo en este caso viene dada por: Dibujemos la región factible: 0 x 20 y 20 F (x, y) = 25x + 20y Dpto. Matemáticas 7 / 10 IES Ramón Olleros
Los vértices de esta región son: A = (6, 8) B = (4, 16) C = (16, 4) D = (12, 4) Veamos en cual de ellos se presenta el máximo de la función de beneficios: F (6, 8) = 25 6 + 20 8 = 310 F (4, 16) = 25 4 + 20 16 = 420 F (16, 4) = 25 16 + 20 4 = 480 F (12, 4) = 25 12 + 20 4 = 380 Por tanto, el máximo se presenta cuando se fabrican 4 unidades del producto A y 16 del producto B. El beneficio obtenido en este caso es de 480 euros. 2.- a) Calcula la ecuación de la recta tangente a f (x) = x 3 3x 2 en x = 1. b) Calcula el área encerrada entre la función f (x), el eje OX y las rectas x = 0 y x = 4. a) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto x 0 viene dada por: Veamos pues cuanto valen f (x 0 ) y f (x 0 ): y f (x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) f (x 0 ) = ( 1) 3 3 ( 1) 2 = 4 f (x) = x 3 3x 2 f (x) = 3x 2 6x f (x) = 3 ( 1) 2 6 ( 1) = 9 Por tanto, nos queda que: y ( 4) = 9 (x ( 1)) y = 9x + 5 b) La función f (x) = x 3 3x 2 en el intervalo considerado (desde 0 a 4) toma valores tanto positivos como negativos, es decir, tiene una parte de su gráfica por encima del eje OX y otra parte por debajo del mismo. Veamos en qué puntos dicha función corta al eje OX: f (x) = 0 x 3 3x 2 = 0 x = 0 (raíz doble) y x = 3 En el intervalo (0, 3) f (x) toma valores negativos, mientras que en el intervalo (3, 4) toma valores positivos. Así pues, el área pedida vendrá dada por: Área = = 3 4 3 2 3 2 ( x 3 x ) dx + ( x 3 x ) dx 0 = 3 3 4 4 4 x 3 x 3 x + x = 4 4 0 3 81 81 27 + (64 64) 27 4 4 = 27 27 54 27 + = = u 2 4 4 4 2 Dpto. Matemáticas 8 / 10 IES Ramón Olleros
3.- En un IES se va a organizar una excursión que consiste en una semana en la nieve. De los alumnos de Bachillerato van a apuntarse 20 chicas y 25 chicos de un total de 43 chicas y 50 chicos. Si se elige un alumno al azar calcula la probabilidad de que: a) Sea chico y no vaya a la excursión. b) Vaya a la excursión sabiendo que es chica. c) Sea chica sabiendo que va a la excursión. d) Son los sucesos sea chica e ir de excursión sucesos independientes? En primer lugar consideremos los siguientes sucesos: A : ser chica. O : ser chico. E : ir a la excursión. E : no ir a la excursión. Para resolver el problema, hagamos el siguiente cuadro: A O E 20 25 45 E 23 25 48 43 50 93 Ahora, respondamos a las cuestiones que se nos plantean: a) P (O E ) = 25 93 b) P (E / A) = 20 43 c) P (A / E) = 20 = 4 45 9 d) Serán sucesos independientes si se cumple que P (A E) = P (A) P (E). Veámoslo: P (A E) = 20 93 Los sucesos no son independientes. P (A) = 43 93 20 93 43 93 45 93 P (E) = 45 93 Dpto. Matemáticas 9 / 10 IES Ramón Olleros
4.- Se considera el experimento lanzar una moneda tres veces. Sea A el suceso obtener al menos una cara y B el suceso obtener al menos dos cruces. Calcula P (A B). Consideremos el espacio muestral: {CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX} Por tanto, el suceso A obtener al menos una cara se presenta 7 veces (CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC) y el suceso B obtener al menos dos cruces se presenta 4 veces (CXX, XCX, XXC, XXX). El sueco A B obtener al menos una cara y al menos dos cruces es lo mismo que obtener una cara y dos cruces que se presenta 3 veces (CXX, XCX, XXC). Así tendremos que: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 7 + 4 3 = 8 = 1 8 8 8 8 Dpto. Matemáticas 10 / 10 IES Ramón Olleros