Selectividad Junio 2004 JUNIO 2004

Transcripción

1 Selectividad Junio 004 Bloque A JUNIO La suma de las tres cifras de un número es 8, siendo la cifra de las decenas igual a la media de las otras dos. Si se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el número aumenta en 98 unidades. Calcula dicho número..- La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función C () ,6, donde es el tiempo transcurrido desde de enero de 990 contado en años. a) Hasta qué año está creciendo la concentración de ozono? b) Cuál es la concentración máima de ozono que se alcanza en esa ciudad?.- Se quiere estimar la media de la nómina mensual que reciben los directivos de las compañías multinacionales que operan en Europa. a) Si la varianza de la nómina en la población es de 000. Cuál es la varianza de la media muestral cuando el tamaño de la muestra es de 00? b) Si en las condiciones del apartado anterior, la media muestral es de 4008 Se rechazaría, con un nivel de confianza del 0,95, la hipótesis de que la nómina media es de 4000? 4.- Se tienen dos sucesos aleatorios A B se conocen las probabilidades P (A) 0,4; P (B) 0, P (A B) 0,5. Son los sucesos A B incompatibles? Razona la respuesta. Bloque B.- Sea A a) Calcula A. b) Calcula todos los valores de e para los que se verifica que A..- Sabemos que la función f () a b tiene un máimo en el punto (, 8). a) Halla los valores de a b. b) Para dichos valores, calcula la ecuación de la recta tangente a f () en el punto de abscisa 0..- El 0 % de los habitantes de una determinada población son jubilados otro 0 % son estudiantes. La música clásica les gusta al 75 % de los jubilados, al 50 % de los estudiantes al 0 % del resto de la población. Calcula la probabilidad de que elegida al azar una persona a la que le gusta la música clásica sea jubilada. 4.- La duración (en años) de la placa base de los ordenadores sigue una distribución normal de parámetros µ 0, σ. Calcula la probabilidad de que una placa base dure más de años. Dpto. atemáticas / 6 IES Ramón Olleros

2 Selectividad Junio 004 Bloque A SOLUCIONES.- La suma de las tres cifras de un número es 8, siendo la cifra de las decenas igual a la media de las otras dos. Si se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el número aumenta en 98 unidades. Calcula dicho número. Sea abc el número pedido. La suma de sus cifras es 8 a b c 8 a c La cifra de las decenas es la media de las otras dos: b Si se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el número aumenta en 98 unidades cba abc 98. Esta última ecuación puede escribirse así: 00c 0b a 00a 0b c 98 99a 99c 98 a b c 8 En definitiva, se tiene el sistema: a b c 0 99a 99c 98 Lo resolvemos: a b c 8 a b c 8 E E a b c 0 b 8 E 99E 99a 99c 98 99b 98c 980 Se obtiene como solución: a 5, b 6, c 7 El número buscado es el La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función C () ,6, donde es el tiempo transcurrido desde de enero de 990 contado en años. a) Hasta qué año está creciendo la concentración de ozono? b) Cuál es la concentración máima de ozono que se alcanza en esa ciudad? a) Una función es creciente cuando su derivada es positiva. C () ,6 C () 5, 5 C () 5, 0 si,5, Por tanto: Si 0 < <,5 C () > 0 La concentración de ozono crece. Si >,5 C () < 0 La concentración de ozono decrece. La concentración de ozono crece hasta mediados del año 00. b) La concentración máima se alcanza en el instante,5, pues crece hasta ese valor decrece a partir de él. También puede hacerse la derivada segunda comprobar que C (,5), < 0. Ese valor máimo es: C (,5) 90 5,5 0,6 (,5) 8,75 Dpto. atemáticas / 6 IES Ramón Olleros

3 Selectividad Junio Se quiere estimar la media de la nómina mensual que reciben los directivos de las compañías multinacionales que operan en Europa. a) Si la varianza de la nómina en la población es de 000. Cuál es la varianza de la media muestral cuando el tamaño de la muestra es de 00? b) Si en las condiciones del apartado anterior, la media muestral es de 4008 Se rechazaría, con un nivel de confianza del 0,95, la hipótesis de que la nómina media es de 4000? a) La media de las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media µ desviación σ típica σ, N (µ, σ), se distribue según una normal Nµ,. Por tanto, su varianza será n σ σ n n 000 En nuestro caso, como σ 000 n 00, la varianza de la media muestral valdrá 0 00 b) Ha que hacer un contraste de hipótesis para la media. Haremos un contrate bilateral: Hipótesis nula, H 0 : µ 4000 Hipótesis alternativa, H : µ 4000 La zona de aceptación tiene la forma σ σ z α /, µ z / siendo σ la desviación típica n n µ α poblacional z α / el valor correspondiente en la tabla normal para una significación α. En nuestro caso z α /,96 por tanto: σ σ µ z α /, µ zα / (400,96 0, 4000,96 0 ) (99,8; 4006,) n n Se rechaza la hipótesis nula de que la nómina media es de 4000 con un nivel de confianza del 95 % a que 4008 (99,8; 4006,). En consecuencia, se admite la hipótesis alternativa: la nómina media es distinta de Se tienen dos sucesos aleatorios A B se conocen las probabilidades P (A) 0,4; P (B) 0, P (A B) 0,5. Son los sucesos A B incompatibles? Razona la respuesta. Dos sucesos A B son incompatibles cuando P (A B) 0. Como P (A B) P (A) P (B) P (A B) P (A B) P (A) P (B) P (A B) En nuestro caso: P (A B) 0,4 0, 0,5 0 A B no son incompatibles. Dpto. atemáticas / 6 IES Ramón Olleros

4 Selectividad Junio 004 Bloque B.- Sea A a) Calcula A. b) Calcula todos los valores de e para los que se verifica que A a) Si A A b) Se ha de verificar que A. Entonces: Igualando los elementos correspondientes de ambas matrices se tiene que: Las ecuaciones ª ª son equivalentes por tanto podemos eliminar una de ellas: De la primera ecuación tenemos: 0 o De la última ecuación tenemos: 0 0 (raíz doble) Por tanto, para que se verifique la segunda ecuación ( ) ha de ser e 0..- Sabemos que la función f () a b tiene un máimo en el punto (,8). a) Halla los valores de a b. b) Para dichos valores, calcula la ecuación de la recta tangente a f () en el punto de abscisa 0. a) A partir del dato de que función f () a b tiene un máimo en el punto (,8), sabemos dos cosas: La gráfica de la función f pasa por el punto (, 8), esto es: f () 8. Dpto. atemáticas 4 / 6 IES Ramón Olleros

5 Selectividad Junio 004 En el punto de abscisa, f () se anula (f () 0) pues es un punto singular. Así, obtenemos: Primero: 8 9a b Segundo: f () a b f () 6a b 0 Tenemos entonces un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 8 6 Resolviéndolo se obtiene: a b 9 8 Por tanto la función f es: f () 6 9 9a b 8 6a b 0 b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto 0 viene dada por: f ( 0 ) f ( 0 ) ( 0 ) donde f ( 0 ) es la pendiente de la recta tangente. Así, como f () , se tiene que f (0). Además, como f (0) 0, entonces, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en 0 es: ( 0) El 0 % de los habitantes de una determinada población son jubilados otro 0 % son estudiantes. La música clásica les gusta al 75 % de los jubilados, al 50 % de los estudiantes al 0 % del resto de la población. Calcula la probabilidad de que elegida al azar una persona a la que le gusta la música clásica sea jubilada. Sean los sucesos: J: ser jubilado E: ser estudiante R: ser del resto de la población : gustarle la música clásica Para resolver el problema nos servimos del siguiente diagrama de árbol: 0, 0,6 0, J E R 0,75 0,5 0,5 0,5 0, 0,8 Dpto. atemáticas 5 / 6 IES Ramón Olleros

6 Selectividad Junio 004 a que: P( J ) 0, 0,75 0,5 P (J / ) P( ) 0, 0, 75 0, 0,5 0, 6 0, 0,7 0,405 P () P (J) P ( / J) P (E) P ( / E) P (R) P ( / R) 0,0 0,75 0,0 0,50 0,60 0,0 0,7 4.- La duración (en años) de la placa base de los ordenadores sigue una distribución normal de parámetros µ 0, σ. Calcula la probabilidad de que una placa base dure más de años. N (0, ) P (X >) PZ µ 0 > σ P (Z > ) P (Z < ) 0,84 0,587 Dpto. atemáticas 6 / 6 IES Ramón Olleros