V 1 (2, 8) Considera el siguiente problema de programación lineal: Minimizar la función F = x + 6y, sujeta a las siguientes restricciones:

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1 Junio 018 Considera el siguiente problema de programación lineal: Minimizar la función F = x + 6y, sujeta a las siguientes restricciones: x + 7y 58 4 x + 5y 48 3 x y 13 a) Dibuja la región factible. b) Determina los vértices de la región factible. c) Indica la solución ótima del problema dado y su valor. Función a minimizar: F(x, y) = x + 6y Los vértices los calculamos igualando las ecuaciones dos a dos: x + 7y = 58 { 4x + 5y = 48 V 1 = (, 8) x + 7y = 58 { 3x y = 13 V = (9, 7) 4x + 5y = 48 { 3x y = 13 V 3 = (7, 4) V 1 (, 8) V 3 (7, 4) V (9, 7) Los valores que toma la función F(x, y) = x + 6y en cada uno de los vértices: En el vértice V1 : F(,8) = 46 En el vértice V : F(9,7) = 33 En el vértice V3 : F(7,4) = 17 Por tanto la solución óptima se encuentra en el vértice V3, siendo el valor mínimo de 17. En la bodega de Antonio hay botellas de vino blanco, de vino tinto y de vino rosado. Si sumamos las botellas de vino blanco con las de tinto obtenemos el triple de las botellas de rosado. La suma de las botellas de tinto con las de rosado supera en 40 unidades a las botellas de blanco. Además sabemos que Antonio tiene en su bodega 80 botellas. a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas botellas hay de cada tipo de vino. a) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. Siendo: x = nº botellas vino blanco y = nº botellas vino tinto z = nº botellas vino rosado Lo resolvemos por Gauss: x + y = 3z { y + z = 40 + x x + y + z = 80 x + y + z = 80 { x + y 3z = 0 x + y + z = ( ) E = E 1 E ( ) y = 70 z = 90 x = E 3 = E 1 + E Es decir, hay 10 botellas de vino blanco, 70 de tinto y 10 de rosado.

2 EvAU _ Matemáticas CCSS _ CLM x + + t si x 0 Se considera la función f(x) = { (x t) si x > 0 a) Para qué valor de t la función f(x) es continua en x = 0? b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo (0, + ) con t = 3. c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)en (0, + ) con t = 3. Lo primero es convertir la función valor absoluto en una función a trozos: x x = 0 x = Para que la función sea continua en x = 0: x 0 f(x) = f(x) = f(0) { + x 0 < 0 x 0 - > 0 f(x) = x 0 (x + + t) = + t f(x) = x 0 + x 0 +(x t) = t f(0) = + t 0 x + t si x f(x) = { x + + t si < x 0 (x t) si x > 0 + t = t t t = 0 { t 1 = t 1 = 1 Para t = 3: x + 1 si x f(x) = { x + 5 si < x 0 (x 3) si x > 0 para el intervalo (0, + ) la función toma la forma f(x) = (x 3). Los extremos relativos los calculamos estudiando la primera derivada: f (x) = (x 3) f (x) = x 6 x 6 = 0 x = 3 0 f (x)< 0 3 f (x)> 0 Mínimo: (3,0) Se corresponde con el vértice de la parábola Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: - Decrece (0, 3) - Crece (3, +) Dada la función f(x) = ax 5 + bx 3 + c se pide que calcules los parámetros a, b y c sabiendo que dos de los puntos de inflexión de esta función son: (0,0) y (1,7). Si una función tiene un punto de inflexión enx 0, significa que f (x 0 ) = 0, por tanto: f (x) = 5ax 4 + 3bx f (x) = 0ax 3 + 6bx Nos hacemos un sistema de ecuaciones con todos los datos que nos dan: f(0) = 0 c = 0 f(1) = 7 a + b = 7 f (0) = 0 0 = 0 { f (1) = 0 0a + 6b = 0 a + b = 7 { Por tanto, la función queda: f(x) = 3x x 3 a = 7 b 0a + 6b = 0 { a = 6b 0 7 b = 6b 0 b = 10 a = 3

3 Junio 018 El 10% de los habitantes de una región padece cierta enfermedad. Para diagnosticar la misma, se dispone de un procedimiento que no es completamente fiable, ya que da positivo en el 97% de los casos de personas con la enfermedad, pero también da positivo en el 1% de personas que no padecen la enfermedad. a) Cuál es la probabilidad de que una persona obtenga un diagnóstico positivo? b) Si una persona obtiene negativo en el test, cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad? Hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos: - E = estar enfermo - S = estar sano - (+) = dar positivo - (-) = dar negativo Para calcular la probabilidad de que una persona obtenga un diagnóstico positivo, usamos el teorema de la probabilidad total: P(+) = P(E) P(+E) + P(S) P(+S) = P(+) = Para calcular la probabilidad de que si el test ha dado positivo en efecto la persona está enferma, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes: P(E +) = P(E +) P(+) = P(+E) P(E) P(+) = ,1 0,9 P(AD) = E S 0,97 0,03 0,01 0, Para hacer un estudio del uso de las nuevas tecnologías (NT) por parte de los jóvenes de un centro escolar, se tomó una muestra aleatoria de 10 menores, siendo el número de horas semanales que hacían uso de las nuevas tecnologías: 4., 4.6, 5, 5.7, 5.8, 5.9, 6.1, 6., 6.5 y 7.3 respectivamente. Sabiendo que la variable número de horas diarias de uso de NT sigue una distribución normal de desviación típica.1 horas, se pide: a) Halla el intervalo de confianza para el número medio diario de horas que hacen uso de las nuevas tecnologías los alumnos de dicho centro con un nivel de confianza del 97 %. b) Explica razonadamente, cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. c) Crees que la media poblacional del número medio de horas es 4 horas con una probabilidad del 90%? Razona tu respuesta. El intervalo de confianza para la media es: IC = (x ± Zα σ ) n x = x = horas 10 =.1 horas n = 10 1 = 0.97 = α = α = El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα ) 1 α buscamos en la tabla P (Z Zα ) Zα =.17 IC = (x ± Zα σ.1 ) = (5.73 ±.17 ) = (5.73 ± 1.44) IC = (4. 9, 7. 17) n 10 Por tanto, el intervalo de confianza al 97% para el número de horas semanales que hacen uso de las nuevas tecnologías es de (4 9, 7 17). Esto significa que el número de horas semanales que los jóvenes hacen uso de las nuevas tecnologías está entre 4.9 y 7.17 con una probabilidad del 97%.

4 4 EvAU _ Matemáticas _ CCSS _ CLM Para disminuir el intervalo de confianza tenemos que aumentar el error máximo admisible: E = Zα σ n Como podemos ver, este valor es directamente proporcional al nivel de confianza e inversamente proporcional al tamaño muestral, por tanto, tenemos dos opciones: 1º. Aumentar el nivel de confianza º. Disminuir el tamaño de la muestra a estudio Creo que la media poblacional de horas semanales de media dedicadas a las nuevas tecnologías con una probabilidad del 90% sí puede ser = 4. Ya que al disminuir el nivel de confianza aumenta la amplitud del intervalo. Y en este caso, se trata de bajar bastante el nivel de confianza (hasta el 90%) con lo que la amplitud del intervalo aumentará bastante Dadas las matrices A = ( ); B = ( 5 0 ); C = ( 4); D(0 1 3) a) De los siguientes productos, explica razonadamente cuáles pueden realizarse y cuáles no: A B A C A D C D b) De los productos anteriores, realiza correctamente aquéllos que den como resultado una matriz cuadrada. La única condición que tienen que cumplir dos matrices para que puedan multiplicarse es que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda, por tanto: A 3 B 3 = M A 3 C 3 1 = M 1 A 3 D 1 3 No se pueden multiplicar C 3 1 D 1 3 = M 3 3 Por tanto, el único producto imposible es el de A D. Los dos que dan matrices cuadradas son: 1 0 A 3 B 3 = M ( ) ( ) M = ( 3 3 ) C 3 1 D 1 3 = M 3 3 ( 4) (0 1 3) M 3 3 = ( 0 4 1) Cierto concesionario de automóviles posee una nave industrial en la que guardan 100 automóviles dispuestos para su venta inmediata. Los coches guardados en la nave son de tres tipos: gasolina, diésel e híbridos. Los más numerosos son los coches diésel, y la diferencia entre los diésel y los de gasolina es igual a la mitad del número de híbridos. Los menos numerosos son los híbridos, y la diferencia entre los de gasolina y los híbridos es igual a la tercera parte de los diésel. a) Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos coches hay de cada tipo. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. Siendo: x = nº coches gasolina y = nº coches diésel z = nº coches híbridos Lo resolvemos por Gauss: x + y + z = 100 y x = z x z = y { 3 x + y + z = 100 { x + y z = 0 3x y 3z = ( 1 0 ) E = E 1 + E ( ) ( ) z = 0 y E 3 = 3E 1 E E 3 = E E = 45 x = 35

5 Es decir, hay 35 coches de gasolina, 45 coches diésel y 0 coches híbridos. x + t si x < 1 Se considera la función f(x) = { 4 si 1 x 1 (x 4) 5 si x > 1 a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 1. b) Para t = 3, representa gráficamente la función. Para que la función sea continua en x = 1, se tiene que cumplir: f(x) = x 1 x 1 Para t = 3, la función queda: f(x) = x 1 f(x) = f( 1) { f(x) = + x 1 + f( 1) = 4 x 1 (x + t) = 1 + t x 1 +(4) = 4 5 Junio t = 4 t = 5 x + 3 si x < 1 f(x) = { 4 si 1 x 1 (x 4) 5 si x > 1 x < 1 f(x) = x + 3 f( 1) = ( 1,) f( 4) = 1 ( 4, 1) 1 x 1 f(x) = 4 x > 1 f(x) = x 8x + 11 Función constante V = (4, 5) f(1) = 4 (1,4) Un paciente está siendo sometido a un tratamiento experimental y para ello estudiamos entre las 0 y las 9 horas de un día su concentración en sangre de cierta proteína, en mg/litro. Esa concentración se ajusta a la función: f(x) = 1 3 x3 4x + 7x + 40 donde f(x) está en mg/litro y x en horas, con 0 x 9. a) Determina cuáles son los valores inicial (x = 0) y final (x = 9) de la concentración de esa proteína en la sangre del paciente. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la concentración. c) Determina en qué horas se alcanzan los valores máximo y mínimo respectivamente de la concentración de la proteína, y qué valores son esos. La concentración inicial será: f(0) = 40, es decir, la concentración inicial en sangre es de 40 mg/l. La concentración final será: : f(9) =, es decir, la concentración final en sangre es de mg/l. El crecimiento lo estudiamos con la primera derivada: f (x) = x 8x + 7 f (x) = 0 x 8x + 7 = 0 { x 1 = 7 x = 1 Crece: (0, 1) (7, 9) f (0) > 0 f () < f (8) > 0 9

6 6 Decrece: (1, 7) EvAU _ Matemáticas _ CCSS _ CLM Es decir la concentración en sangre aumenta desde su administración hasta la primera hora, después decrece hasta que han pasado 7 horas y a partir de ahí decrece. En la primera hora alcanza la máxima concentración, que es f(1) = mg/l La concentración mínima la alcanza a la séptima hora tras la administración y su valor es de f(7) = mg/l En una clase de 7 alumnos, 14 son de Albacete, 5 son de Cuenca y 8 de Toledo. a) Se sortean dos entradas entre todos los alumnos, cuál es la probabilidad de que ambas entradas le toquen a alumnos que no son de Albacete? (pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas). b) Si sorteamos 5 entradas, de una en una, de forma que no participa en el sorteo la persona que ya le haya tocado una entrada, cuál es la probabilidad de que las 5 sean para alumnos de Cuenca? Hacemos un diagrama de árbol. Si llamamos a los sucesos: A = ser de Albacete C = ser de Cuenca T = ser de Toledo La probabilidad de que ninguna entrada le toque a un alumno de Albacete es la contraria a que las dos entradas le toquen a dos alumnos de Albacete, es decir: Usamos la propiedad condicionada: P(A A 1 ) = P(A 1 A ) P(A 1 ) P(A 1 A ) = 1 P(A 1 A ) P(A 1 A ) = 1 [P(A A 1 ) P(A 1 )] = 1 [ ] P(A 1 A ) = /7 8/7 5/7 A 1 C 1 T 1 13/6 5/6 C 8/6 A T 14/6 4/6 C 8/6 A T 14/6 A 5/6 7/6 C T La probabilidad de que las cinco entradas sean para los cinco alumnos de Cuenca es de: P(C 1 C C 3 C 4 C 5 ) = P(C 1 C C 3 C 4 C 5) = El tiempo de conexión a internet por semana de los alumnos de una universidad sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ =1 hora. Se eligió una muestra aleatoria de 100 alumnos y se observó que la media de tiempo en internet para esa muestra era de 5 horas. a) Halla un intervalo de confianza para la media de tiempo de conexión a internet con un nivel de confianza del 95 %. b) Se puede admitir que la media poblacional sea = 4 horas con un nivel de confianza del 95 %? Explica razonadamente cómo se podría aumentar o disminuir la amplitud del intervalo. Razona tus respuestas. c) Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del %? El intervalo de confianza para la media es: IC = (x ± Zα σ n x = 5 horas = 1 hora n = = 0.95 = α = El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα buscamos en la tabla P (Z Zα ) Zα = 1.96 IC = (x ± Zα σ n ) = (5 ± ) = (5 ± 0.196) IC = (4. 804, ) 100

7 Junio 018 Por tanto, el intervalo de confianza al 95% para el número de horas semanales de conexión a internet para los alumnos de esa universidad es de (4 804, 5 196). Esto significa que el número de horas semanales que los universitarios están conectados a internet está entre y horas con una probabilidad del 97%. No se puede concluir que la media poblacional sea de 4 horas al 95% de confianza, puesto que se queda fuera del intervalo de confianza para dicho nivel de confianza. Para variar la amplitud del intervalo de confianza tenemos que variar el error máximo admisible: E = Zα σ n Como podemos ver, este valor es directamente proporcional al nivel de confianza e inversamente proporcional al tamaño muestral, por tanto, tenemos dos opciones: Si queremos aumentar el intervalo de confianza podemos: 1º. Aumentar el nivel de confianza º. Disminuir el tamaño de la muestra a estudio Si queremos disminuir el intervalo de confianza podemos: 1º. Disminuir el nivel de confianza º. Aumentar el tamaño de la muestra a estudio Si el tamaño muestral es del 100 y el nivel de confianza es del 94.64%, el error máximo admisible será: n = = = α = α = El valor crítico Zα es aquel que cumple, en la distribución normal estándar P (Z Zα ) 1 α buscamos en la tabla P (Z Zα ) Zα = 1.93 E = ±Zα σ n = ± E = ±