. Uando la iguiente epecificacione: A 0dB f 6KHz A 30dB f 30KHz (a) Obtenga la función de tranferencia y la función caracterítica de un filtro pao de banda todo polo, de igual rizado en la banda paante. (b) En el apartado anterior, habrá hecho una elección de rizado en la banda de pao y de atenuación en la de rechazo dentro de lo rango permitido reultante de haber redondeado el orden mínimo neceario al entero por exceo má cercano. Indique cuále on eto rango, cuál e la relación entre δ y ε de cualquier filtro concreto dentro del rango permitido, cuále on lo valore centrale de dicho rango, y explique cómo operaría para repetir el problema realizando la elección de atenuacione en eo valore centrale. Solución del problema A 0,5dB 0KHz f 0KHz APARTADO (a): Lá epecificacione del apartado (a) e refieren, lógicamente, al prototipo pao de baja que debemo dieñar en primer lugar. Para ete dieño debemo redefinir la epecificacione del modo iguiente: Para la atenuación en la nueva banda de rechazo, tomaremo la má retrictiva de la do que no (+0.5p) dan: A 30dB. (+0.5p) Cálculo de la frecuencia central: f 0 = f p f p = 4, 4kHz En bae a eta frecuencia central, debemo recalcular lo borde de la banda de rechazo: f 0 (+0.5p) f = --- = 666kHz, dado que f > f lo nuevo borde de la banda de rechazo erán f y f. f Calculamo ahora el factor de electividad y el ancho de banda: f f (+0.5p) B = f p f p = 0kHz Ω = --- = 33, B Dada la condicione de aproximación todo-polo y de igual rizado en la banda paante, debemo (+0.5p) uar una aproximación Chebyhev. De la epecificacione de atenuación en la banda paante y de rechazo, obtenemo directamente lo valore de ε y δ:,, ε 0 0A p = = 0, 3493, δ 0 0A (+0.5p) = = 3, 607 Con eto dato, podemo obtener ya el orden del prototipo pao de baja: δ acoh -- ε (+0.5p) n - = 349, n = 4 Uando la expreione para el cálculo de lo modo naturale, llegamo al iguiente reultado: acoh( Ω ) 03, = 0, 753 ± j, 06 (+p), = 0, 433 ± j0, 4 La contante k del prototipo pao de baja la podemo calcular dado que conocemo la atenuación en la frecuencia = 0, o bien aplicando directamente la expreión conocida para un Chebyhev:
(+0.5p) k = -- = 0, 358 Realizada toda eta operacione, tenemo ya perfectamente definida la n ε función de tranferencia del LPP correpondiente: (+0.5p) 0358, H LPP ( ) = ----- ( + 0, 753) [ + 06, ][( + 0, 433) + 0, 4 ] Por último, ólo no queda aplicar la tranformación correpondiente para paar a un pao de banda: (+0.5p) H BP ( p) = H LPP ( ) p + w = ----- 0 pb APARTADO (b): Como conecuencia del método eguido durante el proceo de aproximación, la epecificacione obtenida en la práctica han ido la iguiente: Atenuación máxima en la banda de pao: 0,5dB Atenuación mínima en la banda de rechazo: 30dB Frecuencia límite para la banda de pao: 0kHz f 0kHz Frecuencia límite para la banda de rechazo: 0 f 66kHz, 30kHz f Sin embargo, como conecuencia de aproximar el orden del filtro por el entero nmediatamente uperior al número decimal que e obtiene tra la operación correpondiente, el valor en la práctica de la atenuación en la banda de rechazo e algo uperior. (Recordemo que la aproximación (+p) etándar e realiza manteniendo la epecificacione en el borde de la banda de pao y permitiendo que el exceo de epecificacione e acumule en el borde de la banda de rechazo). En concreto: δ acoh -- ε (+0.5p) 4 - δ = Eto no lleva a que el cociente δ ε toma un valor -- = 5, 9577. Según dónde acoh( Ω ) ε apliquemo el exceo de orden (banda paante o banda de rechazo) tendremo un rango de valore para la atenuacione correpondiente. En concreto, i todo el exceo e aplica en el borde de la banda de rechazo (ituación correpondiente al dearrollo de nuetro problema) e llega a lo iguiente valore (utituyendo ε por u valor nominal y depejando δ y la correpondiente A ): ε = 0, 3493 A p = 05dB, (+0.5p) Mientra que i todo el exceo de orden e aplica δ = 67, 54 A = 36, 59dB en la banda de pao, obtenemo: δ = 3, 607 A = 30dB (+0.5p) ε = 0, 635 A p = 0, 46dB Si quiieramo realizar la aproximación del filtro uando lo valore centrale de eta epecificacione, que e correponden con ε = 0, 564 δ = 34, 0, uaremo eto valore durante (+.5p) el proceo de aproximación, de modo que el orden del filtro eguirá iendo 4 pero la expreión de lo modo naturale cambiará al uar un valor de ε diferente.
ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE CIRCUITOS 3 er Curo Ingeniería de Telecomunicación - Curo 004/005 Solución Problema. Dada la iguiente función de tranferencia de un filtro pao de alta de egundo orden, determinar: H ( ) = ----- + + () (a) Lo parámetro de tranducción ( punto) Lo parámetro de tranducción on H ( ), K ( ) y ρ( ) o lo polinomio que lo componen, N ( ), D ( ) y Fˆ ( ). como ya tenemo Sólo no falta de donde H ( ) N ( ) = ----- D ( ) N ( ) = y D ( ) = + + (3) Fˆ ( ). Para ello debemo aplicar la ecuación de Feldtkeller Hjw ( ) = ----- + Kjw ( ) () (4) Fˆ ( jw) = Djw ( ) Njw ( ) = (( w ) + w w 4 ) = + w 4 w + w w 4 = (5) de donde haciendo el cambio w = tenemo Fˆ ( )Fˆ ( ) = (6) de donde luego H ( ) = ----- K ( ) + + Fˆ ( ) = ± ± = ----- ρ( ) = ----- ± + + (7) (8) N ( ) = D ( ) = + + Fˆ ( ) = ± (b) Lo parámetro de inmitancia (uponiendo R S =R L =Ω). ( punto)
Como N ( ) e par y tomando el igno poitivo de Fˆ ( ) tenemo D p Fˆ p z + = = ---- = + Fˆ i D i D p + Fˆ p z + + = = ---- = + Fˆ i D i - + (9) z ---- N ( ) = = --- = + Fˆ i D i (c) La claificación de polo y cero ( punto) Obervando lo parámetro de impedancia anteriore tenemo: polo en = z = zero = 0 z = polo en = 0 = zero = (0) polo en = z = zero = 0 Vemo que exite un polo compartido en = y uno en = 0 privado de z. Para ver i el polo en = e compacto o no hay que calcular lo reiduo. Aunque debe er compacto, ya que i no lo fuee crearía un cero de tranmiión en =, lo que implicaría que no e trataría de un filtro pao de alta como e ve en la función de tranferencia. No obtante calculamo lo reiduo z K, = = = z K, = = = z K, = = = () por lo tanto K, K, K, = 0 () que correponde a un polo compartido compacto. En cuanto a lo cero, ólo el cero de z creará cero de tranmiión. Ademá del polo privado de z, ambo en = 0, por lo que exite un cero de tranmiión doble en = 0.
(d) La íntei de la ecalera LC doblemente terminada. (3 punto) En primer lugar realizamo el diagrama polo-cero. Para ello tomamo como inmitancia de íntei la má compleja, e decir,. z cero de z y polo privado de z w = 0 cero z = z EC z y = ---- z EC w = w w Figura : Diagrama polo cero Como e ha cumplido el primer teorema de Bader, lo parámetro realizado en la otra puerta erán tale que todo u polo erán compartido compacto. Pero eo e preciamente lo que debe ocurrir, ya que el único polo que no e compartido compacto e el polo privado de z, y éte ya ha ido realizado. Por lo tanto no harán falta rama adicionale depué de completar la realización de z, e decir, depué de comprobar i e precio uar un tranformador. Ahora obtendremo el circuito: La primera eliminación e de un polo de impedancia, por lo tanto correponde a una rama erie, ademá el polo etá en = 0, de lo que e deduce que la rama correpondiente e un condenador de capacidad C. La egunda eliminación e de un polo de admitancia, lo que implica una rama paralelo. Como el polo etá en = 0, correponde con un inductor con autoinducción L. De donde el circuito reultante erá el de la figura. a. Obervee que e ha empezado la íntei por la puerta de alida (la inmitancia de íntei era la z ), por lo que para poner el circuito correctamente hay que darle la vuelta como aparece en la figura. b. C = C = + v L = + v + + v L = v (a) (b) Figura : Bipuerta LC tra la íntei de z Ahora podemo calcular el valor de lo elemento a travé de lo reiduo aociado a cada eliminación. De la primera eliminación e optiene que
k z z z ----- ( + ) = donde k z = z = -- = 0 = 0 = (3) de donde el valor del condenador erá C = ----- = k z (4) por lo que la impedancia reultante erá k z z z ----- ( + ) ---- + = = = = (5) que invirtiéndola da y = ---- = z (6) que efectivamente tiene un polo en = 0 cuyo reiduo e k y = (7) de donde el valor del inductor erá L = ----- = k y (8) Ahora hemo de evaluar i e neceario el uo de un tranformador, para ello calculamo la relación entre la z realizada y la z precrita. Por el procedimiento eguido, amba erán iguale para toda la frecuencia alvo una contante, por lo que e uficiente con evaluar la relación para una frecuencia dada. Por ejemplo i conideramo el límite cuando veremo que V z, precrita ----- I = = I = 0 cuando z, precrita = ya que no e puede implificar nada. En cuanto a la realizada tenemo que z V ----- I I = 0 (9) (0) z, realizada V ----- I I = 0 V ----- I = = = = I = 0 L () por lo tanto z, realizada = z, precrita donde el circuito final erá el de la figura. 3, y eo quiere decir que no hace falta tranformador, de
V R = + + v L C = = v R l = Figura 3: Dieño final del filtro RLC (e) Comprobar que el circuito reultante e correcto de forma cualitativa, e decir, in reolver el circuito. ( punto) Obervando el circuito e puede ver que para frecuencia baja lo primero que no encontramo e con un inductor en paralelo, el cual actua cai como un cortocircuito impidiendo el pao de la eñale de frecuencia baja hacia la alida y creando un cero de tranmiión en = 0. A continuación no encontramo un condenador en erie que para baja frecuencia e comporta aproximadamente como un circuito abierto por lo que tampoco deja paar dicha frecuencia creando otro cero de tranmiión. Por otro lado para frecuencia alta el inductor e comporta como un circuito abierto (aproximadamente) y la deja paar in alteración, mientra que el condenador erie actua como un cortocircuito haciendo que la eñal de entrada pae directamente a la alida in ninguna atenuación. Por lo tanto e comprueba que el circuito deja paar la alta frecuencia y tiene do cero de tranmiión en cero, e decir, e un filtro pao de alta. (f) Obtener la función de tranferencia del circuito reultante y explicar poible diferencia con la función deeada. ( punto) Ahora vamo a analizar el circuito reultante: Poniendo la ecuacione nodale e tiene que: g ( v v ) que dándole valore a lo elemento reulta en = -v L + C ( v v ) C ( v v ) = g l v () v v = v + ( v v ) ( v v ) = v depejando de la ecuación 4 v v = + v (3) (4) (5) y utituyendolo en la ecuación 3 e obtiene
v + + + ( v + + ) = = ----v (6) de donde la función de tranferencia realizada e v H ( ) realizada ---- = = -- ---- v = ( + + ) --H( ) deeada (7) La función de filtrado e la deeada pero exite un factor / que e debe al hecho de que la función de tranferencia realizada e baa en relacione entre la potencia tranmitida y la máxima potencia tranferible. La relación entre amba funcione de tranferencia e v ( jw) Hjw ( ) realizada = = v ( jw) -- R L ----- Hjw ( ) deeada R S (8) Como la reitencia terminale on iguale e obtiene el factor /.