TEMA 4 Diseño de filtros pasivos

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1 DEPARTAMENTO DE TEORÍA DE LA SEÑAL Y COMUNICACIONES DISEÑO DE FILTROS TEMA 4 Dieño de filtro paivo

2 INDICE. Introducción al filtrado paivo.... Planteamiento. Cálculo de Ze() Cálculo de Z e Ejemplo con R L R g Síntei de dipolo LC Forma canónica Primera forma canónica de Foter Segunda forma canónica de Foter Primera forma canónica de Cauer Segunda forma canónica de Cauer Realizacione canónica mixta Forma no canónica. Extracción parcial de polo Extracción parcial de un polo en el origen Extracción parcial de un polo intermedio Extracción parcial de un polo en el infinito Concluione Cálculo para que F () tenga un cero en j ω Ejemplo Realización de dipolo con pérdida. Preámbulo de Foter Ejemplo Ejemplo Realización de filtro LC con doble terminación Terminacione iguale Terminacione ditinta Uo de tranformadore ideale Reducción de la ganancia en la banda de pao Ejemplo Dicuión obre el ejemplo Conexión invera del filtro de doble terminación Ejemplo Ejemplo

3 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo.. Introducción al filtrado paivo. Un filtro paivo con doble terminación puede er repreentado con un equema como el de la figura. El generador y la reitencia R g podrían er el equivalente Thevenin del circuito conectado hacia la izquierda de la red de filtrado. La reitencia R L e la carga del circuito que, en general, puede correpondere con la impedancia de entrada del iguiente circuito. V e FILTRO L-C V L R L R g Z e Figura. Equema general de un filtro L-C de doble terminación. En el cao de doble terminación (reitencia finita no nula tanto en el generador como en la carga), la relación de tenione o corriente no tiene tanta ignificación como en el cao de lo filtro activo, donde nuetra función de tranferencia era la relación entre la tenión de alida y la de entrada. En el cao paivo el funcionamiento del filtro e entiende mejor i hablamo de la cantidad de potencia que e tranmite dede el generador hata la carga en relación con la máxima potencia que éte podría entregar. Como abemo, la máxima potencia e entregará cuando el generador vea una impedancia que ea la conjugada de u impedancia interna. En el cao de er reitencia eto e cumplirá cuando tanto la carga como la reitencia interna ean iguale. Si R g y R L on iguale el generador entregará la máxima potencia cuando etén directamente conectada. Si R g e ditinta de R L ólo e podrá entregar la máxima potencia i e adaptan utilizando un tranformador ideal. La función de tranferencia que vamo a dearrollar comparará, por tanto, la potencia que debe llegar a la carga (para cada frecuencia) con la máxima poible en el cao ideal de adaptación de impedancia. E decir, nuetro circuito dejará paar la máxima potencia cuando no encontremo en la banda de pao y evitará la llegada de potencia en la banda eliminada.. Planteamiento. Cálculo de Ze(). El planteamiento del problema e, por tanto, tratar de coneguir una red LC que deje paar la máxima potencia en la banda de pao, y todo lo contrario en la banda eliminada. Sabemo que la potencia que llegue a la carga erá igual a la que entregue el generador a la entrada del circuito LC pueto que éte no diipará potencia. Por tanto, hemo de coneguir que la potencia entregada a la entrada de la red ea máxima para la frecuencia de interé. Eta potencia P e vendrá dada por la iguiente expreión:

4 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. P ( ω) Eg Re R + Z j ( ω) e donde la impedancia de entrada viene dada por: g e ( ω) ( ω) ( ω) + ( ω ) Z j R jx e e e Como podemo ver en eta expreione, i queremo que P e ea máxima a una determinada frecuencia deberemo centrar nuetro trabajo en obtener una Z e que permita el pao de potencia para una frecuencia y para otra no. Por tanto, el problema e reducirá a la obtención de un circuito que no de una Z e adecuada a nuetra neceidade. El iguiente pao e encontrar la relación entre eta impedancia y nuetra función de tranferencia, que como hemo dicho relaciona potencia... Cálculo de Z e. En ete apartado partiremo de la función de tranferencia deeada y obtendremo la impedancia de entrada que poteriormente habremo de obtener con un determinado circuito. La potencia máxima que e puede entregar por parte del generador e P max E g 4R g La potencia que llega hata la carga erá P L V L R L Vamo a definir nuetra función de tranferencia (llamada alguna vece coeficiente de tranmiión) como T(), que cuando hacemo jω no da la iguiente relación de potencia P P L ω T j i utituimo la expreione de amba potencia, tenemo max ( ω ) T j 4R R g L L V E g En la aplicacione de filtrado queremo que eta función ea cercana a en la banda de pao y cercana a 0 en el cao de la banda eliminada. Cuando e cercana a la mayor parte de la potencia diponible e tranmitida hacia la carga. Si e cercana a 0 una parte muy pequeña de ea potencia llega hata la carga. Eto último lo podemo repreentar como que gran parte de la potencia diponible e reflejada en la entrada y devuelta hacia el generador.

5 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 3 Por ello, e útil definir una nueva función llamada coeficiente de reflexión, nombrado como ρ, de manera que para jω, ( j ) T( j ) ρ ω ω De la definición de ρ ( ) vemo que ete nuevo coeficiente repreenta la potencia reflejada en la entrada del circuito, de manera que cuando la función de tranferencia valga la unidad (máxima tranferencia de potencia) no habrá reflexión y cuando la función de tranferencia ea nula (no llega potencia a la carga) la reflexión erá total y toda la potencia entregada vuelve al generador. La potencia a la entrada viene dada por P ( ω) Eg Re R + Z j ( ω) e y P e P L pueto que la red e no diipativa. Por tanto, ( ω) T j E g R e g ( ω) e ( ω) ( ω) ( ω) + ( jω) R + Z j 4R R g e g e E R Z 4R uando la definición del coeficiente de reflexión g g e 4RgRe( ω) ρ( jω) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) De eta última ecuación podemo obtener la expreión de ρ ( ) g R R ω + X ω R Z ω g e e g e Rg + Re + Xe Rg + Re + Xe Rg + Ze ω ρ ( ) g e Rg Ze ± R + Z, que ería y de eta última expreión podemo obtener la impedancia de entrada que erá, ± ρ Z e R g ρ Por tanto, el problema de realizar una determinada función dada por T jω e reemplaza por el de realizar una determinada impedancia de entrada Z e con un circuito LC que etará terminado en una reitencia de carga. En lo iguiente punto veremo cómo e puede obtener dicho circuito y veremo que generalmente la forma de éte erá la conexión en ecalera de elemento almacenadore de energía.

6 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 4.. Ejemplo con R L R g. Veamo un ejemplo de cómo ería el proceo de obtención de la impedancia de entrada a partir de nuetra función de tranferencia. Vamo a trabajar aumiendo que la impedancia terminale R L y R g on iguale pueto que en el cao de er ditinta aparecen una erie de complicacione que trataremo má adelante. Supondremo también que la do reitencia etán normalizada y on de valor Ω. En cao de er ditinta ólo habrá que realizar una normalización previa para, poteriormente, denormalizar el circuito obtenido. Trataremo de obtener un circuito que realice un filtro pao bajo de Butterworth de orden 3. Uando la aproximación de Butterworth de orden 3 abemo que nuetra función erá +ω ( ω) 6 T j de aquí podemo obtener el coeficiente de reflexión en jω 6 j T j jω ρ ρ ρ ω ω De eta expreión hemo de obtener ρ ( ), para lo que no quedaremo con lo polo del emiplano izquierdo y con un número de cero igual. En ete cao todo lo cero etán en el origen y no quedaremo con 3 de ello. Por tanto tendremo, ( ) ρ La expreión de Z e () ería entonce (eligiendo lo igno uperiore), Z ( ) ρ ρ e De aquí deberíamo obtener el circuito deeado. Para ello aplicaremo técnica que veremo en poteriore apartado. En ete cao e aplicaría el conocido como Preámbulo de Foter en el que e realizan diviione polinómica uceiva. Quedaría algo como lo que igue: Ze ( ) En la expreión anterior podemo identificar lo elemento que forman dicha impedancia y plamarlo en un circuito. Por ejemplo, el factor que etá umando no indica que tenemo una bobina de valor H que etá en erie con el reto del circuito. Ee reto e el paralelo de un condenador de valor F y otro circuito que e la conexión en erie de una bobina de valor H y una reitencia de valor Ω. El circuito final ería el repreentado en la figura. ω ω ω

7 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 5 Ω H H F Ω Z e Figura. Circuito que realiza la función pedida. Ete no e el único circuito poible para realizar dicha impedancia de entrada. Si hubieramo cogido en la expreión de Z e () lo otro igno, el reultado hubiera ido, Z ( ) ρ ρ e 3 que como vemo, e implemente la invera de la obtenida anteriormente. En ete cao podríamo aplicar la mima técnica para obtener el circuito pero en ete cao la olución ería Z e ( ) En ete cao identificamo el paralelo de un condenador de F con la conexión en erie de una bobina de valor H y el paralelo de un condenador de F y una reitencia terminal de Ω. En la figura 3 e muetra el circuito reultante. H Ω F F Ω Z e Figura 3. Otra realización poible.

8 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo Síntei de dipolo LC. Como hemo vito en lo punto anteriore nuetro problema de íntei e centra en la obtención de un dipolo (Z e ) que etá formado por bobina y condenadore y una reitencia terminal, por tanto, el dipolo a obtener no erá ólo LC. Sin embargo, lo método que permiten la obtención del circuito a partir de la expreión de Z e e baan en obervacione hecha en dipolo LC que, poteriormente, e generalizan al cao que no ocupa. Por tanto, empezaremo por el etudio de la íntei de eo dipolo LC. 3.. Forma canónica. Lo circuito que e pueden obtener a partir de la expreión de una determinada impedancia o admitancia no on único y exiten mucha poibilidade. En ete punto vamo a preentar lo que e conoce como Forma canónica que no darán lo circuito con el mínimo número de componente neceario Primera forma canónica de Foter. Aunque no lo vamo a demotrar, la funcione de impedancia o admitancia de lo dipolo LC cumplen una erie de condicione (on funcione reale poitiva e impare) que e traducen en que e han de poder exprear de alguna de la forma iguiente: ( ω)( ω4) ( ω )( ω3 ) ( ω )( ω3 ) ( ω)( ω4) + + F K F K + + ademá la diferencia de orden entre numerador y denominador no debe er uperior a. Se cumplirá aí mimo que ω < ω < ω3 < ω4 <, e decir, lo polo y lo cero e encuentran alternado en el eje jω. Eta función e puede decomponer en fraccione imple, y en el upueto de que preente polo tanto en el origen como en el infinito no quedaría: F K F + ω K F K 0 0 pi n 0 K i Ki F K ω pi i ωpi En el cao de que F() tenga dimenione de impedancia, la decompoición de la mima ugiere la realización como combinación en erie de impedancia elementale tal y como e muetra en la figura 4.

9 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 7 K () 0 i + + K Z n i K + ω pi C 0 K ; C ; L i i i ; L ω K K K 0 i pi Figura 4. Primera forma canónica de Foter. Se puede comprobar que el número de componente del dipolo e igual al número N de polo de la impedancia Z(). Por tanto, etamo ante una forma canónica Segunda forma canónica de Foter. En ete cao e aplica un proceo imilar pero la función de partida tendrá dimenione de admitancia, de manera que la decompoición en fraccione ugiere la conexión en paralelo de impedancia elementale como e muetra en la figura 5. K () 0 i + + K Y n i K + ω pi L 0 Ki ; Li ; Ci ; C ω K K K 0 i pi Figura 5. Segunda forma canónica de Foter.

10 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 8 Al igual que en el cao anterior e puede comprobar que el número de componente del circuito e igual al número de polo de la función, por tanto e trata de una nueva forma canónica Primera forma canónica de Cauer. Cauer obtuvo do forma canónica ditinta de la de Foter utilizando un dearrollo diferente de la función de red (impedancia o admitancia). Como hemo vito la funcione de red (F()) tienen o bien un polo o bien un cero (i e un cero trabajaremo con la invera) en el infinito. La primera forma de Cauer e baa en que i la función de red tiene un polo en el infinito, e podrá dearrollar de la iguiente manera: Z( ) ó Y( ) + F F K F donde K e el reiduo del polo en infinito que e puede obtener K F y F () e una función de red pero que tiene un cero en el infinito. La operación que e ha realizado obre F() e denomina Extracción del polo en el infinito. El proceo puede continuare porque i F () tiene un cero en el infinito, entonce /F () tiene un polo en dicho punto y entonce podría ponere: F( ) K + K + K + F F Si reiteramo el proceo N vece (número de polo) obtendríamo F() en la forma que aparece en la figura 6, dando lugar a lo circuito que también aparecen en dicha figura. Como vemo cada extracción de un polo genera un nuevo componente y reduce en una unidad el orden de la función reultante. Por tanto, ete proceo generará N componente iendo, por tanto, una forma canónica. Dependiendo de i la función de partida e una impedancia o una admitancia podemo comprobar que cada extracción da lugar a componente ditinto. En el cao de er una impedancia empezaríamo por una bobina en erie y eguiríamo con un condenador en paralelo. En el cao de er una admitancia el primer polo extraído repreentaría un condenador en paralelo y continuaríamo con una bobina en erie. Como vemo, cada extracción genera o bien un condenador o bien una bobina de forma alterna, creando lo que e conoce como conexión en ecalera. De ahí que a ete tipo de circuito e le conozca como ecalera LC o filtro LC en ecalera.

11 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 9 F () K + K + K3 + K n Segunda forma canónica de Cauer. Figura 6. Primera forma canónica de Cauer. Si utilizamo un razonamiento imilar pero realizamo uceiva extraccione de polo en el origen llegamo a una nueva realización canónica que viene repreentada por la figura 7. F () K + K + K 3 + Kn Figura 7. Segunda forma canónica de Cauer. Lo razonamiento hecho para la forma anterior e pueden aplicar de igual manera en eta otra forma. Por ejemplo, dependiendo de i F() e una impedancia o una admitancia el componente inicial variará como e ve en la figura 7.

12 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo Realizacione canónica mixta. La forma de Cauer y Foter on canónica ya que e uan el mínimo número de componente en la realización. En la de Foter lo polo on eparado y realizado término a término. En la de Cauer lo polo en el infinito o en el origen on extraído (completamente) de manera uceiva. En todo cao cualquier otro método no dará circuito con meno componente. La forma de Cauer y Foter no on la única canónica poible. Podemo realizar una determinada función extrayendo polo no ólo en el origen o en el infinito ino en cualquier localización que elijamo. Eto upone que, dependiendo de la extraccione que hagamo podemo obtener vario circuito para una mima función; todo ello canónico. Veamo un ejemplo para aclarar el concepto. Si queremo realizar la impedancia: () Z ( + )( + ) ( + )( + 9) 4 5 Ω primero extraeremo el polo del infinito, dejando el iguiente reto, Z () Ω Su invero tiene un polo en el origen. Extraemo ee polo, quedando, () Y () ( + ) ( + ) Z El invero a u vez tiene un par de polo en ± j. Si lo extraemo no quedará la 9 impedancia Z 3. El reumen de lo obtenido e muetra en la figura 8. 3 () Z Y () Ω H 5760x9 H 739 Z() 9 H F F 88 Figura 8. Ejemplo de realización canónica mixta.

13 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo Forma no canónica. Extracción parcial de polo. En ocaione puede er neceario obtener realizacione de un dipolo mediante forma no canónica, e decir, con un número de elemento uperior al número de polo. Eto ocurre, por ejemplo, cuando realizamo circuito para aproximacione de tipo elíptico o de Chebychev invero. En eto cao no interea que aparezcan rama reonante a la frecuencia de lo cero de la funcione de tranferencia. Para ello debemo colocar cero exactamente a ea frecuencia y, como veremo, neceitamo extraccione parciale de polo para coneguirlo. En apartado precedente hemo vito cómo e puede realizar la extracción de lo polo de una función, aunque iempre e ha extraído totalmente el polo en cuetión. Sin embargo e poible extraer ólo una parte de dicho polo, de manera que la función reultante iga iendo del mimo orden que la inicial. Por tanto, i tenemo una función F() que preenta un polo en ± jω y cuyo reiduo en dicho polo e K i, e puede ecribir: i K + ω a + F( ) F pi iendo K a K i y F () e una nueva función del mimo tipo que F(). Se pueden preentar do cao: a) K a K i, en ete cao F () erá una función que no contiene el polo ± jωi, ya que e ha realizado una extracción total del mimo. b) K a < K i, F () contiene lo mimo polo que F() pero u cero habrán variado, e ha realizado en ete cao una extracción parcial del polo en ω i. F K K K K ( ) n 0 i + ωp i + ωpi n K K K a a K0 K i K a F K + F + ωp + ωp i + ωpi + ωp F() F ( ) ω z ω p ω z ω p ω z3 ω F () ω z ω p ω z ω p ω z3 ω Figura 9. Extracción parcial.

14 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. E evidente que de la egunda manera el circuito obtenido no e canónico pueto que cada extracción parcial dará lugar a do nuevo componente (i el polo etá en el origen o en el infinito ólo un nuevo componente). La importancia de eta técnica radica en que, in alterar la ituación de lo polo de la función, e pueden ituar lo cero de la mima en lo punto que e deee obre el eje jω. Dicha ituación e controla mediante el valor de K a. En la figura 9 e preenta un reumen del proceo y un equema de cómo lo cero de la función e deplazan en el eje. Podemo ver en ee equema como lo cero e mueven hacia el polo que ha ido extraído parcialmente, de eta manera podemo mover lo cero en la dirección que nootro queramo eligiendo convenientemente el polo a extraer. En lo iguiente apartado e explica el porqué y como e deplazan lo cero en ete tipo de extraccione Extracción parcial de un polo en el origen. Como vimo al inicio del punto 3, la funcione de impedancia o admitancia de una red LC tienen la forma de la iguiente ecuacione. ( ω)( ω4) ( ω )( ω3 ) ( ω )( ω3 ) ( ω)( ω4) + + F K F K + + E fácil comprobar que i nootro queremo ver el comportamiento de dicha función en el eje jω y utituimo jω no quedará una función que erá imaginaria pura. Eto no debe orprenderno pueto que el dipolo etá formado únicamente por bobina y condenadore cuya impedancia on imaginaria pura. Por tanto, para ver cómo e comportan lo cero en la extracción parcial de un polo en el origen etudiaremo u comportamiento en el eje jω. Si partimo de F() y extraemo parcialmente un polo obtendremo un dearrollo de la mima como e muetra en la ecuación iguiente, F( ) F ( ) + F ( ) jx( ω) jx ( ω) + jx ( ω) P P Como etamo extrayendo parcialmente un polo en el origen la función extraída tendrá la iguiente forma, Ka Ka FP( ) XP( ω) ω y, por tanto, la nueva función tendrá una reactancia como la que e muetra a continuación ( ω) ( ω) ( ω) X X X P Aquí vemo que lo nuevo cero de la función X (ω) e producirán a pulacione en la cuale X(ω) y X p (ω) ean iguale mientra que lo polo erán lo mimo que lo de F().

15 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 3 Eto lo podemo ver gráficamente en la figura 0 donde e reume el proceo. Polo extraído parcialmente ω Figura 0. Extracción parcial de un polo en el origen. En dicha figura podemo ver la repreentación de la reactancia de la función F() (línea continua) donde e ve como lo polo y lo cero on alterno a lo largo del eje, y del polo en el origen (línea dicontinua). Lo nuevo cero de la función F () etarán en la intereccione de amba gráfica como e puede ver Extracción parcial de un polo intermedio. En ete cao la extracción e produce obre un par de polo conjugado ituado a una determinada pulación. Su función reactancia vendrá dada por la iguiente expreión. Ka K ω FP( ) X ( ω) + ω ω ω a P pi pi Y iguiendo el mimo razonamiento que en el apartado anterior obtendríamo una gráfica como la de la figura. Polo extraído parcialmente ω Figura. Extracción parcial de un polo intermedio.

16 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo Extracción parcial de un polo en el infinito. Por último preentamo el cao en que la extracción parcial e produce obre un polo en el infinito que tendrá la iguiente reactancia, ( ω) FP Ka XP K a ω Polo extraído parcialmente ω Concluione. Figura. Extracción parcial de un polo en el infinito. Del examen de la gráfica que hemo vito anteriormente e pueden acar la iguiente concluione:. La extracción parcial de un polo mueve lo cero de la función hacia dicho polo una ditancia que depende de K a y de la ditancia del cero a dicho polo.. En ningún cao un cero puede traladare má allá de lo polo adyacente. 3. Lo cero en el origen o en el infinito no e ven afectado por la extracción parcial de un polo. 4. El deplazamiento que ufre un cero al realizar una extracción parcial de un polo etá limitado. Sin embargo, extraccione parciale uceiva de ditinto polo obre la funcione remanente de F() o, alternativamente, obre u invera permiten ituar un cero en cualquier punto del eje jω del plano. 5. La extracción parcial de un polo en el origen permite traladar el cero má próximo a cualquier lugar entre u poición original y el origen. Análogo enunciado puede referire a la extracción en el infinito. Eta concluione no van a permitir elegir lo polo que vamo a extraer parcialmente cuando debamo llevar un cero a una determinada poición. En el punto iguiente explicaremo como elegir el valor de K a para colocar el cero en la poición elegida en cada cao.

17 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo Cálculo para que F () tenga un cero en j ω 0. Como hemo vito en el apartado anterior, para que F () tenga un cero en particulariza la expreión de F() para jω o, jω o e + + F F F F F F P jω jω p 0 0 jω jω 0 0 donde queremo que F jω 0 o y, por tanto, para cada tipo de extracción no quedaría: Ka0 K F( ) F jω0 ai jω p 0 jω0 + ωpi jω0 K a jω0 de donde i depejamo cada una de la contante, no quedan la iguiente expreione: + ω K F ; K F ; K pi a0 jω ai a 0 jω0 F jω Ejemplo. Se deea intetizar la impedancia iguiente, con la condición de que en u realización aparezca un circuito reonante a ω rad /eg. Z + + Ω En primer lugar repreentaremo gráficamente la ituación de lo polo y lo cero para ver mejor la extraccione a realizar. Z( ω ) 3 3 ω Según lo que hemo vito anteriormente, la extracción parcial del polo en ω 3, permite traladar el cero ituado en ω 3 a ω. El valor del reiduo neceario K a e obtiene de la iguiente forma:

18 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 6 Por tanto, K a Z( ) ( + 3) 3 Z + + ( + ) + 3 ( + ) 3 3 Ω que, como vemo, í tiene un cero en la pulación deeada. Sobre el invero de eta nueva impedancia realizamo la extracción total del polo ituado en ω para obtener la rama reonante de la iguiente forma, Y ( ) Z + De eta forma la impedancia inicial e puede dearrollar, como: Z + que da lugar al circuito iguiente donde podemo apreciar que éta no e una realización canónica pueto que tiene 5 elemento almacenadore de energía para realizar una función de orden 3. + Figura 3. Circuito reultante no canónico.

19 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo Realización de dipolo con pérdida. Preámbulo de Foter. En lo apartado previo hemo vito como obtener circuito cuya función de red (impedancia o admitancia) e correponde con un circuito LC in pérdida. Sin embargo, la impedancia que nootro hemo de obtener etá terminada con una reitencia (ver planteamiento inicial), y por tanto e un red con pérdida. Eto hace que la función no ea real poitiva e impar y que no e correponda con la forma general de F() que hemo vito para lo dipolo LC. Sin embargo, i la función que queremo intetizar tiene polo en el eje jω, lo reiduo de la función en lo mimo erán reale y poitivo. Por ello eto polo pueden er extraído parcial o completamente como en el cao de dipolo LC. El proceo puede er repetido iempre que haya polo en el eje jω y i coneguimo con eta extraccione llegar a un último reto que ea poitivo y real habremo obtenido una red que etá terminada con una reitencia cuyo valor erá el de ee último reto final. Ete proceo e conoce como Preámbulo de Foter. Veámolo con algún ejemplo. 4.. Ejemplo. Supongamo una impedancia cuya función e: Z ( ) Tiene un polo en el infinito. Si lo extraemo no queda el iguiente reto, ( + + ) 5 0 Z ( ) Z( ) Ahora como /Z tiene un polo en el infinito y i lo extremo queda, + 0 Y ( ) Z 5 0 ( + + ) El invero de Y tiene un par de polo en ± j 0. Podemo extraerlo quedando: 0 Z ( ) Ω Y Aquí vemo que el reto final e un valor poitivo y real que correponde a una reitencia de valor Ω. El circuito reultante puede vere en la figura 4 donde aparecen todo lo elemento extraído. En ete cao la elección de la extraccione no ha llevado a la obtención de un circuito válido. Sin embargo, podríamo haber hecho la extraccione en ditinto orden y el reultado final ería ditinto o incluo podría llegare a un punto donde el preámbulo de Foter no pudiera er aplicado. En el ejemplo iguiente veremo un cao de ete tipo.

20 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 8 H / H Z() F 0. F Ω Figura 4. Ejemplo de la aplicación del Preámbulo de Foter. 4.. Ejemplo. Tomemo la iguiente función de impedancia e intentemo realizarla aplicando el preámbulo de Foter. Z ( + )( 3 + ) 6 ( ) Ω a Eta impedancia tiene un polo en el origen. Si extraemo dicho polo no queda, Zb( ) Za( ) Ω ( + + ) eta impedancia no tiene polo o cero en el eje jω y por tanto no podemo eguir aplicando el preámbulo de Foter. Por otra parte, Z a () tiene un par de cero en ± j 3. Si lo extraemo completamente cómo polo de / Z a () en lugar de extraer primero el polo del origen no quedaría, Y 3 Z c a eta admitancia tiene un cero en el origen. Podemo, por tanto, extraer el polo del origen de la función /Y c (), quedándono un reto que e una reitencia de Ω. El proceo e reume en la iguiente expreión que e correponde con el circuito de la figura 5. Z a ( )

21 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 9 Z a () H F Ω 3 F Figura 5. Realización de la impedancia Z a. Con éte hemo vito do ejemplo de cómo e puede aplicar el Preámbulo de Foter para obtener impedancia terminada en una reitencia, que poteriormente podemo utilizar para nuetro problema de la realización de filtro. Alguna vece erá neceario realizar también extraccione parciale de polo iguiendo el procedimiento que ya conocemo. Aunque ea extraccione no on, etrictamente hablando, parte del Preámbulo de Foter habrá que combinarla con la propia del Preámbulo para coneguir la funcione deeada. 5. Realización de filtro LC con doble terminación. Para la obtención de circuito de filtrado LC con doble terminación no baaremo en lo concepto que e preentaron en lo punto y de ete tema. Ahí e obtuvieron la ecuacione que relacionan la función de tranferencia (T()) de nuetro filtro con la impedancia de entrada del dipolo LC terminado en una reitencia de carga. En la realización de ete tipo de impedancia no vamo a encontrar do tipo de problema, imilare, pero con alguna diferencia de bae: a) Terminacione iguale. R L R g. En ete cao normalizaremo en amplitud para que amba reitencia tengan valor Ω y aplicaremo el procedimiento del Preámbulo de Foter. El reto que no quedará en ete proceo erá igual a, e decir, el valor de la reitencia de carga normalizada. b) Terminacione ditinta. R L R g. En ete cao no e puede aplicar directamente el procedimiento general y para poderlo aplicar, en un apartado poterior, e preentarán alguna olucione. 5.. Terminacione iguale. En el apartado. e preentó un ejemplo del proceo a eguir en ete cao, y que era relativamente fácil de comprender. Para aentar lo conocimiento que hemo obtenido hata aquí realizaremo un nuevo ejemplo en el que e necearia la extracción parcial de algún polo. Realizaremo un filtro elíptico (con R g R L ) con la iguiente caracterítica: α db; α 5.7 db; ω.5; ω p a a p La iguiente función de tranferencia cumple dicha caracterítica:

22 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 0 T 0.569( ) ( )( ) Nuetro primer objetivo erá obtener Z e () a partir de dicha función. Para ello obtendremo primero T( jω ) que tendrá la iguiente expreión: ( ω) T j ω 0.609ω ω.557ω ω de aquí calculamo el coeficiente de reflexión, ρ ( jω) 6 4 ω.60370ω ω 6 4 ω.557ω ω y no queda ρ ( ) ρ( ) ρ ( ) ( ) ( )( ) Para obtener la impedancia de entrada utilizamo la iguiente expreión Z Z e ( ) ρ + ρ + + Ω e ( ) 3 Lo primero que debemo comprobar e i eta impedancia tiene lo mimo cero que la función T(). Podemo comprobar que no, y por tanto, hemo de llevar alguno de u cero a ± j Para ello realizaremo la extracción parcial del polo en el infinito de /Z e. Eto e traducirá en un condenador en paralelo cuyo valor e obtiene abiendo que: C 0 para j.8060 Ze ( ) Reolviéndolo no queda C.6900 F. Y la nueva función que queda tra la extracción erá: Ze ( ) Y

23 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. El numerador de Y tendrá ahora un factor (.8060) par de polo en ± j.8060 que podremo extraer. Z Y ( + )( + ) Z 3 +. Por tanto, /Y tendrá un + + K Z K ( ) Z Ω Y3 ( ) Z 3 j.8060 Eta extraccione dan lugar al circuito que e muetra en la figura 6 donde ya e han aignado elemento del circuito a cada extracción realizada. Como vemo e una realización no canónica pueto que hemo realizado una función T() de orden 3 con un circuito que tiene 4 elemento almacenadore de energía H Ω Ω.69 F F.69 F Ω 5.. Terminacione ditinta. Figura 6. Circuito reultante. Como hemo vito en el ejemplo precedente y en el que vimo en el punto., la aplicación del preámbulo de Foter da lugar a circuito que etán terminado con una reitencia de valor Ω. Sin embargo puede haber circuito en lo que la reitencia terminale ean ditinta y, por tanto, i la reitencia del generador e normalizada a Ω la reitencia de carga no puede tomar ee valor. Para afrontar ete problema exiten varia olucione que e comentarán en lo iguiente punto.

24 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo Uo de tranformadore ideale. La primera olución práctica e adaptar la carga al circuito de manera que éte vea una carga de valor Ω en lugar de la que realmente exite. Supongamo, por ejemplo, que tenemo una R g Ω y R L 4 Ω y que etamo intentando realizar el ejemplo del punto. (Filtro de Butterworth de orden 3). El primer circuito que obtuvimo e tranformaría egún aparece en la figura 7 para que la carga parezca er de Ω. : H H Ω F Ω 4 Ω Figura 7. Adaptación de carga uando un tranformador ideal. Ete e un método encillo de implementar obre el papel, pero que e engorroo y difícil de llevar a la práctica ya que lo tranformadore ideale no on componente etándar y ademá introducen pérdida difícile de conocer a priori Reducción de la ganancia en la banda de pao. El método má práctico para poder intetizar rede con terminacione ditinta e anticipar la reducción de ganancia debida a que la potencia tranmitida erá inferior a la máxima que puede entregar el generador cuando éte ea conectado directamente a la carga. Ete método e explica mejor i no fijamo en el comportamiento de lo filtro LC en ecalera en baja frecuencia. Para 0, toda la bobina on cortocircuito y todo lo condenadore on circuito abierto. Por tanto, podemo eperar que el filtro en ecalera pao bajo degenere en una conexión del generador y la carga como e muetra en la figura 8. R L R g Figura 8. Filtro LC en ecalera en 0. De la figura 8, tenemo que E g R L ( + ) g L g L T 0 R R 4R R ( + ) E R R 4R g g L g

25 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 3 Vemo que i R g R L, entonce T(0). Si R g R L, entonce T(0) <. Por tanto, i la reitencia terminale on ditinta y aceptamo la reducción de ganancia haciendo que T ( 0 ) ea igual al reultado de la expreión anterior, podemo decir que la R L deeada erá obtenida implemente aplicando el Preámbulo de Foter Ejemplo. Queremo obtener un circuito que realice un filtro pao bajo de tercer orden de Butterworth con R g Ω y R L 4 Ω. Obtenemo primero el valor de la función de tranferencia en 0 para anticipar la reducción de ganancia. 4xx4 T ( + 4) Por tanto, la función de tranferencia a realizar erá ω ( ω) 6 T j Eto repreenta una reducción de.94 db en la ganancia repecto a la función original. De eta expreión obtenemo el coeficiente de reflexión, ρ ( jω) 6 ω ω + De aquí debemo obtener ρ ( ). Para ello obtendremo lo cero y lo polo de la función. Deberemo ecoger lo polo del emiplano izquierdo y un número imilar de cero en cualquier ituación (izquierdo o derecho). Una de la poibilidade ería, ρ ( ) y eligiendo lo igno uperiore de la expreión de Z e obtenemo la iguiente impedancia, Z ( ) 3 + ρ ρ e Si aplicamo el Preámbulo de Foter realizando extraccione totale no quedará el iguiente dearrollo de Z e, que da lugar al circuito motrado en la figura 9. Ze ( )

26 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 4 H 4 H Ω 5 F 4 4 Ω 5... Dicuión obre el ejemplo. Figura 9. Circuito reultado del ejemplo. La olución obtenida en el ejemplo anterior e ólo una de la poible. Uno de lo ρ a pao en la reolución tiene múltiple repueta, ete pao e el de la obtención de partir de ρ ( jω ). El polinomio del numerador tiene ei cero equiepaciado a lo largo de un círculo de radio y eligiendo eto cero en ditinta combinacione tenemo cuatro poible olucione para el polinomio del numerador, + 3 N N N N En la olución preentada en el ejemplo uábamo la primera opción. Si hubiéramo uado la tercera habríamo obtenido, Z e ( ) Y aplicando el preámbulo de Foter tendríamo, Ω H.6987 H F 4 Ω Figura 0. Otro circuito válido. Pero éta no e la única poibilidad. Si hubiéramo utilizado la última opción del numerador y uáramo lo igno uperiore tendríamo la iguiente impedancia de entrada,

27 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 5 Z e ( ) Si aplicáramo de nuevo el Preámbulo de Foter obtendríamo el iguiente circuito, Ω H H.443 F 4 Ω Figura. Otro poible circuito. En ete cao podemo ver que la reitencia de carga e de Ω en lugar de 4 Ω. La 4 razón de eto e que la expreión, T 0 4RgRL 4 ( Rg + RL) R g R L + RL R g e imétrica repecto a R g y R L. Por tanto, i R g /R L 4 ó R L /R g 4 el reultado e el mimo. Por ello, el que nootro utilicemo la expreión de T(0) no garantiza que la reitencia de carga ea la deeada ino que puede er la invera. Una alternativa para evitar eto e uar la invera de Z e, o lo que e lo mimo utilizar lo igno inferiore en la expreión de Z e. Eto no llevaría al iguiente circuito,.443 H Ω F F 4 Ω Figura. Circuito invero al de la figura. Otra alternativa para olucionar el problema del circuito de la figura ería intercambiar la entrada y la alida en la figura y depué aplicar una denormalización de impedancia para obtener lo valore de reitencia deeado. En el punto iguiente e explica má ampliamente eta opción.

28 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo Conexión invera del filtro de doble terminación. Eta opción lo que propone e intercambiar la entrada por la alida como e muetra en la figura 3. R g ' V e FILTRO L-C ' R L Figura 3. Filtro LC uado a la invera. En eta dipoición e puede demotrar que, uando el teorema de reciprocidad, el coeficiente de tranmiión directo (que hemo etado uando) y el invero on iguale. Por tanto, la tranmiione en amba direccione en un filtro LC con doble terminación on idéntica y e cumple, ' 4Rg V ' 4 L Ve R ' RL Eg Rg Eg L ( ω) ( ω) T j T j Podemo ver en eta expreión que i realizamo una denormalización en amplitud, el coeficiente de tranmiión no e ve afectado. Como aplicación de ete procedimiento podemo coger el circuito de la figura e intercambiar u entrada y alida de la iguiente forma, H H 4 Ω.443 F Ω Figura 4. Circuito de la figura con la entrada y la alida intercambiada. El iguiente pao ería denormalizar en amplitud para coneguir que la reitencia interna del generador paará a er de Ω. El circuito reultante e puede ver en la figura 5 donde e puede comprobar que e idéntico al ya preentado en la figura 0.

29 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 7 Ω H.6987 H F 4 Ω Ejemplo. Figura 5. Circuito de la figura 4 denormalizado. Vamo a realizar un filtro LC doblemente terminado con R g Ω y R L Ω. Uaremo una aproximación de Chebychev pao bajo con α p 0.5 db y n. Del rizado en la banda de pao obtenemo ε 0.08, y por tanto tenemo, ( ω) T j K C ( ω) En continua nootro queremo que, y entonce el valor de K ería, T 0 4RgRl 8 9 ( Rg + RL) K 8 K A partir de aquí aplicamo el método como hemo hecho hata ahora, ω ω ρ( jω) ω ω ρ ( ) ( ω ) Para obtener Z e, i utilizamo lo igno uperiore tenemo, Z e ( ) + ρ ρ Si aplicamo el Preámbulo de Foter obre eta impedancia no queda el circuito de la figura 6.

30 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo H Ω F Ω Figura 6. Circuito reultante del ejemplo. Si hubiéramo elegido lo igno inferiore en la expreión Z e habríamo obtenido la expreión invera y el circuito obtenido ería del de la figura H Ω.530 F Ω Figura 7. Otra poible realización. Aplicando lo vito en el apartado anterior, ólo deberíamo intercambiar entrada y alida y denormalizar para obtener ete otro circuito H Ω F Ω Figura 8. Circuito invero y denormalizado repecto al de la figura 7. No habría reultado el mimo circuito i a la hora de obtener ρ ( ) hubiéramo elegido como numerador N( ) y i también eligiéramo lo igno inferiore al obtener Z e Ejemplo 3. En el cao de realizar filtro que tengan rizado en la banda de pao, e ha de calcular no ólo el valor del coeficiente de tranmiión en 0 ino también el valor máximo que puede alcanzar dicho coeficiente. Eto e aí porque el rizado puede hacer que el valor de la

31 TEMA 4: Dieño de Filtro paivo. 9 función uba por encima de, lo cual, como abemo e impoible con filtro paivo. Veámolo con un ejemplo. Queremo hacer un filtro LC de Chebychev con R g 3 R, α p db y n 4. L El valor del coeficiente en 0 erá, T 0 4xx3 3 4 ( + 3) pero reulta que el valor máximo que alcanzará la función T jω erá, 3 0. T jω x0.887 > max 4 Por tanto, ete filtro no e puede realizar in uar tranformadore.