a T Solució: T = 1 377, 2 dies

Transcripción

1 1 r examen, 1ª avaluació, n D batx. Camp gravitatori El 003 l'observatori Astronòmic de allorca (OA) descobrí un nou asteroide, el , (els asteroides són cossos petits que orbiten el Sol entre art i Júpiter). El juliol de 008 ha estat anomenat asteroide afael Nadal. Sabent que el seu semieix major, a, val,43 65 UA i la seva excentricitat, ε, val 0,7 9, determina: a)el període en dies. (1 punt) b)els radis del periheli i de l'afeli. (1 punt) a =,43 65 UA ε = 0,7 9 d'una el lipse c b r p a r a a) Aplicarem la 3ª llei de Kepler amb les dades de la Terra (T T = 1 any i a T = 1 UA). Tant la Terra com l'asteroide afael Nadal orbiten el Sol i, per tant, les constants de Kepler, k, seran iguals: { T =k a 3 T T =k a T 3} T T = k a3 T =T 3 T T k a T a 3 a T =1any,4365UA 3 1UA =3,77 anys=1377, dies T = 1 377, dies b) Per calcular els radis del periheli, r P, i de l'afeli, r A, aplicarem les relacions de les el lipses, ja que per la 1ª llei de Kepler els astres segueixen òrbites el líptiques. Calcularem primer la distància del focus de l'el lipse al centre, c, a partir de el semieix major i l'excentricitat: = c a c= a=0,79,4365=0,55398ua r P =a c=,4365 0,55398=1,8713UA r A =ac=,43650,55398=,9760ua r P = 1,871 3 UA r A =,976 0 UA 1

2 . Es determina experimentalment el valor de la gravetat terrestre en dos laboratoris, un situat al nivell de la mar i un altre situat en un globus a una altura h = m sobre el nivell de la mar. El valors són, respectivament, g 0 = 9,810 N/kg i = 9,751 1 N/kg. a)calcula, només amb ells, el valor del radi terrestre. (1,5 punts) b)epresenta aquest camp gravitatori amb línies de camp i línies equipotencials, suposant la Terra plana. (1 punt) h = m h = m g 0 = 9,810 N/kg = 9,751 1 N/kg g 0 Nivell de mar a) A partir de l'expressió del mòdul del camp gravitatori a la superfície de la mar podem aïllar el producte G i substituir-lo a l'expressió del mòdul del camp gravitatori a l'altre punt. Així podrem aïllar el valor del radi terrestre: =G r = g 0 T r r = g 0 T g 0 =G g 0 T =G T r T = g 0 T h T 19570=1,00306 T T = ,0306 =6, m T = 6, m = 6 467,6 km T = 9,810 N /kg 9,7511N /kg =1,00306 b) La representació es mostra a continuació. És important observar que les línies de camp sempre són perpendiculars a les línies equipotencials i apunten en el sentit de potencials més baixos, més negatius. Els increments de potencials són iguals ΔV 01 = ΔV 1 = ΔV 3, encara que els increments d'altura siguin diferents Δh 01 < Δh 1 < Δh 3. h 3 V 3 h Línies de camp Línies equipotencials V h 1 V 1 Terra V 0

3 3. Titània és el satèl lit més gran d'urà. Va ser descobert el dia 11 de gener de 1787 per William Herschel. Titània és un cos esfèric de km de diàmetre i no té atmosfera. El camp gravitatori a la seva superfície val 0,378 N/kg i G = 6, N m /kg. a)calcula la massa de Titània. (1 punt) b)amb quina força és atreta per Titània una persona de 60 kg? epresenta-la vectorialment. (1 punt) D = km g 0 = 0,378 N/kg G = 6, N m /kg m = 60 kg g 0 Superfície de Titània Superfície de Titània F =m g 0 a) A partir del valor del camp gravitatori a la superfície de Titània, g 0, podem deduir la seva massa,, simplement aplicant l'expressió del mòdul de la intensitat del camp gravitatori: g 0 =G = g 0 0,378 N /kg m = =3, kg G 6, N m /kg b) La força amb la qual és atreta una persona de 60 kg, és el pes, i es pot calcular partir de l'expressió de la interacció entre una massa, m, i el camp gravitatori, g: F =m g 0 =60 kg 0,378 N / kg=,68 N F =m g 0 =60 kg 0,378 N /kg u r =,68 u r N a) = 3, kg b) F =,68 N 3

4 4. La Unió Europea prepara un sistema de satèl lits de posicionament, anomenat Galileu, que ha de competir amb els nord-americans GPS. Són satèl lits de massa 700 kg que s'han de situar en òrbites a 3 km d'altura. Sabent que s'han de posar en òrbita des de la base de Kouru (Guaiana Francesa) on la velocitat de rotació de la Terra és de 46 m/s, calcula: a)el treball en GJ (1 GJ = 10 9 J) que cal per situar-los en òrbita.(1,5 punts) b)el mòdul del moment angular d'un d'aquests satèl lits en òrbita. (1 punt) : G = 6, N m /kg, Terra = 5, kg, Terra = km m = 700 kg h = 3 km v A = 46 m/s G = 6, N m /kg = 5, kg = km r = + h = km + 3 km = km = 9, m r = + h A v A v m a) Per calcular el treball extern, W ext, que cal comunicar al satèl lit hem d'aplicar que serà igual a l'increment d'energia mecànica, ΔE, entre la base de Kouru (punt A) i la seva òrbita (punt ). El radi de l'òrbita, r, és la suma del radi terrestre,, més l'altura, h: W ext = E= E E A =K U K A U A = U U K A U A =U K A U A = m r 1 m v a G m m =G 1 a r 1 m v a= 11 N m =6, , kg 700 kg kg 6, m 1 9,6 10 m kg 46 m = =3, J =39,0 GJ b) Per calcular el moment angular L =r m v, cal determinar la velocitat a l'òrbita: F c =m v r F g =G m r m v r =G m r v = G r = N m 6, kg 5, kg 9, m =3, m s Ara podem calcular el moment angular: L = r p = r m v sin 90º=9, m 700 kg 3, m/ s=76, kg m /s a) W ext= 39,0 GJ b) L = 76, kg m /s 4

5 5. Sigui una estrella de massa i radi, i siguin tres punts, O, A i, situats a r O =, r A = i r = 3. Si les diferències de radis són iguals Δr 0A = = Δr A, també ho són les diferències de potencial ΔV 0A i ΔV A? (1 punt) O A r 0 = r 0 = r A = r = 3 r A = r = 3 Les expressions dels tres potencials gravitatoris són: V 0 V 1 V 3 Calculem els dos increments de potencial i podrem comparar-los: V 0A G =G V A 3 G = G Queda demostrat que no són iguals =G = G 1 = 1 G =1 6 G 5