Nom i Cognoms: Grup: Data:

Transcripción

1 n BATX MA ) Raoneu la certesa o falsedat de les afirmacions següents: a) Si A és la matriu dels coeficients d'un sistema d'equacions lineals i Ampl és la matriu ampliada del mateix sistema. Rang(A) Rang (Ampl) Rang (A) + b) Una matriu que té tota una fila o columna de zeros és de rang zero. c) Si Rang (A)3 tots les menors d'ordre són diferents de zero. (0,75 punts) ) A una matriu quadrada A de dimensió n (és a dir de n x n). k R. Calculeu quan val el determinant de la matriu (ka) en funció del determinant de A. És a dir calculeu determinant (ka) ka (raoneu la resposta) (0,5 punts) 3x x 3) Resoleu l'equació : x 3x x 3x 0 3x x ( punts) 4) Discuteix, utilitzant determinants, quin és el rang d'aquesta matriu segons el valor del paràmetre "k" k k k + 3 k + A k 0 k 0 k + 3 ( punts) 5) Discuteix, utilitzant transformacions de Gauss, quin és el rang d'aquesta matriu segons el valor del paràmetre "a" a a B a a a + a + ( punts) 6) Trobeu X de manera que A X 5 (B C) si A, B i C Atenció: si has de calcular alguna matriu inversa ho has de fer utilitzant el mètode de Gauss-Jordan. (3 punts)

2 n BATX MA ) Raoneu la certesa o falsedat de les afirmacions següents: a) Si A és la matriu dels coeficients d'un sistema d'equacions lineals i Ampl és la matriu ampliada del mateix sistema. Rang(A) Rang (Ampl) Rang (A) + b) Una matriu que té tota una fila o columna de zeros és de rang zero. c) Si Rang (A)3 tots les menors d'ordre són diferents de zero. (0,75 punts) a) Cert ja que la matriu Ampliada té una les mateixes columnes que A i una columna més (la de termes independents) Rang(A) Rang (C, C,..., Cn) Rang (Ampliada) Rang (C, C,..., Cn, B) I com és rang és el número de columnes que són L.I. és evident que el rang de l'ampliada o coincideix amb el rang de l'anterior ( Si B és C.L. de les altres columnes) o és una unitat més ( Si B no és C.L. de les altres columnes) b) Fals. Com a contraexemple no només cal mostrar un cas on sigui fals, per exemple, aquest: A que té Rang(A) 0 0 c) Fals ja que només podem assegurar que hi haurà algun M no nul. Per exemple A 0 Rang(A)3 i per exemple el M determinar per FFCC3 0 0 és zero ) A una matriu quadrada A de dimensió n (és a dir de n x n). k R. Calculeu quan val el determinant de la matriu (ka) en funció del determinant de A. És a dir calculeu determinant (ka) ka (raoneu la resposta) A det(c,c,...,cn) KA det (k C,k C,...,k Cn) i si traiem factor comu a "k de cada columna tenim que KA det (k C,k C,...,k Cn) k n det(c,c,...,cn) k n A (0,5 punts) 3x x 3) Resoleu l'equació : x 3x x 3x 0 3x x Fem les següents transformacions que conserven el valor del determinant primer calcularem el determinant i després ja farem l'equació

3 n BATX MA 3x x F xf 3x x x 3x F3 F 0 3x x x x 3x F4 3xF 0 x 0 x 3x x 0 9x x 3x 3x x x factordef Desenvolupem per C x 0 x 9x x 3x F3+ F 3x x x Desenv C ( x) 0 ( x) x 0 4x ( x) + 4x + x ( x) 6x 4 6x 4x 6x ( x )( x + ) Així doncs ara ja podem solucionar l'equació que és: 6x 0 x 0 6x ( x )( x+ ) 0 ( x ) 0 x ( x+ ) 0 x x 4x

4 n BATX MA 4) Discuteix, utilitzant determinants, quin és el rang d'aquesta matriu segons el valor del paràmetre "k" k k k + 3 k + A k 0 k 0 k + 3 Si considerem el menor format per F, F3 i C i C tenim que M k 0 Rang( A) 0 Ara orlant aquest M 0 només tenim dues possibilitats que és orlar-lo amb la FC3 i la FC4. Orlant-lo amb F i C3 3 k k k + 3FactordeC3 k k M k 0 ( k + 3) k 0 0 k [ ] ( k + 3) kk ( ) + k ( k + 3) k k + ( k + 3)( k ) I estudiant quan aquest determinant podem començar a separar els casos Cas I: k ik 3 Rang A 3 Cas II: K aleshores com M 0 i un orlat seu el nul, encara hem de mirar l'altre orlat possible que és el de F i C4 3 k k k + Comk M k k k 0 ( punts) Així com tots els orlats de M 0 són nuls podem dir que Rang(A) Cas III: K 3 aleshores com M 0 i un orlat seu el nul, encara hem de mirar l'altre orlat possible que és el de F i C4 k k k + Comk M k k k 0 3 Així com podem dir que Rang(A)3 Aquests casos es poden resumir així: Cas I: k el Rang A 3 Cas II: K el Rang A

5 n BATX MA 5) Discuteix, utilitzant transformacions de Gauss, quin és el rang d'aquesta matriu segons el valor del paràmetre "a" a a B a a+ 3 0 a + a+ ( punts) Com el nombre de files és 3 ja podem dir que Ran(B) 3 Si escalonem treballant amb les files per la part esquerra la cosa és molt fàcil: F F a a a a 0 a + a 3 0 a + a 3 0 a + a + F3 F0 0 4 I per tant ja la tenim escalonada i els casos són els següents: CAS I: a 0 ia Rang B 3 CAS II SI a0 la matriu no està escalonada per files, però sí per columnes i puc dir que el Rang B CAS III SI a la matriu no està escalonada per files, però s'escalona fàcilment i resulta que el Rang(B) F3+ F 0 0 0

6 n BATX MA 6) Trobeu X de manera que A X 5 (B C) si A, B i C Atenció: si has de calcular alguna matriu inversa ho has de fer utilitzant el mètode de Gauss-Jordan. (3 punts) L'objectiu és aïllar la X. A X 5 (B C) I si existeix inversa de A (sabem que existeix ja que el seu determinant és diferent de xero) podem multiplicar per ella per la dreta obtenint així: ( ) 5( ) ( ) 5 ( ) 5 ( ) A AX A B C A AX A B C IX A B C ( ) X 5A B C Així dons anem a calcular A. La calcularem pel mètode de Gauss-Jordan: F+ F 5F F ( A I 0 0 ) F/ / 5 / / 5 / 5 F/ 5 3/ 5 5 / 3 Així doncs A / 5 5 / B i C i per tant 3 6 ( I A ) X 5A ( B C)