SISTEMES D EQUACIONS. MÈTODE DE GAUSS

Transcripción

1 UNITAT SISTEMES D EQUACIONS. MÈTODE DE GAUSS Pàgina Equacions i incògnites. Sistemes d equacions. Podem dir que les dues equacions següents són dues dades diferents? No és cert que la segona diu el mateix que la primera? x + y = 5 4x + y = Representa-les gràficament i observa que es tracta de la mateixa recta. Es tracta de la mateixa recta. 4x + y = x + y = 5 Posa un altre sistema de dues equacions amb dues incògnites en què la segona equació sigui, en essència, igual que la primera. Interpreta l gràficament. x + y = x + y = Gràficament són la mateixa recta: x + y = x + y = Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 4

2 . Observa les equacions següents: x + y = 5 x y = x + y = 4 Representa-les i observa que les dues primeres rectes determinen un punt amb aquestes dues dades es responen les dues preguntes: x =,y = i que la tercera recta també passa per aquest punt. x + y = 4, x y = x + y = 5 Pensa una altra equació que també sigui conseqüència de les dues primeres per exemple: + a, representa-la i observa que també passa per x =, y =. x + y = 4 x y = + a 7x y =, x + y = 5 7x y =. Observa que el que diu la segona equació és contradictori amb el que diu la primera: x + y = 5 x + y = 7 Representa-les i observa que es tracta de dues rectes paral leles, és a dir, no tenen solució comuna, perquè les rectes no es tallen en cap punt. x + y = 7 x + y = 5 Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 4

3 Modifica el terme independent de la segona equació del sistema que has inventat en l exercici i representa de nou les dues rectes. Observa que el que diuen ambdues equacions és ara contradictori i que es representen mitjançant rectes paral leles. x + y = x + y = Rectes paral leles: x + y = x + y = Pàgina. Sense resoldre ls, explica per què són equivalents aquests sistemes: x + y = 5 x + y = 5 x + y z = 5 a b x y = 7 x = x + y = 7 z = x + y = 7 x + y z = 5 z = x + y z = c x + y = 7 d x + y = 7 x + y z = 7 x + y z = x + y z = y = 4 a Hem substituït la segona equació pel resultat de sumar les dues que teníem. b Hem substituït la primera equació pel resultat de restar a la segona equació la primera. c En el primer sistema, la tercera equació s obté sumant les dues primeres. La resta és igual que a b. d Hem substituït la segona equació pel resultat de restar a la segona equació la primera. Pàgina 5. Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents: x + y = x + y + z = 6 x + y + z = 6 a x + y = 4 b y z = c x + y + z = d x + y = x + y = 7 x z = x + y + z = 6 y z = z = a x + y = x +y = 4 x + y = y = x y = x x = x x =, y = = 5 Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 4

4 Comprovem si compleix la. a equació: + 5 = 6 + = 4. Solució: x =, y = 5. Són tres rectes que es tallen en el punt, 5. b x + y + z = 6 y z = x + y = 7 La. a equació s obté sumant les dues primeres; podem prescindir-ne. x + y = 6 z y = + z x = 6 z y = 6 z z = 5 z y = + z Solució: x = 5 λ, y = + λ, z = λ. Són tres plans que es tallen en una recta. c x + y + z = 6 x + y + z = x z = Les dues primeres equacions són contradictòries. El sistema és incompatible. Els dos primers plans són paral lels i el tercer els talla. d x + y + z = 6 y z = z = z = y = + z = x = 6 y z = 6 = Solució: x =, y =, z =. Són tres plans que es tallen en el punt,,. x + y =. a Resol el sistema: x y = 4 b Afegeix-hi una tercera equació de manera que continuï essent compatible. c Afegeix-hi una tercera equació de manera que sigui incompatible. d Interpreta geomètricament el que has fet en cada cas. a x + y = x y = 4 x = y x = 4 + y y = 4 + y = y y = x = 4 + y = 4 = Solució: x =, y = b Per exemple: x + y = 7 suma de les dues anteriors. c Per exemple: x + y = 9. d En a Són dues rectes que es tallen en,. En b La nova recta també passa per,. En c La nova recta no passa per,. No existeix cap punt comú en les tres rectes. Es tallen dues a dues. Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 44

5 Pàgina 6 4. Reconeix com a escalonats els sistemes següents i resol-los: x = 6 x = 7 a b x + y + z = 7 x y = 5 5x z = 4 a 7 Solució: x =, y = b Solució: x =, y = 9, z = c x = + t z = 5x 4 + t = + 6t y = 7 x z = 9 9t Solucions: x = + λ, y = 9 9λ, z = + 6λ, t = λ d x + z = x +y z = 7 4x = 4 4x = 4 x + z = x + y z = 7 x = x z = = 7 x + z 6 y = = 9 6 Solució: x =, y =, z = 9 x t = 6 x + z = c x + y + z = 7 d x + y z = 7 5x z + t = 4 4x = 4 x = 7 x y = 5 7 x = x 5 4 y = = 4 x = 6 x + y + z = 7 5x z = 4 x = 6 5x z = 4 x + y +z = 7 x = z = 5x 4 = y = 7 x z = 7 = 9 x t = 6 x + y + z = 7 5x z + t = 4 x = 6 + t 5x z = 4 t x + y + z = 7 5. Són escalonats aquests sistemes? Resol-los: y + z = x + y + z = 7 a y = b x z = 4 x +y +z = z + t = x + y + z + t = y + z t = 4 c d x y = z = x z + t = 5 Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 45

6 a y + z = y = x + y + z = Solució: x =, y =, z = b x + y + z = 7 x z = 4 x = 4 + z x + y = 7 z Solucions: x = + λ, y = 5 λ, z = λ y = y + z = x + y + z = y = z = y = x = y z = z x = + z y = 7 z x = 5 c x + y + z + t = x y = x = + y x + z = y t x = + y z = y t y = y t Solucions: x = + λ, y = λ, z = λ µ, t = µ d z + t = y + z t = 4 z = x z + t = 5 z = z + t = y + z t = 4 x z + t = 5 z = t = z = y = 4 z + t = 5 x = 5 + z t = Solució: x =, y = 5, z =, t = Pàgina 7 6. Transforma en escalonats i resol: x y + z = 4 x y = a b x + y + z = x + y = 4 x + y z = 6 a x y = x + y = 4 x y = y = 55 Solució: x =, y = 5 b x y + z = 4 x + y + z = x + y z = 6 a a x y + z = 4 y z = 6 y 4z = a : a x y + z = 4 y z = y 4z = a a a x y + z = 4 y z = z = z = y = + z = x = 4 + y z = Solució: x =, y =, z = Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 46

7 7. Transforma en escalonat i resol: x + y + z = 6 a x y z = 4 b x + y + z = 8 x y +z = x y 5z + 7w = x + y z + w = 8 x y + z + w = 6 a x + y + z = 6 x y z = 4 x + y + z = 8 La a i la a files són iguals. El sistema és compatible indeterminat x + ; y = λ; z = 5 λ a a x + y + z = 6 y z = y z = b x y + z = x y 5z + 7w = x + y z + w = 8 x y + z + w = 6 a a 4a x y + z = y 4z + 7w = y 4z + w = 8 y z + w = 6 a a a 4a + a x y + z = y 4z + 7w = 9z 9w = 57 4w = x y + z = y 4z + 7w = 8z 8w = 4 z +6w = 9 Solució: x =, y =, z =, w = w = w z = = 9 y = + 4z 7w = x = y z = a a : 5 a + 9 4a Pàgina 8. Resol aquests sistemes d equacions mitjançant el mètode de Gauss: x + y + z = x 4y + z = x y = a x y z = 4 b x y + z = c x + y + z = 4 5x y + z = 5 x + y + z = x + y 5z = 4 a x + y + z = x y z = 4 x + y + z = a a + -a 4 6 a a 5 + a Solució: x =, y =, z = x + y + z = 5y + 4z = z = 4 z = 4z y = = 5 x = y z = Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 47

8 b x 4y + z = x y + z = 5x y + z = a a a a 5 5 Les dues primeres equacions són contradictòries. El sistema és incompatible. c x y = x + y + z = 4 x + y 5z = a + a -a 5 5 a a + 5 a x y = y + z = x = + y z = + y Solucions: x = + λ, y = λ, z = + λ 9. Resol mitjançant el mètode de Gauss: x y + w = x y + w = 9 x y + z = x y + z = x y + z = a x + y + z = b c 5x y + z + w = 5x y + z + w = 4 x + y + 5z = 7 5x y z + w = 5x y z + w = a x y + z = x + y + z = x + y + 5z = a + a 5 5 x y + z = y + z = 5 x y = z y = 5 z x = z + y 5 z 5 z y = = = 5 z 9 x = z + = 7z 9 5 Solucions: x = 7λ, y = λ, z = λ b x y + w = x y + z = 5x y + z + w = 5x y z + w = a 5 a 5 4a a a + 4a 4 4a Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 48

9 x y + w = x y + z = 4x = x z = x = z = y = w = Solució: x =, y =, z =, w = c x y + w = 9 x y + z = 5x y + z + w = 4 5x y z + w = x y + w = 9 x y + z = 4x = x z = a a + 4a 4a a a 4a x + z x = z = x + 8 = y = = w = 9 x + y = Solució: x =, y =, z =, w = Pàgina. Discuteix, en funció del paràmetre k, aquests sistemes d equacions: 4x + y = k 4x + y = k a x + y z = b x + y z = kx + y + z = kx + y + z = a 4x + y = k x + y z = kx + y + z = 4 k a a Si k =, queda: 4 k 4 k k k k a a + -a k + Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 49

10 4 k x + y z = x z = y 4x + y = 4x = y y x = = 4 4 y y 5 + y 5 y z = x + y = + y = = Sistema compatible indeterminat. 5 Solucions: x = λ, y = λ, z = + λ 4 4 Si k, és compatible determinat. El resolem: x + y z = 4x + y = k k x = k k x = = k k 4x k + 4 k y = = = + k z = x + y = + + = + k Solució: x =, y = +, z = + b 4x + y = k x + y z = kx + y + z = 4 k a a Si k =, queda: 4 4 k 4 k k k k El sistema és incompatible. Si k, és compatible determinat. El resolem: x + y z = 4x + y = k k x = k k k a a + -a k + Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 5

11 k x = k k 4x y = = k + k 8 k 6 k z = x + y = + k + k 8 = k k k Solució: x =, y = k + k 8, z = k k 6 k 5k + 8 k 6 k 5k + 8 k 6. Discuteix aquests sistemes d equacions en funció del paràmetre k: kx + y z = 8 x + y + z = a x + y + z = b y + kz = x + z = k x + y = k a kx + y z = 8 x + y + z = x + z = k k 8 k 8 k k + a a a Si k =, queda: k k -a a a Sistema incompatible. Si k, és compatible determinat. El resolem: k k + x = 8 + k x + y + z = x + z = k x = 8 + k k + z = k x = y = x z = k k 6 k + k k + 8 k + Solució: x = 8 + k, y = k k + 8, z = k k 6 k + k + k + Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 5

12 b x + y + z = y + kz = x + y = k k Si k =, queda: k k Sistema incompatible. Si k, és compatible determinat. El resolem: k k z = = k + k k y + k = y = k k = + k k + k = k + k + k + k + k + k k x = y z = k + k = + k + k k + k = + k + k + k = a a a + k k + k k k k a a x + y + z = y + kz = kz = k Solució: x = + k k, y = k + k, z = + k + k k k + k Pàgina 6 EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS PER PRACTICAR. Troba, si existeix, la solució dels sistemes següents i interpreta ls gràficament: x + y = x + y = x y = a b x y = 5x y = 4 5x + y = 8 x + y = Els resolem pel mètode de Gauss: Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 5

13 a 5 4 Podem prescindir de les dues últimes files, ja que coincideixen amb la primera. Quedaria: 4y = y = 4 x y = x = + y = 4 = Solució:, a a a 5 a 4a a El sistema representa quatre rectes que es tallen en el punt, 4 4. a a 5 -a 9 De la a equació, obtenim y = ; de la a equació, obtenim y =. 5 Per tant, el sistema és incompatible. El sistema representa tres rectes que es tallen dues a dues, però no hi ha cap punt comú a les tres. b 4. Comprova que aquest sistema és incompatible i raona quina és la posició relativa de les tres rectes que representa: x + y = 5 x y = x + 4y = Si dividim la a equació entre, obtenim: x + y =. La equació és x +y = 5. Són contradictòries, així doncs el sistema és incompatible. La i la a equació representen dues rectes paral leles; la a les talla. 4. Resol i interpreta geomètricament el sistema: 5 5 / x +y = x + y = /x y = a + / a a a + Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 5

14 x + y = 5y = Solució:, 5 x = y = 5 y = 5 5 Geomètricament, són tres rectes que es tallen en el punt, Raona si aquests sistemes tenen solució i interpreta ls geomètricament: x +y z = x + y + 6z = a b x + 4y z = /x y 4z = a b x +y z = x + 4y z = Si dividim la. a equació entre, obtenim: x + y z =, que contradiu la. a. El sistema és incompatible. Són dos plans paral lels. x + y + 6z = /x y 4z = Si multipliquem per x y 4z =, que contradiu la. a equació. El sistema és incompatible. Són dos plans paral lels. la. a equació, obtenim: 6. Resol els sistemes següents però reconeix prèviament que són escalonats: y + z = x y = 7 a b 9z = y = 69 x y + z = x + y t = c y + z = 4 d y + t z = x y + z = x y = y = a x y = 7 y = Solució:, 69 y = 7 + y 4 x = = Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 54

15 b y + z = 9z = x y + z = 7 Solució:,, y z z = y = z = x = = 9 9 c x + y t = y + z = 4 y + t z = z = λ y = 4 z t = y + z = 4 z + z = + z x = y + t = 4 z + z = 5 + z Solucions: 5 + λ, 4 λ, λ, + λ d x y + z = x y = y = 7 Solució:,, 6 6 y y = x = = z = x + y = Transforma en escalonats i resol els sistemes següents: x y z = x y = 7 a b x y z = 5x +y = 7 x y + z = a x y = 7 5x +y = 7 5 a x y = 7 y = 69 Solució: x =, y = 6 69 b x y z = x y z = x y + z = x y z = x y z = x y + z = a x y 4z = x y 4z = x 5y 4z = 5 a a x y z = y z = x z = z = y = z x = + y + z Solució: x =, y =, z = Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 55

16 8. Resol aquests sistemes d equacions lineals: x + 5y = 6 x + y + z = a x + y z = b 5x + y + z = x + z = 4 x + y + z = a x + 5y = 6 x +y z = x + z = a + a a 6 4 a : a x = 6 x + y = x + z = 4 Solució:, 4, x = y = x = 4 z = 4 x = 6 5 a a a 6 4 b x + y + z = 5x + y + z = x + y + z = 5 5 a a a 5 a x + y + z = + z y z = z = y = = x = y z = z = Solució:,, a a + a 9. Resol: x + y z = x + 4y z = a x + y + z = b 6x 6y + z = 6 5x + y + z = x y + z = 6 a x + y z = x + y + z = 5x + y + z = 4 5 a a a a a 4 x + y z = y + 4z = Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 56

17 b y = 4z + x = y + z = 4z + + z = z z = λ Solucions: λ, + 4λ, λ x + 4y z = 6x 6y + z = 6 x y + z = a a x y + z = 6 z = y z = Solució:,, a : 5 a : 7 y = + z = = x = 6 + y z = = a a : 8 4. Resol, si és possible, els sistemes següents: x+ y + z = 9 x + y + z = a x y z = b x y + z = x y + z = 5 x + y z = x y + z = c x 4y + z = d x y = x + y + z = 4x + y z = a x + y + z = 9 x y z = x y + z = x + y + z = 9 a 9 y + z = 9 a + a 7 7 7y = 7 y = z = 9 y = 8 x = 9 y z = Solució:,, 8 x + y + z = x y + z = 5 7 b 5 a + a a x + y = z 5y = 7 z 7 z y = z z x = z y = z + = Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 57

18 c 7 Si fem z = 5λ, les solucions són: λ, λ, 5 5 5λ x +y z = x 4y + z = x + y + z = a a + La segona equació és impossible: x + y + z = 5. El sistema és incompatible. a a a + a a 5 d x y + z = x y = 4x + y z = 4 a a + 6 a a a y = x z = x + y = x + 9x = 7x x = λ Solucions: λ, λ, 7λ x y + z = x y =. Classifica els sistemes següents en compatibles o incompatibles: x + y + z = x + y + z = a x + y z = b x y + z = z = x y + z = a x + y + z = x + y z = z = x + y = x + y = z = Compatible indeterminat. b x + y + z = x y + z = x y + z = Compatible determinat. a a 4 Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 58

19 . Estudia els sistemes següents i els resols pel mètode de Gauss: x + y + z = x y + z = a x + y + 5z = b x + y z = x 5y + 6z = 9 4x + y z = a b x + y + z = x + y + 5z = x 5y + 6z = 9 a 7 a + 6 a 69 Sistema determinat. Solució:,,. x y + z = x + y z = 4x + y z = a a a El resolem: Solucions: λ, λ, 7λ 5 x y + z = x y = a + a + a a Sistema compatible indeterminat. y = x z = x + y = x + 9x = 7x x = λ Estudia i resol aquests sistemes pel mètode de Gauss: x y z = x + y + z = x +5y + z = a 4x + y z = 5 b x + y + z = x + 4y 7z = x + 7y + 5z = 5 5x + y + z = 4 x y + z 4t = c x + y + z = d x y + z + 4t = x y + z = x y + 5z + 6t = a x + y + z = 4x + y z = 5 x + 4y 7z = 6 a a a a + 4 a + Sistema compatible determinat. 6 Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 59

20 Solució:,, b Solucions: λ, λ, λ. Són quatre plans amb una recta en comú. c a a Sistema compatible determinat. El resolem: a a a : a a 5 4 x y + z = y z = z = z = y = x = + y z = Solució:,, x + y + z = El resolem: 6y + z = y = x = y + z + = z = x y z = x + 5y + z = x + y + z = x + 7y + 5z = 5 a a 4a a a 4a a : a + a 4a a x + y + z = y + z = z = y x = y z = y y = λ 5x + y + z = 4 x + y + z = x y + z = d x y + z 4t = x y + z + t = x y + 5z + 6t = 4 9 a 4 a + a a a 4 48 Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 6

21 Sistema compatible indeterminat. El resolem: x y + z 4t = z +9t = 8t = t = z = x = y y = λ Solucions: λ, λ,, Pàgina 7 4. Discuteix els sistemes següents i els resol-los quan sigui possible: x y = 4 x + y z = a x + y/ = b x y + z = x + ky = 5x 5y + z = m 4 4 / a x y = 4 x + y/ = a + x + ky = k a k + Si k = Sistema compatible indeterminat. El resolem: y = x 4 x y = 4 Solucions: λ, λ 4 x = λ Si k Sistema compatible determinat. x y = 4 k + y = Solució:, b x + y z = a x y + z = 5x 5y + z = m 5 5 m a 5 5 m a 5 a 5 a 5 5 m 5 a a m Si m = Sistema compatible indeterminat. El resolem: 5 + z z y = = + x y + z = 5 5 5y z = 5 6z z x = + y z = + z = Fent z = 5λ. Solucions: + λ, + λ, 5λ Si m Incompatible 5 5 y = x = Unitat 7. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 6

22 5. Discuteix els següents sistemes d equacions: x y z = k x + y z = a x y + z = b x +y + z = x + y + kz = x + ay +4z = x y + z = x + y + az = c mx + y z = d 5x + y +z = x + 4y z = x + y z = a b c x y z = k x y + z = x + y + kz = k k k Sistema compatible determinat per a tot k. x + y z = x +y + z = x + ay + 4z = a : a Si a = Si a x y + z = mx + y z = x + 4y z = Sistema compatible indeterminat Sistema compatible determinat 5 a + a + Compatible determinat per a tot m. d x + y + az = 5x + y + z = x + y z = a 7 a 4 m 4 a 5 5 k a 5 a a a + a = a = Si a = Sistema incompatible Si a Sistema compatible determinat 4 m + a a a a 7 a 8 8 a a a a a a a + a a k + k a m a 7 a Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 6

23 6. Resol cada un dels sistemes següents per als valors de m que el fan compatible: x y z = x +y = x + y + z = a x y = b x + z = 4x + y = m x + y +5z = m a x + y = x y = 4x + y = m 5 a : 5 a a Si m = 7 x + y = y = Sistema compatible determinat x = y = Solució:, Si m 7 Sistema incompatible b x y z = x + y + z = x + z = x +y + 5z = m 5 m a 7 a a 4a a m + Si m = Sistema compatible indeterminat. x y z = y + 7z = 4 m m 7 Fent z = λ: Solucions: λ, 7λ, λ a a 4 ª a a 4-a 5 5 m 7z 7z y = = 7z z x = + y + z = + z = m Si m Sistema incompatible 7. Discuteix i resol en funció del paràmetre: x + my + z = x + y + z = a x y + z = b x + y + az = 5 x z = x + y + z = Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 6

24 a x + my + z = x y + z = x z = m 4 4 a a + Si m = 4 m 4 4 a a a a + a Sistema compatible indeterminat m 4 m x + z = y + 4z = 4 x = z y = 4 4z z = λ Solucions: λ, 4 4λ, λ Si m Sistema compatible determinat x + z = y + 4z = 4 m y = Solució:,, y = z = x = z = b x + y + z = x + y + az = 5 x + y + z = a a a Si a = Si a x + y + z = y + z = a z = Sistema incompatible Sistema compatible determinat. El resolem: z = a 4 a y = z = = a a 4 + a a 6 x = y z = = a a a a 6 4 a Solució:,, a a 5 a 5 a a a a a a a 5 a Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 64

25 PER RESOLDRE 8. Resol pel mètode de Gauss. x + z = x + y + z + t = x + y = x y + z t = a b y + z = x + y z t = x + y + z = x + y + z t = x y z = x + y + z = x +5y + z = c 4x + y z = d x + y + z = 6x + y + z = x + 7y + 5z = 5 a x +z = x + y = y + z = x + y + z = a a a 4a a 8 7 a a 4a a a 4a 4a x + z = y z = 8 z = 7 y = 8 + z = = 6 x = z = 4 = Solució:, 6, 7 b x + y + z + t = x y + z t = x + y z t = x + y + z t = a a 4a x + y + z + t = y t = z + t = t = t t = z = t = + = y = = x = y z t = Solució:,,, Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 65

26 c x + y +z = 4x +y z = 6x + y + z = a a 7 d z = x + y + z = y = x Solucions: λ, λ, 7z = x = λ x y z = x + 5y + z = x + y + z = x + 7y + 5z = 5 a a 4a x + y + z = y + z = Solucions: λ, λ, λ a a 4a a : a + a 4a a z = y x = y z = y + y = y y = λ Discuteix els sistemes següents segons els valors de α i interpreta ls geomètricament: x y = αx y = a b x + y 5z = 6 x αy = α x + αy z = a αx y = α α a α x αy = α Si α, queda: α Sistema compatible indeterminat. Són dues rectes coincidents. Si α =, queda: Sistema incompatible. Són dues rectes paral leles. α α α α α Sistema compatible determinat. Són dues rectes se- Si α y α cants. Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 66

27 b x y = x + y 5z = 6 x + αy z = 5 5 a 5 a a Si α α 8 5α a a α + Sistema compatible determinat. Són tres plans que es tallen en un punt. Si α = Sistema incompatible. Els plans es tallen dos a dos, però no hi ha cap punt comú als tres.. Es considera el sistema d equacions lineals: x + y + z = x + ay + z = x + + ay + 6z = a Troba un valor de a per al qual el sistema sigui incompatible. b Discuteix si hi ha algun valor del paràmetre a per al qual el sistema sigui compatible determinat. c Resol el sistema per a a =. x + y + z = x + ay + z = x + + ay + 6z = a a a a a a = a a b No existeix cap valor de a per al qual el sistema sigui compatible determinat. c Si a =, queda: + a 6 a a a x + y + z = y = y = / x + z = z = λ x = z Solucions: λ,, λ Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 67

28 . Considera el sistema d equacions: x y z = 4 x + y z = x z = a Hi ha una solució en què y sigui igual a? b Resol el sistema. c Interpreta l geomètricament. x y z = 4 x + y z = x z = 4 x z = a y = z = Solució:,, a a + a z = x = + z = a a 4 x z = y z = a a b x = + z = + y + = + y z = y + y = λ Solucions: + λ, λ, λ + c Són tres plans que es tallen en una recta.. Troba un nombre de tres xifres sabent que aquestes sumen 9; que, si del nombre donat se li resta el que resulta d invertir l ordre de les seves xifres, la diferència és 98, i que la xifra de les desenes és mitjana aritmètica de les altres dues. Si x és la xifra de les unitats, y la de les desenes i z la de les centenes, el nombre serà x + y + z. Activitat resolta.. A, B i C són tres amics. A li diu a B: si et dono la tercera part dels meus diners, els tres en tindrem la mateixa quantitat. Calcula el que té cadascú si entre els tres tenen 6. x = diners A y = diners B z = diners C x x x = y + = z = x + y + z = 6 6 Solució: z =, y =, x = Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 68

29 4. Un magatzemista disposa de tres tipus de cafè: el tipus A de 9,8 /kg; el B de 8,75 /kg i el C de 9,5 /kg. Vol fer una mescla amb els tres tipus de,5 kg a 9,4 /kg. Quants quilos de cada tipus ha de mesclar si ha de posar el doble del tipus C que dels tipus A i B? x = quantitat en les de cafè A z = quantitat en les de cafè C y = quantitat en les de cafè B x + y + z =,5 x + y = z 9,8x + 8,75y + 9,5z = 9,4,5 Solució: Amb les primeres eq.: z =,5 kg, y = kg, x = 4 kg Pàgina 8 5. Una botiga ha venut 6 exemplars d un videojoc per un total de El preu original era de, però també ha venut còpies defectuoses amb descomptes del % i del 4%. Si sabem que el nombre de còpies defectuoses venudes va ser la meitat del de les còpies en bon estat, calcula a quantes còpies se li aplicà el % de descompte. Anomenem x el nombre de còpies venudes al preu original, ; y el nombre de còpies venudes amb un % de descompte,,7 = 8,4 ; i z el nombre de còpies venudes amb un 4% de descompte,,6 = 7,. Així: x + y + z = 6 x + 8,4y + 7,z = 684 x y + z = x + y + z = 6 x + 8,4y + 7,z = 684 x y z = 6 6 8,4 7, 84,6 4, ,6 4,8 86 a + a + a a,6 a, a a : x + y + z = 6 y + z =,z = 96 z = 8 y = x = 4 Solució: El % de descompte es va aplicar a còpies. Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 69

30 6. Un caixer automàtic conté 95 bitllets de, i 5 i un total de. Si el nombre de bitllets de és el doble que el nombre de bitllets de, descobreix quants bitllets hi ha de cada tipus. Anomenem x el nombre de billets de ; y el nombre de billets de, i z el nombre de billets de 5. Veiem que: x + y + z = 95 x + y + 5z = x = y x + y + z = 95 x + y + 5z = x = y x + z = 95 4y + 5z = x = y z = 95 y 4y y = 4y y = 75 = y y = 5 z = x = 5 Solució: Hi ha 5 billets de, 5 billets de i billets de Es disposa de tres caixes A, B i C amb monedes d euro. Se sap que en total hi ha 6 euros. El nombre de monedes de A excedeix en a la suma de les monedes de les altres dues caixes. Si es trasllada moneda de la caixa B a la caixa A, aquesta tindrà el doble de monedes que B. Esbrina quantes monedes hi havia en cada caixa. Anomenem x el nombre de monedes que hi ha a la caixa A, y el nombre de monedes que hi ha a la caixa B, i z el nombre de monedes que hi ha a la caixa C. Veiem que: x + y + z = 6 x = y + z + x + = y x + y + z = 6 x y z = x + = y x + y + z = 6 x y z = x y = Sumant les dues primeres equacions: x = 8 x = 9 x + De la a equació y = = z = 6 y x = 6 Solució: Hi havia 9 monedes a la caixa A, a la B i 6 a la C. 8. Un automòbil puja els pendents a 54 km/h, els baixa a 9 km/h i en pla circula a 8 km/h. Per anar de A a B triga hores i minuts, i per tornar de B a A, hores i 45 minuts. Quina és la longitud de camí pla entre A i B si sabem que la distància entre A i B és de 9 km? 94,8 km. 9. Tres entitats financeres A, B i C ofereixen, respectivament, per a dipòsits superiors a, un interès anual del %, % i K %. La Joana, en Manel i en Daniel decideixen invertir els seus estalvis en aquestes entitats durant un any. Si tots ho fessin a A obtindrien en total uns beneficis de 64 ; però si la Joana optés per A, en Manel per C i en Daniel per B, obtindrien 9 ; i si la Joana i en Manel es decidissin per B i en Daniel per C, obtindrien 8. Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 7

31 a Escriu un sistema d equacions que descrigui la situació. b Calcula, sense resoldre el sistema, la quantitat de diners invertits entre les tres persones. c Troba, si existeix, un valor de K per al qual hi hagin infinites solucions. Resol el sistema per a l esmentat valor de K y dóna tres solucions diferents. j = diners invertits per la Joana m= diners invertits per en Manel d = diners invertits per en David a j + m + d = 64 j + m + d = 8. j + m k + d = 9 j + km + d = 9. j + m + kd =.8 j + m + d k = 8 b No és possible, ja que ens calen més dades, tot i que si tots han d haver invertit >,6 < k <, c Avaluem el sistema 8. k 9. k.8 8. k.8 a a k.8 De l última equació: Si k = el sistema serà incompatible, k = sistema incompatible no solució. De la segona equació: Si k = k = quedarà: Per k = : Sistema compatible indeterminat solucions j + m + d = 8. En Daniel ha invertit.8 i entre la Joana i en Manel j + m + d =.8 n han invertit 5.4. Podria ser: JOANA MANEL DANIEL SOLUCIÓ..4.8 SOLUCIÓ...8 SOLUCIÓ Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 7

32 4. Una persona ha obtingut 6 de benefici per invertir un total de 6 en tres empreses: A, B i C. La suma dels diners invertits en A i B va ser m vegades els invertits en C i els beneficis van ser el 5 % en l empresa A, el % en la B i el % en la C. a Planteja un sistema d equacions per esbrinar la quantitat invertida en cada empresa. b Prova que si m > el sistema és comptable determinat. c Troba la solució per a m = 5. a a = diners invertits en l empresa A a + b + c = 6. b = diners invertits en l empresa B a + b = mc c = diners invertits en l empresa C 5 a + b + c = 6. b c a + b + c = 6. a + b mc = 5a + b + c = m Cal que m > per tal que sistema compatible determinat m 6. Solució: Si m = 5 6c = 6. Si m = c =., b =., a = Les edats d un noi, el seu pare i el seu avi compleixen les condicions següents: la suma de les edats del pare, del fill i el doble de la de l avi fa 8 anys. El doble de l edat del fill més la de l avi fa anys i l edat del pare és α vegades la del seu fill. a Troba les edats dels tres suposant que α =. b És possible que α =? c Si α = i en la primera condició la suma és, què passa amb el problema? a f = edat del noi o fill p = pare a = avi p + f + a = 8 f + a = p = αf a + p + f = 8 a + f = p αf = Solució: Si α = f = 8 anys, p = 6 anys, a = 64 anys Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 7

33 b a + p + f = 8 a + f = p αf = a a α 8 α a Solució: Si α = Sistema incompatible No solució c Sistema incompatible ja que la a equació no es pot solucionar. α 4. Tres amics acorden jugar tres partides de daus de forma que, quan un perdi, donarà a cada un dels altres dos una quantitat igual a la que cada un posseeixi en aquell moment. Cada un va perdre una partida, i al final cada un tenia 4. Quant tenia cada jugador en començar? Fem una taula que resumeixi la situació: 4x 4y 4z = 4 x + 6y z = 4 x y + 7z = COMENÇAMENT PARTIDA a PARTIDA a PARTIDA r QUE PERD x x y z x y z 4x 4y 4z n QUE PERD y y x + y z x + 6y z r QUE PERD z z 4z x y + 7z x y z = 6 x + y z = x y + 7z = 4 a : a : a a + a a + a x y z = 6 y z = 9 z = 4 z = y = 9 + z = x = 6 + y + z = 9 Solució: El jugador que va perdre primer tenia 9 ; el que va perdre en segon lloc tenia, i el que va perdre en tercer lloc tenia. 4. Si tenim un sistema compatible indeterminat de equacions lineals amb incògnites, es pot aconseguir un sistema incompatible afegint-hi una tercera equació? Sí. Per exemple: Incompatible x + y = x + 4y = 6 x + y = Compatible indeterminat Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 7

34 44. Si a un sistema de equacions amb incògnites incompatible li afegim una altra equació, podríem aconseguir que fos compatible indeterminat? I determinat? Justifica les respostes. No. Si el sistema és incompatible, les dues equacions inicials són contradictòries. Afegint una altra equació, no podem canviar aquest fet; el sistema seguirà sent incompatible. 45. Quantes solucions té el següent sistema si a és diferent de. I si a és igual a? Pot ser incompatible? x + y + z = a x = x + z = Si a té única solució, x = y = z = Si a = sistema compatible indeterminat Té infinites solucions No pot ser mai incompatible. Pàgina És possible convertir aquest sistema en compatible indeterminat si hi canviem un signe? No, a més de canviar el signe perquè les dues equacions deixessin de ser contradictòries, caldria que existís una altra incògnita per tenir així més d una solució posible. x y + z = Donades les equacions: x y + z = 4 a Afegeix-hi una equació perquè el sistema sigui incompatible. b Afegeix-hi una equació perquè el sistema sigui compatible determinat. Justifica en cada cas el procediment seguit. a Perquè sigui incompatible, l equació que afegim ha de ser de la forma: ax y + z + bx y + z = k con k 5a 4b. Si agafem, per exemple, a =, b =, k =, queda: x y + z = Afegint aquesta equació, el sistema seria incompatible. b Per exemple, afegint y =, queda: x y + z = 5 x y + z = 4 y = x + z = 5 x + z = 4 y = x = 9 y = z = Compatible determinat Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 74

35 48. Defineix quan dos sistemes d equacions lineals són equivalents. Justifica si són equivalents o no els sistemes següents: x + y + z = x + y z = 4 Dos sistemes d equacions lineals són equivalents quan totes les solucions del r sistema ho són també del n, i a la inversa. Els dos sistemes donats no són equivalents, atès que el r és compatible indeterminat té infinites solucions i el n és determinat només té una solució. x = y = z = 49. Siguin S i S' dos sistemes equivalents amb solució única que tenen iguals els termes independents. Podem assegurar que tenen iguals els coeficients de les incògnites? No. Per exemple, els sistemes: x + y = x y = S: S': x y = x y = són equivalents, amb solució única,, tenen iguals els terme independents, però no els coeficients de les incògnites. PER APROFUNDIR 5. Troba raonadament dos valors del paràmetre a per als quals el sistema següent sigui incompatible: x + y + z = ax + y + z = x + z = x + az = a a 4a a x + y + z = ax + y + z = x + z = x + az = Si a a a a a a = o a = 6, el sistema és incompatible. a 6 a a 4a Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 75

36 5. Discuteix els sistemes següents en funció del paràmetre a i els resols en el cas que siguin compatibles indeterminats: x + y + z = a ax + y z = a x + y + az = a b x + ay = x + ay + z = x + z = a x + y + z = a x + y + az = a x + ay + z = a a + a a a Si a =, queda: Si a =, queda: a a Sistema incompatible a + a a Sistema compatible indeterminat El resolem en aquest cas: a a a a x + y + z = y = x + z = x = z y = z = λ Solucions: λ,, λ Si a i a Sistema compatible determinat b ax + y z = x + ay = x + z = a a a a a a a a a + a a a a a a + a + a a a + a ± a + = a = = ± a = a = Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 76

37 Si a =, queda: Si a =, queda: Sistema incompatible a : a Sistema compatible indeterminat Solucions: λ, λ, + λ x + z = x + y = z = + x y = x x = λ Si a i a Sistema compatible determinat 5. Discuteix el sistema següent segons els valors del paràmetre a. Interpreta l geomètricament: ax + y + z 4 = x + y + z + = x ay + z = ax + y + z 4 = x + y + z + = x ay + z = a 4 a a 4 a ax + y + z = 4 x + y + z = x ay + z = a a a 5 a a a Si a =, queda: Sistema incompatible 5 Els dos primers plans són paral lels, i el tercer els talla. Si a =, queda: 5 Sistema incompatible Els dos últims plans són paral lels, i el primer els talla. Si a i a Sistema compatible determinat. Són tres plans que es tallen en un punt. Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 77

38 PER PENSAR UNA MICA MÉS 5. Resol el sistema següent: x + y + z + t = 7 x + y + z + w = 6 x + y + t + w = 5 x + z + t + w = 4 y + z + t + w = 4 Si sumes les cinc igualtats, n obtindràs una altra amb què se t poden simplificar molt els càlculs. x + y + z + t = 7 x + y + z + w = 6 x + y + t + w = 5 x + z + t + w = 4 y + z + t + w = 4 Sumant les cinc igualtats, obtenim: 4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 76, és a dir: 4x + y + z + t + w = 76, o bé: x + y + z + t + w = 9 Per tant: x + y + z + t + w = 7 + w = 9 w = x + y + z + w + t = 6 + t = 9 t = x + y + t + w + z = 5 + z = 9 z = 4 x + z + t + w + y = 4 + y = 9 y = 5 y + z + t + w + x = 4 + x = 9 x = Ens diuen que x, y, z, t, w són nombres enters i que k val 6 o 8. Decideix raonadament quin dels dos és el seu valor i resol el sistema: x + y + z + t = 5 x + y + z + w = 6 x + y + t + w = 8 x + z + t + w = 9 y + z + t + w = k x + y + z + t = 5 x + y + z + w = 6 x + y + t + w = 8 x + z + t + w = 9 y + z + t + w = k Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 78

39 Sumant les cinc igualtats, obtenim: 4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 48 + k, és a dir: 4x + y + z + t + w = 48 + k, o bé: k x + y + z + t + w = Si x, y, z, t, w són nombres enters, llur suma també ho serà; així doncs, k ha de ser múltiple de 4. Com que ens diuen que val 6 o 8, tenim que ha de ser k =6 ja que 8 no és múltiple de 4. Resolem el sistema, ara que sabem que k = 6: La suma de les cinc igualtats donarà lloc a: 6 x + y +z + t + w = = = 46 Per tant: x + y + z + t + w = 5 + w = 46 w = x + y + z + w + t = 6 + t = 46 t = x + y + t + w + z = 8 + z = 46 z = 8 x + z + t + w + y = 9 + y = 46 y = 7 y + z + t + w + x = 6 + x = 46 x = 55. Una colla de 6 obrers es compromet a podar els arbres d una plantació. Treballen de dilluns a dissabte. Cada dia, cinc d ells poden i el sisè els atén reposa eines, els dóna aigua, arreplega els troncs que cauen. Cada obrer poda el mateix nombre d arbres cada dia, és a dir, si l Albert poda 8 arbres un dia, podarà 8 arbres cada dia que intervingui. Els resultats són: Dilluns: 4 arbres podats. Dimarts: 6 arbres podats. Dimecres: 7 arbres podats. Dijous: 8 arbres podats. Divendres: 4 arbres podats. Dissabte: arbres podats. Calcula quants arbres diaris poda cada un dels sis obrers sabent que cap d ells poda els sis dies. Anomenem: a = nombre d arbres que poda l obrer que descansa dilluns. b = nombre d arbres que poda l obrer que descansa dimarts. c = nombre d arbres que poda l obrer que descansa dimecres. d = nombre d arbres que poda l obrer que descansa dijous. e = nombre d arbres que poda l obrer que descansa divendres. f = nombre d arbres que poda l obrer que descansa dissabte. Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 79

40 Tenim el següent sistema d equacions: b + c + d + e + f = 4 a + c + d + e + f = 6 a + b + d + e + f = 7 a + b + c + e + f = 8 a + b + c + d + f = 4 a + b + c + d + e = o 5 Sumem totes les equacions: 5a + 5b + 5c + 5d + 5e + 5f = 8 o 5 a + b + c + d + e + f = 8 o 8 no és múltiple de 5, per tant el total ha de ser el dissabte es poden 5 arbres a + b + c + d + e + f = 44 a + b + c + d + e + f = 44 a + b + c + d + e + f = 44 a + 4 = 44 a = b + 6 = 44 b = 8 c + 7 = 44 c = 7 d + 8 = 44 d = 6 e + 4 = 44 e = 4 f + 5 = 44 f = 9 Unitat. Sistemes d equacions. Mètode de Gauss 8