Curs de preparació per a la prova d accés a cicles formatius de grau superior. Matemàtiques BLOC 3: FUNCIONS I GRÀFICS. AUTORA: Alícia Espuig Bermell

Transcripción

1 Curs de preparació per a la prova d accés a cicles formatius de grau superior Matemàtiques BLOC : FUNCIONS I GRÀFICS AUTORA: Alícia Espuig Bermell

2 Bloc : Funcions i gràfics Tema 7: Funcions... Tema 8: Derivades...7

3 TEMA 7: FUNCIONS. Funcions.. Límits de funcions.. Continuïtat de funcions.

4 4

5 EXERCICIS: FUNCIONS. FUNCIONS Concepte de funció Una magnitud és una qualitat que pot ser mesurada (com ara la massa, l alçada, la temperatura, el preu, el temps, la longitud, la superfície, el volum, la velocitat...). Si una magnitud no és constant, s anomena variable. Una funció és un tipus de relació de dependència entre dues variables. Aquesta relació de dependència pot ser una fórmula, un tet, una gràfica o una taula, que ens permet calcular el valor d una magnitud determinada, anomenada variable dependent, a partir del valor d una altra magnitud, anomenada variable independent. La variable independent se sol representar amb la lletra i la variable dependent se sol representar amb la lletra y (tot i que també es poden utilitzar altres lletres): y variable independent variable dependent No totes les relacions de dependència són funcions. Una relació de dependència és una funció si a cada valor de la variable independent () li correspon, com a màim, un únic valor de la variable dependent (y). Aleshores, diem que y és funció de i escrivim y f ( ). Si i y prenen valors reals, direm que la funció és real de variable real. En aquest tema, quan parlem d una funció ens estarem referint a una funció real de variable real. Formes d epressar una funció Tal com hem dit, una funció es pot epressar com: - Un tet. - Una fórmula, anomenada epressió algebraica de la funció (no totes les funcions admeten epressió algebraica). - Una taula de valors (encara que no aporta una informació completa de la funció). - Una gràfica. 5

6 EXERCICIS: FUNCIONS Eemple: Vegem una mateia funció epressada de diferents maneres: - Tet: Funció que a cada nombre real li fa correspondre el seu triple més una unitat. - Epressió algebraica: y + (també es pot escriure f ( ) + ) - Taula de valors: y Gràfica: La gràfica d aquesta funció és una recta. Cada punt (,y) de la recta verifica la relació de dependència y +. Donat un valor qualsevol de, podem veure en la gràfica quin valor de y li correspon. Eercicis: Troba les altres formes d epressar les funcions següents: a) Funció que a cada nombre real li fa correspondre el seu quadrat. b) ( ) f 6

7 EXERCICIS: FUNCIONS Gràfiques que no corresponen a funcions Vegem dos eemples de gràfiques que no corresponen a una funció, perquè no verifiquen la condició que a cada valor de li correspon, com a màim, un únic valor de y. Eemples:.. No són funcions perquè a alguns valors de li corresponen dos valors de y. Eercici: Indica quines de les gràfiques següents corresponen a una funció: a) b) c) d) e) Y f) Y Y X X X Eemples de funcions Vegem alguns eemples de funcions en la vida quotidiana. 7

8 EXERCICIS: FUNCIONS Eemples:. Una companyia de telefonia mòbil ens oferei tres tipus de tarifes per fer trucades nacionals: - Tarifa A: Es factura per l establiment de trucada i 50 cèntims per minut. - Tarifa B: No es factura per l establiment de trucada, però es factura per minut. - Tarifa C: Es facturen 5 per cada trucada nacional. En les tarifes A i B es factura per fracció de minut (es cobra la duració eacta de la trucada). Per a cada cas, fes un estudi de la funció que relaciona el cost d una trucada amb la seva durada. Quina tarifa ens interessa més si normalment fem trucades d un minut? I si les fem de cinc minuts? I si fem trucades llargues de més de 0 minuts? - Identifiquem la variable independent i la dependent: variable independent minuts que dura la trucada y variable dependent preu en El preu depèn de la durada de la trucada. - Elaborem una taula de valors, deduïm l epressió algebraica i fem la representació gràfica: Taules de valors i epressions algebraiques Tarifa A Tarifa B Tarifa C y y y ,50,50. +0, , y + 0,5 y y 5 8

9 EXERCICIS: FUNCIONS Representacions gràfiques Preu ( ) Tarifa B Tarifa A Tarifa C Temps (minuts) - Per fer trucades d un minut: ens interessa la tarifa B. - Per fer trucades de cinc minuts: ens interessa la tarifa A. - Per fer trucades de més de deu minuts: ens interessa la tarifa C Tarifa A: És una funció afí (té per gràfic una recta que no passa per l origen). Tarifa B: És una funció lineal (té per gràfic una recta que passa per l origen) Tarifa C: : És una funció constant (té per gràfic una recta horitzontal).. Estudia la funció que ens permet calcular l àrea d un quadrat conegut el seu costat. - Identifiquem la variable independent i la dependent: variable independent longitud del costat en cm y variable dependent àrea en cm L àrea depèn de la longitud del costat. - Elaborem una taula de valors, deduïm l epressió algebraica i fem la representació gràfica: 9

10 EXERCICIS: FUNCIONS Taula de valors y Representació gràfica Àrea (cm ) Epressió algebraica: y És una funció Costat (cm) quadràtica (té per. La tarifa de preus d un aparcament és la següent:,5 per la primera hora o fracció més per cada hora o fracció a partir de la primera hora, amb un màim diari (fins a 4 hores) de,5. Fes un estudi de la funció que relaciona el preu de l aparcament amb el temps. - Identifiquem la variable independent i la dependent: variable independent temps en hores y variable dependent preu en El preu depèn del temps - Elaborem una taula de valors, deduïm l epressió algebraica i fem la representació gràfica: Taula de valors ( 0, ] (, ] (, ]. 0, ( ] (, 4 ] y,5,5,5.,5,5 Preu ( ) Representació gràfica Temps (hores) 0

11 EXERCICIS: FUNCIONS Epressió algebraica: ( ] ( ], 5 si 0,,5 si, y., 5 si 0,,5 si, 4 ( ] ( ] És una funció definida a trossos Eercicis: Completa: a) Un grup d alumnes vol anar d ecursió a la neu. Llogar un autobús de seianta places per fer aquesta ecursió costa 600. Volem saber quant hauria de pagar cada alumne/a pel concepte de transport, en funció del nombre d alumnes que hi vagin. Fes un estudi de la funció del cost del transport per alumne segons el nombre d alumnes. - Identifiquem la variable independent i la dependent: variable independent y variable dependent - Elaborem una taula de valors, deduïm l epressió algebraica i fem la representació gràfica: Taula de valors y Representació gràfica Preu ( ) Alumnes Epressió algebraica:

12 EXERCICIS: FUNCIONS b) En un laboratori es vol fer un cultiu d un bacteri que cada hora es dividei en dos bacteris. Es comença el cultiu amb un sol bacteri. Quants bacteris hi haurà al cap de dues hores? I al cap de tres? I al cap de deu? I al cap de 4? Fes un estudi de la funció que ens permet calcular el nombre de bacteris en funció del temps transcorregut. - Identifiquem la variable independent i la dependent: variable independent y variable dependent - Elaborem una taula de valors, deduïm l epressió algebraica i fem la representació gràfica: Taula de valors y Bacteris Representació gràfica Epressió algebraica: Temps (hores) Imatges i antiimatges Si y f ( ), diem que y és la imatge de per f i que és l antiimatge de y per f. Per la definició de funció, cada valor de té, com a màim, una sola imatge. Tanmatei, un valor de y pot tenir més d una antiimatge.

13 EXERCICIS: FUNCIONS Eemples: Vegem, a partir de la taula de valors de dues funcions, eemples d imatges i antiimatges:. f ( ) + y és la imatge de - i - és l antiimatge de - S escriu: f(-) - i f - (- ) - - és la imatge de - i - és l antiimatge de - S escriu: f(-) - i f - (- ) - és la imatge de 0 i 0 és l antiimatge d S escriu: f(0) i f - () 0 és la imatge d i és l antiimatge de S escriu: f() i f - () 5 és la imatge de i és l antiimatge de 5 S escriu: f() 5 i f - (5). f ( ) y Tots els valors positius tenen dues antiimatges per f: - Les antiimatges de 4 són - i s escriu f (4) {, } - Les antiimages de són i - s escriu f () {,} Per calcular la imatge d un valor de, substituïm aquest valor per en l epressió algebraica de la funció i fem els càlculs corresponents. Per calcular l antiimatge d un valor de y, substituïm aquest valor per y en l epressió algebraica de la funció i aïllem. Eemples:. Donada la funció f ( ) + 5, calcula la imatge de i l antiimatge de -: - Imatge de : f () + 5 f () La imatge de és. - Antiimatge de -: f ( ) L antiimatge de - és -.

14 EXERCICIS: FUNCIONS. Donada la funció f ( ) + 5, calcula la imatge de i totes les antiimatges de 9: - Imatge de : f () 5 4 f () 4 + La imatge de és 4. - Antiimatges de 9: ± 4 f (9) {, }. Donada la funció f ( ) sin, calcula les antiimatges de 0,5. { } f (0,5) 0º 60 k, 50º 60 k / k Z Les antiimatges de 9 són - i. 0º + 60º k k Z 0, 5 sin 50º + 60º k k Z 0,5 té infinites antiimatges per f Donada la funció f ( ) + -, calcula les antiimatges de Resolem l equació de grau aplicant la regla de Ruffini i obtenim:,,. f () {,,} Eercici: a) Donada la funció f ( ) 5, calcula la imatge de i l antiimatge de 9. 4

15 EXERCICIS: FUNCIONS b) Donada la funció f ( ) +, calcula la imatge de - i les antiimatges de 5. Sol.: a) f b) f ( ) f (5) {, } () 6 f (9) Domini i recorregut Domini El domini d una funció f és el conjunt de valors de la variable independent que tenen imatge per f (valors per als quals podem calcular la imatge en R). Es representa amb Domf o D f. Dom f f ( ) R Si un nombre real a pertany al domini de f, diem que f està definida en a, o per a a, o en el punt a. Aií, també diem que el domini d una funció és el conjunt de valors per als quals la funció està definida. Eemples: Calcula el domini de les funcions següents:. f ( ) + 5 Dom f R Tots els valors reals tenen imatge. Es pot calcular la imatge per f de qualsevol nombre real. f. ( ) Dom f R { 0} Tots els valors reals, ecepte el 0, tenen imatge. No es pot calcular la imatge de 0, atès que 0.. ( ) Dom f [ 0, + ) f Tots els valors reals positius i el 0 tenen imatge. L arrel quadrada d un nombre negatiu no és un nombre real, per tant, els nombres negatius no tenen imatge per f i, per tant, no pertanyen al domini de f. 5

16 EXERCICIS: FUNCIONS Eercici: Calcula el domini de les funcions següents: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) Sol.: a) Dom f R b) Dom f R { } c) Dom f [, + ) Recorregut El recorregut o rang d una funció f és el conjunt format per totes les imatges de la funció, és a dir, el conjunt dels valors de la variable dependent y que són imatges de valors de la variable independent. Es representa amb Imf. y Im f y f ( a) amb a Dom f Eemples: Calcula el recorregut de les funcions següents:. f ( ) Im f R Tots els valors reals tenen antiimatge per f.. ( ) Im f [ 0, + ) f El quadrat d un nombre sempre és positiu o zero. Aií, les imatges d aquesta funció són els nombres positius i el 0. Els nombres negatius no tenen antiimatge per f. Càlcul del domini i el recorregut d una funció a partir de la seva gràfica És fàcil trobar el domini i el recorregut d una funció a partir de la seva gràfica. Vegemne uns eemples: 6

17 EXERCICIS: FUNCIONS Eemples: Calcula el domini i el recorregut de les funcions següents:.. Dom f R i Im f [,] Dom f R i Im f R. 4. { } Dom f R 0 { } Im f R 0 Dom f [, + ) Im f [ 0, + ) Eercicis: Calcula el domini i el recorregut de les funcions següents: a) b) c) 7

18 EXERCICIS: FUNCIONS Tipus de funcions Funcions que tenen per gràfica una recta Funció lineal La funció lineal té per gràfica una recta obliqua que passa per l origen de coordenades (pel punt (0,0)). La seva epressió algebraica és del tipus: f ( ) m en què m és un nombre real diferent de 0 anomenat pendent de la recta. Eemples: (Utilitzarem la notació y f ( ) ). y y m y - y m. y y m 5. y - y m. y y m 6. y - y m Dels eemples anteriors es deduei que el pendent de la recta (m) ens dóna informació relativa a la inclinació de la recta: 8

19 EXERCICIS: FUNCIONS - El signe de m determina si la recta és creient o decreient: o Si m > 0 ( + ) la recta és creient (quan augmenta el valor de, augmenta el valor de y): o Si m < 0 (-) la recta és decreient (quan augmenta el valor de, disminuei el valor de y): - Com més gran és m més gran és la inclinació de la recta (més s aproima a la vertical). Funció afí La funció afí té per gràfica una recta obliqua. La seva epressió algebraica és del tipus: f ( ) m + n en què m i n són nombres reals amb m 0 m s anomena pendent de la recta i n s anomena ordenada en l origen La funció lineal és un cas particular de funció afí, en què n 0. Eemples: (Utilitzarem la notació y f ( ) ). y + y. y - y. y - + y m i n m i n m i n Dels eemples anteriors es deduei que l ordenada en l origen indica per on talla la recta l ei OY: Punt de tall amb l ei OY (0,n) 9

20 EXERCICIS: FUNCIONS Pendent de la recta El pendent m d una recta es definei com la tangent de l angle que forma la recta amb l ei 0X. Si la recta és obliqua, talla l ei 0X i el dividei en dues parts. Per calcular el pendent, prenem l angle que forma la recta amb la part dreta de l ei 0X, mesurat en sentit directe des de l ei 0X. Donats dos punts qualssevol de la recta, el pendent és el quocient de l increment (variació) de l ordenada ( y ) entre l increment de l abscissa ( ). Aií, el pendent indica l increment de l ordenada quan l abscissa s incrementa en una unitat: α α increment de l'ordenada y y y m tgα increment de l'abscissa Funció constant La funció constant té per gràfica una recta horitzontal. El seu pendent és nul, ja que l angle que forma amb l ei OX és 0 ( tg 0 0 ). La seva epressió algebraica és del tipus: f ( ) n en què n és un nombre real anomenat ordenada en l origen. Eemples:. y y y - y y 5 y Rectes verticals Una recta vertical no correspon a la gràfica d una funció, ja que a un matei valor de li corresponen infinits valors de y. L epressió algebraica d una recta vertical és del tipus nombre real. a, en què a és un 0

21 EXERCICIS: FUNCIONS Funcions quadràtiques Una funció quadràtica té per gràfica una paràbola. La seva epressió algebraica és del tipus: f ( ) a + b + c en què a, b i c són nombres reals i a 0. Eemples:. y. y -. y y y y y + 4. y y - 4 y y y Dels eemples anteriors podem deduir que: - El coeficient a ens dóna informació relativa a l obertura de la paràbola: o El signe de a ens indica si la paràbola està oberta cap amunt o cap avall: a > 0 ( + ) Si a < 0 (-) Si la paràbola és oberta cap amunt (còncava) : la paràbola és oberta cap avall (convea) : U I o Com més gran és a més tancada és la paràbola.

22 EXERCICIS: FUNCIONS - El coeficient c indica per on talla la paràbola l ei OY: Punt de tall ei OY (0,c) Normalment, per representar gràficament la majoria de funcions, no n hi ha prou d elaborar una taula de valors. En el tema següent estudiarem com representar gràficament funcions. Funcions polinòmiques Una funció polinòmica és una funció que té per epressió algebraica un polinomi. f ( ) P( ) en què P() és un polinomi. Les funcions que tenen per gràfica una recta i les funcions quadràtiques són casos particulars de funcions polinòmiques. Eemples:. f ( ) 4 Funció polinòmica de grau 0 (funció constant).. f ( ) Funció polinòmica de grau (funció lineal).. f ( ) + Funció polinòmica de grau (funció afí) f ( ) Funció polinòmica de grau (funció quadràtica). f ( ) Funció polinòmica de grau. 4 f ( ) Funció polinòmica de grau 4. Domini d una funció polinòmica El domini d una funció polinòmica és el conjunt dels nombres reals, ja que és possible calcular la imatge de qualsevol nombre real per un polinomi: Dom f R Funcions racionals Una funció racional és una funció que té per epressió algebraica un quocient de polinomis. P( ) f ( ) Q ( ) en què P() i Q() són polinomis i Q( ) 0.

23 EXERCICIS: FUNCIONS Eemples:. f ( ) f ( ) Les funcions polinòmiques són casos particulars de funcions racionals, amb Q( ). Domini d una funció racional En una funció racional, podem calcular la imatge de qualsevol nombre real, ecepte d aquells que anullin el denominador, ja que no es pot dividir per zero. Aií doncs, el domini d una funció racional és el conjunt de nombres reals que no anullen el denominador: { } Dom f R R / Q( ) 0 Eemples: Calcula el domini de les funcions racionals següents:. f ( ) Resolem l equació que resulta d igualar a 0 el denominador, per calcular els valors que no pertanyen al domini de la funció: Dom f R { }. f ( ) Resolem l equació que resulta d igualar a 0 el denominador, per calcular els valors que no pertanyen al domini de la funció: i f R { } ± 4 ± Dom,. f ( ) Resolem l equació que resulta d igualar a 0 el denominador, per calcular els valors que no pertanyen al domini de la funció: ± 4 R Dom f R El denominador no s anulla per a cap valor real, per tant, el domini és el conjunt dels nombres reals.

24 EXERCICIS: FUNCIONS Eercicis: Calcula el domini de les funcions racionals següents: a) f ( ) b) f ( ) f ( ) c) Sol.: a) Dom f R { } b) Dom f R {, } c) Dom f R {,,} Funcions irracionals Una funció irracional és una funció en què, en la seva epressió algebraica, la variable independent () es troba sota un signe de radical. Estudiarem només les funcions irracionals l epressió algebraica de les quals sigui del tipus: f ( ) n g( ) en què g( ) és una funció racional. Eemples:. f ( ) - 6. f ( ) f ( ) 4 + 4

25 EXERCICIS: FUNCIONS Domini d una funció irracional Donada una funció irracional del tipus f ( ) n g( ), en què g( ) és racional: - Si n és parell, el domini de f és el conjunt de valors reals de per als quals el radicand de l arrel, g(), és un nombre real positiu o zero: { } Dom f R / g( ) 0 - Si n és imparell, l arrel es pot calcular sempre que el radicand sigui un nombre real, encara que sigui negatiu, i per tant, el domini de f coincidei amb el de g: Dom f Dom g Eemples: Calcula el domini de les funcions irracionals següents:. f ( ) Dom f [ 0, + ) En R, només podem calcular l arrel quadrada d un nombre positiu o zero. L arrel quadrada d un nombre negatiu no és un nombre real.. f ( ) Hem d esbrinar per a quins valors de la funció g( ) 6 és positiva o zero. o Resolem l equació que resulta d igualar a zero la funció g( ) o En la funció g( ) canvia de signe. Estudiem el signe de g( ) a l esquerra i a la dreta de (calculant la imatge per g d un nombre més petit que i la d un nombre més gran que ). - El domini de f són tots els nombres reals més grans o iguals que : Dom f [, + ) 5

26 EXERCICIS: FUNCIONS. f ( ) + -0 Dom f R Com que l índe de l arrel és imparell, el domini de f coincidei amb el del radicand (recordem que en R es pot calcular l arrel cúbica de qualsevol nombre real). Atès que el radicand és un polinomi, el domini de f és el conjunt dels nombres reals. Eercicis: Calcula el domini de les funcions racionals següents: a) f 4 ( ) 5 b) f 5 ( ) 8 c) f ( ) + Sol.: a) Dom f (,5] b) Dom f R c) Dom f R { } Funcions definides a trossos Diem que una funció està definida a trossos si la seva epressió algebraica no és sempre la mateia, sinó que varia en funció del valor de la variable independent. Per calcular el domini d una funció definida a trossos, hem de trobar el domini de cadascuna de les epressions algebraiques que la determinen. Per fer-ho, hem de tenir en compte en quin interval està definida cada epressió. Eemples: Representa gràficament les funcions següents i calcula f (-), f (0), f (), f (), f () i Dom f per a cada cas:. + si < f ( ) si f ( ) + 0 f (0) 0 + f f f () + 4 () () + 4 Qualsevol valor de té imatge real: Dom f R 6

27 EXERCICIS: FUNCIONS. si 0 f ( ) + si 0 < < 5 si f ( ) f () 5 f (0) f () 5 0 f () + 4 Qualsevol valor de té imatge real, ecepte el zero, ja que el zero no pertany al domini de, que és l epressió de la funció en 0 : { } Dom f R 0. - si < 0 f ( ) si 0 ( ) f ( ) f () f (0) 0 f () f () La funció valor absolut és una funció definida a trossos. Qualsevol valor de té imatge real: Dom f R Eercici: Donada la funció -5 si ( ) f si >, calcula f (), f () i f (5) i Dom f. Sol.: f (), f (), f (5) i Dom f R 5 Funcions eponencials Una funció eponencial és una funció l epressió algebraica de la qual és del tipus: f ( ) a en què a és un nombre real positiu diferent de ( a R + i a ). 7

28 EXERCICIS: FUNCIONS Eemples:. f ( ) y - 0,5 8-0, 5 4-0, ( ) y f ( 0.5 ) , 5 0, 5 4 0,5 8 Les funcions eponencials presenten les característiques següents: - El seu domini és el conjunt dels nombres reals: Dom f R - El seu recorregut és el conjunt dels nombres reals positius, ja que si a > 0, aleshores 0 a > : Im f R + ( 0, + ) - El punt de tall amb l ei OY és (0,) per a totes les funcions eponencials: f 0 (0) a - El gràfic de la funció s aproima indefinidament a l ei OX, però no el talla mai. o Si a >, el gràfic de la funció s acosta a l ei OX a mesura que disminuei el valor de. o Si 0 < a <, el gràfic de la funció s acosta a l ei OX a mesura que augmenta el valor de. - Si a >, la funció és creient (quan augmenta el valor de, augmenta el valor de y). Si 0 < a <, la funció és decreient (quan augmenta el valor de, disminuei el valor de y). - El gràfic de la funció eponencial és del tipus: 8

29 EXERCICIS: FUNCIONS Si a > : Si 0 < a < : Operacions amb funcions Funció suma Donades dues funcions, f i g, la funció suma f + g és una altra funció que es definei com: ( f + g)( ) f ( ) + g( ) Eemples: Calcula l epressió algebraica i el domini de la funció suma f + g per a cada cas:. f ( ) i g( ) 5 ( f + g)( ) f ( ) + g( ) + 5 ; Dom ( ) f + g R. f ( ) i g( ) + ( f + g)( ) f ( ) + g( ) + ; Dom ( f + g) R { } + Funció resta Donades dues funcions, f i g, la funció resta f g és una altra funció que es definei com: ( f g)( ) f ( ) g( ) 9

30 EXERCICIS: FUNCIONS Eemples: Calcula l epressió algebraica i el domini de la funció resta f g per a cada cas:. f ( ) i g( ) 5 ( f g)( ) f ( ) g( ) 5 ; Dom ( ) f g R. f ( ) i g( ) + ( f g)( ) f ( ) g( ) ; Dom ( f g) R { } + Funció producte Donades dues funcions, f i g, la funció producte f g és una altra funció que es definei com: ( f g)( ) f ( ) g( ) Eemples: Calcula l epressió algebraica i el domini de la funció producte f g per a cada cas:. f ( ) i g( ) 5 ( f g)( ) f ( ) g( ) 5 5 ; Dom ( ) f g R. f ( ) i g( ) + ( f g)( ) f ( ) g( ) ; Dom ( f g) R { } + + Funció quocient Donades dues funcions, f i g, la funció quocient f g és una altra funció que es definei com: f f ( ) ( ) g g( ) 0

31 EXERCICIS: FUNCIONS Eemples: Calcula l epressió algebraica i el domini de la funció quocient per a cada cas: f g. f ( ) i g( ) 5 f ( ) ( ) f g g( ) 5 5 ; Dom ( f g) R { 0}. f ( ) i g( ) + f f ( ) ( ) ( + ) + g g( ) + ; Dom f R g

32 EXERCICIS: FUNCIONS Eercicis. Completa el quadre: Tet Epressió algebraica y y 0 Taula de valors i gràfica 4 9. Indica quines de les gràfiques següents corresponen a una funció: a) b) c) d). Calcula f (), f (0) i f ( ) per a cada cas: a) f ( ) + 8 b) f ( ) + 4. Calcula f () per a cada cas: a) f ( ) 5 b) f c) f ( ) ( )

33 EXERCICIS: FUNCIONS 5. Donada la funció f ( ) + +, calcula la imatge i l antiimatge de Troba el domini i el recorregut de les funcions següents: a) b) c) d) 7. Calcula el domini de les funcions següents: a) f 4 ( ) + + b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) + f) f ( ) + 0 si 0 i) f ( ) + - si > 0-5 si < j) f ( ) si < 5 4 si 5 k) f ( ) 5 5 l) f ( ) 5 5 o) f ( ) 7 p) f ( ) 5 7 g) f ( ) h) f ( ) 5 m) n) f 4 ( ) f ( ) 4

34 SOLUCIONS: FUNCIONS Solucions. Tet Funció que a cada nombre real li fa correspondre la seva arrel quadrada. Epressió algebraica y y Taula de valors i gràfica b) i d). a) f (), f (0) 8 i f ( ) 4 b) f (), f (0) i f ( ) 4. a) b) { 4, 4} c) f, f a) Dom f R Im f (,] c) Dom f R Im f ( 0, ] Dom f R, Im f R d) b) { } ( ] [ ) [ ) Dom f,, + Im f R + 0, + 7. a) Dom f R b) Dom f R { } c) Dom f R { } d) Dom f R {,} e) Dom f R f) Dom f R { 5, } g) Dom f R {,, } h) Dom f R { 0,5} i) Dom f R { } j) Dom f R { } k) Dom f [, + ) l) Dom f (, + ) m) Dom f (, ] n) Dom f (, ) o) Dom f R p) Dom f R { 7} 4

35 SOLUCIONS: FUNCIONS Solucions dels eercicis de la teoria Formes d epressar una funció a) Tet Epressió algebraica Funció que a cada nombre real li fa correspondre el seu quadrat y Taula de valors i gràfica cc y b) Tet Epressió algebraica Funció que a cada nombre real li fa correspondre el seu cub menys una unitat. y Taula de valors i gràfica y Gràfiques que no corresponen a funcions Corresponen a una funció les gràfiques dels apartats b), c) i e). 5

36 SOLUCIONS: FUNCIONS Eemples de funcions a) nombre d alumnes y cost per alumne Epressió algebraica: y 600 b) hores y nombre de bacteris Epressió algebraica: y y y cc Càlcul del domini i el recorregut d una funció a partir de la seva gràfica a) Dom f R i Im f [, + ) b) Dom f R { 0} i Im f ( 0, + ) c) Dom f R {,} i Im f (, 0] U (, + ) 6

37 LÍMITS DE FUNCIONS. LÍMITS DE FUNCIONS El càlcul de límits servei per estudiar el comportament d una funció al voltant d un punt a (quan la s aproima a un nombre real a) o en l infinit (quan la es fa indefinidament gran o indefinidament petita). Concepte de límit Límit d una funció en un punt Sigui a un nombre real i f una funció definida al voltant de necessàriament definida en a (a pot no pertànyer al domini de f ). a, però no Per estudiar el comportament de la funció al voltant de a, prenem valors de que s aproimen a a i calculem les seves imatges. Ens podem aproimar a a per l esquerra, és a dir, prenent valors de que s aproimen cada cop més a a i que són més petits que a. En aquest cas, es diu que tendei a a per l esquerra i s escriu: a -. O ens podem aproimar a a per la dreta, és a dir, prenent valors de que s aproimen cada cop més a a i que són més grans que a. En aquest cas, es diu que tendei a a per la dreta i s escriu: a +. Límits laterals Un nombre real L és el límit de la funció f () quan tendei a a per l esquerra si quan prenem valors de que s aproimen a a per l esquerra, les seves imatges s aproimen a L, de manera que f () es pot apropar a L tant com vulguem, prenent valors de suficientment propers a a. S escriu: lim f ( ) L Diem que quan tendei a a per l esquerra - a ( a f ( ) L. ), f () tendei a L ( ) Un nombre real L és el límit d una funció f () quan tendei a a per la dreta si quan prenem valors de que s aproimen a a per la dreta, les seves imatges s aproimen a L, de manera que f () es pot apropar a L tant com vulguem, prenent valors de suficientment propers a a. 7

38 LÍMITS DE FUNCIONS S escriu: lim f ( ) L + a Diem que quan tendei a a per la dreta ( a + f ( ) L. ), f () tendei a L ( ) El límit d una funció f () quan tendei a a per l esquerra és infinit (menys infinit) si quan prenem valors de que s aproimen a a per l esquerra, les seves imatges es fan cada cop més grans (cada cop més petites), de manera que f () es pot fer tan gran (petita) com vulguem, prenent valors de suficientment propers a a. S escriu: lim f ( ) + - a + o lim f ( ) - a Diem que quan tendei a a per l esquerra ( a ), f () tendei a + (o ) f ( ) + o f ( ). ( ) El límit d una funció f () quan tendei a a per la dreta és infinit (menys infinit) si quan prenem valors de que s aproimen a a per la dreta, les seves imatges es fan cada cop més grans (cada cop més petites), de manera que f () es pot fer tan gran (petita) com vulguem, prenent valors de suficientment propers a a. S escriu: lim f ( ) + + a + o lim f ( ) + a Diem que quan tendei a a per la dreta ( a + ), f () tendei a + (o ) f ( ) + o f ( ). ( ) Els límits de la funció f quan tendei a a per la dreta i per l esquerra reben el nom de límits laterals de f en a : lim f ( ) i lim f ( ) Límits laterals de f quan en a a+ a Límit d una funció en un punt Un nombre real L és el límit d una funció f () quan tendei a a si quan prenem valors de que s aproimen a a, tant per l esquerra com per la dreta, les seves imatges s aproimen a L, de manera que f () es pot apropar a L tant com vulguem, prenent valors de suficientment propers a a. S escriu: lim f ( ) L a Diem que quan tendei a a ( a ), f () f ( ) L. tendei a L ( ) 8

39 LÍMITS DE FUNCIONS El límit d una funció f () quan tendei a a és infinit (menys infinit) si quan prenem valors de que s aproimen a a, tant per l esquerra com per la dreta, les seves imatges es fan cada cop més grans (cada cop més petites). S escriu: Diem que quan tendei a a ( a lim f ( ) + o lim f ( ) f () a tendei a + (o ) a f ( ) + o f ( ). ( ) ), Relació entre els límits laterals i el límit d una funció en un punt Diem que el límit d una funció en un punt eistei si, i només si, els límits laterals de la funció en aquest punt coincideien i el seu valor és un nombre real. lim f ( ) lim f ( ) L R lim f ( ) L R + a a a Si els dos límits laterals no coincideien o són infinit, diem que no eistei el límit de la funció en el punt donat i escrivim lim f ( ). Tanmatei, si els dos límits laterals són a infinit amb el matei signe, encara que diem que no eistei el límit, escrivim: lim f ( ) + o lim f ( ). a a Eemples: Calcula els límits següents, fent les taules de valors corresponents:. lim f ( ),9,99,999,9999. on f() 8,8 8,98 8,998 8,9998. f ( ) 9 f ( ) + 5,,0,00,000. f() + 9, 9,0 9,00 9,000. f ( ) 9 + Com més s aproima a, tant per l esquerra com per la dreta, més s aproima f () a 9. Fia t que Dom f i f () 9. lim f ( ) lim f ( ) 9 lim f ( ) 9 + 9

40 LÍMITS DE FUNCIONS. lim f ( ) on f ( ) - - 0,9 0,99 0,999 0,9999. f(),7,970,997,9997. f ( ),,0,00,000. f() +,,00,00,000. f ( ) + Com més s aproima a, tant per l esquerra com per la dreta, més s aproima f () a. Fia t que Dom f, ja que 0 f (). 0 lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) +. lim f ( ) 0 on f ( ) -0, -0,0-0,00-0,00. 0 f() f ( ) 0, 0,0 0,00 0,00. 0 f() f ( ) + Fia t que 0 Dom f, ja que f (0) 0 Nota: Quan el denominador d un quocient es fa petit, el resultat del quocient es fa gran en valor absolut: lim f ( ) ; lim f ( ) + lim f ( ) ; ; , 5 0, 5 Com més s aproima a 0 per l esquerra, més petita es fa f (). Com més s aproima a 0 per la dreta, més gran es fa f (). 40

41 LÍMITS DE FUNCIONS 4. lim f ( ) 0,9 0,99 0,999 0,9999. on f(),9,99,999,9999. f ( ) + si < f ( ) si,,0,00,000. f() +,9,099,00,000. f ( ) + Quan s aproima a per l esquerra, f () s aproima a. Quan s aproima a per la dreta, f () s aproima a. Fia t que Dom f i f () lim f ( ) lim f ( ) + lim f ( ) Els límits laterals no coincideien; aleshores, no eistei el límit de f () quan tendei a. Eercicis: Calcula els límits següents, fent les taules de valors corresponents: a) lim f ( ) en què f ( ) 0 b) lim f ( ) en què + 5 si < - f ( ) + si - Sol.: a) + b) 4 4

42 LÍMITS DE FUNCIONS Límit d una funció en l infinit Estudiar el comportament d una funció en l infinit consistei a esbrinar què li passa a la funció (a què tendei) quan la es fa indefinidament gran o indefinidament petita. Per fer-ho, prenem valors de cada cop més grans (direm que tendei a més infinit i ho escriurem: + ) o cada cop més petits (direm que tendei a menys infinit i ho escriurem: ) i calculem les seves imatges. Un nombre real L és el límit d una funció f () quan tendei a infinit (menys infinit) si quan prenem valors de cada cop més grans (petits), les seves imatges s aproimen a L, de manera que f () es pot apropar a L tant com vulguem, prenent valors de suficientment grans (petits) de. S escriu: lim f ( ) L + o lim f ( ) L Diem que quan tendei a més infinit (menys infinit) ( + o ), f () tendei f ( ) L. a L ( ) El límit d una funció f () quan tendei a més infinit (menys infinit) és més infinit si quan prenem valors de cada cop més grans (petits), les seves imatges es fan cada cop més grans, de manera que f () es pot fer tan gran com vulguem, prenent valors de suficientment grans (petits) de. S escriu: lim f ( ) + o + lim f ( ) + Diem que quan tendei a més infinit (menys infinit) ( + o ), f ( ) +. f () tendei a + ( ) El límit d una funció f () quan tendei a més infinit (menys infinit) és menys infinit si quan prenem valors de cada cop més grans (petits), les seves imatges es fan cada cop més petites, de manera que f () es pot fer tan petita com vulguem, prenent valors de suficientment grans (petits) de. S escriu: lim f ( ) + o lim f ( ) Diem que quan tendei a més infinit (menys infinit) ( + o ), f ( ). f () tendei a ( ) 4

43 LÍMITS DE FUNCIONS Eemples: Calcula els límits següents, fent les taules de valors corresponents:. lim f ( ) lim f ( ) on i + f ( ) + 5 f() f() f ( ) f ( ) Quan pren valors cada cop més grans, f () es fa cada cop més gran. Quan pren valors cada cop més petits, f () es fa cada cop més petita. lim f ( ) + i lim f ( ) +. lim f ( ) lim f ( ) on i + f ( ) f() f() f ( ) f ( ) + Quan pren valors cada cop més grans, f () es fa cada cop més gran. Quan pren valors cada cop més petits, f () es fa cada cop més gran. lim f ( ) + i lim f ( ) + + 4

44 LÍMITS DE FUNCIONS. lim f ( ) lim f ( ) on i + f ( ) f() f() , 0,0 0,00 0,000. f ( ) , -0,0-0,00-0,000. f ( ) 0 Quan pren valors cada cop més grans, f () s aproima a 0. Quan pren valors cada cop més petits, f () s aproima a lim f ( ) 0 i lim f ( ) 0 + lim f ( ) lim f ( ) f ( ) i on + + f() f() ,88...,98,998,9998. f ( ) ,...,00...,00,000. f ( ) + Quan pren valors cada cop més grans, f () s aproima a. Quan pren valors cada cop més petits, f () s aproima a. lim f ( ) i lim f ( ) + Eercicis: Calcula els límits següents, fent les taules de valors corresponents: a) lim f ( ) i lim f ( ) + en què f ( ) 44

45 LÍMITS DE FUNCIONS lim f ( ) lim f ( ) f ( ) + b) i en què + Sol.: a) + ; + b) 0; 0 Càlcul del límit d una funció en un punt Fins ara, hem calculat límits a partir de taules de valors. Però eisteien procediments pràctics que ens permeten calcular aquests límits de manera més ràpida. A continuació veurem aquests procediments. Com a regla general, per buscar el límit d una funció f () quan tendei a a, substituïm per a en l epressió algebraica de la funció i fem els càlculs indicats. Si el resultat és un nombre real, aquest és el límit de la funció. Quan el resultat no és un nombre real, haurem d aplicar altres tècniques. Vegem-ho per a cada tipus de funció en particular. Polinomis Apliquem la regla general: lim p ( ) p ( a ) a Eemples: lim + -. ( ) lim +. ( ) ( ) p( ) Funcions racionals: q( ) Apliquem la regla general i ens podem trobar tres casos: 45

46 LÍMITS DE FUNCIONS p( a) - Que el resultat sigui un nombre real: R q( a) aquest és el límit e.: lim Que el denominador s anulli: cas k (amb k 0 ) 0 - Que s anullin el numerador i el denominador: Cas d indeterminació 0 0 Nota: Una indeterminació és una epressió que no té un valor determinat; no sempre val el matei. Vegem com resolem els dos últims casos: - Cas k (amb k 0 ) 0 k El resultat del límit és ; però haurem de calcular els límits laterals 0 per esbrinar el signe de (el símbol significa que pot ser + o ). Eemples:. lim lim 0-0 lim lim -. lim + + ( ) lim 0 ( - ) 0 lim ( ) 0 lim + - ( ) + Eercici: Calcula el límit següent: Sol.: : +, :. lim 46

47 LÍMITS DE FUNCIONS - Cas d indeterminació 0 0 Hem de resoldre la indeterminació simplificant la fracció algebraica i tornant a calcular el límit: Eemples:.. lim lim 0 lim + - lim - + ( ) ( + ) ( ) ( + ) + 4 lim ( ) ( + ) lim lim + 0 ( ) Eercicis: Calcula els límits següents: + 4 lim lim a) lim b) lim Sol.: a) b) 5 : +, 5 :. Funcions definides a trossos Per calcular el límit d una funció definida a trossos en un punt en què la funció canvia d epressió algebraica, hem de calcular els límits laterals. Si la funció no canvia d epressió en el punt en què hem de calcular el límit, procedim com en el cas d una funció no definida a trossos.+ 47

48 LÍMITS DE FUNCIONS Eemple: Estudieu els límits de f ( ) quan:,, i. + si < - - f ( ) si - 7 si > + lim f ( ) lim lim f ( ) lim Com que en l epressió algebraica de la funció canvia (l epressió a la dreta de - és diferent que a l esquerra de -), hem de calcular els límits laterals: + 0 lim f ( ) lim 0 lim f ( ) lim + + lim f ( ) Els límits laterals no coincideien, aleshores no eistei el límit en : Com que en l epressió algebraica de la funció canvia (l epressió a la dreta de és diferent que a l esquerra de ), hem de calcular els límits laterals: ( ) lim f ( ) lim lim f ( ) lim 7 7 lim f ( ) + + Com que els límits laterals coincideien, eistei el límit en i el seu valor és. Eercici: Estudia els límits de la funció següent quan: 0,,, 5 i 0. si < f ( ) si 5 si > 5 Sol.: + 0 : ; 0 : + ; : ; : ; 5 : ; 0 : 90 Quan cal calcular límits laterals? D acord amb el que hem vist, hem de calcular límits laterals en dos casos: - Cas k 0 - En una funció definida a trossos quan l epressió algebraica de la funció canvia en el punt on hem de calcular el límit. 48

49 LÍMITS DE FUNCIONS Càlcul del límit d una funció en l infinit Polinomis El límit d un polinomi quan la tendei a més infinit o menys infinit sempre és més infinit o menys infinit: lim p( ) (el símbol significa + o ) Només haurem d esbrinar el signe de l infinit. Quan la tendei a més infinit o menys infinit, el terme de grau més gran del polinomi s aproima cap a més infinit o menys infinit més ràpidament que els altres termes i, per tant, serà el terme que marcarà la tendència de la funció. Per a valors molt grans o molt petits de la, el valor dels altres termes és menyspreable respecte al valor del terme de grau màim. Eemple: Calcula lim ( - ) + Si +, aleshores, estudiant la tendència de cada terme: +, + i com es resol aquesta indeterminació en la taula de valors següent: (indeterminació). Vegem Fia t que tendei cap a més infinit més ràpidament que. Per tant, la diferència entre els dos termes, -, tendei cap a més infinit (aquesta diferència crei a mesura que es fa gran). El terme de potència màima marca la tendència de la funció: ( ) lim - lim Aií doncs, el límit d un polinomi quan tendei a infinit o menys infinit coincidei amb el límit del terme de grau més gran del polinomi quan tendei a infinit o menys infinit: P ( ) a + a a + a lim P ( ) lim a n n n n n 0 n 49

50 LÍMITS DE FUNCIONS Eemples: Calcula els límits següents: lim + - lim. ( ) + lim lim. ( ) lim lim 5. ( ) + lim lim ( ) Eercicis: Calcula els límits següents: + + a) ( 4 lim ) e) lim ( 5) b) ( 4 lim ) f) lim ( 5) + + c) ( 4 lim ) g) lim ( 5) d) ( 4 lim ) h) lim ( 5) + + Sol.: a) + b) + c) d) e) + f) g) h) + p( ) Funcions racionals: q( ) Quan calculem el límit en l infinit d una funció racional, ens trobem davant del cas d indeterminació. p( ) lim q ( ) (indeterminació) Com que el límit en l infinit d un polinomi és el límit en l infinit del terme de grau més gran del polinomi, el límit en l infinit d un quocient de dos polinomis serà el límit en l infinit del quocient dels termes de grau més gran dels dos polinomis. P( ) a + a a + a ( ) a Q( ) b + b b + b n n n n n 0 P n lim lim m m m Q( ) b m m 0 m 50

51 LÍMITS DE FUNCIONS Eemples: Calcula els límits següents:. lim + lim lim lim + lim lim + lim + 5 lim lim lim + 5 lim lim Eercicis: Calcula els límits següents: a) lim b) lim c) lim + Sol.: a) b) c) 0 A partir dels eemples i eercicis anteriors, podem deduir la regla següent, la qual és molt útil per calcular ràpidament el límit en l infinit d una funció racional. Regla: Si P( ) a + a a + a Q( ) b + b b + b, n n n m m n 0 i m m 0 ( + o ) si gr P( ) > gr Q( ) S'ha d'estudiar el signe en cada cas. p( ) lim 0 si gr P( ) < gr Q( ) q( ) an b a on i m són els coeficients dels termes n si gr P( ) gr Q( ) bm de grau màim de P( ) i Q( ). 5

52 LÍMITS DE FUNCIONS Eemples: Calcula els límits següents, aplicant la regla que acabem de veure:. lim (el grau del numerador és més gran que el del denominador). lim (el grau del numerador és més petit que el del denominador). lim (el grau del numerador és igual que el del denominador) Eercicis: Calcula els límits següents, aplicant la regla que acabem de veure: a) c) 4 lim lim + + b) lim + + d) lim + + Sol.: a) - b) c) 0 d) + Asímptotes Una asímptota horitzontal és una recta horitzontal a la qual s aproima la gràfica de la funció quan tendei a infinit o menys infinit. Quan el límit de la funció f () en més infinit o menys infinit és un nombre real k, es diu que y k és una asímptota horitzontal de f : Si lim f ( ) k i/o lim f ( ) k y k és una asímptota horitzontal de f. + Els polinomis no tenen asímptotes horitzontals, ja que lim p( ). Una funció racional té asímptotes horitzontals si el grau del numerador és menor o igual que el del denominador. Eemple: Troba les asímptotes horitzontals de la funció f ( ) lim + - y és una asímptota horitzontal de f per la dreta. - lim y és una asímptota horitzontal de f per l esquerra. - Es diu que és una asímptota horitzontal per ambdós costats. 5

53 LÍMITS DE FUNCIONS Una asímptota vertical és una recta vertical a la qual s aproima la gràfica de la funció quan tendei a un nombre real a (per la dreta o per l esquerra) i f () tendei a més infinit o menys infinit. Quan algun límit lateral de la funció f () en a és més infinit o menys infinit, es diu que a és una asímptota vertical de f : Si lim f ( ) i/o lim f ( ) a és una asímptota vertical de f. + a a Els polinomis no tenen asímptotes verticals, ja que lim p( ) p( a). Si una funció racional té asímptotes verticals, aquestes es troben en valors de que fan que s anulli el denominador. Però no hi ha, necessàriament, una asímptota vertical en cada valor de que anulla el denominador. Haurem de calcular el límit en cadascun d aquests valors per comprovar si hi ha asímptota vertical. a Eemples:. Troba les asímptotes verticals de la funció f ( ) - - Calculem els valors que anullen el denominador (resolent l equació que resulta d igualar el denominador a 0) en els quals hi haurà les possibles asímptotes verticals: i 0 ± - Calculem els límits de la funció quan i per veure si i són asímptotes verticals: lim lim - 0 lim lim lim lim - 0 i són asímptotes verticals d aquesta funció. 5

54 LÍMITS DE FUNCIONS. Troba les asímptotes verticals de la funció f ( ) - - Calculem els valors que anullen el denominador (resolent l equació que resulta d igualar el denominador a 0) en els quals hi haurà les possibles asímptotes verticals: 0 0 ( ) Calculem els límits de la funció quan 0 i per veure si 0 i són asímptotes verticals: lim 0 lim lim ( -) - 0 lim 0 no és una asímptota d aquesta funció lim lim - ( ) 0-0 lim lim ( ) 0 és una asímptota vertical d aquesta funció. Eercicis: Calcula les asímptotes horitzontals i verticals (si n hi ha) de les funcions següents: f ( ) 5 a) b) f ( )

55 LÍMITS DE FUNCIONS c) f ( ) d) f ( ) + 4 Sol.: a) Hi ha una asímptota horitzontal en y 0 i una asímptota vertical en 5. b) Hi ha una asímptota horitzontal en y i una asímptota vertical en -4. c) Hi ha una asímptota horitzontal en y -5. No té asímptotes verticals. d) No té asímptotes horitzontals. Té una asímptota vertical en

56 EXERCICIS: LÍMITS DE FUNCIONS. Calcula els límits següents: a) lim ( ) d) lim g) lim b) lim e) lim h) lim c) lim f) lim i) lim Calcula els límits següents: 4 ( ) ( 4 5 ) ( ) a) lim + + c) lim + + e) lim ( ) ( 4 5 ) ( ) b) lim + + d) lim + + f) lim +. Calcula els límits següents: a) b) c) d) lim lim + lim lim lim + lim + lim e) lim f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) lim lim lim lim + lim lim lim lim

57 EXERCICIS: LÍMITS DE FUNCIONS 4. Calcula el límit de f quan: 0,,,, 5, 6, 0, : + si si 5 f ( ) < 0 si 5 < si > 0 57

58 SOLUCIONS: LÍMITS DE FUNCIONS. 4 ( ) a) d) g) + + ( ) 7 b) 0 e) h) ( ) c) f) i) + + ( ) ( 5 ) + + ( 5 ) 0. a) + c) + e) b) + d) f). a) b) + c) 0 d) 0 e) 4 f) 5 g) 0 h) 0 i) 0 j) + k) l) 0 m) 0 n) 0 o) + p) ( ) + + ( ) 7 ( 5 ) + + ( 5 ) ( 0 ) + 8 ( 0 ) 0 58

59 CONTINUÏTAT DE FUNCIONS. CONTINUÏTAT DE FUNCIONS Continuïtat d una funció Una funció és contínua si la podem dibuiar sense aiecar el llapis del paper. En els punts on sigui necessari aiecar el llapis del paper serà discontínua. Eemples: a) b) c) Funció contínua en R Funció discontínua en Funció discontínua en i en Formalment, diem que una funció és contínua en el punt d abscissa a si verifica les tres condicions següents: - La funció està definida en a, és a dir, f (a) R : a Dom f - Eistei el límit de la funció quan a : lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) L R + a a a - El límit de la funció quan a coincidei amb f (a): lim f ( ) L f ( a) a Es diu que una funció és contínua en un interval si és contínua per a tots els punts d aquest interval. Si una funció no és contínua en un punt a, diem que és discontínua en a o que hi ha una discontinuïtat en a. 59

60 CONTINUÏTAT DE FUNCIONS Tipus de discontinuïtats Discontinuïtat evitable Una funció té una discontinuïtat evitable en a quan eistei el límit de la funció en aquest punt però no coincidei amb f (a). Pot ser que f (a) sigui un nombre real diferent del límit o que f (a) no eisteii. Aií doncs, quan hi ha una discontinuïtat evitable es verifica la segona condició de continuïtat però no la tercera. La primera es pot verificar o no. lim f ( ) L f ( a) a Gràficament és del tipus: Si a Dom f Si a Dom f Discontinuïtat de salt Una funció té una discontinuïtat de salt en a quan eisteien els límits laterals de la funció en a però no coincideien (són dos nombres reals diferents). Aií doncs, quan hi ha una discontinuïtat de salt no es verifica la segona condició de continuïtat i, per tant, tampoc es verifica la tercera condició. La primera condició es pot verificar o no. lim f ( ) L L ' lim f ( ) lim f ( ) + a a a Gràficament és del tipus: 60

61 CONTINUÏTAT DE FUNCIONS Discontinuïtat asimptòtica Una funció té una discontinuïtat asimptòtica en a quan almenys un dels límits laterals en a és infinit. Aií doncs, quan hi ha una discontinuïtat asimptòtica no es verifica la segona condició de continuïtat i, per tant, tampoc es verifica la tercera condició. La primera condició es pot verificar o no. lim f ( ) i/o lim f ( ) + a a Gràficament, hi ha una asímptota vertical en a: Els dos límits laterals són infinit Només un límit lateral és infinit Eemples:. Estudia la continuïtat de la funció si 0 f ( ) si 0 en 0. Comprovem si es verifiquen les tres condicions de continuïtat per a 0: f (0) 0 Dom f lim f ( ) 0 lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) 0 f (0) 0 Hi ha una discontinuïtat evitable en 0 6

62 CONTINUÏTAT DE FUNCIONS. Estudia la continuïtat de la funció - 4 f ( ) - en. Comprovem si es verifiquen les tres condicions de continuïtat per a : 0 f () Dom f 0 0 lim f ( ) lim 0 lim f ( ) 4 f () ( ) ( + ) Hi ha una discontinuïtat evitable en lim + 4 Nota: Evitarem la discontinuïtat definint una nova funció de la manera següent: - 4 si g( ) - 4 si. Estudia la continuïtat de la funció si < f ( ) + si en. Comprovem si es verifiquen les tres condicions de continuïtat per a 0: f () + Dom f lim f ( ) lim f ( ) + lim f ( ) + Si no es complei la segona condició, no es pot complir la tercera Hi ha una discontinuïtat de salt en.. 6

63 CONTINUÏTAT DE FUNCIONS + 4. Estudia la continuïtat de la funció f ( ) en. - Comprovem si es verifiquen les tres condicions de continuïtat per a : f () Dom f 0 lim f ( ) 0 lim f ( ) 0 lim f ( ) No es pot verificar la tercera condició, perquè no es verifiquen les dues primeres. Hi ha una discontinuïtat asimptòtica en és una asímptota vertical. 5. Estudia la continuïtat de la funció - si < f ( ) + si en -. Comprovem si es verifiquen les tres condicions de continuïtat per a : f ( ) Dom f lim f ( ) + ; lim f ( ) lim f ( ) + 0 Si no es complei la segona condició, no es pot complir la tercera Hi ha una discontinuïtat asimptòtica en - - és una asímptota vertical.. 6

64 CONTINUÏTAT DE FUNCIONS Eercicis: -5 a) Estudia la continuïtat de la funció f ( ) en 5 i b) Estudia la continuïtat de la funció si < f ( ) + si < si en -, i. Sol.: a) En 5 hi ha una discontinuïtat evitable. En -5 hi ha una discontinuïtat asimptòtica. b) En hi ha una discontinuïtat de salt. En i - és contínua. 64

65 CONTINUÏTAT DE FUNCIONS Estudi de la continuïtat d una funció Per estudiar la continuïtat d una funció, estudiem la continuïtat en els punts on la funció pot ser discontínua. Aquests punts són: - Punts que no pertanyen al domini. En una funció racional són aquells que anullen el denominador. - Punts on canvia l epressió algebraica d una funció definida a trossos. Per a cadascun d aquests punts comprovem si es verifiquen les tres condicions de continuïtat. Eemple: Estudia la continuïtat de la funció següent: > si < - s'anulla el denominador en < + 5 f ( ) si - s'anulla el denominador en 5 < si > s'anulla el denominador en < - L únic valor de que no pertany al domini de la funció és { } 6 Dom f R 6 : - En 0 s anulla el denominador de la primera epressió, però l epressió algebraica de la funció en 0 és la segona. Per tant, f (0) 0 Dom f. - En 5 s anulla el denominador de la segona epressió, però l epressió algebraica de la funció en 5 és la primera. Per tant, 4 5 f ( 5) 5 Dom f. - En s anulla el denominador de la tercera epressió, però l epressió algebraica de la funció en és la segona. Per tant, f () Dom f. Aií doncs, estudiarem la continuïtat de la funció en 6 (perquè no pertany al domini) i en i perquè són punts on canvia l epressió algebraica de la funció. En la resta de punts, la funció és contínua. 65