Árboles de Partición Quadtrees Octrees K-d trees

Transcripción

1 Árboles de Partición Quadtrees Octrees K-d trees Estructuras de Datos Andrea Rueda Pontificia Universidad Javeriana Departamento de Ingeniería de Sistemas

2 Estructuras de Datos Geométricas

3 Estructuras de Datos Geométricas Generalización de estructuras lineales y/o unidimensionales a n-dimensiones. Ordenamiento? Búsqueda? Primero en una dimensión, luego en la siguiente... Subdivisión jerárquica del espacio n- dimensional. Particionar el espacio en regiones locales utilizando una estructura basada en árboles.

4 Estructuras de Datos Geométricas Operaciones: Insertar. Eliminar. Buscar/Encontrar. Vecino más cercano. Consulta por rango....

5 Quadtrees

6 Quadtrees Subdivisión jerárquica del espacio bidimensional en 4 cuadrantes o regiones.

7 Quadtrees Subdivisión jerárquica del espacio bidimensional en 4 cuadrantes o regiones.

8 Quadtrees Subdivisión jerárquica del espacio bidimensional en 4 cuadrantes o regiones.

9 Quadtrees Tipos de quadtrees: Dependiendo del tipo de dato que representan: Quadtree de regiones: partición de regiones. Quadtree de puntos: partición del espacio utilizando un punto 2D. Quadtree de bordes o aristas: almacenamiento de líneas (curvas). Quadtree de mapas poligonales: colecciones de polígonos.

10 Quadtrees Quadtree de regiones: Descomposición de una región en 4 cuadrantes de igual tamaño. Cada nodo en el árbol tiene exactamente 4 hijos, o ningún hijo (nodo hoja). Representación de una imagen binaria de 2 n x 2 n pixeles con un quadtree de altura n. Regiones con pixeles de un solo color no se subdividen, regiones con pixeles mezclados se subdividen.

11 Quadtrees Quadtree de regiones: (sup-izq sup-der inf-der inf-izq).

12 Quadtrees Quadtree de regiones: (sup-izq sup-der inf-der inf-izq).

13 Quadtrees Quadtree de regiones: (sup-izq sup-der inf-der inf-izq).

14 Quadtrees Quadtree de regiones: (sup-izq sup-der inf-der inf-izq).

15 Quadtrees Quadtree de regiones: (sup-izq sup-der inf-der inf-izq).

16 Quadtrees Quadtree de regiones: ejercicio

17 Quadtrees Quadtree de regiones: ejercicio

18 Quadtrees Quadtree de regiones: ejercicio

19 Quadtrees Quadtree de puntos: Generalización o adaptación de árboles binarios para el caso bidimensional. Partición a partir de puntos 2D (x,y). Inserción de cada punto particiona una región rectangular en 4 subregiones, utilizando una línea recta horizontal y una vertical que pasan a través del punto.

20 Quadtrees Quadtree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

21 Quadtrees Quadtree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5) (35,40)

22 Quadtrees Quadtree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

23 Quadtrees Quadtree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5) (35,40) (50,10)

24 Quadtrees Quadtree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

25 Quadtrees Quadtree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5) (60,75) (35,40) (50,10)

26 Quadtrees Quadtree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

27 Quadtrees Quadtree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

28 Quadtrees Quadtree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

29 Quadtrees Quadtree de puntos: ejercicio. (32,25) (30,35) (35,30) (37,12) (25,45) (45,32) (5,15) (40,42)

30 Quadtrees Quadtree de puntos: ejercicio. (32,25) (30,35) (35,30) (37,12) (25,45) (45,32) (5,15) (40,42) (25,45) (40,42) (30,35) (45,32) (35,30) (32,25) (5,15) (37,12)

31 Quadtrees Quadtree de puntos: ejercicio. 32,25 30,35 35,30 5,15 37,12 25,45 45,32 40,42

32 Quadtree Quadtree de puntos: Applet de demostración: intquad.html Quadtree de regiones: Applet de demostración: egionquad.html

33 Quadtree

34 Quadtree

35 Octrees

36 Octree Particionamiento del espacio tridimensional. Subdivisión recursiva en ocho octantes (forma cúbica). Analogía tridimensional de los quadtrees.

37 Octree

38 Octree

39 Octree Octree de puntos: Applet de demostración:

40 Quadtrees Quiz: Dada la siguiente secuencia de puntos: (35,30) (37,12) (25,45) (45,32) (5,15) (40,42) (32,25) (30,35) genere la correspondiente partición del espacio (50x50), y el quadtree asociado.

41 Quadtrees (25,45) (40,42) (30,35) (45,32) (35,30) (32,25) (5,15) (37,12)

42 Quadtrees 35,30 25,45 45,32 5,15 37,12 30,35 40,42 32,25

43 Quadtrees Quadtrees de puntos pueden generalizarse a mayores dimensiones: Sin embargo, el número de hijos crece exponencialmente con cada dimensión: 2D: 4 hijos 3D: 8 hijos 4D: 16 hijos Alternativa: modificar la estrategia de subdivisión: dividir sólo en una dimensión y no en todas.

44 k-d trees

45 k-d trees Árbol binario en donde cada nodo es un punto k-dimensional. Los nodos internos generan cada uno un hiperplano que divide el espacio en dos partes, conocidas como medio-espacios. Nodos a la izquierda del hiperplano se ubican en el subárbol izquierdo, nodos a la derecha del hiperplano se ubican en el subárbol derecho.

46 k-d trees Cómo seleccionar la dimensión de subdivisión? La más común: alternar de manera cíclica entre las diferentes dimensiones: En 2D: primero x, luego y, luego x, luego y, En 3D: primero x, luego, y, luego z, luego x, luego y, luego z, También puede hacerse de forma aleatoria, esto requiere almacenar la información del plano usado en el nodo.

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48 k-d trees k-d tree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

49 k-d trees k-d tree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5) (35,40)

50 k-d trees k-d tree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

51 k-d trees k-d tree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5) (35,40) (50,10)

52 k-d trees k-d tree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

53 k-d trees k-d tree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5) (60,75) (35,40) (50,10)

54 k-d trees k-d tree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

55 k-d trees k-d tree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

56 k-d trees k-d tree de puntos: (35,40) (50,10) (60,75) (80,65) (85,15) (5,45) (25,35) (90,5)

57 k-d trees k-d tree de puntos: ejercicio. (32,25) (30,35) (35,30) (37,12) (25,45) (45,32) (5,15) (40,42)

58 k-d trees k-d tree de puntos: ejercicio. (32,25) (30,35) (35,30) (37,12) (25,45) (45,32) (5,15) (40,42) (25,45) (40,42) (30,35) (45,32) (35,30) (32,25) (5,15) (37,12)

59 k-d trees k-d tree de puntos: ejercicio. 32,25 x 30,35 35,30 y 5,15 25,45 37,12 45,32 x 40,42 y

60 k-d tree k-d tree de puntos: Applet de demostración: donar.umiacs.umd.edu/quadtree/points/kdtree.h tml

61 k-d tree Tarea: - Diseñar el TAD k-d tree. - Implementar el TAD k-d tree. Recomendaciones: Utilizar como base la clase NodoBinario. Operaciones básicas: insertar, eliminar, buscar nodo, buscar vecino más cercano, buscar nodos en un rango (ver referencias).

62 Referencias en.wikipedia.org/wiki/quadtree en.wikipedia.org/wiki/octree en.wikipedia.org/wiki/k-d_tree